2021年沪教版数学初三专题讲义04 证明两个三角形相似重难点专练.pdf

专题0 4证明两个三角形相似重难点专练第I卷（选择题）一、单选题1.如图，AABC是等边三角形，被一平行于B C 的矩形所截（即：FGBC）,若 AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是AABC的面积的（）A H 12.如图，在正三角形ABC中，点。、E 分别在AC、AB上，且寺;=三，A E=B E,则B.AED sC B DC.&AEDsXABD D.&BADS/BCD3.如图，在正方形ABC。中，A A B P是等边三角形，AP,B P的延长线分别交边CD于点E、F,联结4C、CP、AC与 8尸相交于点H,下列结论中错误的是（）A.AE2DEB.ACFP&APH C.ACFP fA P CD.CP?=PH PBA。24.如图，在 ABC 中，DEB C,若=一，贝 ij SA A D E：SA A B C等 于（DB 3)B.2：5C.4：9D.4：215.如图，每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形（阴影部分）与A 44G相似的是（）6.如图，在AABC中，点 ）、E分别在边AB、AC上，DE/BC,ZA C D=ZB,那么下列判断中，不正确的是（）A.ADE/XABC B.CDE/XBCD C.ADEACDD.ADE/XDBC7.下列说法中正确的是（）A.两个直角三角形一定相似B.两个等腰三角形一定相似C.两个等腰直角三角形一定相似D.两个矩形一定相似8.如图，已知。是AABC中的边BC上的一点，NBAD=NC,NABC的平分线交边AC于E，交AD于F，那么下列结论中错误的是（）A.BACABDAB.BFAABECC.BDFABECD.BDFABAE9.如图，在AABC中，O 是边A C 上一点，连接B D，给出下列条件:Z A B D =ZACB-,A B2=A D A C NA=NABD：A B B C A C B D.其中单独能够判定的个数是（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个10.下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（）A.都含有一个40。的内角 B.都含有一个50。的内角C.都含有一个60。的内角 D.都含有一个70。的内角11.如图，在 ABC与AAOE中，Z B =Z D，添加下列条件，不用得到AABC与A4OE相似的是（）A.N E=N Cc AB A DC-=-BC D EB.Z B A D =Z C A EA E D ED.-A C B C12.如图，在 ABC中，ZACB=90,CDLAB于点D,则图中相似三角形共有（）C.3 对D.4 对13.如图，平行四边形ABCD中，F 是 CD 上一点，BF交 AD的延长线于G,则图中的相似三角形对数共有（）C.4 对;D.2 对.第H卷（非选择题）二、填空题14.如图，已知矩形ABC。,A=3,45=1,将其折叠，使点。与点8 重合，折痕是E F,那么折痕E F的长是.-七15.如图，在口ABC。中，点 E 在 边 上，将AB E沿直线A E 翻折得到AFE，点B的对应点F恰好落在线段D E 上,线段A F的延长线交边C D 于点G,如果BE:E C 3:2,那么A F:F G 的值等于_ _ _ _ _ _ _ _ _.16.如图，ABC 中，AB=10,BC=12,AC=8,点 D 是边 BC 上一点，且 BD：CD=2：1,联结A D,过 A D 中点M 的直线将 ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边 BC、AC相交于点E、F,那么线段BE的长为.B D C17.如图，在中，NACB=90,AC=3,3C=4,。是AABC的角平分线,将 用AABC绕点A 旋转，如果点C 落在射线 8上，点 8 落在点E 处，连接E D,那么 NAED的正切值为.AO 218.在 AABC 中，D、E 分别在边 AB、AC,且 DEB C,又=-,贝 ijSAADE：DB 1S四也步BCED=_-19.已知如图，正方形ABCD的边长为4,取 AB边上的中点E,连接C E,过点B 作BFLCE于点F,连接D F.过点A 作 AHJ_DF于点H,交 C E于点M,交 BC于点N,贝 ij MN=.20.如图，在矩形ABC。中，作 O F J.A C,垂足为F,延长。F 交边AB于点,在图中一定和 OFC相似的三角形个数是 个.21.