2021年北京各区中考一模分类汇编-18几何综合.pdf

初三一模几何综合分类整理共5题(典 型、倍长、标记猜、截长补短、无度数自己构造)1.(2021 朝阳一模)如图，在等腰三角形ABC中，ZBAC60 ,A B =A C ,D 为 BC边的中点，将线段AC绕点A逆时针旋转60。得到线段A E,连接8E交AD于点F。(1)依题意补全图形；(2)求NAFE的度数；(3)用等式表示线段AF,BF,EF之间的数量关系，并证明。2.(2 0 2 1 通州一模)已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转6 0,得到线段AC；再将线段6 尸终点8逆时针旋转1 2 0,得到线段80；连接AD,取 AD中点M,连接(1)如图L 当点P在线段CM上时，求证：PM/B D-,(2)如 图 2,当点P不在线段CM上，写出线段 9 与 CM的数量关系与位置关系，并证明.3.（2 0 2 1 燕山一模）如图，在正方形A B C。中，CD=3,P是C O边上一动点（不与。点重合），连接A P,点。于点E关于A P所在的直线对称，连接A E,P E,延长C B到点R使得B F=D P,连接E F,AFo（1）依题意补全图形1;（2）若。P=l,求线段E F的长；（3）当点P在 边 上 运 动 时，能 使 尸 为 等 腰 三 角 形，直 接 写 出 此 时 的 面 积。图 14.(2 0 2 1 石景山一模)在A B C 中，A B=A C,Z B A C =a(0 a 9 0),点 E 是A A B C内一动点，连接A E,CE,将a A E C绕点A顺时针旋转a,使A C边与A B重合，得到延长C E与射线B O交于点M（点M与点。不重合）。（1）依题意补全图形1;（2）探究Z A D M与Z A E M的数量关系为；（3）如图2,若。E平分/A O 8,用等式表示线段M C,AE,之间的数量关系，并证明。B5.(2 0 2 1 大兴一模)如图，等边 A 8 C 中，点 P是 B C 边上的一点，作 点 C关于直线A P的对称点D，连接C D,B D,作 A E _ L 8 D 于点。(1)若N%C=1 O ,依题意补全图形1,并直接写出/B C D 的度数；(2)如图 2,若 NFAC=a(T a 绕点E 逆时针旋转9 0。得到E F,连接B F.(1)如 图 1,点 E在 BC边上.依题意补全图1;若A B=6,E C=2,求 8 尸的长；(2)如图2,点 E在 8c 边的延长线上，用等式表示线段3。，B E,8 尸之间的数量关系，并证明.7.（2 0 2 1 房山一模）已知：在 A B C 中，N A =4 5,Z A BC=a,以 B C 为斜边作等腰Rt Z B D C,使得A,。两点在直线B C 的同侧，过点。作 D E L A B 于点E。（1）如图1,当1 =2 0。时，求/C D E 的度数；判断线段A E 与 B E 的数量关系；（2）若4 5 a 9 0 ,线段A E 与 B E 的数量关系是否保持不变？依题意补全图2,并证明。角含半 角 共 1 题8.（2 0 2 1 丰台一模）如图，在 A B C 中，N A C 8 =9 0 ，C A =CB,点 P在线段AB上，作射线C P （0 0 Z A C P 4 5）,将射线CP绕 点 C逆时针旋转4 5 ,得到射线CQ,过点 A作 AOLCP于点。，交 CQ于点E,连接8 E.（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段A O,DE,BE之间的数量关系，并证明.AB9.(2 0 2 1 门头沟一模)在正方形A 8 C D中，将边A D绕点A逆时针旋转。(0。9 0 )得到线段A E，A E与C。延长线相交于点F,过8作8 G A F交C F于点G,连接B E.