2021年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）文科数学试题及解答.pdf

普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试(安 徽 卷)数 学(文 科)本 试 卷 分 第 I 卷(选 择 题)和 第 n 卷(非 选 择 题)两 部 分，第 I 卷 第 1至 第 2 页,第 n 卷 第 3 至 第 4 页.全 卷 满 分 150分，考 试 时 间 120分 钟.考 生 注 意 事 项：1.答 题 前，务 必 在 试 题 卷、答 题 卡 规 定 的 地 方 填 写 自 己 的 座 位 号、姓 名，并 认 真 核 对 答 题 卡 上 所 粘 贴 的 条 形 码 中“座 位 号、姓 名、科 类”与 本 人 座 位 号、姓 名、科 类 是 否 一 致.2.答 第 I 卷 时，每 小 题 选 出 答 案 后，用 2B铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑.如 需 改 动,用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号.3.答 第 n 卷 时，必 须 用 0.5毫 米 黑 色 墨 水 签 字 笔 在 答 题 卡 上 书 写.在 试 题 卷 上 作 答 无 效.4.考 试 结 束，监 考 员 将 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 收 回.参 考 公 式：如 果 事 件 A B 互 斥，那 么 P(A+B)=P(A)+P(B)如 果 事 件 A B 相 互 独 立，那 么 P(A-5)=P(A)P(5)球 的 表 面 积 公 式 S=4K/?2其 中 R 表 示 球 的 半 径 4球 的 体 积 公 式 V=-T IR33其 中 R 表 示 球 的 半 径 第 I 卷(选 择 题 共 6 0分)一、选 择 题：本 大 题 共 12小 题，每 小 题 5分，共 60分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.(1).若 A位 全 体 实 数 的 集 合，3=-2,-1,1,2则 下 列 结 论 正 确 的 是()A.A n B=-2,-l B.(CRA)U B=(-O O,0)C.AUB=(0,y)D.(Q A)n 5=-2,-l(2).若 丽=(2,4),AC=(1,3),则()A.(1,1)B.(一 1,-1)C.(3,7)D.(-3,-7)(3).已 知 是 两 条 不 同 直 线，,7 是 三 个 不 同 平 面，下 列 命 题 中 正 确 的 是()A.若 a _ L 则 a B.若 m J._La,则/C.若 加 则 机 D.若 机 a,则 a(4).a 1)B.(x)=1+Vx-l(x 1)C./-(X)=1-7XT(X 2)D./-(X)=1-VT(X 2)(7).设(l+x)8=%+4%+则 为 4,小 中 奇 数 的 个 数 为()A.2 B.3 C.4 D.57T(8).函 数 y=sin(2x+)图 像 的 对 称 轴 方 程 可 能 是()71 n 7 1 c 冗 71A.x-B.x-C.x D.x 6 12 6 12(9).设 函 数/(x)=2x+,l(x0),则/(x)()xA.有 最 大 值 B.有 最 小 值 C.是 增 函 数 D.是 减 函 数(10)若 过 点 A(4,0)的 直 线/与 曲 线(x-2)2+V=i 有 公 共 点，则 直 线/的 斜 率 的 取 值 范 围 为()A.-y/3,s/3 B.(一 百，百)C.D.