2021年全国高考乙卷理科数学真题.pdf

2021年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试(乙 卷)理 科 数 学 注 意 事 项：1.答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 上.2.回 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑.如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号.回 答 非 选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上.写 在 本 试 卷 上 无 效.3.考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回.一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5分，共 60分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.1.设 2(z+z)+3(z-z)=4+6 贝!z=()A.l-2i B.l+2i C.1+i D.1-z2.已 知 集 合 5=卜=2+1,“2,T=卜 卜=4+l,”e Z,则 S?T()A.0 B.S C.T D.Z3.已 知 命 题 p:G R,sinx 1,则 下 列 命 题 中 为 真 命 题 的 是()A.B.-pq c.，八 r D.(pvq)1 Y4.设 函 数 f(x)=，则 下 列 函 数 中 为 奇 函 数 的 是()1+xA./(x-l)-l B./(%-l)+l C./(X+1)-1 D./(X+1)+15.在 正 方 体 中，P 为 8 Q 的 中 点，则 直 线 形 与 A R 所 成 的 角 为()兀 71 一 兀 兀 A.-B.-C.-D.一 2 3 4 66.将 5 名 北 京 冬 奥 会 志 愿 者 分 配 到 花 样 滑 冰、短 道 速 滑、冰 球 和 冰 壶 4 个 项 目 进 行 培 训，每 名 志 愿 者 只 分 配 到 1个 项 目，每 个 项 目 至 少 分 配 1名 志 愿 者，则 不 同 的 分 配 方 案 共 有()A.60 种 B.120 种 C.240 种 D.480 种 7.把 函 数 y=/(x)图 像 上 所 有 点 的 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 g 倍，纵 坐 标 不 变，再 把 所 得 曲 线 向 右 平 移?个 单 位 长 度，得 到 函 数=$皿 1%?卜 勺 图 像，则/(x)=()-1-B.sinx 兀（2 12C sin(2x一 D.sin(2x+78.在 区 间(0,1)与(L2)中 各 随 机 取 1个 数，则 两 数 之 和 大 于 一 的 概 率 为()4A7 23 厂 9 八 2A.-B.C.D.一 9 32 32 99.魏 晋 时 刘 徽 撰 写 的 海 岛 算 经 是 关 测 量 的 数 学 著 作，其 中 第 一 题 是 测 海 岛 的 高.如 图，点 E，H,G 在 水 平 线 A C 上，D E 和 F G 是 两 个 垂 直 于 水 平 面 且 等 高 的 测 量 标 杆 的 高 度，称 为“表 高”,E G 称 为“表 距”，G C 和 E H 都 称 为“表 目 距”，G C 与 E”的 差 称 为“表 目 距 的 差”则 海 岛 的 高 A B=()A.表 高 x 表 距 表 目 距 的 差+表 高 C.表 高 x 表 距 表 目 距 的 差+表 距 口 表 高 X 表 距 主 一 友 目 距 的 差 一 表 得 c 表 高 X表 距 _*叫 表 目 距 的 差 表 距 10.设 a#0,若 x 为 函 数/（x）=a（x a）2（x。）的 极 大 值 点，则（）A.ah C.ab a111.设 8 是 椭 圆 C:=+4=l(a b 0)上 顶 点，若 C 上 的 任 意 一 点 P 都 满 足 128区 2。，则 a b。的 离 心 率 的 取 值 范 围 是()圳 B.3D.,12.设 a=21nl.01,h=lnl.O2,C=VLO4-1.则（）A.abc B.bca C.h a c D.c ab二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5分，共 20分.-2-13.已 知 双 曲 线 C:-/=1（/0）的 一 条 渐 近 线 为 y/3x+my=0,则 C 的 焦 距 为.m14.已 知 向 量 a=（1,3（1=（3,4）,若 则 4=.15.记 A6C的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,面 积 为 6，8=60。，a2+c2=3ac，则 b=.16.以 图 为 正 视 图，在 图 中 选 两 个 分 别 作 为 侧 视 图 和 俯 视 图，组 成 某 个 三 棱 锥 的 三 视 图，则 所 选 侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为（写 出 符 合 要 求 的 一 组 答 案 即 可）.图 图 三、解 答 题：共 70分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.第 1721题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答.