2021年北京市海淀区高考数学模拟试卷（一）（附答案详解）.pdf

2021年北京市海淀区高考数学模拟试卷（一）一、单 选 题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合4=x|x+l 3 0,8=口|%2研，若4 0 8 =/?,则实数。的值可以为（）A.2 B.1 C.0 D.-22.下列函数中，在区间（0,+8）上不是单调函数的是（）A.y=%B.y=x2 C.y=x+/x D.y=|x-1|3.已知等差数列斯的前项和为5,若S3=a 3,且。3芋0,则=（）A.1B.|C.2 D.34.不等式;1成立的一个充分不必要条件是（）A.0 x 1 C.0 x 15.如图，角a以。x为始边，它的终边与单位圆。相交于点P,且点P的横坐标为|,贝UsinG+a）的值为（）6.c YD.%0如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.B.7C.27rD.2国7.?E HM ABCD,AB/CD,设m=4 荏 +而(九 e R).若 +=|,则 曝=()A.i B.|C.1 D.28.已知函数/(x)=x3+x2-2x-k.若存在实数x(),使得/(一右)=-/(珀 成 立，则实数人的取值范围是()A.-1,4-0 0)B.(-0 0,-1 C.0,4-0 0)D.(-0 0,0 9 .一个盒中装有大小相同的2 个黑球，2 个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为()A.B.C.I D.216 72 9 271 0 .设集合A是集合N*的子集，对于i e N*,定义给出下列三个结IU,L a A论：存在N*的两个不同子集A,B,使得任意i N*都满足W i Q 4 n B)=0 且化(4 UB)=1；任取N*的两个不同子集A,B,对任意i N*都有eG4 n B)=8 i(4)-9 i(B)；任取N*的两个不同子集A,B,对任意i G N*都有份(4 U B)=劭(4)+心(8)其中，所有正确结论的序号是()A.B.C.D.二、单空题(本大题共4 小题，共 20.0分)1 1 .已知向量,=(1,2),方=(3,X),若五石，则实数x=.1 2 .函数f(x)=x-Vx-6 的 零 点 个 数 是.1 3 .如图，网格纸上小正方形的边长为1.从A,B,C,。四点中任取两个点作为向量方的始点和终点，则方.石 的 最 大 值 为.1 4 .已知数列 an 的通项公式为即=I nn,若存在p G R,使得厮 0,A,B,C是这两个函数图象的交点，且不共线.当3 =1,时，A B C 面 积 的 最 小 值 为；若存在4 4 B C 是等腰直角三角形，则3的 最 小 值 为.四、解答题(本大题共6 小题，共 85.0分)第2页，共20页1 6 .在(Jja1=3,CI 4 S2,。3 =2。5 =-0 1，%=2 2*。2 =S2 3 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的4 存在，求；I 的最小值；若4 不存在，说明理由.设数列 册 为等差数列，S”是数列%的前 项和，且_ _ _ _ _ _，%=8,bn=2%_ i(n 2 2,n e N*).记“=:,7n为数列 cn 的前 项和，是否存在实数九unluyzun使得对任意的n 6 N*都有7；A?1 7 .如图，在四棱锥P Z B C D 中，底面A B C O 为菱形,Z.A B C =6 0 ,PB =PC,E 为线段 8 c 的中点，F为线段P A 上的一点.(1)证明：平面P4 E L 平面8 c p.(2)若P4 =A B =畀8，二面角4-8O-F 的余弦值 为|,求 P O 与平面8 D F 所成角的正弦值.1 8 .根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X(单位：米)的频率分布直方图如下.将河流水位在 2 0,2 2),2 2,2 4),2 4,2 6),2 6,2 8),2 8,3 0),3 0,3 2),3 2,3 4 各段内的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位变化互不影响.(1)求未来4年中，至少有2年 该 河 流 水 位 26,30)的概率(结果用分数表示).(2)已知该河流对沿河A工厂的影响如下：当X 6 20,26)时，不会造成影响；当X 6 26,30)时，损失50000元；当 30,34时，损失300000元.为减少损失，AT厂制定了三种应对方案.方案一：不采取措施；方案二：防御不超过30米的水位，需要工程费用8000元；方案三：防御34米的最高水位，需要工程费用20000元.试问哪种方案更好，请说明理由.1 9.