如图，梯形ABCD中，AD/BC,A B=D C,点 P 是 AD边上一点，联结PB、PC,且 AB?=AP P O，则图中有 对相似三角形.三、解答题22.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线=”+区+3 的图象与x 轴交于点 A(-1,0)和点B,与 y 轴交于点C,对称轴是直线x=1,顶点是点。.(1)求该抛物线的解析式和顶点。的坐标；(2)点尸为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBOC为梯形时，求点尸的坐标;(3)在(2)的条件下，点 E 为x 轴正半轴上的一点，当 tan(/P 8 O+/P E O)=3 时，2求 O E的长.备用图32 3 .如图，已知。是N B A C的边A C上一点，A Q=15,c o t/B AC=，点P是射线4A B上一点，联结P Q,。经过点A且与Q P相切于点P,与边A C相交于另一点。.(1)当圆心。在射线A B上时，求。的半径；(2)当圆心。到直线A B的距离为时，求线段A P的长；4(3)试讨论以线段P Q长为半径的。P与。O的位置关系，并写出相应的线段A P取值范围.2 4 .如图，A BC中，点。、E分 别 在 和A C上，点G是3 E边上一点，且Z B A D =N B G D =N C,联结 A G .(1)求证：B D B C=B G B E；(2)求证：Z B G A =Z B A C.B2 5.已知：如图，在四边形A B C D中，A B=A D，A C、B O相交于点E，A E C E =DEB E(1)求证：AB ESAACB；(2)如果 f V V2=OEDB,求证：AB E C=BC A E.26.已知ZAB C=9 0,AB =2，BC=3,AD!I BC，P为 线 段 上 的 动 点，点。（1）当4）=2,且点。与点6重 合 时（如图2所示），求线段P C的长；3（2）在 图1中，联结A P，当二，且点。在线段AB t i时，设点3、。之间的2s距离为X,吃 丝=y,其中川斯2表示AAPQ的面积，S“8c表示APBC的面积，求PBCy关于8的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当A D A 3,且点。在线段AB的延长线上时（如图3所示），求NQPC的大小.27.如图，正方形DEFG的边E F在AABC的边上，顶点。、G分别在边A 3、A C上，已知AA8C的边BC=1 5,高A”=1 0,求：正方形DEFG的边长和面积.28.如图，在矩形A8CO中，AB=3,B C =4,动点尸从点。出发沿。A向终点A运动，同时动点。从点A出发沿对角线A C向终点。运动，过点P 作 P E/D C,交AC于点E，动点P、0的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为秒，当点尸动到点A时，P、。两点同时停止运动，设 P E=y.善用，用图（1）求y关于4的函数关系式：（2）探究：当x为何值时，四边形PQ 3E为梯形？（3）是否存在这样的点p和点Q,使p、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.29.已知，如图，在四边形ABCD中，ZBAC=ZADC=90,且AC是AD、BC的比例中项.求证：DCJ_BC30.已知：如图，E、M 是 AB边的三等分点，E F/MN/BC.求：AEB的面积:四边形E M N F的面积:四边形M B C N的面积.31.如图，在平行四边形ABCD中，AC=72 A B.求证：ZABD=ZDAC.32.如图，已知抛物线y=or2+fev+c经过原点o (0,。)、A(2,0),直线y=2x经过抛物线的顶点B,点 C 是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，联结8C、OC、A B,过点C作 CEx 轴，分别交线段O B、A B于点E、F.(1)求抛物线的表达式；(2)当 2C=CE 时，求证：B C E s X A B O；(3)当/C 2 A=/B O C 时，求点C 的坐标.33.下面是一位同学的一道作图题：已知线段a、b、c(如图)，求作线段x,使 a:8=c:x他的作法如下：(1)以点0 为端点画射线O M,ON.(2)在 上 依 次 截 取。4=a,AB=h.(3)在O N 匕截取OC=c.(4)联结A C,过点B 作 B D/A C,交 ON于点D.所以：线段 就是所求的线段x.试将结论补完整这位同学作图的依据是如果0A=4,AB=5,AC=H 试用向量3 表示向量方.34.