第 22、23题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答.（一）必 考 题：共 60分.17.某 厂 研 制 了 一 种 生 产 高 精 产 品 的 设 备，为 检 验 新 设 备 生 产 产 品 的 某 项 指 标 有 无 提 高，用 一 台 旧 设 备 和 一 台 新 设 备 各 生 产 了 10件 产 品，得 到 各 件 产 品 该 项 指 标 数 据 如 下：旧 设 备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7新 设 备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.510410.5旧 设 备 和 新 设 备 生 产 产 品 的 该 项 指 标 的 样 本 平 均 数 分 别 记 为 1 和 S,样 本 方 差 分 别 记 为 s；和 s；.求 x，y,s：,；-3-(2)判 断 新 设 备 生 产 产 品 的 该 项 指 标 的 均 值 较 旧 设 备 是 否 有 显 著 提 高(如 果 y-了 2 2,与 目，则 认 为 新 设 备 生 产 产 品 的 该 项 指 标 的 均 值 较 旧 设 备 有 显 著 提 高，否 则 不 认 为 有 显 著 提 高).18.如 图，四 棱 锥 尸 一 A 8 C O 的 底 面 是 矩 形，底 面 ABC。，P D=D C=1,M 为 8 c 的 中 点，且(1)求 B C；(2)求 二 面 角 A P M B 的 正 弦 值.2 119.记 S“为 数 列 4 的 前 项 和，久 为 数 列 的 前 项 积，已 知 三+7=2.(1)证 明：数 列 2 等 差 数 列；(2)求 4 的 通 项 公 式.20.设 函 数“x b l n g x),已 知 x=0 是 函 数 y=4(x)的 极 值 点.(1)求 4;(2)设 函 数 g(x)x+/(x)xf(x)证 明:g(x)0)的 焦 点 为 尸，且 尸 与 圆 M：/+(y+4)2=l上 点 的 距 离 的 最 小 值 为 4.(1)求 P；(2)若 点 尸 在 M 上，P A P B 是 C 的 两 条 切 线，A,8 是 切 点，求 PAB面 积 的 最 大 值.(二)选 考 题，共 10分.请 考 生 在 第 22、2 3题 中 任 选 一 题 作 答.如 果 多 做，则 按 所-4-做 的 第 一 题 计 分.选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程(10分)22.在 直 角 坐 标 系 X。，中，O C 的 圆 心 为 C(2,l),半 径 为 1.(1)写 出 0。的 一 个 参 数 方 程；(2)过 点 E(4,l)作 的 两 条 切 线.以 坐 标 原 点 为 极 点，x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，求 这 两 条 切 线 的 极 坐 标 方 程.选 修 4-5：不 等 式 选 讲(10分)23.已 知 函 数/(x)=|x-a+|x+3.(1)当。=1时，求 不 等 式 龙)2 6 解 集；(2)若 龙)一，求 的 取 值 范 围.-5-2021年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试（乙 卷）理 科 数 学 参 考 答 案 一、选 择 题（每 题 5 分，共 6 0分）l.C 2.C 3.A 4.B 5.D 6.C 7.B 8.B 9.A 10.D ll.C 12.B二、填 空 题（每 题 5 分，共 2 0分）313.4 14.1 15.2加 16.（答 案 不 唯 一）三、解 答 题（共 7 0分）17.（1）根 据 平 均 数 和 方 差 的 计 算 方 法，计 算 出 平 均 数 和 方 差.（2）根 据 题 目 所 给 判 断 依 据，结 合（1）的 结 论 进 行 判 断.-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7【详 解】（1）x=-=10,-10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5 y=-=10.3,102 0.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32 八 八 i5,=-=0.036,1100.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.22 八-=0.04.10（2）依 题 意，y-x=0.3=2x0.15=2A/0.152=2V0.0225 2 03：；0,04=2,0.0076,所 以 新 设 备 生 产 产 品 的 该 项 指 标 的 均 值 较 旧 设 备 有 显 著 提 高.V io18.（1）平 面 A B C。，四 边 形 A B C。为 矩 形，不 妨 以 点。为 坐 标 原 点，DA.D C、D P 所 在 直 线 分 别 为 x、z轴 建 立 如 下 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系。-型，设 3 C=2 a,则。（0,0,0）、P（0,0/）、3（2a,l,0）、M（a,l,0）、A（2a,0,0）,-6-则 而=(2a,l,1),AM=(-,1,O),-.P B A.A M,则 P反 加=一 2/+1=0，解 得 q=故 BC=2a=8;2(2)设 平 面 P4M 的 法 向 量 为 a=&，x，z j,则 丽 7=(-*,1,0,AP=(-V2,O,1),r 一 V 2in AM-x+y.