已知椭圆C的中心在原点,(1,0)是它的一个焦点，直线k过点尸与椭圆C交于A,B两点，当直线Z j x轴时，O A-O B=.(I)求椭圆C的标准方程；(II)设椭圆的左顶点为P,PA.PB的延长线分别交直线%:工=2于加，N两点，证明：以M N为直径的圆过定点.第4页，共20页2 0 .已知函数f(x)=詈.(I )判断函数/(x)在区间(0,1)上的单调性，并说明理由;(口)求证：/(%)2 1 .已知集合MUN*,且中的元素个数大于等于5.若集合M中存在四个不同的元素.a,b,c,d,使得a +b =c +d,则称集合何是“关联的”，并称集合 a/,c,d 是集合”的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”.(1)分别判断集合2,4,6,8,1 0 和集合 1,2,3,5,8 是“关联的”还 是“独立的”？若 是“关联的”，写出其所有的关联子集；(口)已知集合 的,。2，。3，。4，。5 是“关联的”，且任取集合%，%=，总存在M的关联子集A,使得 即%G 4若的 a2 a3 a4 a3,a4,Q 5是等差数列；(皿)集合M是“独立的”，求证：存在X 6M,使得x 或 华.4答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算.可以求出4=xx -1,根据4 U B =R即可得出a a ,且A u B =R,a 所以则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为P=%+2 +3=V +城+/=短.故选：人依题意，取球次数为4 次，即前3 次有两次取得黑球，一次取得白球,第四次取得白球.因为先取黑球，再取白球时取球概率不变，但是先取白球再取黑球时取球概率发生改变，故前三次取球应分哪一次取得白球进行讨论.本题考查了古典概型的概率.解题时要注意取到的球是否放回.本题属于难题.1 0.【答 案】A【解 析】【分 析】本题考查了命题正误的判断，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.对题目中给的新定义要充分理解，对于i G N*,例(4)=0或1,可逐一对命题进行判断,举实例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题.【解 答】解：对于i e N*,定义口(4)=：例 如4 =正奇数,8 =正偶数,二4 0 8 =0,4 U B =N*,.G 4 C B)=O；若方方，可得x =2 x 3 =6.故答案为：6.1 2.【答 案】1【解 析】第10页，共20页【试题解析】【分析】本题考查方程的根与函数零点的关系，求函数的零点，就是确定方程的根，也就是求函数的图象与X 轴的交点的横坐标.解方程，根据方程的根的个数，即可得出/(X)的零点个数.【解答】解：由题意可知久20 时，f(x)=x 4 一6 =0,可得(石/一 石 一6 =0,解 得 石=2(舍去)或y=3,x =9；函数/(%)=久一女一 6 的零点个数是L故答案为：L1 3 .【答案】3【解析】【分析】本题考查向量的数量积与投影的应用，向量的数量积最大，需要两个向量的模以及两个向量的夹角的余弦函数值的乘积取得最大值，转化为向量的投影值即可.【解答】解：由题意可知：a-b=a b|c o s =b|c o s 其几何意义是方在五方向上的投影值，由图形可知：向量方=时，投影值最大，且最大值为3.故答案为：3.1 4 .【答案】殍,+8)【解析】【分析】本题考查的知识要点：利用函数的导数求出函数的单调区间和最值,恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型.直接利用数列的关系式，进一步进行转换，再利用函数的导数的应用求出函数的单调区间和最值，进一步利用函数的恒成立问题的应用求出结果.【解 答】解：数列 即 的 通 项 公 式 为 即=若存在p R,使得即W pn对任意的n e N*都成立,故P (尊)max，设/(%)=詈,则/(%)=令 r(x)=1-lnx _0,解得x=e,0%e时，/0,x e时,fx)0,故函数的单调增区间为(0,e),函数的减区间为(e,+8),所以函数在x=e时函数取最大值,由于n e N*,当n=3时 函 数 值 为 等，当n=2时函数值为写，易 知 等 等,所 以P的取值范围是 嗫+8).故答案为：等15.【答 案】2nn2【解 析】【分 析】本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于一般题型.直接利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积.利用等腰直角三角形的性质的应用求出3的最小值.