如图：四边形ABCD对角线AC与 BD相交于点O,0D=20A,0C=20B.(1)求证：AOBADOC；(2)点 E 在线段0 C 上，若 ABD E,求证：0D2=0E 0C.35.如图，ABC是等边三角形，点 D、E 分别在BC、AC,且 BD=CE,A D与 BE相交于点F.(1)试说明 ABDABCE；(2)EAF与 EBA相似吗？说说你的理由.3 6.已知如图，在四边形 ABCD 中，ZBAC=ZADC=90,AD=a,BC=b,AC=J拓，求证：DCLBC37.已知：如图，平行四边形ABC的对角线相交于点。，点E在边8 c的延长线上，且O E =O B,连接DE.(1)求证：D E B E；(2)如果 O E L C D,求证：B D C E =C D D E .参考答案1.c【分析】AB 被截成三等分，可得 AB=3AE,AF=2AE,由 EHFGBC,可得 AEHAAFGAABC,贝IJSAAEH：SA AFG：SA ABC=AE2：AF2：AB2.S ma-SA AFG-SA AEH-SA ABC.【详解】VA B被截成三等分，.AB=3AE,AF=2AE,：EHFGBC,/.AEHAAFGAABC,A SA AEH：SA AFG：SAABC=AE?：AF2：AB2-AE2：(2AE)2：(3AE)2=1:4:9,.1 SA AEH=SA ABC,SA AFG=4 SA AEH,91 1S 阳出尸 SA AFG-SA AEH=3 SA AEH=3X-SA ABC=-SA ABC*9 3故选择：C.【点睛】本题考查阴影部分面积问题，关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，找到阴影面积与 AEH的关系，由小AEH与 ABC的关系来转化解决问题.2.B【分析】4力 1本题可以采用排除法，即根据已知中正三角形ABC中，D、E 分别在AC、A B上，黑=:，AE=BE,我们可以分别得到：AAED、BCD为锐角三角形，BED、ABD为钝角三角形，然后根据锐角三角形不可能与钝角三角形相似排除错误答案，得到正确答案.【详解】A H 1由已知中正三角形ABC中，D、E 分别在AC、AB ,AE=BE,C-z J易判断出：AED为一个锐角三角形，BED为一个钝角三角形，故 A 错误；ABD也是一个钝角三角形，故 C 也错误；但 BCD为一个锐角三角形，故 D 也错误；故选：B.【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于可以直接根据相似三角形的定义，大小不同，形状相同，排除错误答案，得到正确结论.3.C【分析】A.利用直角三角形30度角的性质即可解决问题.B.根据两角相等两个三角形相似即可判断.C.通过计算证明NDPB,N D P F,即可判断.D.利用相似三角形的性质即可证明.【详解】解：；四边形ABCD是正方形，.,.ZD=ZDAB=90,ABP是等边三角形，二 ZPAB=ZPBA=ZAPB=60,二 NDAE=30。，AE=2DE,故 A 正确；VAB/7CD,二 ZCFP=ZABP=ZAPH=60,V NPHA=NPBA+NBAH=600+45=105,又：BC=BP,ZPBC=30,ZBPC=ZBCP=75,二 ZCPF=105,NPHA=NCPF,又易得NAPB=NCFP=60。，.,.C F P A A P H,故 B 正确；V ZCPB=60+75=135VZDPF,二APFC与4 PCA不相似，故 C 错误；V/PCH=NPCB-NBCH=75O-45=30,.,.ZPCH=ZPBC,VZCPH=ZBPC,/.PCHAPBC,.PC PHPBPC.PC2=PHPB,故 D 正确，故选：C.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.4.A【分析】Arj 7 AD 2由一=一 可 得 一=一，由 DEBC可得 A D E s A B C,根据相似三角形的面积比等DB 3 AB 5于相似比的平方即可得答案.【详解】.AD 2 ，DB 3AD 2AB 5：DEBC,/.ADEAABC,S、ADE AD,2,4 7 =()2=(一)2=.S.ABC AB 5 25即 SA A D E：SAABC 等于 4：25,故选A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键.5.B【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可.【详解】解：因为A A K G 中有一个角是135。，选项中，有 135。角的三角形只有B,且满足两边成比例夹角相等，故 选 B.