2021年北京市海淀区中考数学一模试卷（含解析）.pdf

2021年北京市海淀区中考数学一模试卷一、选 择 题（共 8 小题）.1.如图是某几何体的三视图，该儿何体是（）A.圆柱 B.球 C.三棱柱 D.长方体2.2021年 2 月 2 4 日6 时 29分，我国自主研制的首个火星探测器“天问一号”成功实施第三次近火制动，进入近火点280千米、远火点59000千米、周 期 2 个火星日的火星停泊轨 道.将 59000用科学记数法表示应为（）A.0.59X 105 B.5.9X105 C.5.9X 104 D.5.9X1033.七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形中，是轴对称图形的是（）4.如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4 个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种颜色，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向白色区域的概率AA.-1-DD .-1-4 2c.-4D.15.已知正多边形的一个外角等于6 0 ,则该正多边形的边数为（)A.3 B.4C.5D.66.实数。与 b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（)b a i i i-5 4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5A.V 0 B.a0D.ab7.已知x=1 是不等式2 x -b X1 9 .如图，点 3,E,C,F在一条直线上，AB/DE,AB=DE,B E=C F.求证：Z A=Z D.2 0 .已知2+。-1=0,求代数式(+2)(-2)+a(+2)的值.2 1 .如 图，矩形A 8 C D 中，点 E在 BC上，AELED.(1)求证：A B E s E C D；(2)尸为AE延长线上一点，满足E F=A E,连接。尸交BC于点G.若 4 8=2,BE=l,求 GC的长.2 2 .我国是世界上最早发明历法的国家之一.周礼中记载：垒土为圭，立木为表，测日影，正地中，定四时.如图I,圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆.正午，表的日影(即表影)落在圭上，根据表影的长度可以测定节气.在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型.如图2,地面上放置一根长2?的杆A 8,向正北方向画一条射线BC,在 BC上取点，测得8 力=1.5%，4 0=2.5 机.(1)判断：这个模型中AB与 BC是否垂直.答：(填“是”或“否”)；你的理由是：.(2)某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角a的值，如下表：节气 夏至 秋分 冬至太阳光线与地面夹角a 7 4。50 2 7 记夏至和冬至时表影分别为B M和B N,利用上表数据，在射线B C上标出点M和点N的位置；记秋分时的表影为8 尸，推测点P 位于.4.线段MN 中点左侧B.线 段 中 点 处C.线段MN 中点右侧2 3 .已知直线/：y=kx(0)经过点A (-1,2).点P为直线/上一点，其横坐标为，过点尸作了 轴的垂线，与函数丫=性(%0)的图象交于点。.x(1)求k的值；(2)求点。的坐标(用含机的式子表示)；若 P O Q的面积大于3,直接写出点P的横坐标m的取值范围.2 4 .牛年伊始，中国电影行业迎来了开门红.春节档期全国总观影人次超过1.6亿，总票房超过8 0亿元.以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息.两部影片上映第一周单日票房统计图b.两部影片分时段累计票房如下上映影片 2月12日-1 8日 累 计 票 房(亿 元)2月19日-2 1日累计票房(亿元)甲 31.56乙 37.22 2.95(以上数据来源于中国电影数据信息网)根据以上信息，回答下列问题：(1)2月1 2日-18日的一周时间内，影片乙单日票房的中位数为；(2)对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是:甲的单日票房逐日增加；甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差；在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大.(3)截止到2月2 1日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月1 9日-2 1日三天内影片甲的累计票房应超过 亿元.2 5.如图，A B是。0的弦，C为。0上一点，过点C作A B的垂线与A B的延长线交于点Q,连接8。并延长，与。交于点E,连接EC,N A B E=2/E.(1)求证：C。是 的 切 线；(2)若 tanE=，B D=,求 A8 的长.2 6 .