(1)如图 1,求证：Z B G C =2 Z A E B；(2)当4 5 0 a 9 0 时，依题意补全图2,用等式表示线段A H,E F,D G之间的数量关系，并证明.1 0.12021 东城一模】已知N/VMN=3O。，点B为边A M上一个定点，点P为线段A B上一个动点(不与点A,8重 合)，点P关于直线A N的对称点为点Q,连接A Q,8 Q.点A关于直线BQ的对称点为点C,连接PQ,CP.(1)如图1,若点P为线段A 8的中点.直接写出NAQB的度数；依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；(2)如图2,若线段CP与8Q交于点D.设N 8Q P=a,求NCPQ的大小(用含a的式子表示)；用等式表示线段OC,DQ,OP之间的数量关系，并证明.猜造 构 全 等 共3题（标 记 的 重 要 性）1 1.（2 0 2 1 西 城 一 模）如图，在A B C 中，AB=AC,Z B A 0 9 00,。是A A B C 内一点，Z A D C=Z B A C 1,过点B作B E/CD交A D的延长线于点E。（1）依题意补全图形：（2）求证：Z C A D=Z A B E；（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与C O相等的线段并加以证明。1 2.（2 0 2 1 顺 义 一 模）如图，等腰三角形A B C中，AB=AC,于点。，N A =z.（1）求出N O C B的 大 小（用含a的式子表示）；（2）延长C D至点E,使C E=4 C,连接4 E并延长交C B的延长线于点E依题意补全图形；用等式表示线段E F与B C之间的数量关系，并证明。RC1 3.（2 0 2 1 海 淀 一 模）如图，在A B C 中，AB=AC,A B A C =40 ,作射线 CM,Z A C M=8 0 .O在射线CM上，连接A。，E是4）的中点，C关于点E的对称点为F,连接）尸.（1）依题意补全图形；（2）判断A B与 止 的数量关系并证明；（3）平面内一点G,使得D G =Q C,F G =F B,求N C D G的值.1 4.(2 0 2 1 平 谷 一 模)在 AABC中，Z A C B =9O,A C =B C,。是直线A3上一点(点 D 不与点A、B 重 合)，连接D C 并延长到E,使得C E=C D,过点E 作 E E _ L 直线5C,交直线BC于点尸.(1)如 图 1,当点D为 线 段 的 上 任 意 一 点 时，用等式表示线段E F、C F、A C 的数量关系，并证明；(2)如图2,当点D为 线 段 的 延 长 线 上 一 点 时，依题意补全图2,猜想线段E F、C F、A C 的数量关系是否发生改变，并证明；初三一模几何综合分类整理共5题(典型、倍长、标记猜、截长补短、无度数自己构造)1.(2021 朝阳一模)如图，在等腰三角形A8C中，ZB A C N,也拉少T D.T力丫:星M；LA D分*匕、:4/=A M.；MA/二。N:、吗M X N。c为 平 行 皿 财.4 c=W AcD7 /Ac，+ZND CD W、；“tcp t Z p e t t NDC 引 衬：咛 丛 二4 M仆p八A AC户 港 仅L三 患 弓.4 4 cp=，分p c=年 AC-A-p-：24 1P+Z PcD*2 NDC-|#t、4?C P-t Z 2?o”、p c 8。鼠&CJ =ZBP C.，N”C+D C =/X彳 Z 3 Z N 二.，即C.B户二卬)?.A咏虬A g C)八 f e e cf tN 乙p g c=，N夕p、；12;心:、Z f t MC-9 o L小3 e Z Z/P/ZB D:、少 那 十 牛 尺 二 1B 5 N.z N8 c-z p a。