2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(浙江卷)（附答案详解）.pdf

2021年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 数 学 试 题（浙 江 卷）一、单 选 题（本 大 题 共 10小 题，共 40.0分）1.设 集 合 4=x|x l,8=无|一 1-1 B.1|工 1 C.J；|-1 1,05.若 实 数 x,y满 足 约 束 条 件 x-y W 0,贝 ijz=x-y 最 小 值 是(),2x+3y 1 0A.-2 B.-：C.-D.说 6.已 知 正 方 体 A B C D 山&Ci Di,M,N 分 别 是,D,Dit 3 的 中 点，则（）A.直 线 4。与 直 线。垂 直，直 线 A/N 平 面 ABCDB.直 线 4。与 直 线。18平 行，直 线 平 面 ODD,B|C.直 线 4。与 直 线 外 8 相 交，直 线 A/N 平 面 ABCDD.直 线 4。与。W异 面，直 线 A/NJ.平 面，7.已 知 函 数/+,g）:疝 则 为 右 图 的 函 数 可 能 是（）4A.y-f(r.)+g(x)-1 B.y=/(x)-g(x)-C.y 工)g(z)D.y=8.己 知“，8,7是 三 个 锐 角，则 sinc 0,若 函 数/(%)=ax2+b(x G/?),且/(s-t),/(s),f(s+t)成 等 比 数 列，则 平 面 上 点(s,t)的 轨 迹 是()A.直 线 和 圆 B.直 线 和 椭 圆 C.直 线 和 双 曲 线 D.直 线 和 抛 物 线 10.已 知 数 列 即 满 足 川=1,%+i=i 砥(n AT,),记 数 列 册)的 前 门 和 项 Su,则()5 q)A.9 S”)3 B.3 Sux)4 C.4 S”)o 5 D.9 S“)o 5二、单 空 题(本 大 题 共 7 小 题，共 36.0分)11.我 国 古 代 数 学 家 赵 爽 用 弦 图 给 出 了 勾 股 定 理 的 证 明，弦 图 是 由 四 个 全 等 的 直 角 三 角 形 和 中 间 的 一 个 小 正 方 形 拼 成 的 一 个 大 正 方 形(如 图 所 示)，若 直 角 三 角 形 直 角 边 的 长 分 别 为 3,4,记 大 正 方 形 的 面 积 为 S,小 正 方 形 的 面 积 为 S2,则|j=.12.已 知 a e R,函 数 一 一：,2；若/(/(m)=3,贝 lja=13.已 知 多 项 式(x-I)3+(x+l)=xl+*3+a2 x2+3 x+aj,则“1=；2+a3+.14.在 中，Z B=6I),AB=2,是 3。的 中 点，A M=2 3,贝 U AC=；(小 Z M A C=.第 2 页，共 1 6页A15.袋 中 有 4 个 红 球，馆 个 黄 球，n个 绿 球，现 从 中 任 取 两 个 球，记 取 出 的 红 球 数 为；若 取 出 的 两 个 球 都 是 红 球 的 概 率 为：，一 红 一 黄 的 概 率 为 1 则 _6.516.已 知 椭 圆，+&0),焦 点 F|(-c,O),F,(c,0)(c 0)；过 人 的 直 线 和 圆(r-；c)2+y2=J 相 切，并 与 椭 圆 的 第 一 象 限 交 于 点 尸，且 P R，#轴，则 该 直 线 的 斜 率 是 椭 圆 的 离 心 率 是.17.已 知 平 面 向 量 7T,石，/(/。)满 足=|了|=2,H 了=0,(/-石)7=0,记 平 面 向 量)在 7T,石 方 向 上 的 投 影 分 别 为 x,y,_7T在 7 方 向 上 的 投 影 为 二，则/+/+i 的 最 小 值 的 等 于.三、解 答 题(本 大 题 共 5 小 题，共 74.0分)18.设 函 数/(%)=sinx+cosx(x 6/?).(1)求 函 数 y=/(x+2的 最 小 正 周 期：(2)求 函 数 y=/(x)/(%-力 在 0(上 的 最 大 值.19.如 图，在 四 棱 锥 尸-4 B C D中，底 面 ABC。是 平 行 四 边 形，/LABC=120,48=1,8。=4,PA=/1 5.M,N 分 别 为 B C,PC 的 中 点，PDA.DC,P M 1 MD.(1)证 明：AB 1 P M；(2)求 直 线 AN与 平 面 PDM所 成 角 的 正 弦 值.Q20.已 知 数 列 与 的 前 n 项 和 为 无，%=一，且 4Sn+i=3Sn-9(n e N*).