2021新高考Ⅰ卷数学真题及答案 (原卷版+答案版).pdf

2 0 2 1 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（原卷）本试卷共4页，2 2 小题，满 分 1 5 0 分，考试用时1 2 0 分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2 .作答选择题时，选出每小题答案后，用 2 8 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，3 .非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4 .考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。一、选择题：本题共8小题,符合题目要求的。每小题5分，共 4 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是1A设集合 A=x|-2 x 4).B 2 B.2,3 C.3,4,)2,3,4,5 ,则 A G B 二D.2 3,4 2A已知 z=2-i,则(z(z +i)=6-2 i B.4-2 i C.6+2 iD.4+2 i3A已知圆锥的底面半径为或，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为2 B.2 V 2 C.4 D.4 7 24.下列区间中，函数f （x）=7 s i n（x -写单调递增的区间是6A.(0()B.q ,n)A (，9 D.号,2 n)5.已知R,F z 是椭圆C：+的两个焦点，点 M在 C上，则|阳|的最大值为9 4A.1 3 B.1 2 C.9 D.66.若 t a n 0 =-2,则:sin o(i+sin 2。)sin +cos 0A.YB-l7.若过点(a,b)可以作曲线y=e 的两条切线，则A.eb aB.e 0 bC.0 a ebD.0 b 7O D.OA7OK=11.已知点 P 在圆(x-5尸+(y-5)2=16 上，点 A (4,0),B (0,2),则A.点P到直线A B的距离小于10B.点P到直线A B的距离大于2C.当/P B A最小时，PB|=3企D.当/PB A 最大时，PB|=3 12.在正三棱柱中，A B=A 4=1，点P满 足 两=4而+西，其中入60,1,林e O,l,则A.当入=1 时，ZU B i P的周长为定值B.当 U=1时，三棱锥P-4 B C 的体积为定值C.当入=1时，有且仅有一个点P,使得4 P_LB PD.当U 时，有且仅有一个点P,使得4B _L平面A&P三.选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 2 0 分13 .已知函数f(x)=X3(a-2 工一2-)是偶函数，则 a=14.已知0 为坐标原点，抛物线C:y2 =2 p x(p 0)的焦点为F,P为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q为x轴上一点，且PQLOP,若|F Q1=6,贝 I J C 的准线方程为一15 .函数f(x)=|2 x-l|-2 1n x 的最小值为16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为2 0 d m X12 d n i 的长方形纸.对折1 次共可以得到10 d m X2 d m .2 0 d m X6d m 两种规格的图形，它们的面积之和工=2 40 d m；对折2 次共可以得5 d m X12 d m ,10 d m X6d m,2 0 d m X3 d m 三种规格的图形,它们的面积之和S 2 =18 0 d m2.以此类推.则对折4 次共可以得到不同规格图形的种数为一：如果对折n 次，那么二=e=d m2四、解答题：本题共6小题，共7 0 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 .(10 分)已知数列 册 满足的=1，斯+i f n +l 11为奇数1 匕+2,n为偶数(1)记=。2”，写出瓦，b2并求数列%的通项公式；(2)求 册 的前2 0项和1 8 .(1 2 分)某学校组织 一带一路 知识竞赛，有 A,B两类问题每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从中随机抽U 又一个问题问答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得2 0分，否则得0 分：B 类问题中的每个问题回答正确得8 0分，否则得0 分。己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8 ,能正确回答B 类问题的概率为0.6 .且能正确回答问题的概率与回答次序无关。(1)若小明先回答A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X的分布列：(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。1 9 .(1 2 分)记A A B C 的内角A,B,C的对边分别为a.,b.,c,已知庐=3点 D 在边A C 上，B D s i nZ A B C =a s i n C.(1)证 明:B D =b：若 A D =2 D C .求 c o s Z A B C.2 0.