S/X,3 /MBe;右 :/o n K =-A/J8AA队.H3.(2021 燕山一模)如图，在正方形A 8 C D 中，8=3,P 是 C D 边上一动点(不与。点重 合)，连接A P,点。于点E 关于A P 所在的直线对称，连接AE,P E,延长C B 到点F,使得B F=D P,连接EF,AF.(1)依题意补全图形1;(2)若。P=l,求线段E尸的长；(3)当点尸在8 边上运动时，能使 AEF为等腰三角形，直接写出此时A D 4P 的面积。.解：(1)补全图形如图1 所示.-2分(2)如图2,连接BP.点。与点E 关于A P所在的直线对称，：.AEAD,NPAD=NPAE.,四边形AB C D是正方形，：.ADAB,/D=NABF=9 0.又 DP=B F,：.ADPg /AB F.-3 分：.AF AP,ZF AB=ZPAD.：.ZF AB ZPAE.：.Z F AB+ZB AE=ZPAE+ZB AE.：.NF AE=/PAB.：./F AE/PAB(SAS).-4 分：.EF=B P.四边形 ABCD 是正方形，BC=CD=AB=3.：DP=1,：.C P=2.在 Rt 回 8 cp 中，B P=EF=屈.一5分图 2(3)当点P 在 C。边上运动时，若使M E F 为等腰三角形，则?Q 或？9MA P的面积是2 47 分(3)问解题思路：1.因为4 A B F 为直角,所以A F A B,即 AFAE,只有AF=EF或 AE=EF时成立2.用方程的思想求解:设DP=x，则 PC=3-x,.EF=BP二 二 衣6-*6计，AF=AP=厢十甲=山环当 A F=E F 时，;解得 x=3/2 即 DP=3/2.,6 DAP=l/2x ADx DP=l/2x 3 x 3/2=9/4当 AE=EF 时，3=屿就十町 或者：AE=AD=3,，EF=3解得 x=3 DP=3（即 P 与 C 重合）；.SZ DAP=1/2XADXDP=1/2X3 X3=9/229 或？Q综上，DAP的面积是2 4.4.（2021 石景山一模）在 ABC 中，AB=AC,ZB A C =a（0 a 9 0）,点 E 是 ABC内一动点，连接AE,C E,将 4 EC绕点4顺时针旋转a，使A C边与A B重合,得至必4。8,延长C E 与射线8。交于点M （点 M 与点。不重合）。（1）依题意补全图形1;（2）探究与N A E M 的数量关系为；（3）如图2,若 O E 平分N A O 3,用等式表示线段MC,AE,8。之间的数量关系，并证明。.解：（1）补全图形如图所示（两种情况画出一种即可）.2 分（2）Z A D M =N A E M 或 Z A D M+Z A E M=18 0.4 分E(3)线段M C,AE,6。之间的数量关系是：儿证明：由作图可知人 4 5。0/VICE./.Z A D B =Z A C,AD=AE,B D=C E.,/DE 平分 NADB ,.ZADE=NB DE.1C =A E+B D .5 分A1BC,/AD=AE,.ZADE=ZAED./.ZBDE=ZAED./.AE/BM.ZDAE=ZADM,.又 ,ZAEM=/A D M,.ZDAE=ZAEM,ZADM=ZM./.OE=OAf OM=OD.OE+OM=OA+OD/.EM=AD=AE t.MC=EM+CE,/.MC=AE+BD.7 分5.(2021 大兴一模)如图，等边 A8 C中，点 P是 B C 边上的一点，作 点 C 关于直线AP的对称点D,连接CD,8 D,作 A E L B D 于点E。(1)若N P AC=1O ,依题意补全图形1,并直接写出/8 C。的度数；(2)如图 2,若 NPA C =a(T a,CD,AE之间的数量关系是AE=CD+也BD2在AE上截取AF=C),连接BE ABC是等边二角形,：.AB=AC.又*：4BCD=/BAE,84 金BCD：NABF=NCBD,BF=BD.