(%0(11)若 A 为 不 等 式 组 y20 表 示 的 平 面 区 域，则 当 a 从 一 2 连 续 变 化 到 1 时，动 直 线 y-尤 42x+y=a 扫 过 A 中 的 那 部 分 区 域 的 面 积 为()3 7A.B.1 C.D.54 4(12)12名 同 学 合 影，站 成 前 排 4 人 后 排 8 人，现 摄 影 师 要 从 后 排 8 人 中 抽 2 人 调 整 到 前 排，若 其 他 人 的 相 对 顺 序 不 变，则 不 同 调 整 方 法 的 总 数 是()A.C H B.C.C X D.2008年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试(安 徽 卷)数 学(文 科)第 n 卷(非 选 择 题 共 9 0分)考 生 注 意 事 项：请 用 0.5毫 米 黑 色 墨 水 签 字 笔 在 答 题 卡 上 书 写 作 答，在 试 题 卷 上 书 写 作 答 无 效.二、填 空 题：本 大 题 共 4 小 题，每 小 题 4分，共 16分.把 答 案 填 在 答 题 卡 的 相 应 位 置.J k-2 1-l(13).函 数=的 定 义 域 为 _.log2(x-l)2 2(14).已 知 双 曲 线 2 匚=1的 离 心 率 是 则=_n 12-n(1 5)在 数 列 在 中，。=4力 一 4+%+=劭 2+6，%*,其 中。,/?为 常 数,贝 ab=_(1 6)已 知 点 A,8,C,D 在 同 一 个 球 面 上,A 3 _L平 面 BCD,CO,若 4 8=6,AC=2713,A D=8,则 8,C 两 点 间 的 球 面 距 离 是 三、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 74分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.(1 7).(本 小 题 满 分 12分)已 知 函 数/(x)=cos(2x)+2 sin(x)sin(xH)3 4 4(I)求 函 数/(x)的 最 小 正 周 期 和 图 象 的 对 称 轴 方 程(I I)求 函 数/(X)在 区 间 上 的 值 域(18).(本 小 题 满 分 12分)在 某 次 普 通 话 测 试 中，为 测 试 汉 字 发 音 水 平，设 置 了 10张 卡 片，每 张 卡 片 印 有 一 个 汉 字 的 拼 音，其 中 恰 有 3 张 卡 片 上 的 拼 音 带 有 后 鼻 音“g”.(I)现 对 三 位 被 测 试 者 先 后 进 行 测 试，第 一 位 被 测 试 者 从 这 10张 卡 片 总 随 机 抽 取 1 张，测 试 后 放 回，余 下 2 位 的 测 试，也 按 同 样 的 方 法 进 行。求 这 三 位 被 测 试 者 抽 取 的 卡 片 上，拼 音 都 带 有 后 鼻 音“g”的 概 率.(I I)若 某 位 被 测 试 者 从 1 0张 卡 片 中 一 次 随 机 抽 取 3 张，求 这 三 张 卡 片 上，拼 音 带 有 后 鼻 音“g”的 卡 片 不 少 于 2 张 的 概 率。(19).(本 小 题 满 分 12分 如 图，在 四 棱 锥。一 A8CD中，底 面 ABC。四 边 长 为 1 的 菱 形，Z A B C=,Q4_L 底 面 ABC。，Q4=2,M 为。44的 中 点。(I)求 异 面 直 线 AB与 MD所 成 角 的 大 小；(I I)求 点 B 到 平 面 OCD的 距 离。(20).(本 小 题 满 分 12分)设 函 数/。)=#一#+(4+1*+1,其 中。为 实 数。(I)已 知 函 数/(x)在 x=l 处 取 得 极 值，求。的 值；(I I)已 知 不 等 式/。)炉 一%。+1对 任 意 aG(0,+oo)都 成 立，求 实 数 x 的 取 值 范 围。(21).(本 小 题 满 分 12分)设 数 列。“满 足 g=44+1=叫+1-c,ce N,其 中 a,c为 实 数，且 c，0(I)求 数 列 叫 的 通 项 公 式(I I)设 a=g,c=；,2=(1一%),6%,求 数 列 也 的 前 项 和 5“；(I I I)若 0/1对 任 意 w N*成 立，证 明 0 力 0)其 相 应 于 焦 点 F(2,0)的 准 线 方 程 为 x=4.a b(I)求 椭 圆 C 的 方 程；(I I)己 知 过 点 片(-2,0)倾 斜 角 为 6 的 直 线 交 椭 圆。