【解 答】解：当 3 =1 时，/(x)f2sinx,g(x)=&co sx,当AaBC面积最小时，如图所示：第12页，共20页所以第一象限的两个交点间的距离为一个周期2 兀，的高为鱼.史+=2.2 2所以：S&A B C=3 .2 兀 2 =2T T.当3 =1 时，A BC面积的最小值为2 兀；若存在4 4 B C 是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则生=2 -(V 2.-+V 2.-),3 2 2解得3的最小值为宗故答案为：2 兀；1 6.【答案】解：由砥=2 砥-1，1 可知数列%是等比数列，且公比q =2,又殳=8,则5=8 -2n-3=2n,所以&=2,可得及=当二上=2 门+1 -2,1 2若 选 =3,心=S 2 =22+1 2 =6因为数列。九 为等差数列，设等差数列 an 的公差为d所以3 d =3=3,即d =1,所以 Qn=3 +(n l)=n 4-2,“乂 n。/。欠仍 n(n+2)2 1 n n+2，Tn=l f 1 -1-1.1 _ _ 1 _ _ _1 L 1=2 _ 1 (-I J-)2 3 十 2 4 十 十 n-1 n+1 十 n n+2，4 2 n+1 +n+2 1 1711+8时向+工0,所以7 n +8口 寸,-0,n+1所以7；1此时入的最小值为1.若选，则%=62 2=2,取=$2 3=3,因为数列 册 为等差数列，设等差数列 an的公差为，所以d=a2 =1,所以=2+(九一l)x l=?i+l,M_ 1 _ 1 _ i_改 n dnlog2bn n(n+l)n n+19而 =1 一：+：-：4-F -=1-,n 2 2 3 n n+1 n+1彗 1+8时,一 ，1一；7 1，所以 1此时；l的最小值为1.【解析】由题中条件求得数列%的通项公式，再结合选择的条件，利用等差数列的通项公式及裂项相消法求解即可.本题考查等比数列、等差数列的通项公式及裂项相消法求数列的前项和，是中档题.17.【答案】(1)证明：在四棱锥P 4BCC中，底面A2C。为菱形，AABC=60,PB=PC,E为线段 BC 的中点，AB=AC,AE 1 BC,PE 1 BC,：AECPE=E,AE,PE u平面尸AE,BC _ L平面 PAE,BC u 平面 BCP,平面24E，平面BCP.(2)解：v BC I5?PAE,PA PAE,：.BC 1 PA,5l.BC/AD,.-.PA LAD,PA=AB=PB,PA2+AB2=PB2,.-.PA LAB,2 AB CtAD=A,AB,AD ABCD,：.PA JL平面 ABCD,第14页，共20页以A 为原点，分别以4E,AD,AP为 x,y,z轴，建立空间直角坐标系,设PA=AB=PB=V2，AF=t,2则8（彳,-4,0）,D（0,V2,0）,F（0,0,t）-前=（-苧，串0），福=（-转,t）,设平面BDF的法向量元=(x,y,z),O=oZ2y=y+t3V-22V2-2+42/2-前乔n-n平面ABD的法向量沅=(0,0,1),二面角4-B D-F的余弦值为|,A|cos|=r1=卜专5解得”咨.F（0,0,等），p（0,0,V2）,PD=（0,V2,-V2）,平面80尸的法向量元=（百,1,I）,设PO与平面BO尸所成角的平面角为e,则 与 平 面 8。尸所成角的正弦值：$出。=咽 当=工=也.|PD|-|n|2x-10【解析】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，属于中档题.(1)推导出AE 1 BC,PE 1 B C,从而BC JL平面PAE,由此能求出平面P4E 1平面BCP.(2)推导出P2 _ L 4D,P A L A B,从而P2 _ L 平面4BCD,以A 为原点，AE,AD,A尸为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PO与平面8。尸所成角的正弦值.18.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知河流水位X 26,30)的概率为P(Z)=(0.075+0.025)x 2=i,记“在未来4 年中，至少有2年河流水位X 6 26,30)”为事件A,则P(Z)=1 PG 4)=l-C j x|x )3 +c：(54=浅,(2)记A工厂的工程费与损失费之和为匕(单位：元)若采用方案一，则y的分布列为：Y050 0 0 03 0 0 0 0 0P0.7 80.20.0 2E（y）=0 X 0.7 8 +50 0 0 0 x 0.2 +3 0 0 0 0 0 x 0.0 2 =1 6 0 0 0.若采用方案二，则 丫 的分布列为Y8 0 0 03 0 0 0 0 0P0.980.0 2E（y）=8 0 0 0 +3 0 0 0 0 0 x 0.0 2 =1 4 0 0 0.