在平面直角坐标系x Oy中，已知抛物线y=o r 2-2 o x+a-2 (。0).分别过点M(f,0)和点NG+2,0)作x轴的垂线，交抛物线于点A和点艮 记抛物线在A,3之间的部分为图象G (包括4,B两点).(1)求抛物线的顶点坐标；(2)记图象G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m.当。=2时，若图象G为轴对称图形，求 胆 的值；若存在实数f,使得，=2,直接写出。的取值范围.2 7 .如图，在A B C 中，A B=A C,Z B A C=4 0 ,作射线 C M,Z A C M=8 0 .。在射线CM上，连接A D,E是AD的中点，C关于点E的对称点为尸，连接。尸.(1)依题意补全图形；(2)判断4 8与。尸的数量关系并证明：(3)平面内一点G,使得。G=OC,F G=F B,求/C D G的值.备用图2 8 .在平面直角坐标系x Oy中，对于点A和线段MN,如果点A,O,M,N按逆时针方向排列构成菱形AOMM且/A O M=a，则称线段MN是点A的“a-相关线段”.例 如，图1中线段MN是点A的“30。-相关线段”.(1)己知点A的坐标是(0,2).在图2中画出点A的 30 -相关线段”MN,并直接写出点M和点N的坐标；若点4的“a-相关线段”经 过 点(正，1),求a的值；(2)若存在a,p (aW 0)使得点尸的“a-相关线段”和“0 -相关线段”都经过点(0,4),记 P O=r,直接写出，的取值范围.图2参考答案一、选 择 题（本题共1 6 分，每小题2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1 .如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A.圆柱 B.球 C.三棱柱 D.长方体【分析】根据一个空间几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案.解：由几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，故该几何体是一个柱体，又；俯视图是一个圆，故该几何体是一个圆柱.故选：A.2 .2 0 2 1 年 2月 2 4 日6时 2 9 分，我国自主研制的首个火星探测器“天问一号”成功实施第三次近火制动，进入近火点2 8 0 千米、远火点59 0 0 0 千米、周期2个火星日的火星停泊轨 道.将 59 0 0 0 用科学记数法表示应为（）A.0.59 X 1 05 B.5.9 X 1 05 C.5.9 X 1 04 D.5.9 X 1 03【分析】科学记数法的表示形式为aX 1 0 的形式，其 中 1 间1 0,”为 整 数.确 定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值1 0 时，是正整数；当原数的绝对值 1 时，是负整数.解：59 0 0 0=5.9 X 1 04.故选：C.3.七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形中，是轴对称图形的是()B.A.【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.解：4、是轴对称图形，故此选项符合题意；8、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；。、不是轴对称图形，故此选项不合题意.故选：A.4.如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4 个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种颜色，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向白色区域的概率4 2 4【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：符合条件的情况数目；全部情况的总数.二者的比值就是其发生的概率的大小.解：转盘分成4 个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种颜色,工指针指向白色区域的概率是与=5，4 2故 选:B.5.已知正多边形的一个外角等于60,则该正多边形的边数为（)A.3B.4C.5D.6【分析】利用外角和3 6 0 +外角的度数即可得到边数.解：3 6 0 +6 0。=6.故该正多边形的边数为6.故选：D.6 .实数。与匕在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）b a-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5A.0 B.a 0 D.ab【分析】根据数轴可以发现b a,且，由此即可判断以上选项正确与否.解：A.：2 a 0,答案A不符合题意；B.-：2 a 3,-4 6 V-3,答案 B 不符合题意；C.V -4 b0,二答案 C 符合题意；D.-：2 a 3,-4 b-3,.同6|,.答案。