（1 2 分）如图，在三棱锥A-B C D中.平面A B D _L平面B C D,A B=A D.0为B D的中点.(1)证明：0A 1 C D：(2)若 是 边 长 为1的等边三角形.点E在 棱A D上.D E =2 E A .且二面角E-B C-D的大小D为4 5 ,求三棱锥A-B C D的体积.2 1.(1 2 分)在平面直角坐标系x O y中，己知点F 2(/1 7,0),点M满足|M F，H M E|=2.记M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设 点T在 直 线 上，过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点，且|T A|-|T B|=|T P|-|T Q|,求直线A B的斜率与直线P Q的斜率之和2 2.(1 2 分)已知函数 f(x)=x (1-l n x)(1)讨论f(x)的单调性(2)设a,b为两个不相等的正数，且b l n a-a l n b=a-b证明：2 1+：ea b2 02 1 年普通高等学校招生全国统一考试数学(答案版)本试卷共4页，2 2 小题，满 分 1 5 0分，考试用时1 2 0分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2 .作答选择题时，选出每小题答案后，用 2 8 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，3 .非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4 .考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共 4 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。L 设集合 A=x|-2 x/2 C.4 D.4 近4 .下列区间中，函数f(x)=7 s in(x?单调递增的区间 是(A)A.(0,1 )B.0，n)C.(n ,乡 D.砥 2 无)5 .已 知 是 椭 圆 C：+叱=1的两个焦点，点 M在 C上，则|晅|I M F 的最大值为(C)9 4A.1 3 B.1 2 C.9 D.66 .若 t a n 0=-2,贝吗鲁驾=s in +c o s 7.若过点(a,b)可以作曲线y=e 的两条切线，则(D)A.eb aB.ea bC.0 a ebD.0 b 0)的焦点为F,P 为C 上一点，P F与x 轴垂直，Q 为x轴上一点，且P Q _ LOP,若|FQ|=6,则C 的准线方程为_答案：%=1 5 .函数f(x)=|2x T|-21 n x 的最小值为答案：11 6 .某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 d mX l 2d m的长方形纸.对折1 次共可以得到1 0 d mX 2d H i.20 d mX 6 d m两种规格的图形，它们的面积之和工=24 0 d m；对折2 次共可以得5 d mX 1 2d m,1 0 d mX 6 d m,20 d mX 3d m三种规格的图形,它们的面积之和S 2=1 8 0 d m；以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为_ _ _ _ _:如果对折n 次，那么汇=遂小加答案：5；24 0(3-答)四、解答题：本题共6 小题，共7 0 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7 .(1 0 分)已知数列 册 满足臼=1，斯+if n +l n?奇?a n+2,n为偶数(1)记bn二。2小 写出仇，电，并求数列%的通项公式;(2)求 册 的前20 项和(1)解：由题意得b 尸 a 2=a 1+l=2,b z=21 刊+1=5 b i=3.2=a i 1,a,2-a-i=l.b z:a i=a：j+1 =a 2+3 a.a 2=3.同理 a -al=3b“=a2”-a2”-2=3.叠加可知 a2-a F l+3(n-l).a 2 n=3n T.,.b“=3n T.验证可得b i=a z=2,符合上式.(2)解：.a j a-a j u-i+l a zn-F a z-l=3n-2.设 a j 前 20项和为S”S2=(ai+a3+ai9)+(az+at+-+ajo)=14 5+15 5=30018.(12 分)某学校组织“一带一路知识竞赛，有 A,B 两类问题每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从中随机抽一个问题I可答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0 分：B 类问题中的每个问题回答正确得8 0分，否则得0 分。己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8 ,能正确回答B 类问题的概率为0.6 .且能正确回答问题的概率与回答次序无关。(1)若小明先回答A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X的分布列：(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。