2021年全国乙卷高考理科数学真题及答案.pdf

2021年全国乙卷高考理科数学真题及答案注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共1 2 小题，每小题5分，共 6 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .设 2 (z+2)+3(z-z)=4+6 i,则 z=().A.l-2 i B.l+2 i C.1+i D.1-i2 .已知集合 S=s|s=2 n+l,nW Z,T=t|t=4 n+l,n G Z),则 S C T=()A.0 B.S C.T D.Z3 .已知命题p：3 x G R sinx 1 ；命题q：vx W R,e 感1,则下列命题中为真命题的是()A.pAq B.-ipAq C.pA r q D.-i(pVq)4 .设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是()2+XA.f(x-l)-l B.f(x-l)+l C.f(x+l)-l D.f(x+l)+l5 .在正方体A B C D-A B C D 中,P为 BD的中点,则直线P B 与 A D i所成的角为()A.-B.-C.-D.-2 3 4 66 .将 5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有()A.6 0 种 B.1 2 0 种 C.2 4 0 种 D.4 8 0 种7 .把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的3 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移；个单位长度，得到函数丫=$打6-彳)的图像，则 f(x)=()A.sin 一 -)B.sin(：C.sin(2 x U)D.sin(2 x +)8.在 区 间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于:的概率为（）4A.-4D.-9.魏晋时期刘徽撰写的 海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点E,H,G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称 为“表高”，EG称 为“表距”,GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差 则 海 岛 的 高AB=（）.A：C：B：D：君子:表足表 外 表 运表W 型的差表高哀m 生的差+表府表m 受的差+表建1 0.设a W O,若x二a为函数以）=&-2）2&-1）的 极 大 值 点,则（）.A：a b C：abaJ1 1.设B是椭圆C：5+V=1（a b 0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|W 2b,则C的离心率的取值范围是（）.A：y.l）B：p l）C：（0.D：（O.i 1 2.设a=21nl.0L b=lnl.O2,c=L04-L 则（）.A：a b c B：b c a C：b a c D：c a 0）的一条渐近线为V 5 x+m y=0,则 C 的焦距为.1 4.已知向量 a=(1,3),b=(3,4),若(a-入b)_ Lb,则入=。1 5 .记a A B C 的 内 角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,面积为6,B=60,a2+c=3ac,则b=.1 6.以图为正视图和俯视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则 所 选 侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为 （写出符合要求的一组答案即可）.（第16题图）三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1 7-2 1 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 2 2、2 3题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。1 7.（1 2 分）某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 1 0件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.81 0.31 0.01 0.29.99.81 0.01 0.11 0.29.7新 设备1 0.11 0.41 0.11 0.01 0.11 0.31 0.61 0.51 0.41 0.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为了和用样本方差分别记为s/和S22(1 )求三，%S i2,S 22；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果广元22 产 尹，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).1 8.(1 2 分)如图，四棱锥P-A B CD的底面是矩形，P DJ _ 底面A B CD,P D=DC=1,M 为 B C 的中点，且 P B J _ A M,(1)求 B C；(2)求二面角A-P M-B 的正弦值。(第18题图)1 9.(1 2 分)记 S “为数列瓜 的前n 项 和,b“为数列 的前n 项和，已知T(1)证明：数列 b j 是等差数列；(2)求 a,的通项公式.2 0.(1 2 分)设函数f (x)=l n (a-x),已知x=0 是函数y=x f (x)的极值点。