【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型.6.D【解析】【分析】若是两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形相似，根据此判定作判断即可.【详解】点D、E 分别在边AB、AC上，DEBC,A D E s A B C,故 A 正确；：DEBC,NBCD=NEDC,NB=NDCE,.,.C D E A B C D,故 B 正确；VZACD=ZB,ZA=ZA,AAACDAABC,.,.A D E A A C D,故 C 正确：ADE与4 DBC不一定相似，故 D 不正确；本题选择不正确的，故选D.【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，要熟记这些判定定理才能灵活运用.7.C【分析】根据三角形、矩形相似的判定方法逐个分析，确定正确答案即可.【详解】解：A、两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，其他两个角度未知，故 A 不正确；B、等腰三角形的角度不一定相等，各边也不一定对应成比例，故 B 不正确；C、两个等腰直角三角形的对应相等，所以两个等腰直角三角形相似，故 C 正确；D、两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故 D 不正确；故选C.【点睛】本题考查了相似图形的知识，解题的关键是了解对应角相等，对应边的比相等的图形相似,难度不大.8.C【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断.【详解】:ZB A D=ZC,ZB=N B,/.B A C A B D A.故 A 正确.：BE 平分/A B C,A/A BE=/CB E,.,.B F A A B E C.故 B 正确.ZBFA=ZBEC,.,.ZBFD=ZBEA,.,.B D F A B A E.故 D 正确.而不能证明 B D F s/B E C,故 C 错误.故选C.【点睛】本题考查相似三角形的判定.识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角.9.B【分析】由图可知A A B D 与 A C B 中/A 为公共角，所以只要再找一组角相等，或夹/A 的两边对应成比例即可解答.【详解】解：VZABD=ZACB,ZA=ZA,.AABDAACB:VAB2AC AB A=AD AC,.=,ZA=ZA,A ABCAADB；AB ADNA=NABD,不能判定 ABDAACB；AC BCVAB BC=AC BD,A-=，ZA=ZA,ABC 与 ADB 不相似；AB BD故选：B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质.10.C【详解】试题解析：因为A,B,D给出的角40,50,70。可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故 A,B,D 错误:C.有一个60的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故 C 正确.故选C.11.D【解析】解：V ZB=ZD,NE=NC,A 故 A 正确；,：ZBAD=ZCAE,：.ZBACZDAE,:NB=ND,：./A B C A D E,故 B 正确;A R A n*-=-,N B=N D,;A BCsA。,故 C 正确；BC DEDE若一=，则需要/斤 N C,才能得到ABCs 故D错误.AC BC故选D.12.C【详解】V ZACB=90,CDAB,AAABCAACD,ACDsCBD,ABCsCBD,所以有三对相似三角形.故选C.13.B【分析】试题分析：根据平行四边形的性质，得到平行四边形的对边平行，即 ADBC,ABCD；再根据相似三角形的判定方法：平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似，进而得出答案.【详解】.四边形 ABCD 是平行四边形，；,ADBC,ABCD,.BECS/G E AM A B EsCEF,GDFSZG AB,DGFsZBCF,.G A B S/B C F,还有 ABC丝ZCDA（是特殊相似），共有6 对.故选B.考点：1.相似三角形的判定；2.平行四边形的性质.【分析】连接8。交 E F于点0,则。是 8。的中点，易证A 5O 根据相似三角形的对应的边的比相等，即可求得0 E 的长，再根据E F=2 O E 即可求解.