于 A,8 两 点，求 证：4722-C O S20(1H)过 点 片(-2,0)作 两 条 互 相 垂 直 的 直 线 分 别 交 椭 圆。于 A,3和 O,E,求|A 8|+|D E|的 最 小 值2008年 高 考 安 徽 文 科 数 学 试 题 参 考 答 案 一.选 择 题 ID 2B 3B 4B 5A 6C 7A 8D 9A 10D 11C 12C4万 二.13:3,+oo)14:4 15:-1 16:三.解 答 题 1 7解：(1),/(x)=cos(2x-)+2sin(x-)sin(x+)3 4 4 y/3=cos 2x+sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x)2 2=cos 2x4-sin 2x+sin22 2x-cos2 X1 c 百.c C=cos 2x H-sin 2x-cos 2x2 2=sin(2x-)27r 周 期 T=3=2/_、r 式 兀、_ 71 r 7T、TC、(2)X G-,2x-G-,12 2 6 3 6因 为/(x)=Sin(2x-2)在 区 间 三，马 上 单 调 递 增，在 区 间 工 二 上 单 调 递 减,6 12 3 3 2TT所 以 当 x=1时，/(X)取 最 大 值 1又/(g)=-乎/(1)=；，当 X=时,f(x)取 最 小 值-J L 乙 乙 乙 乙 1.乙 乙 所 以 函 数/(x)在 区 间 培,自 上 的 值 域 为-#,1 1 8解:(1)每 次 测 试 中，被 测 试 者 从 10张 卡 片 中 随 机 抽 取 1张 卡 片 上，拼 音 带 有 后 鼻 音“g”的 概 3率 为 二，因 为 三 位 被 测 试 者 分 别 随 机 抽 取 一 张 卡 片 的 事 件 是 相 互 独 立 的，因 而 所 求 的 10概 率 为 二 3 x3 x3=10 10 1027TOGO（2）设 4（i=1,2,3）表 示 所 抽 取 的 三 张 卡 片 中，恰 有 i张 卡 片 带 有 后 鼻 音“g”的 事 件，且 其 相 应 的 概 率 为 p（4）,则 尸 喏 磊,尸 得=击 因 而 所 求 概 率 为 7 1 11（4+4）=P（4）+P（4）=右+=r1 9 方 法 一(综 合 法)(1)-.-CDH AB,：.Z M D C 为 异 面 直 线 A B 与 M D 所 成 的 角 作 AP C D于 P,连 接 M PV O A l T E A B C D,.CDMPVZADP=DP=4 2M D=J w f+心=,A cos Z M D PTT所 以 A B 与 M D 所 成 角 的 大 小 为 上 3（2）V A B H 平 面 他 点 A 和 点 B 到 平 面 O C D 的 距 离 相 等,连 接 OP,过 点 A 作 A Q _ L O P 于 点 Q,:AP CD,OA CD,：.CD J_ 平 面 04P,AQ u 平 面 OAP,，AQ CD又 V AQ OP,：.A Q 平 面 OCD,线 段 A Q 的 长 就 是 点 A 到 平 面 O C D 的 距 离 OP=JOD2-DP2=y/OA2+A D2-DP2=4+l-1=,AP=DP=2 也：.AQ=0 A，A P.=I=2,所 以 点 B 到 平 面 O C D 的 距 离 为 工 OP 372 3 3r方 法 二(向 量 法)作 A P _L C D 于 点 P,如 图,分 别 以 AB,AP,AO所 在 直 线 为 x,y,z轴 建 立 坐 标 系 J2 72 72A(0,0,0),5(1,0,0),P(0,一,0),0(2 2 2 设 A B 与 所 成 的 角 为 仇 V A B=(l,0,0),MD=,-1)2 2卜 叫 叫 2 31T：.A B 与 所 成 角 的 大 小 为 一 3.田=(。