=0/-/-由 2 1 71 取=及，可 得 加=(0,1,2),m-AP=-f2x+4=0设 平 面 P 8M的 法 向 量 为 1=(均%/2)，的,J-4,0,。,丽=(-正,-1,1),由，n-BM=-2-X7=Q,取%=1,可 得 i=(z0,1),万 BP=一&%2 一%+Z 2=0-m-n 3 354cos=T=-洞 V7x/2 1 4，所 以，sin=J-cos2=2.,v14因 此，二 面 角 A P M-3 的 正 弦 值 为 画.142 2b i19.(1)由 已 知 不+丁=2得 S“=，且。宣 0,bn,3“血-1 23取=i,由 Si=瓦 得 a=；,由 于 为 数 列 s,的 前 项 积，2A 2历 所 以 五 三.一 2b.2b,所 以 布.西;I2+i=b2%-1 i所 叼 噜，-7-由 于 2+1工。2 1 1所 以 温 方=初，即 加 一=5 淇 中 e M所 以 数 列,是 以 4=|为 首 项，以“=J 为 公 差 等 差 数 列；（2）由（1）可 得，数 列 仇 是 以 4=3 为 首 项，以 为 公 差 的 等 差 数 歹 U，+（n-l）x=1+,2 2 2-2b“-2+1+3当=1 时，4=S=5，_ _ 2+1+1当 2 2 时，/=5“-5吁|=花 7-一/=一 而 旬 显 然 对 于 口 不 成 立，及(+1),1 Y20.(1)由 x)=ln(。-x)=/(x)=-,y=R x)=y=ln(a-x)+-,x Cl x Cl又 x=0 是 函 数 y=(x)的 极 值 点，所 以 y(O)=lna=O,解 得”=1；(2)由(1)得/(x)=ln(l-x),=x+/(x)=x+l n(I)xf(x)xln(lx)xvl 且 xwO,当 问/。,1、）时，要 证 g（x）=x$+ln（lx），3。,叩 z 一 力。，用（/一、）。，即 证 x+ln(l-x)xln(l-x),化 简 得 x+(l x)ln(l-x)0；/、x+ln(l-x),z z同 理，当 了(内,0)时，要 证 g(x)=7-7-1,vx0,.-.xln(l-x)xln(l-x),化 简 得+(1-*)111(1-*)0；令(x)=x+(l-x)ln(l-x),再 令 f=l 则 f G(O,l)U(l,+),X=l-t,令 g(l)=l T+nz,g*(r)=-l+lnr+l=lnr,-8-当 时,g)g=0；当，(l,+o)时，g()0,g(r)单 增，假 设 g(l)能 取 至 则 g(l)=0,故 g(r)g(l)=o；综 上 所 述，g(x)=:1 在 x w(,0)U(0,1)恒 成 立.21.(1)抛 物 线 C 的 焦 点 为|月 0|=?+4,所 以，尸 与 圆 M：/+(y+4)2=l上 点 的 距 离 的 最 小 值 为 5+4-1=4,解 得，=2；(2)抛 物 线。的 方 程 为 f=4 y,即=三，对 该 函 数 求 导 得 y 二 5,4 2设 点 4(五,)、8(孙)、2(%，%)，直 线 PA的 方 程 为 y-x=(x-x j,即 丁=芳 y,即 中-2乂-2y=0,同 理 可 知，直 线 PB的 方 程 为-2%-2y=0,由 于 点 P 为 这 两 条 直 线 的 公 共 点，则 xxa-2y,-2；yn=八 0，工 2%0-2y2-2%=0所 以，点 A、3 的 坐 标 满 足 方 程 xx-2y-2yo=0,所 以，直 线 A 3 的 方 程 为/*-2卜-2yo=0,xox-2y-2yu=0联 立%2,可 得/一 2/+4%=0,由 韦 达 定 理 可 得 玉+%=2/，x,x2=4)b,所 以,=J1+仔-挑；_16%=#+4）（片 _4%）,点 P 到 直 线 A B 的 距 离 为-9-所 以，S 2 如 斗 小 他+4乂 Z)洛 卜 片-4%=1-(+4)2-4%=一 4-12%-15=-(%+6)2+21，1 3由 已 知 可 得-所 以，当 为=-5时，A P A B 的 面 积 取 最 大 值 上 x 202=20遥.222.(1)由 题 意，O C 普 通 方 程 为-2)2+(-1)2=1,所 以 0 c 的 参 数 方 程 为 x=2+cosay=1+sina(a 为 参 数)(2)由 题 意，切 线 的 斜 率 一 定 存 在，设 切 线 方 程 为 y-l=-x-4),即 辰-y+l-4Z=0,I _2k I由 圆 心 到 直 线 的 距 离 等 于 可 得 E=解 得 左=*，所 以 切 线 方 程 为 氐-3y+3一 48=0 或 向+3),3 4逝=0,将 x=pcos0,y=Qsin 夕 代 入 化 简 得 20cos(6+5)=4一 6 或 20cos(6?)=4+G23.(1)当“=1时，x)=|x-l|+|x+3|,|x-l|+|x+3|表 示 数 轴 上 的 点 到 1和 3的 距 离 之 和，则/(x)6表 示 数 轴 上 的 点 到 1和-3的 距 离 之 和 不 小 于 6,当 x=Y 或 x=2时 所 对 应 的 数 轴 上 的 点 到 1,-3所 对 应 的 点 距 离 之 和 等 于 6,.数 轴 上 到 1,-3所 对 应 的 点 距 离 之 和 等 于 大 于 等 于 6 得 到 所 对 应 的 坐 标 的 范 围 是 x 2,所 以/(力 2 6 的 解 集 为(F,TU2,4W).(2)依 题 意/(x)-a,即 1 一 同+卜+3|一。恒 成 立,|x G|+|X+3|=C I A J|+|X+3|o+3|,当 且 仅 当(a-x)(x+3)对 时 取 等 号，的=|a+3|,-10-3故|a+3-a,所 以 a+3-a 或 a+3 一 耳.所 以。的 取 值 范 围 是 1 5 田）-1 1-