不符合题意.故选：C.7.已 知x=l是不等式2 x-h 0的解，6的值可以是（）A.4 B.2 C.0 D.-2【分析】将x=l代入不等式求出人的取值范围即可得出答案.解：,；x=l是不等式2 x-6 0的解，：.2 -h2,故 选:A.8 .如图，A B是。0直径，点C,。将标分成相等的三段弧，点P在 京 上.已知点。在标上且/4 P Q=1 1 5 ,则点。所在的弧是（）C CDD.DB【分析】根据/A P Q=1 1 5。找到所对应的弧以及弧所对应的圆心角找到N A O Q的度数即可确定Q所在位置.解：V Z A P 0=1 1 5 ,A Z A P Q所对应优弧根据圆周角定理易知优弧冠所对圆心角为2 3 0 ,则劣弧A P Q 所对应圆心角/4。=1 3 0 ,：C、。为标的三等分点，N AOQ=1 2 0 故。应位于箍上,故选：D.二、填 空 题（本题共16分，每小题2 分）9.若式子G W 有意义，则实数x 的 取 值 范 围 是 2 1 .【分析】根据二次根式的性质可以得到x-1 是非负数，由此即可求解.解：依题意得X-1 2 0,故答案为：1 0.方程组I 4y=3的解为 2 x-y=6(x=3I y=0-【分析】利用+可消除 从而可求出x,再把x 的值代人，易求出y.解:x+y=3 j2 x-y=6+，得3 x=9,解得x3,把 x=3 代入，得3+y=3,解 得 尸 0，.原方程组的解是（x=3I y=0故答案是I y=01 1.如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板.如果图中N 1是 7 0 ,那么N 2的度 数 是“0 .【分析】根据平行线的性质，找到同旁内角、内错角进行推理即可得出N2度数.解：如图所示，由题意可知/乙：i/r,.,.Zl+Z3 =1 8 0 （两直线平行，同旁内角互补），.N 2=N 3=1 1 0（两直线平行，内错角相等）.故答案为：1 1 0 .1 2.若 近+a的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数a的 值-、不（答案不唯一）【分析】直接利用有理数的定义结合二次根式的性质得出答案.解：加+”的值为有理数，,符合条件的实数。的值可以为：-五（答案不唯一）.故答案为：历（答案不唯一）.2 I 11 3 .计算：（W-；）；=1 .X-l X-l x+1【分析】根据分式的运算法则进行化简即可求出答案._ （x+1）（X-1）（x+1）（x-l）=1,故答案为：1.1 4 .已知关于x的方程x2-（m+2）x+4=0 有两个相等的实数根，则m的 值 是 2或-6【分析】根 据 方 程?-（叶 2）x+4=0 有两个相等的实数根可得=（）,即 5+2）2-4X 4=0,解方程即可得，”的值.解：方程/-(?+2)x+4=0有两个相等的实数根,.,.=0,即(/n+2)2-4 X 4=0,解得：相=2或?=-6,故答案为：2或-6.1 5 .图1中的直角三角形有一条直角边长为3,将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2,图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S i,52,则SLS2的 值 为9 .解：设 图1中的直角三角形另一条直角边长为.S i=3 2+炉=9+及,$2=按,：.Si-%=9,故答案为9.1 6 .图1是一个2 X 2正方形网格，两条网格线的交点叫做格点，甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下：游戏规则%两人依次在网格中画线段，线段的起点和终点均为格点；b.新画线段的起点为前一条线段的终点，且与任意已画出线段不能有其他公共点；c.已画出线段的所有端点中，任意三个端点不能在同一条直线上；d.当某人无法画出新的线段时，则另一人获胜.如图2,甲先画出线段A 8,乙随后画出线段B C.若这局游戏继续进行下去，最终的获胜者是 乙(填“甲”，“乙”或“不确定”).图1图2【分析】如图，甲只能画3次线段，乙可以画4次线段，如图所示，乙能获胜.解：如图，甲只能画3次线段，乙可以画4次线段，如图所示,所以，乙一定能获胜.故答案为：乙.三、解答题(本题共68分，第17-2()题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23题6分，第24题5分，第25-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.计算：|-衣|-2cos45+(n-1)+6.【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数基的性质和特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案.解：原 式=后-2X乎+1+2=近-近+2M=l+2 .4(x+l)x+718.解不等式组：3X+2、x【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.