：.ZFBE=ZABC=60.：.EF=BF sin 60=BF=BD.2 2h：.AE=AF+EF=CD+BD.2(2)法2：证明：如图丁点C,。是关于直线A P的对称点/.AC=AD.*.*/ABC是等边三角形，AB=AC=BC=AD:.B、D、。在以A为圆心的圆上：.ZBCD=-ZBAD2AD,AELBD,:/BAE=/DAE=L/BAD2:./BCD =/BAE法2：用等式表示线段BD,CD,AE之间的数量关系是AE=CD+是BD2过点B作CD的垂线B F,交.C D 的延长线于点尸,A20。B I Dc.ABC是等边三角形,:AB=BC.9AEBD,BFCFf：.ZAB=90,ZCFB=90,NAEB=NCFB：.ABE/XCBF.：.BE=BF,NABE=/CBF,AE=CF即 ZABC+Z CBD=Z CBD+Z DBF又 ZABC=60：.ZDBF=ZABC=60在 RtA DBF 中，：.DF=BD sin 600=BD.2；CF=CD+DF：.CF=CD+BD.2又；CF=AE,AE=CD+BD.2 K 字图共2 题6.（2021 延庆一模）在正方形A8 CZ）中，点E在射线BC上（不与点8、C重合），连接DB,D E,将C E绕点E逆时针旋转9 0。得到E F,连接BF.（1）如图1,点E在B C边上.依题意补全图1:若A8=6,EC=2,求8尸的长；（2）如图2,点E在8C边的延长线上，用等式表示线段8 D,BE,B尸之间的数量关系，并证明.答案.（1）.2分解法一：作FMLCB延长线于M：./F M B=9 0。正方形ABCD：.ZDCE=90,JDELEF：.NMEF+NDCE=90：.NMEF=NEDCV Z DC=Z F M B=9 0,EF=DE:Z E M g X EDC.3分:.EC=FM=2,DC=ME=6:.MB=2中，BF=2 近(2)解法一：或 BE=BD+BF证明：作于M.4分.5分可证 FEM9 K EDCCE=MF,ME=DC：.ME=BC：.BM=CE=MF在R t A BMF和R t A BCD中，由勾股定理得BC=器,CE=BM=窄V 2 V 2；BE=BC+CE RR _ BD BF:.a B E =BD+BF.7 分、解法二：在 CD上截取C G=C E=2,则在RtZECG声，GE=2近.,正方形ABC。ZDC=90,Z GDE+ZDEC=90：DE LEFNBEF+NDEC=9。.,正方形ABCD：.BC=CDBC-CE=CD-CG,即 BE=GD,:EF=DE：./F E L EDG：.BF=GE：.BF=2近解法三：以点E 为圆心,EB长为半径画弧，交 BD于点 G,过点G 作 G H CD 于点H,则 EG=EB,GHD为等腰直角三角形。.,正方形ABCD二 ZBGE=45,ZGB=90,Z/C=90JDHA.CD：.ZGHC=90：.四边形ECHG为矩形CE=GH=2,DG=2V2,ZGEB=90:DELEF：.NOE尸=90A ZDEF-ZGEF=ZGB-,ZGEF,即 N)EG=NFEBVDE=FE,GE=BE,.,.FEBA DEG：.BF=GD=2V2(2)解法二：V2BE=BD+BF证明：连接D E,过点E作C E的垂线交BD延长线于的延长线于点G可证 GDE9X BFE：.BF=DG,BE=GE在R S BEG中，由勾股定理得：2BE=BG：BG=BD+DG:.近 BE=BD+BF4 G7.(2021 房山一 模)已知：在a A B C中，N A=45,Z A BC=a,以BC为斜边作等腰B D C,使得A,。两点在直线BC的同侧，过点。作D E LA B于点。(1)如图1,当a =2 0 时，求/C D E的度数；判断线段AE与BE的数量关系；(3)若45 a 9(?,线段A E与BE的数量关系是否保持不变？依题意补全图2,并证明。