(1)解：由题意得x=0,20,100.P (x=0)=0.2P(x=20)=0.8 X 0.4=0.32P(x=l 00)=0.4 8X020100p0.20.320.4 8(2)解:小明先选择B,得分为yA y=O,8 0,100P (y=0)=0.4P(y=8 0)=0.6 X 0.2=0.12P(y=100)=0.6 X 0.8=0.4 8y08 0100P0.40.120.4 8E x=5 4.4 E y=5 7.6，小明应先选择B.19.(12 分)记a A B C的内角A,B,C的对边分别为a.,b.,c,已知=a c,点D在边AC上，BD s i nZ A BC=a s i n C.(1)证 明:BD =b：(2)若 A D =2D C.求 c o s N A BC.sinABC=上,即 加sine c得b又由 BD s i n N 7 1BC=a s i n c,得 BD丝 匕J a s i n c,即 BD-b -a c l BD=bb =a c )(2)由 A D=2D C,AD=2DC,即 恭 河=|近-2*2审*a安l l b=3c2 +6。2=6a2-Uac+3c2=0=ac J=a-c 或 a-c2 3Q=-C j 7 3 7/A N fl+c2-b?cosABC-=,2 2 2aclb=ac2C2+C2_1C2_ 72c1c 12 代=9=炉C2=COS4 B C =2(X)l b2=a c 3 2 cr 6综上7cos4BC=20.(12 分)如图,在三棱锥A-BCD 中.平面A BD 平面BCD,A B=A D.0 为 BD 的中点.证 明:0A CD：(2)若A O CD 是边长为1 的等边三角形.点E 在棱 A D 上.D E =2E A .且二面角E-BC-D 的大小为 4 5 ,求三棱锥A-BCD 的体积.(1)证明:由已知，A A BD中A B=A D且0为B D中点.-.A O BD又平面A BD _ L平面BCD.A O _ L平面 BCD 且 CD u平面 BCDA O-L CD(2)由于A O C D为正三角形，边长为1.-.O B=O D=O C=CDZ BCD=9 0取0 D中点H,连结C H,则CH _ L O D以H为原点，H C,H D,H Z为x,y,2釉建立空间直角坐标系由可知，平面BCD的法向量记=(0,0,1)设 C(苧,0,0),B(0,|,0),D (0,0)则万？=(0,1,4)D E=2E A_ _.2 .2 2DE=-DA=(0,BE=D E-D B=(0白“)且 阮=(y,|,0)设 元 _ L 平面 BE C i i=(x,y,z).俨 史=。,即辟产l元BE =0(-y +-z=0.l 2 n=(V 3,-l,-)h由于二面角E-BC-D为4 5 2c o s 4 5 0=I c o s(n i n)|=2 F7 7?h =11 .1 V3-751 V =棱锥A-BCDfSBCD X/-3XTX2X1=T21.（12 分）在平面直角坐标系x O y中，己知点F i（-J 17,0）,F 2（/17,0）,点M满足|M F，H M E|=2.记 M的轨迹为C.求 C的方程;(2)设 点 T 在直线x 上，过 T 的两条直线分别交C 于 A,B 两点和P,Q 两点，且TA|-|TB|=|TP|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和 c=vT7,2a=2,a=l,b=4C表示双曲线的右支方程：x2-=l(x 1)16(2)设 T&m),设直线 A B 的方程为 丫 =七(x-J+m,A(x1,y1),B(x2 fy2)卜-h (%J +得 1 6/-用(-+)+2klm-+m 2=16(16x2 y2=16(16 kl)x2+(fci 2k1m)x i/cf+km m2 16=0 TATB=(1+般)(X1-i)(x2-J)=(1+心).X1X2 一 +x2)+4=(1+照)k17n kl m216-四-16 12klm k：12 1 6-k l+5=(1+幅)=(1+般)m2 1216 k：m2+12k：16设kpQ=kz，同理可得|TP|TQ|=(1+卷)所以(1+烂)若 b(l+蒜得好16fcj=fcf-16k；fcj=k，2k 丰 A?*k k2即自+f c2=022.(12 分)己知函数 f(x)=x(1-lnx)(1)讨论f(x)的单调性(2)设 a,b 为两个不相等的正数,且blna-alnb=a-b证明：2 0)令 f(x)0,则 OVxl,令 f(x)l二.r(x)的单调增区间为(o,i),单调减区间为(i,+8)./c ln a In b 1 1=即 f(l)=f(i)a b a b令 P q=4，不妨设O V pV IV q,下面证明2Vp+qVe.先证p+q 2,当 p2 时结论显然成立.当 qe(1,2)时，p+q2,则 p2-q,.2-q f(2-q).即证当 qW(1,2)时，由 f(p)f(2-q)令 g(x)=f(x)-f(2-x).g(x)=f(x)+f(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln-(x-1)2+l当 xw(1,2)时，-(x-l)2+l 0,.g(x)在(1,2)上单调递增，g(q)g=0，即 f(q)f(2-q)再设p+q 0,当x (e,+8)时，/(%)o*.q e0 P e-1 1要证q /(e-p)即证当P 6(0,1)时，有f(P)f(e p)设 h(x)f(x)f(e x),x (0,1)，h(x)=f(x)+f(e k)=Inx ln(e x)=lnx(e-%)设ex-/=1 小于1 的根为出,则/(x)在(0,x0)单调递增，在(g,1)单调递减.0证毕