(1)求 数 列 加 的 通 项 公 式；(2)设 数 列%满 足 3%+(n-4)an=0(n 6 N*),记 为 的 前 项 和 为，若%0)的 焦 点，”是 抛 物 线 的 准 线 与 x轴 的 交 点，且|MF|=2.(1)求 抛 物 线 方 程；(2)设 过 点 尸 的 直 线 交 抛 物 线 于 4,B两 点，若 斜 率 为 2的 直 线/与 直 线 MA,M B,AB,x轴 依 次 交 于 点 P,Q,R,N,且 满 足|RN=|PN|.|QN|,求 直 第 4 页，共 1 6页线/在 X 轴 上 截 距 的 取 值 范 围.22.设 Q,b为 实 数，且 Q 1,函 数/(久)=Q*b%+e2(x G R).(1)求 函 数/(%)的 单 调 区 间；(2)若 对 任 意 b 2 e 2,函 数/(x)有 两 个 不 同 的 零 点，求。的 取 值 范 围；(3)当 Q=e时，证 明：对 任 意 b e 3 函 数 f(%)有 两 个 不 同 的 零 点 八,x2(xi 罢 工 1+彳 答 案 和 解 析 1.【答 案】D【知 识 点】相 等 关 系 与 不 等 关 系、交 集 及 其 运 算【解 析】【解 析】由 题 意 可 知，A n B=x I 1 4 x 2,故 选。.2.【答 案】C【知 识 点】复 数 的 概 念、复 数 的 四 则 运 算、复 数 相 等 的 充 要 条 件【解 析】【解 析】（1+ai）i a+i 3+i,二 a=3.故 选：C.3.【答 案】B【知 识 点】推 理、必 要 条 件、充 分 条 件 与 充 要 条 件 的 判 断、向 量 的 数 量 积【解 析】【解 析】.苍 峰=1.3 c 0 方）.=0,即（2 方）1 3但 五。石 不 一 定 成 立，故 充 分 性 不 满 足，若 五=石，贝 后 1=3 必 成 立，故 必 要 性 满 足，所 以 是 必 要 不 充 分 条 件.故 选:B.4.【答 案】A【知 识 点】几 何 体 的 侧 面 积、表 面 积、体 积 问 题、数 学 模 型 与 数 学 探 究 活 动、简 单 多 面 体（棱 柱、棱 锥、棱 台）及 其 结 构 特 征、空 间 几 何 体 的 三 视 图【解 析】【解 析】由 三 视 图 可 得，直 观 图 如 图 所 示，四 棱 柱 4 B C D-4/G D 1，由 俯 视 图 可 知，底 面 A B C 0为 等 腰 梯 形，将 四 棱 柱 补 形 成 棱 长 为 2的 长 方 体，则 BE=立，所 以 V=*x（加+2V2）x 1=-.2 2 1 7 2 2故 选:A.5.【答 案】B【知 识 点】数 学 思 想 和 方 法、范 围 与 最 值 问 题、二 元 一 次 不 等 式（组）与 平 面 区 域【解 析】【解 析】由 题 意 可 知，可 行 域 如 图 所 示，令 直 线/：y=2 x-2 z,当 直 线/过 点 4（1,1）时，z有 最 小 值 一|.故 选：B.第 6 页，共 1 6页6.【答 案】A【知 识 点】空 间 中 直 线 与 直 线 的 位 置 关 系、空 间 中 直 线 与 平 面 的 位 置 关 系、简 单 多 面 体(棱 柱、棱 锥、棱 台)及 其 结 构 特 征、空 间 中 的 位 置 关 系【解 析】【解 析】连 接 则 4D1与 4。交 于 M,AD1L A D1,在 正 方 体 中，:A B _L平 面 40。遇 1，；.A B _L&。，AD1 _L平 面 AB,AD 1 Dr B,M 为 AD1中 点，N 为 Di B 中 点，M N/A B,：.M N 平 面 4 B C D.故 选:A.【知 识 点】函 数 的 图 象、函 数 的 奇 偶 性、复 合 函 数 的 单 调 性、数 学 模 型 与 数 学 探 究 活 动【解 析】【解 析】易 知 函 数 图 像 表 示 的 是 奇 函 数，y=f(x)+9(x)-=/+sinx与 y=/(x)g(x)=x2 sinx均 为 非 奇 非 偶 函 数,排 除 A 和 B,对 于 C,y=f(x)g(x)=(/+sinx在 0,上 单 调，与 题 意 不 符.故 选：D.8.【答 案】C【知 识 点】推 理、运 用 反 证 法 证 明、三 角 恒 等 变 换【解 析】【解 析】假 设 sinacos/?,sin/?cosy,sinycosa均 大 于 5即 sinacosS sin/?cosy p sinycosa 贝！J(sinacos0)(sin/Jcosy)(sinycosa)而 另 一 方 面，(sinacos/?)