解(1)：ABDC是等腰直角三 角 形ZBDC=45/CDB=90。V ZABC=a=20 A ZABD=25V DE 1AB ZBDE=90-ZABD=65,ZCDB=9O0,.-.NCDE=900-NBDE=25(2)AE=BE证 法(一)如图1延长D E,与AC的延长线交于点F,过点C作CG_LDF于G；DE1AB,NA=45/.ZF=ZA=45,AE=FE VCG/AE ZFCG=450=ZF.，.CG=FGABDC 是等腰直角三角形，二 DC=DB,Z2+Z3=9O0,Zl+Z3=90 Z1=Z2在ADCG 和ABDE 中，由于NCGD=NDEB=90 Z2=Z1,DC=DB/.ADCG=ABDECG=DE=FG,DG=BE FE=DG AE=BE证 法（二）作CG1AB于G,过D点作DF_LCG交C G的延长线于F,；NEG F=NF=NGED=900/.四边形 GFDE 是矩形/ABDC是等腰直角三角形二DC=DBNCDB=NCGH=90,/ZCHG=ZDHB A Z 1=Z 3在ACFD 和ABED 中 V Z 1=Z 3 ，ZF=ZDEB=90 DC=DBB：.ACFD=ABED CF=BE DF=DE,矩 形 GFDE 是正方形.-.GE=GF ZA=45 CG1AB ZACG=ZA=45 AG=CGAG+GE=CG+FG AE=CF=BE/.AE=BE证 法（三）取BC的中点F,连接D F交A B于H,在A B上截取BG=DE J ABDC是 等 腰 直 角 三 角 形DFJ_BC D F=B C =BF2 J NDEH=NBFH=90。，ZEHD=ZFHB ZEDF=ZGBF在ADEF 和ABGF 中 V DE=BG,ZEDF=ZGBF,DF=BFADEF=ABGF/.FE=FG ZEFD=ZGFB /D E B =90 NEFG=90,/.ZFEH=45c,BF BE,/Z A=4 5 N A=/F E B /.EF/AC 一=1 ,AE=BECF AE（2）证 法（一）过点C作C G 1 D E,交E D的延长线于G,EG交A C于H/ABDC 是 等 腰 三 角 形DC=DB,ZCDB=90故 NCDG+NBDE=90/DE1AB.ZDBE+ZBDE=90 A ZCDG=ZBDE在ACDG、ADBE 中，由于 ZCDG=ZBDE,ZCGD=ZBED=90 DC=DBACGD=ADEB 从而 DG=BE,CG=DE/ZA=45,GE1AB ZAHE=ZA=45 AE=HEZCHG=ZAHE=45=ZGCH GH=GC=ED;.GD=EH:.AE=BE证 法（二）:作 CF_LAB 于 F,由法一得 ACGD=ADEB.-.CG=DE,DG=BE设 CG=m=DE,DG=n=BE/ZCGE=ZGEB=ZCFE=90矩形 GEFC,CF=GE=m+n EF=CG=m,/ZA=45 CF1ABZACF=ZA=45，AF=CF=m+nzBF=BE-EF=n-m/.AB=AF+BF=m+n+n-m=2n AE=AB-BE=2n-n=n 故有 AE=BE证 法（三）：过点C作CF1AB于F,过点D作DIVLLCF于MJ DE1AB ZDEF=ZEFM=ZDHF=90/.四边形 DEFM 是 矩 形NEDM=90。/ABDC 是等腰直角三角形/.CD=BD ZCDB=90 ZCDM=ZBDE在ACDM 和ABDE 中，NDMC=NDEB=90/CDM=NBDE CD=BDACDM=ABDE CM=BE DM=DE/.矩形 DEFM 是正方形 MF=EFJ ZA=45 CF1AB NACF=NA=45/.AF=CF；AE=CM=BE AE=BE证 法（四）以点D为圆心，DC长为半径作圆DVABD C是等腰直角三角形/.DC=DB,ZCDB=900.