【详解】如图所示，B 点与。点重合后，折痕为E F,连接8。交 E F交于点0,则 0 是 的 中 点，在凡中，B D=y/AB2+A D2=yJl2+32=V10-则。典，2。关于E尸对称，NEOD=90。，又,矩形ABC。中，4 4 =90,A ZA=ZE=5左，再证 明A O GS/XO R G,可得:AD=DG=AG=5k=一5，求解DF FG DG 2k 22 5FG=DG,AG=D G,从而可得答案.5 2【详 解】解：AABE%AFE:.NBEA=ZFEA，BE=FE，ZABE=ZAFE，CJABCDAD!IBC,AD=BC,ZB=ZADC，：.ZBEA=ZDAE=/FEA：.AD=DE.BE:EC=3:2设 BE=3左，则 EC=2%,:.BC=AD=DE=5k,:.DF=2k,ZDFG=ZAFE,:.ZDFG=ZADG,ZDGF=ZAGD,ADGsADFG,AD DG AG 5k 5DFFGDGk2,2 5:.FG=-DG,AG=-D G,5 2.AG _ 25F G-T AG-FG 25-4-FG-4AF_21“一、21故答案为：.4【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.16.2【分析】如图，过A作4V 8C交EF于N,设8E=a,AE=由三角形的周长关系可得：a+Z?=5,再证明：AANMSQ E M,利用相似三角形的性质求解AN=8 a,再证明：4VFS ACE可得：104a 出?=32,再解方程组可得答案.【详解】解：如图，过A作AN/BC交EF于N,设 BE=a,AF=b,AB+B E+A F=(AB+BC+AC),.10+a+b=；(10+12+8)=15,a+b=5,BD:CD=2:1,BC=12,.BD=8,CD=4,.DE 8 ci,M为 的 中 点,.AM=MD,AN/BC,3ANM S4DEM,AN _ AM-DEDM.AN=8 a,AN/BC,ANFsCEF,即:CE CF8-flb8-。+4-8-。.10Z?+4 a-出?=32,a+b=510。+4。-a/?=32Q=2解得：8=3或a=9b=4 a=9经检验：，不合题意，舍去，b=-A:.B E =2.故答案为：2.【点睛】本题考查的是三角形的相似的判定与性质，二元方程组的解法，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键.31 7.-7【分析】如图，过点D 作 DGLAC于 G,可得D G/BC,即可证明 A G D s/A C B,可得AG AC 3=一，由C D 是角平分线可得/ACD=45。，可得CG=DG,进而可求出A G 的长，DG BC 4根据勾股定理即可求出AD的长，根据旋转的性质可得AC=AC,AE=AB,根据等腰三角形的性质可得NCCA=45。，可得N C A O 90。，可得旋转角为90。，可得NDAE=90。，利用勾股定理可求出A B的长，根据正切的定义即可得答案.【详解】如图，过点D 作 DGLAC于 G,丫 NACB=90。，.,.DG/BC,AG AC 3.,.A G D-A A C B,可 得=，=一，DG BC 4：CD 是角平分线，二 ZACD=45,；.CG=DG,：AC=3,AC=AG+CG,37：.-D G +C G=3,即一OG=3,44解得：DG=,7i-15-=yDG2+AG2=将绕点A旋 转，如 果 点。落在 射 线C O上,AC=AC,AE=AB,.NCCA=NACD=45。,J NCAC=90。，旋转角为90。,ZDAE=90,V AC=3,BC=4,AB=5,3故答案为：【点 睛】本题考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，正确得出旋转角为90。并熟练掌握相关性质及定义是解题关键.18.4:5【分 析】由已知条件可证得 A D E s A B C,则 丝=匹，再根据已知条件，得 出 丝 =2,由AB BC AB 3相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求解.【详 解】如图：D,B CVDE/7BC,.,.ADEAABC,AD DE -，AB BCVAD：DB=2：1,.AD 2 ,AB 3.SyjAD E _ gSv ABC 9 SAA DE+S 四边彩D B C E=SA ABC,SA A D E：S|n)a)KB C E D=4:5.故答案为：4:5.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键.19.1【分析】如图，延长DF交 AB于 P.