(1)求 a；(2)设函数g(x)=的，匕，证明：g(x)0)的焦点为F,且F与圆M：x2+(y+4)?=1上点的距离的最小值为4.(1)求 p；(2)若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点,求APAB的最大值.(二)选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修4 一 4：坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中，0 C的圆心为C (2,1),半径为1.(1)写出OC的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过点F(4,1)作0 c的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.23.选修4 5：不等式选讲(10分)已知函数 f(x)=x-a|+1 x+3：.(1)当a=l时，求不等式f(x)2 6的解集；(2)若f(x)2a，求a的取值范围.理科数学乙卷（参考答案）1-5 C C A B D6-1 0 C B B A D1 1-1 2 C B1 3.41 4 .-51 5 .2 V 21 6 .或1 7.解：(1)各项所求值如下所示x=-(9.8+1 0.3+1 0.0+1 0.2+9.9+9.8+1 0.0+1 0.1 +1 0.2+9.7)=1 0.010y=(1 0.1+1 0.4+1 0.1+1 0.0+1 0.1+1 0.3+1 0.6+1 0.5+1 0.4+1 0.5)=1 0.3s=x (9.7-1 0.0)2+2X(9.8-1 0.0)2+(9.9-1 0.0)2+2 X (1 0.0-1 0.0)2+(1 0.1-1 0.0)2+2x 10 x (1 0.2-1 0.0)2+(1 0.3-1 0.0)2 =0.3 6,S S =-X (1 0.0-1 0.3)2+3 x (1 0.1-1 0.3)2+(1 0.3-1 0.3)2+2 x (1 0.4-1 0.3)2+2 x-10(1 0.5-1 0.3)2+(1 0.6-1 0.3)2 =0.4.(2)由(1)中数据得y-%=0.3,3 4显然广;f V 2岸l所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。1 8.解：(1)因为P D _ L平面A B C D,且矩形A B C D中，A D 1 D C,所以以瓦I而，而 分 别 为x,y,z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D-x y z。设 B C=t,A (t,0,0),B (t,1,0),M (7,1,0),P(0,0,1),所以丽=(t,1,T),府=(1,0),因为 P B L A M,所以PB*M=+1=O,所以 t=0,所以 B C=V L(2)设平面A P M 的一个法向量为n F (x,y,z),由于A P 二(-夜，0,1),则m AP=-V2x+z=0.V 2m AM=-x+y=0令 x=得 m=(&,1,2)o设平面P M B 的一个法向量为n=(x yl,z)则(_n =-i=2=2 b H+2=2 b=b-b-1=i(n 2),b,=-bn bn 2 2故 b.是以:为首项，:为公差的等差数列。(2)由(1)知 b#+(n-1)工 色，则三+三=2=$产 92 2 2 sn n+2 n+1n=l 时，a i=S i=n 2 2 时，a n 二 S n S-i=吐二妇工-n+1 n n(n+l)(=1故 死 卜诉心22 0.(1)x f(x)z=x f(x)+x f (x)当 x=0 时，x f (x)f=f (0)=l n a=0,所以 a=l(2)由 f (x 由l n(l-x),得 x V l当 O V x V l 时，f(x)=l n(l-x)0,x f(x)0,x f(x)x f (x),x+l n (1-x)-x l n (1-x)0令 l-x=t (t 0 且 t W l),x=l-t,即证 l-t+l n t-(l-t)l n t 0令 f(t)=l-t+lnt-(l-t)Int,则f (t)(-1)=lnt所以f(t)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，故(1)=0,得证。21.解：焦 点F(0,=)到e +(y+4)二=1的最短距离为2+3=4,所以p=2.(2)抛物线y=x二，设 A(xi,y1),B(x2,y2),P(x0,yo)则4L =y=(x-=/-滴lpb：y=X2X%，且X=yj 8yo 15.L，L都过点P(X。,y。)，则 平 广x”故必：先即丫=0X一%y0=涔 乂。一 丫2，联立I 一二叫 Wx2 2XQX+4y0=0,=4xj 16y0.I x2=4y所以|AB|=J 1+乎-16yo=j4+x”Jx：-4y()，dp一 所以丫J 片+4S如s=与 初,d p.三厢一 4yoi V xj-4y0=i(x；-4y0)2=i(-y02-12y0-15)1而y。w 5,3.故当yo=-5时，S j 达到最大，最大值为20、区22.(1)因为0 c的圆心为(2,1),半径为1.故0 C的参数方程为(6为参数).(2)设切线 y=k(x-4)+l,即 kx-y-4k+l=0.故l”-I/I+F-即|2 k|=v m,4H=1+H,解得 k二土宗故直线方程为 y (x-4)+l,y二一弓(x-4)+l故两条切线的极坐标方程为psinB=亲0$6-;V5+1或psinB二”cos0+“5+L23.解：(l)a=1 时,f(x)=|x-l|+|x+3|,即求【x T|+|x-3126 的解集.当 x e l 时，2x+2 26,得 x 2 2;当-3x-a.A-3 时，2a+30,得 a-：；a-a,此时 a 不存在.综上，a_.