点 B 在圆 D 上假设点A在圆D内，延长BA交圆D于A,连接 C A,V Z C A，B=-Z B D C=4 5 2N B A C=/B A C+/A C A=45。故 A 与 A 重合，点 A 在圆 D 上;同理，点A也不能在圆D外，DA=DB V DE1AB AE=BE证 法（五）取BC中点F,连 接DF、E F,在A B延长线上截取BG=D E,连接 BDC 是等腰直角三角形，DF1BC,D F=-B C=B F2/DE1AB,ZDEB=90,ZDEB+ZDFB=180/ZEDF+ZEBF=180 ZFBG+ZEBF=180 ZEDF=ZGBF在AEDF和AGBF中，V DE=BG,ZEDF=ZGBF,DF=BF AEDF=AGBF/.EF=GF,NDFE=NBFG/DFB=90/./EFG=90/./FEG=45AE CF ZA=45/.ZA=ZFEG,t EF/AC/.-=1/.AE=BEBE BFFG.角含半 角 共 1 题8.（2021 丰台一模）如图，在 ABC中，N A C 8 =9 0,C A =C B,点 P在线段A B 上,作射线CP CO Z A C P ,DE,B E 之间的数量关系，并证明.,得到射线C Q,过解：（1）如图所示:C（2）AD+BE=DE.法 1：证明：延长D 4至尸，使。尸=O E,连 接 CF.：ADLCP,DF=DE,：.CE=CF,：.N D C F=N D C E=4 5。,：/ACB=9 0,/.NACD+NECB=45,ZDCA+ZACF=ZDCF=45,：.ZFCA=ZECB.在人。尸和4 5C E中，CA=CB NACF=NBCECF=CE：.AC FABC E.：.AF=BEt：.AD+BE=DE.法 2：证明：在。E 上截取。尸，使得Z)F=AO,连接CF.；ADLCP,DF=AD,：.CA=CFf ZACD=ZFCD :CA 二 CB,：.CF=CBV ZACB=90,ZDCE=45,A ZACD+ZECB=45,ZFCD+ZFC=45,ZFCE=ZECB在 FCEIA BCE 中，CF=CB J 二 CM）、EF二&1）十书小I1 0.【2 0 2 1 东城一模】已知/M A N=3 O。，点 B为动AM上一个定点，点 P为线段A B 上一个动点(不与点A,B重 合)，点 P关于直线AN的对称点为点Q,连接AQ,BQ.点 A关于直线B Q 的对称点为点C,连接P Q,CP.(1)如图1,若点P为线段A 8 的中点.直接写出N A Q 8 的度数；依题意补全图形，并直接写出线段CP 与 A P 的数量关系；(2)如图2,若线段CP 与 B Q 交于点D.设N B Q P=a,求/C P Q 的大小(用含a的式子表示)；用等式表示线段。C,DQ,D P 之间的数量关系，并证明.(1)解：N A Q B=9 O；补全图形，如图1，CP=3AP.3 分(2)解：如图2,连接CQ,点R点 Q关于直线/V 对称，点 4点。关于直线8 Q 对称,AP=AQ=CQ,ZPAN=NQ/W,NCQB=ZAQB.-.-ZMAN=30,ZPAQ=60./。为等边三角形.：.AAQP=6Q,PQ=AQ.CQ=PQ.：.L C-/-C P Q.MBPAZBQP=a,Z.CQB=60+a.:.ZCQP=60+2a.ZCPQ=O)o-a.5 分 结 论：DC=DP+DQ.【法 1】证 明：D Q =NCPQ+NBQP,ZCDQ=60.在。上截取。连 接F。州为等边三角形.QE=QD.ZDEQ=ZEDQ=6Q.:.ZCEQ=ZPDQ=20.;N C =NCPQ,CQ=PQ,/CEQ APZ)2(AAS).;.EC=DP.DC=EC+DE=DP+DQ.7 分【法 2】AMBP猜造 构 全 等 共3题（标 记 的 重 要 性）11.（2 0 2 1 西 城 一 模）如图，在A B C 中，AB=AC,N 8 A C9 O。，。