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2021年全国甲卷高考理科数学真题及答案1 .设集合乂=x|0 x 4 ,N=x信W x W 5 ,则 M C N=A.x|0 V xW：B.x|-x 4 3C.x|4 W x 5 D.x|0 则 z=B.-l+-ic.1D.-is4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记数法的数据约为（、飞 心1.259）A.1.5 B.1.2 C.0.8 D,0.65.已知F”Fz是双曲线C的两个焦点,P为C上一点，且NFFF2=60,|P F j=3|P F z|,则C的离心率为qB.m3C.V7D.v 136.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后,所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是D.7.等比数列 aj的公比为q,前n项和为S ,设甲：q 0,乙：S.是递增数列，则A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A,B,C三 点，且A,B,C在 同 一 水 平 而 上 的 投 影A ,B,C 满 足4|。=站.=6 0 .由c点测得B点的仰角为15,曲，B B 与C C 的差 为100:由B点 测 得A点的仰角为45,则A,C两点到水平面A B C的高度差M -C C 约为（3=1.732）A.346 B.373 C.446 D.4739.若口 e ta n 2 a=*,则tanor=A.且 BT C.金D.百IS 5 3 B10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为A.-B.二 C.-D.-1 1 .己知A,B,C 是半径为1 的求0的球面上的三个点，且 A C J _ B C,A C=B C=1,则三棱锥O-A B C的体积为12.设 函 数 f(x)的 定 义 域 为 R,f(x+l)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当K W L 2时，=AIz+b.若n o：)+f(3).=6,则f g)=A.B.C.-D.4 3 4 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共 20分。13.曲线在点(-1,-3)处 的 切 线 方 程 为。14 .已知向量 a=(3,1),b=(l,0),u =a +k b，若 a _ L c,则 k=。15 .己知F l,F 2为椭圆C：+忑=1的两个焦点，P,Q 为 C上关于坐标原点堆成的两点，4且I PQI =|用臼，则四边形PRQF 2的面积为 o16 .已 知 函 数 Rx)=2 S(O)X+Q)的 部 分 图 像 如 图 所 示，则 满 足 条 件(K x)-f(-/(y)0的最小正整数 X 为 o三、解答题：共 7 0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17 21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。()必考题：共 6 0分。17 .(12 分)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200件产品，产品的质量情况统计如下表：*一级品一二级品。合计。甲机床。150。52200。乙机床。120。8 g200。合计2270。130。400。（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？能否有9 9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？（心）32P(K,Nk)0.0500.0100.001K3.8416.635Q 10.82818.（12 分）已知数列 aj的各项均为正数，记 S。为 a“的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.数列 aj是等差数列：数列、但；是等差数列；a z=3a i注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.19.（12 分）已知直三棱柱A B C-A B C.中，侧面A A B B 为正方形，A B=B C =2,E,F分别为A C 和 C G 的中点，D为棱AB上的点，B F _ L A B.证 明：B F 1D E；当 为 BD何值时，面 B B C C 与面D F E 所成的二面角的正弦值最小？C20.(12 分)抛物线C的顶点为坐标原点0,焦点在x 轴上，直线L：x =1 交 C于 P,Q 两点，且 OP _ L 0Q.已知点M (2,0)，且G)M 与 L相切，(1)求 C ,0 M的方程；(2)设的,用人,是C上的三个点，直线&A z,A 1A 3均 与 OM相切，判断A 2A 3与OM的位置关系，并说明理由.21.(12 分)己知a 0 且 aWl,函数f (x)=1(x 0),(1)当 a=2时，求 f (x)的单调区间；(2)若曲线y=f (x)与直线y=l 有且仅有两个交点，求 a的取值范围.(二)选考题：共 10 分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修4 一 4：坐标系与参数方程(10 分)在直角坐标系x O y 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为P=2、5 c o s0.