首先证明EF：CF=1：4,由 ADP四B A N,推出BN=AP,DP=AN,由 PED C,推出 PE：DC=EF：CF=I：4,推出 PE=BP=1,再证明NNCM=NNMC即可解决问题；【详解】解：如图，延长D F交 AB于 P.,四边形ABCD是正方形，AD=AB,ZABN=ZDAP=90,VA N!DP,.,.ZAPD+ZPAH=90,ZANB+ZPAH=90,；./A PD=/A N B,/.ADPABAN,；.AN=DP,BN=AP,VBF1EC,J ZEBF+ZBEF=90,ZBCE+ZBEC=90,:.ZEBF=ZBCE,tan ZEBF=tan ZBCE=-,BCVAB=BC,BE=AE,/.tan Z EBF=tan Z BCE=,2设 E F=a,则 BF=2a,CF=4a,.PE DC,.APEFS ADCF,.PE _EF*CD-CF-4VCD=4,.PE=1,VBE=2,APE=PB=1,A PF=-BE=1,AP=3,2在 RSA D P 中，DP=+4 2 =5,ADF=4,BN=AP=3,CN=1,:.BC=DF,，ZDFC=ZDCF,V ZBCE+ZDCF=90,ZFMH+ZDFC=90,ZFMH=ZNMC,/.ZNCM=ZNMC,AMN=CN=1.【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题掌握的压轴题.20.5【解析】【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似及相似三角形的传递性判定即可.【详解】；DF1AC.，Z CFD=ZAFD=ZAFE=90.：CD/AB,：.NCDF=NAEF,又,./CFZX/A FE,ACFDA AFE；：/ADF=NEDA,NAFD=NDAE,:.MADEH EDA；V ZAEF=ZDEA,ZAFD=ZDAE,：./D A E-L AFE；V ZDCF=ZDCA,NCFD=NADC,:.XCDF&CAD；V ZAEF=ZABC,NEAF=NBAC,.AE尸 ACB；:.C F D i A F E-A DFA X D A E-4 C D A f ABC.故答案为：5.【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形;平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似；根据两角相等的两个三角形相似；两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；三边对应成比例得两个三角形相似.21.3【详解】因为梯形 ABCD 中，AD/BC,AB=DC,所以/A =/D,又 A B2=A P P D，iA B P D所 以=A P C D所以 ABPADPC,所以/ABP=NDPC./APB=NDCP,X AD/BC,所以/APB=/PBC,ZDPC=ZPCB,所以 ABPAPCB,A PCBADPC,所以共有3 对相似三角形.292 2.产-(x-1)2+4,(I,4)；(2)(-2,-5)；(3)3【分析】(1)把 A(-1,0)代入抛物线的解析式，再由对称轴x=-2=1,列方程组求出a、b2a的值；(2)四边形P8DC为梯形时，则 P8CA 先求C。所在直线的解析式，再根据两个一次函数一般式中的k值相等求直线P B的解析式且与抛物线的解析式组成方程，解方程组求出点P的坐标；(3)过点尸作x 轴的垂线，构造以P 为顶点且一个锐角的正切值为之的直角三角形，再利2用相似三角形的性质求OE的长.【详解】解：(1)根据题意，得，6,，解得I：一二，-=1 0=2.2a，该抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；V y=-/+2X+3=-(x-1)2+4,.该抛物线的顶点D的坐标为(1,4).(2)如 图 1,A由 y=-/+2 x+3,得 C(0,3),8(3,0).设直线CO 的解析式为y=fcc+3,则 Z+3=4,解得k=l,，y=x+3；当四边形PBOC是梯形时，则 PBC),设直线P B的解析式为y=x+mf则 3+m=0,解得m=-3,/.y=x-3.由*y =x-3 得y =一r+2 x+3%=J i=X2=3-5 必=0：.P(-2,-5).(3)如图2,HF 5作PH_Lx轴于点H,在x轴正半轴上取一点F,使=ta n Z H P F-,连接PF.PH 2由(2)得，直线P 8的解析式为y=x-3,则G(0,-3),：.0B=0G=3.JPH/OG,:.NBPH=NBGO=NPBO=45。