解：解不等式4(x+1)x+7,得：解不等式组2 x,得：x 0)的图象交于点x(1)求人的值；(2)求点Q的坐标(用含加的式子表示)；若 PO Q的面积大于3,直接写出点P的横坐标?的取值范围.2=-k,即可求解;4 9(2)设点尸的坐标为(相，-2m),当y=-2/=-时，x=-，即可求解;x m119由 PO Q的面积=大尸。乂=乂(-m)X(-2 m)3,即可求解.2 2 m解：(1)将点A的坐标代入了=得：2=-鼠即 k=-2；(2)由(1)知，y=-2X9设点尸的坐标为（m，-2 W ,4 9当 y=-2初=-时，x=-，x m故点。的坐标为（-义，-2 m）；mi i o PO Q 的面积=P QX y p=X(-m)X(-2机)3,解得m 1 或m 0),贝 i J m VO,x故 m 0).分别过点M(f,0)和点N(f+2,0)作 x 轴的垂线，交抛物线于点A和点8.记抛物线在A,8之间的部分为图象G (包括A,8两点).(1)求抛物线的顶点坐标；(2)记图象G 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m.当。=2 时，若图象G 为轴对称图形，求?的值；若存在实数f,使得，=2,直接写出。的取值范围.【分析】(1)尸 五-2依+-2 变形为y=(x -1)2-2,即可得到顶点坐标；(2)”=2 时，抛物线对称轴x=l,由图象G 为轴对称图形，可得，的值，从而求出A、B 坐标，得到机的值；分四种情况讨论：f W -1,-l r 0,0r 0,抛物线对称轴x=l,(一)当 f+2W l,即 f W-1 时，图象G 上 A的纵坐标的值最大，B 的纵坐标的值最小,(M-2 at+a-2)-a(f+2)2-2 a(f+2)+a-2=2,解得 t=-2a.1 12a(二)当，1 什2,且什2-l W l-f,即-l f W 0 时，图象G 上月的纵坐标的值最大,顶点纵坐标的值最小,:.(at1-2 at+a-2)-(-2)=2,2a=n ,(I)?又-1 V W 0,.,.-02；2(三)当 f l V/+2,且什即0 1 时，图象G 上 B 的纵坐标的值最大,顶点纵坐标的值最小,：.a(f+2)2-2 a(r+2)+a-2 -(-2)=2,2Cl=，(t+1)2又 0r F=A B；(3)由题意可得点G在以点。为圆心，0 c为半径的圆上，点G在以点尸为圆心，FB为半径的圆上，则两圆的交点为G,由“S S S”可证4 B尸丝力FG,可得/8 4尸=/尸OG=14 0 ,即可求解.解：(1)如图所示：图1(2)A B=D F,理由如下:是AO的中点,：.AE=DEfC关于点E的对称点为F,：.CE=EF,又 NAEC=NFED,：.AAECADEF(SAS),：.AC=DF,A3=AC,：.AB=DF；(3)如图2,连接AR：AE=DE,CE=EF,四边形ACDF是平行四边形，A ZACM+ZCAF=SO,AF=CDf DF=AC=AB,A ZCAF=100=NCDF,：.ZBAF=40Q,:DG=DC,点G在以点。为圆心，QC为半径的圆上，:FG=FB,点G在以点尸为圆心，尸8为半径的圆上，.两圆的交点为G,：AB=DF,A F=DG,FB=FG,：./ABF/DFG(5 5 5),A Z B AF=ZF D G=14 0 ,.ZCDG=40,同理可证A A B/丝 人 7,：.Z B A F Z G D F=1 4 0Q,A Z C D G =36 0 -100 -14 0 =120,综上所述：Z C D G=4 0 或 120 .2 8.在平面直角坐标系x O y 中，对于点4和线段MN,如果点A,O,M,N 按逆时针方向排列构成菱形40 MM且/AO M=a,则称线段MN 是点A的“a-相关线段”.例 如，图 1 中线段MN 是点A的“30 -相关线段”.(1)已知点A的坐标是(0,2).在图2 中画出点A的“30 -相 关线段”例N,并直接写出点M 和点N 的坐标；若点A的“a-相关线段”经 过 点(,1),求 a 的值：(2)若存在a,p (a p)使得点P的“a-相关线段”和“0-相关线段”都经过点(0,【分析】(1)如图1 中，根据要求作出图形即可，过点M 作 MKLO A于 K.解直角三角形求出KM,O K,可得结论.分两种情形分别画出图形求解即可.(2)如图3 中，过点G(0,4)作 O P的平行线/,以 P为圆心，O P长为半径作OP,当。尸与直线/有两个交点且线段MN,线段M N 经 过G（0,4）时，满足条件.求出两种特殊位置O P的值，可得结论.解：（1）如图1中，图形如图所示，过点M作M K J L OA于K.OA=O M=M N=A N=2,在 R t z OM K 中，N M 0 K=30 ,：.MK=OM=,0 K=MK=F，：.M(1,后，N(1,F+2).如图2-1中，当点M与(J E，1)重合时，a=6 0.图2-1如图2-2中，当点N与（,1）重合时，a=120。，图2-2综上所述，满足条件的a 的值为6 0 或 120。.(2)如图3 中，过 点 G(0,4)作 O尸的平行线/,以尸为圆心，OP长为半径作OP,当O P 与 直 线/有 两 个 交 点 且 线 段 线 段 例 N 经过G(0,4)时，满足条件.图3观察图象可知，满足条件的OP的值为2&OP4,.2&C W 4.