，冬-2),丽=(-冬 冬-2)设 平 面 O C D 的 法 向 量 为 n=(x,y,z)，则 丽=0,irOD=0即 V2 y-2z=026 工 0 C-x-y-2z=0I 2 2 取 z=0，解 得 n=(0,4,V2)设 点 B 到 平 面 O C D 的 距 离 为 d,则 d 为 而 在 向 量=(0,4,0)上 的 投 影 的 绝 对 值，一 2V(9B=(l,0,-2),：,d=.,|32所 以 点 B 到 平 面 O C D 的 距 离 为 三 320解：(1)f x)=ax2 3-3x+(a+i),由 于 函 数/(x)在 x=l时 取 得 极 值，所 以/(1)=0即 ci 3+。+1=0,。=1(2)方 法 一 由 题 设 知：CIX1-3x+(tz+l)X2-X-6Z+1 对 任 意 Q(0,+O0)都 成 立 即 a(x2+2)-/一 2x 0 对 任 意 a G(0,+8)都 成 立设 g(a)=a(x2+2)-x2-2x(aeR),则 对 任 意 xeH,g(a)为 单 调 递 增 函 数(a e A)所 以 对 任 意 a G(0,+oo),g(a)0 恒 成 立 的 充 分 必 要 条 件 是 g(0)0即-2%20,：.-2 x X2-x-a+l 对 任 意 a e(0,+oo)都 成 立 即(x2+2)-X2-2X 0 对 任 意 a e(0,+a)都 成 立 r+2x X+2 X于 是 二 对 任 意 ae(0,+8)都 成 立，即 之 丁 士 40 x+2 x+2.-2x0于 是 x 的 取 值 范 围 是 x|-2x 2 时，a“一 1=c(a_,-l)=c2(_2-1)=cT(一 i)=g-I)C Tan=(a-l)cT+1=1时，4=a 也 满 足 上 式。数 列 4 的 通 项 公 式 为 名=(a-l)cT+1 5 e N*)。(2)由(1)得 bn=n(l-a)cT=(g)S“=4+为+2=g+2(g)2+.+)+十+s,=i+g+（5 2+g）“T _（；）=2 u（.S“=2（2+吗(3)由(1)知 q=(a-l)cT+1若 0(a l)cT+ll,则 0(l-a)cT 1,.04=a 0 对 任 意 e N*成 立，知 c 0。下 面 证 c W l,用 反 证 法 方 法 一：假 设。1,由 函 数/(x)=c，的 函 数 图 象 知，当 趋 于 无 穷 大 时，cT趋 于 无 穷，cT 一 不 能 对 e N*恒 成 立，导 致 矛 盾。.cWl。-a0 c 1,.log.cTlOg(,-1-1 a 1 a1.即 n-1 logf-(ne N)恒 成 立(*)-a.Z,c为 常 数，.(*)式 对 e N*不 能 恒 成 立，导 致 矛 盾，.0cl22解：（1）由 题 意 得：c-2a2.“=gC 忸=4a2=h2+c22 2.椭 圆 C 的 方 程 为 三+汇=18 4 方 法 一:由 知 耳（-2,0）是 椭 圆 C 的 左 焦 点,土、缶 V2禺 心 率-2设/为 椭 圆 的 左 准 线。则/:x=T作 M 1/于 A，BBl 1/于 A,/与 X 轴 交 于 点 H（如 图）点 A 在 椭 圆 上=事(归“J+|A 用 cos。)=V2+-|A/|cos1 1 V2-cos同 理 BF=I A8|=J(X|一 城+(y 一%)2=J(l+公)(%)2=1+公)(%+)2-4中 22V2+cos 0，.I=I AF；I+忸 周=+=4。血-cos。V 2+cos 2-cos 0方 法 二：TT当 6。,时，记=tan0,则 A B:y=k(x+2)将 其 代 入 方 程 X2+2/=8 得(1+2/)/+8k2%+8供 2-1)=0设 4（和 弘）,以，%），则 和 Z 是 此 二 次 方 程 的 两 个 根.8k2 8(A:2-1)j(l+a 2)(-8公 1+2公)2-32（公 一 1）1+2公 4亚 1+公）1+2公.(1)k2=tan2 仇 代 入（1）式 得|=一 里-.（2）1 1 2-COS26 当。时，|A到=2及 仍 满 足（2）式。.I.Dl 4 0 AB=-1 1 2-COS26（3）设 直 线 A 3 的 倾 斜 角 为。，由 于 由（2）可 得 AB+DE4V2 4V2 12V2-1-=-2-cos2 0 2-sin2 0 2+sin2 cos2 012V21,2+-sin2 24当。=（或。=苧 时，|A5|+|O目 取 得 最 小 值 粤 2