,，NHP尸=45+N fP8；5Vtan(NPBO+NPEO)=一，2，45+NPEO=45+ZFPB,：.ZPEO=ZFPB,又 V NPBE=NFBP(公共角)，:./XPBEsAFBP,.二 FB,BEBF=PB1PB5,:HF=-PH=22 2：.HF=2525 25x5=又 PH=BH=5,：.PB2=52+52=50,：.BE=50,2解得BE=,3【点睛】本题考查二次函数解析式、一次函数、锐角三角函数、相似三角形的判定.利用同角锐角三角函数转换角的关系是解题的关键，2 3.(1)-；(2)3 或9+3匹；(3)当。与。P 内含时，0C 4 P C 1 2.当。与。P 内2 4切时，AP 1 2.当。与。尸相交时，1 2 A P 1 8【分析】(1)解直角三角形求出PA即可.(2)分两种情形：如图，当点。在射线A 8的上方时，当点。在射线A 8的下方时，分别利用相似三角形的性质求解即可.(3)求出两圆内切时A P的值，条件。与A C相切于时4时，A尸的值，即可判断.【详解】解：(1)如图，.点。在 附 上，P Q是。的切线,：.PQAP,Ap 3V c o t Z M g=-5 7 7 =-，,可 以 假 设 办=3%,PQ=4k,则 A Q=5&=1 5,:.k=3,二 隙=9,PQ=2,9 。0的半径为一.2(2)如图，当点0在射线A B的上方时，过点。作Q K L A 8于K,过点0作于H.。是。的切线，J Z P H O=Z O P Q=/PKQ=90。,：NOPH+NQPK=9U。,N Q P K+/P Q K=9 0。,:./XPHOSAQ KP,.PH OHQKPK设%=2 m，则 A H=P =?,PK=9-2m,3/.m _ 49-2m3解得，或-3,23经检验，x=一是分式方程的解，且符合题意.2：.AP=3.如图，当点。在射线A 8的下方时，同法可得A P=9+3J万22综上所述，满足条件的AP的值为3 或 巴 之 叵2OHLAP,:.AH=PH,：.AP=2PHf QK=2PH,：.PA=QK=2,如图，当。O 与 AC相切于点A 时,32 ,：ZOAQ=ZOPQ=90,OQ=OQ,OA=OP,/.RI A OAQ丝RS OPQ(HL),：.AQPQ,OA=OP,.0。垂直平分线段AP,：.AP=2AH=IS,观察图像可知：当。与。P 内含时，0CAPV12.当。与0 P 内切时，AP=12.当。与。P 相交时，12VAp.BG AB；NGBA=ZABE,，AGBASAABE,，ZBGA=ZBAC.【点睛】本题考查了三角形的相似，熟练选择三角形相似的判定定理是解题的关键.25.(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)找到两对相同角即可证明相似(2)证明出AADEsARDA后可推出.【详解】证明：(1)AECE=DE BE=AADESBCE=ZADE=ZACBABADZADEZABE=ZACBZABE两个三角形有一公共角Z B A CABEACB.(2)D A1=D E D B=ADE B D A=45。为 等 腰 三 角 形 为 等 腰 三 角 形A D A E A B=-B C【点睛】E C B C E C4/7=A B E C=B C A E.本题考查四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题,26.(1)尸。=2 1；(2)y22 尤0 x 与的函数关系式，过 D作 BC的垂线D M,PBC求解P在 D点时，x 的最大值，从而可得x 的取值范围；(3)作 PE L A B 于 E,P F _L B C 于 F,结 合 已 知 条 件 可 证 放 4/后，则N E P Q=N F P C,利用角的和差关系可求得ZQ P C=90。，从而可得结论.【详解】解：如 图,：A D B C,ZA B C=90,N A=N A B C=90.当 A D=2 时，A D=A B,N D=/A B D=45,.ZP B C=ZD=45.丝=必=2=1P C A B 2，PQ=PC,/.ZC=ZPQC=45,.NBPC=90.or nr 。近 3/2.PC=BC*sin450=3 x-=-.2 2(2)如图，作 PEJ_AB 于 E,PFLBC 于 F,/ZABC=90,.四边形EBFP是矩形.:.PF=BE.又 NBAD=90。，PEAD,Rt BEPsRt R A D.BE BA A r 而 一而一1一，2设 B E=4k,则 PE=3k,PF=BE=4k.VBQ=x,/.AQ=AB BQ=2x.：.S.AQP=|AQ.PE=g(2 X卜3人,S.BPC=(BCPF=g x 3 x 4k=6%,S PB C(2_办3%6ky，2-x即k丁.