若采用方案三：E（y）=2 0 0 0 0（元）.因为1 4 0 0 0 1 6 0 0 0 b 0),则a?炉=1，当k垂直于x轴时，A,B两点的坐标分别是(1,?)和(1,9),由 亚.南 =1一 盘=知a 2 =2 b4 由，消 去 处 W 2 h4-b2-l =0.-.b2=M2=-当按=1时，a 2 =2.因此，椭圆C的方程为 +y 2 =i.(I I)证明：由对称性，若定点存在，则定点在x轴上，设直线MN的方程为：x=m y+1,代入椭圆方程得(病+2)y 2 +2 m y-1 =0,设4 n,%),83,先)，则%+2 =一 券,、，2=岛,第16页，共20页直线P4，=击5+应)=(2,喘同理可得N(2,上 噜)再设7(t,0)在以MN为直径的圆上，则7 Ml 7 N,即 前 前=0.=(2 t)2+(2 +四)打,2(z+伪(犯+伪=0.=(2-t)2+(2+6)2 y/2m2y i y 2+(l+/2)m(y1+y2)+3+2 V 2=0.今(2 t)2 +一(2+夜)2-m2-2 7n2(l+V 2)+(3+2 V 2)(m2+2)0.,(2 +迎)2(2 -t)2 =-9=16 +4V 2解得t =1 或t =3,所以，以 MN为直径的圆恒过定点(1,0)或(3,0).【解析】(/)设椭圆C的方程为+，=l(a b 0),则a?炉=1,当匕 垂直于x 轴时，4,8两点的坐标分别是(1,9)和(1,一9)，由瓦？南=:知a?=2b 3 由此能求出椭 圆 C的方程.(U)由对称性，若定点存在，则定点在x 轴上，设直线MN的方程为：x=m y+l,代入椭圆方程，运用韦达定理，再设T(t,0)在以PQ为直径的圆上，则7 Ml TN,即 前 T N=0,运用向量的数量积的坐标表示，代入韦达定理，化简整理，即可得到T =1 或 3,可得定点.本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查向量垂直的条件，以及化简整理的运算能力，属于中档题.2 0.【答案】解：(I)函数f(x)在区间(0,1)上是单调递增函数.理由如下：由左)=詈,得/若;因为x 6 (0,1),所以1 0,I nx 0.X又因为e*0,所以尸(x)0 恒成立.所以门x)在区间(0,1)上是单调递增函数.(口)证 明 /(X)“等价于证明/(X)m a x .由题意可得，%e (0,+o o),因为/，(“)=亭，再令g(x)=-I nx,则 g Q)=_(_:0,g(e)=-1 0,故m(%)在(l,e)上单调递增，故?n(x)m(l)=e.因为%。W (L e),所以f(x)2 =奈3/所以f(x)a4 as 4=al a2 a3 as 人5 =。1，。2,。3,。4卜所以，M至多有5个“关联子集”，若A=%。3,。4,。5 为 关 联 子 集 ，=a2,a3,a4,a5,不 是 关联子集，否则&=a2,同理可得若&=%3，。4，。5 为“关联子集”，贝妹3,4不 是“关联子集”，所以集合例没有同时含有元素(1 2,。5的“关联子集，与已知矛盾.所以42 =的,。3，。4，。5 -定不是 关联子集，同理4 =的,。2，。3，。5 一定不是“关联子集”，所以集合M的“关联子集”至多为41，43,45，若为不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素。3,。5的“关联子集”，与已知矛盾；若小 不 是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素对，。5的“关联子集”，与已知矛盾；若4不 是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素的,。3的关联子集，与已知矛盾；所以，4,也 都 是“关联子集”，所 以 有+a5=C Z3+a4 即。5 -a4=3 -a20.1+(I5 =4 2 +。4，即-&4 =0-2-；+。4 。2 +，艮-。2 ；所以&5 -&4 =C I4 -。3 =C I3 a2 =。2 一。1，所以的，。2，a3。4，。5是等差数列.(W)不妨设集合M =a1,a2 ,an(n 5),a(G N*,i=1,2,n,且 a2 an,记7=t|t =a(+a；,1 i ;上 山，4所以任取x CM,X!2,因为XCN*,所以x w咳3,4 4后 二 l、l I n2-n+8 n2-n+8 d n2-n+8.n2-n oH 以四 +Oy 的一 心成立，所以an-Q n-iN 2,所F二以I”a,“n2-n+8.n2-n+8 Q n2-n Qn+an_i 进而利用反证法和等差数列的定义求解;(d)不妨设集合M =%,。2,，即(几 5),at G N*,i=1,2,n,且如 a2 ,an,记7 =t|t =a；+aj tl t j n,i,j e N*,进而利用反证法求解;第2 0页，共2 0页