(1)将 C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A的直角坐标为(1,0),M 为 C上的动点，点 P 满 足 同=0,d 0,且f l”3a 产.+d所以，d=2f l1,所以4=a*+(i t-l)d =(2n T J a 1所以S j,二三二(n*2n a.)/2=!；,所以石、又i=(n+l)、匚 一、5=丫瓦，为常数，所 以 数 列 为 等 差 数 列。情况二：选择为条件。证明：设等差数列。的公差为d,则 d 0因为房 为等差数列，所以g=S+G，即2 gl+*=岳+J33t+%等式两边平方得：4(2al+W*+X+3 d+2 73 1(s1+i i)即:4 o1+d =2x/3(at3+a1d 等式两边平方：4 a-4%d+d：=0也就是：2。d)=0,即 d=2a l,所以 a 2=a l+d=3a l情况三：选择为条件。证明：因为V 写为等差数列，且a“0,所以可设v5 K n+b(k 0)其中k,b为常数，k n+b0 对任意n 属于N 成立所以：1=V(+*)aN 大于等于 2 时，ol l=SB-3 _1=(2i i-l)f ca+2ti又因为a 2=3 a L 所以3尸+2左&=3(K +b)：，解得b=0 或者4 k+3b=0当 b=o 时，a l=f c2,n 大于等于 2 时，nn=(2n -l)k:,n=l 时同所以*=(2n-1法;，所以数列外 为等差数列。当 4 k+3b=0 时,b=4/3k,、W=K+b=-l/3k x=-y得：F F (n-1,3,-n-2)设平面B B 1 C1 C与平面DE F 所称角为Qc o s Q=|cos 0,点 P(1,用)，Q(1,-廊)因为0P_ L0Q,所 以 l-2 P=0,2 P=1,所以抛物线C 为：y：=xM(2,0),L：x=l 且圆M 与 L 相切，所以圆M 的方程为：X 2；+=(2)设 A l (y -儿)，A 2 (y2*y3),A 3 (冉 二 方)由抛物线及圆M 对称性，不妨设匕 0若A 1 A 2,A 1 A 3 中有一条切线斜率不存在，不妨设为A 1 A 2贝 i j：A 1 (3,V3)1 A 2 (3,-V,3).设 A 1 A 3：y-、=k (x-3)即 k x-y-3 k+y 3=0因为A 1 A 3 与圆M 相切,所以会 全 1解得：呻gnr 一-1-A iA!/yj+yi所以为=0，即 A 3 (0,0)此时，直线A 2 A 3与 A 1 A 3 关于x 轴对称，所以直线A 2 A 3与圆M 相切。若A 1 A 2,A 1 A 3 斜率均存在，则%：比1 且，%A1A3.Ttrm 一 廿”,5直线 A 1 A 2：即 x-(y,+y1)y +y,y1.=0同设 A 1 A 3：x-(力+j )y+m 4=0,宜线 A 2 A 3：x-(y,+)*,),+y,),=0因为直线A 1 A 2,A l 为均与圆M 相切,*W M 一,即:二 ，.二 1所以,f(2+为 以/=1 +闻+%尸K2 +分儿产=1 +8 +为产所以内、为关于 丫 的方程：(2 yyL):=1 +S -的两个根所以+一熟 y5H法设 M 到直线A 2 A 3 距离为d所以直线A 2 A 3与圆M 相切2 1：(1)f(x)定义域为(0,+)因为 a 0 且 a W l,所以 f (x)=b a-a：na,且 g a W Oi ax-所以 f，(x)5-击1 f lr所以f(x)增区间为(0,高)，减区间为(之，+)(2)题目等价于f(x)=l 在(0,+。)上有且只有两个解当 0 a l 时，二-0,所以 x-0Ifta h*所以f (x)0,所以f(x)=l 至少有一个解，所以a l此时I n a 。,4,将 f(x)定义域改为。，+8)又 y=x(a l)在(0,+8)上 f ,所以Ina得 到(1 )l n a l n(l n a),得到 l n a Tl n(l n a)(*)令 g(x)=x TTn x,x (0,+0)g (x)=l-0-l/x=(x-l)/x所以 g(x)g(l)=l-l-l n l=0由 a l 得到 l n a 0,得到：g(l n a)2 0所以，豆 为 1所以，a l 且 a We令 b二 a：，又 a l,所以bl则 f(x)=(T产 往 好由贝努力不等式得：b*=+(6*-1)*)-(1+(-l)x)X -1)当 x m a x x 0所以，i e(0,1),得到 f(x)w(0,1)由f(x)单调性可知:由x)=l,在(0,+)上各有一解。综上，a取值范围为(1,e)U(e,+8)2 2：(1)产 2&p c a Q,得到：r1+y2=2 x即：c：A-+1 二-0(2)C：(x-V2):+y:=2设 P（卬 yj,则向量AP=（/一 1%）向量A M=AP=（甘，号）所以向量Dl=向量0A+向量A M=弋）又因为M 在上，所以户*一0+觥=2即：四邛=2所以，Cl：（x v Z-3）:,+y 1:=4c i：卜=3-“+彳 由，Q CRI y =2sM圆心距 CC1=3-&-V?=3 20半径分别为2和v 2因为3-2V1 2 2-、2,所以C 在圆C 1 内部，没有公共点。当 X 4-：时，2x+3s0,2x-l 0,2 x-l 0-2 x-li 0g(x)=2x+3-(2x-l)=4(2)f(x+a)g(x)|x+a-212 g(x)n12-a+a-2|g(2-a)=g(2-a)g(x)当 xW；,g(x)M yf(x+a)当一sxm 时，g(x)=4x+ax+空 造-如生=5nf(x+a)=|x+a-2|=x+a-23 3*x+a-2-(4x-2)=a-3x-424 3 9 -4=：0综上，a 取值范围为岑，+8)