是川（：内一点，Z A D C=Z B A C o过点B作BE/CD交A D的延长线于点E。（1）依题意补全图形；（2）求证：Z C A D Z A B E；（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与CZ）相等的线段并加以证明。图 解（略解）：问（3）问略证:截 取8G=A D,黄绿8GO三粉红ADC（SAS）：设 NABG=NADC=（z;N8AG=NACD=/?,则 NAGE=a +;NCE=a +夕（三角形外角等于不相邻内角和）；B E/C D =Z C D E =Z A E G =a +j3（两直线平行，内错角相等）故CD=AG=A标 准 答 案（详解）：2 7.（本小题满分7 分）（1）解：补全图形如图6 所示.图51 分(2)证明：如图7,延长BE至点F.V 8EC Q,点尸在BE的延长线上，:.ZADC=Z.V N4DC=NBAC,：.Z=ZBAC.N 1是/B E 的外角，:.Z=ZABE+ZBAE.:.ZABE=N1-/BAE.又丁 ZCAD=ABAC-ZBAE,:./CAD=AABE.3 分(3)AE.4分证明：如图8,延长BE至前F,在B E 上截取BG=AD,连接AG.由(2)得=又丫 AB=AC,:.ABGW4CAD.：.4G=CD,/BGA=NADC.V ZADC=Z,J Z=ZBGA.:4G E+/5G 4=180o,Z2+Z1=18O,:.4 G E=N 2.:.AE=AG.：.AE=C D.图8.7分12.（2 0 2 1 顺 义 一 模）如图，等腰三角形A B C中，AB=AC,C _ L A B于点力，Z A =c z.（1）求出/O C B的 大 小（用含a的式子表示）；（2）延长C O至点E,使CE=A C,连接4 E并延长交C B的延长线于点F.依题意补全图形；用等式表示线段E F与8 c之间的数量关系，并证明。A 解：:AB=AC,.LABC=LACBAA=a,LABC=LAC B=-=9 0-.2 2CDAB,：.ZDCB=900-Z4BC=90-(90a/2)=a/2.(2)分2、解法一：线段EF与BC之间的数量关系为BC=夜EF.证明：过 点 分 别 作AN _LCF,EM1.CF于M M两点./.ZEMC=ZANC=90.：AB=AC=CE,.z i=Z 2=p CA/=|BC,NAEC=NEAC,.,.CEMA4CA/,：.EM=CN=BC.：ZAEC=ZF+Z2,ZEAC=ZFAN+Z1,：.ZF=ZFAN=45,A Z 3=45./F：.FM=EM=CN=BC,在 RtAEFM 中,EF=y/2EM,7分E,、解法二：线段EF与BC之间的数量关系为BC=2EF证明：作点E关于CF的对称点M,连 接FM,EM,CM.根据对称可知：ACE&ACM F,CM=CE,/ECM=a.：CB=CA=CE=CM,ZBAC=ZECM=a,：./BAC/ECM,：.EM=BC,/在 RtZXCDA 中，ZCAD=a,NACD=90-a,：.ZAEC=fl80-NACD六45+|a,NEFC=/AEC-/ECF=(45+1a)呆45NEFC=NMFC=45在等腰直角下中,EM=V2EF,：.BC=y2EF13.(2021 海 淀 一 模)如 图，在aA BC 中，AB=AC,ZfiAC=4 0 ,作射线 CM,80.O在射线C M上，连 接A。，E是4)的中点，C关于点E的对称点为尸，连接。F.(1)依题意补全图形；(2)判断4 3与 止 的数量关系并证明；(3)平面内一点G,使得DG=Z)C,FG=FB,求NCDG的值.图解E是4）的中点，C关于点E的对称点为F n 四边形A 8尸为平行四边形（对角线互相平分）F D=A C=A B(3)问：尺规作图多种情况展示(1)下图即为所求(2)A B与。尸的数量关系是AB=OF.证明：点产与点C 关于点E 对称，CE=FE.