过 D 作 BC的垂线DM,AD/BC,ZABC=90,四边形ABMD是矩形,3：.BM=AD=,23：.CM=,DM=AB=2,2在直角4DCM中,DC=lDM2+CM52当 P 在 D 点时，X最大，则 PC=DC=3,2而 丝=生PC AB35215,8丝5一2PQ=:得利用勾股定理得：AQ=y/PQ2-A D2=-,87所以此时8Q =A B A Q =；八 7/.0 x M 是 AB边的三等分点，.,.AEF,AMN,ABC 的相似比为 1:2:3,AAAEF,AMN,ABC 的面积比为 1:4:9,.,.AEF的面积：四边形EMNF的面积：四边形MBCN的面积=1:3:5.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质.熟练掌握相似三角形的判定与性质，并能进行推理计算是解决问题的关键.3 1.见解析.【分析】An根据A C=J5 AB证明-=-,从而可证得 A()B s/A B C,得对应角相等，同时再AB AC利用平行线所截的内错角相等得出结论.【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形，；.AC=2A0,ADBC,A C=72 AB,Z.AO=AB,2 AO _ 叵AB-V.AB AB _ V2 AC y/2AB 2.AO AB 一 -，AB ACVZCAB=ZCAB,/.AOBAABC,AZABD=ZACB,.ADBC,AZACB=ZDAC,AZABD=ZDAC.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形边、角、对角线的关系；在证明两角相等时，除了运用平行线、全等三角形外，还可以证明两三角形相似，得对应角相等.32.(1)y=-2/+4x；(2)详见解析；(3)【分析】(1)先求出抛物线的对称轴，再根据直线y=2x可得顶点B的坐标，然后利用待定系数法求解即可；(2)根据二次函数的性质得05=A B,从而ABCE和AABO是等腰三角形，再根据平行线的性质可得ZBEC=N B Q 4,从而可得ABCE和ZVU3O有两组对应角相等，即得证；(3)如图(见解析)，记CE与y轴交于点M,过点B作8N L C E,垂足为点N,由题(2)可知ZBEF=NBFE，再根据外角的性质可得NECO=N BCE,然后在R/A0CM和R M C N中,利用正切函数值列出等式求解即可.【详解】(1)抛物线 y=o?+法+。经过原点 0(0,0)、A(2,0).,.对称轴为x=1.直线y=2x经过抛物线的顶点B/.8(1,2)设 y=a(x-1尸 +2:抛物线经过原点0(0,0)a+2=0，即 a=-2y=-2(x-I)2+2=-2x2+4x故抛物线的解析式为y=-2x2+4x；(2)-.BC=CE：.ZBEF=ZCBE。石轴/BEC=NBOA.B(1,2),A(2,0),0(0,0)：.OB=AB=/5ZBOA=ZBAO：.ZCBE=ABEC=ZBOA=ZBAO:.BCE-ABO-.(3)如图，记CE与y轴交于点M,过点B作员V J_C E,垂足为点N设 C(m,-2m2+4根)，则 CN=m,OA/=2m2+4机8(1,2)BN=2-(-2，/+4m)=2+InT-4m,CN=m-NBEF=NBOC+NECO,ZBFE=ZCBA+ZBCE由(2)知，ZBOA=AB AO,CEUx:BE F =ZBFE=ZBOA=NBAO又/CBA=/BOC:EC O =NBCE：.tan/ECO=tan Z.BCE.CE x 轴:.NOMC=NBNC=9Q0：.tan NECO=,tan NBCE=CM CNOM BN-2irr+4m 2+2/n2-4m/.-=-,即-=-CM CN m m-3解得根=1或2=一2经检验，2=1不符合题意，舍去本题考查了二次函数的对称性、相似三角形的判定定理、正切函数值，较难的是（3）,在两个直角三角形中，找出一对相等的角是解题关键.33.C D；平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比一 9-例；03=7 C.4【分析】根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；根据“平行于三角形一边的直线截其它 两 边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；先证 Q A C s A O B O 得O A A C 9 9 9 ,即 二A C,从而知 DB=CA=-3 A C =-9 一-7 1.4444O B B D【详解】；B D/A C，A O A：A B=O C：CD,OA.=a,=b,