：E 是 的 中 点，AE=DE.,/NAEC=NDEF,，AEC 名 ADEF：.AC=DF.：ABAC,:.AB=DF.(3)如图所示，点G的位置有两种情况.点G与点C在直线。尸同侧时，记 为 连 接AR,:AE=DE,CE=EF,四边形ACO尸是平行四边形.J AF=CD.,:DGi=CD,:.DG=AF,:AB=DFf BF=FG1,：./ABF g。尸G.:.NFDG=/B A F.,:D4C。产中，/C A F=/C D F,：.NFDG、一 /C D F =NBAF-NCAF.NCG=N8AC=40。.点G与点C在直线。尸异侧时，记为G2,:DG=DG2,FG)=FG2,DF=DF,：.ADFGj g DFG2.:.NDFG=ZDFG2.24C。/中，AC/DF,ZACD=80,Z CDF=180-ZACD=100./由，ZCDGj=40,/FDG=ZACD+4CDG=140.ZFDG2=140.ZCDG2=360-4CDF-ZFDG2=120.综上，ZC D G 的度数为40。或 12014.（2021 平 谷 一 模）在AABC中，ZAC B=9O,A C =B C,O 是直线A 3 上一点（点 I）不与点A、B重合），连接DC并延长到E,使得CE=CD,过点E作 E b _L直线,交直 线 于 点 尸.（1）如 图 1,当点D 为线段A B 的上任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；（2）如图2,当点D为线段8 4 的延长线上一点时，依题意补全图2,猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明；量关系结论：AC=EF+FC.证 法（一）.过D 作 DH J_CB于 H,：EFJ_CF 于 FNEFC=NDHC=90VZFCE=ZDCH,EC=DC.FECAHDC（AAS）.；.CF=CH,DH=EFV ZAC B=90,A C B C,.DH=HB=EFAC=BC=CH+BH=CF+EF.证 法（二）延长C F到 H,使 FH=FE连接HEVEFBCZH=45ZAC B=90,A C B C.NB=45=NHVZHCB=ZBCD CE=CD；./B=45 AHCEABCDACH=BCVCH=FH+CF即 AC=EF+CF.，EF+CF=BC=AC证 法（三）过点D 作 A C的垂线于H；Z A C B =90。，AC=BC：.HDBC ZB=45=ZADH/.AH=DH ZHDC=ZDCB=ZFCEVCE=CD/.AHCDAFEC；.DH=CF=AH HC=EFVAC=AH+HCAC=EF+CF图 1(2)依题意补全图形.4结论：EF=FC+AC.5线于H证 法(一)：如图2过 D 作 DH_LCB交 BC的延长线于H,：EF_LCF 于 FZEFC=ZDHC=90DC=ECVZFCE=ZDCH,EC=DC/.FECAHDC（AAS）.6；.CH=FC,DH=EFZACB=90 AC=BCZB=45VDH1BC；.DH=BH=EFEF=CH+BC=CF+AC.7图 2图 3证 法（二）如图3作 D H L C A,交 C A 的延长VEF1BC，CHEF二 ZDCH=ZEZH=ZCFE=90.,.DHCACFE；.CH=EF DH=CFNACB=90 AC=BCA ZB=45=ZBACZDAH=ZCAB=45ZH=90；.AH=DH=CFVCH=AH+ACEF=CF+AC证 法（三）在 E F 上截取F H=CF,连接CHVEF1BCA ZFHC=45/.ZCHE=135V ZACB=9O0,AC=BCZCAB=45,ZDAC=135=ZCHEVAC/7EFAZDCA=ZEV DC=EC/.DACACHE，CA二 EHVEF=EH+FH/.EF=CF+AC