(sin/?cosy)(sinycosQ)=(sinacosa)(sin/?cos)ff)(sinycosy),化 简 得，工 sin2a 工 sin2s；sin2y=-sin2a-sin2s sin2y|大 于 3的 数 至 多 有 2个.故 选：C.9.【答 案】C【知 识 点】数 学 思 想 和 方 法、圆 锥 曲 线 中 的 对 称 性 问 题、直 线 方 程 的 综 合 应 用、双 曲 线 的 概 念 及 标 准 方 程 解 析 1【解 析】/(s-t),/(s),f(s+t)成 等 比 数 列，产=f(s)f(s+t)=a(s)2+b a(s+t)2+b=(as2+b)2,=a2(s2 t2)2+a b(2s2+2t2)+h2=a2s4+2abs2+b2,=a2(s4 2s2t2+4)+2abs2+2abt2+b2=a2s4+labs2+b2f a2t4 2a2s2t2+2abt2=0=at4-2as2t2 4-2bt2=0=t2(at2 2as2+2b)=0,当 t=0时，(s,t)的 轨 迹 是 直 线，当 at2 2as2+2b=0时，2s2 t2=-0,S2 t2即 下 一 1=1,此 时(s,t)的 轨 迹 是 双 曲 线.a故 选：c.10.【答 案】A第 8 页，共 1 6页【知 识 点】运 用 放 缩 法 证 明 不 等 式、数 列 的 递 推 关 系、数 列 的 求 和(解 析【解 析】n+l=即+1+即+1风=,.n-a-an+i“即+1一 网,何 与 何+4 n+1)，i+i 前 篝 5=2(扃-Sioo 1+2(口 7+V2 _ V3-y/a99%00)=1+2(1/1 0 0)3,易 知：豆 2时，an 2,即+1 系 意。若(阿 一 百 工 由 即+】=儡=皆=2+居=含 一 2=JI，则 1，W 1，大 一 高 1=1 1，即。磊，Sioo 1+1+y(V2-73+/3-V4+799-/。100)=1+|+-12/-3 6-2 6 5-Va1 0 0 2+-2 综 上：j S1 0 0 3.故 选：A.11.【答 案】25.【知 识 点】数 学 思 想 和 方 法、数 学 模 型 与 数 学 探 究 活 动【解 析】【解 析】由 题 意 可 知，大 正 方 形 的 边 长 为 5,小 正 方 形 的 边 长 为 1,则,=牛=25.故 答 案 为：25.12.【答 案】2.【知 识 点】函 数 的 解 析 式、复 合 函 数、分 段 函 数【解 析】【解 析】/(通)=(乃 产-4=2,/(2)=|2-3|+a=3,解 得 a=2.故 答 案 为：2.13.【答 案】5；10.【知 识 点】数 学 思 想 和 方 法、二 项 展 开 式 的 特 定 项 与 特 定 项 的 系 数【解 析】【解 析】的 二=C0 3(-1)+0 元 3=5一,则%=5;a2 x2=C我 2(-i)i+服 2 3%2,则 的=3；a3 x=Cpi(-1)2+C我=7%,则 03=7；。4=。押(-1)3+微=0;Q，2+。3+。4=3+7+0 10.故 答 案 为：5；10.14.【答 案】2旧；亚 匣.13【知 识 点】解 三 角 形、数 学 模 型 与 数 学 探 究 活 动、余 弦 定 理【解 析】【解 析】因 为 NB=60。，4B=2,4 M=2四，所 以 B M=4,所 以 8c=8,AC=y/AB2+BC2-2AB-BC-cosB=2713，cosz.MAC心+/M 2-C M 22ACAM2/3913故 答 案 为 2 g;粤。15.【答 案】1；【知 识 点】古 典 概 型、排 列 组 合【解 析】【解 析】P(二 红)=$一=&P(一 红 一 黄)=;?宜 4+m+n b 4+m+n 3解 得:二;，所 以 血 一 n=1，P(f=2)=,P(f=1)=等=|,p&=o)=U=a 所 以 以 口 吗 故 答 案 为：1;*16.【答 案】壁；虫.5 5【知 识 点】直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系、椭 圆 的 性 质 及 几 何 意 义、椭 圆 的 概 念 及 标 准 方 程【解 析】【解 析】设 圆 心 为 C,直 线 与 圆 的 切 点 为 A,由 题 意 FiC=|c,CA=c,第 10页，共 16页AC故 k=tan乙 4&C=c/3、2(2，)-c2V55又 tan乙 4&C=y/5b2=4ac=V5e2 4-4e V5=0 e=F F 2 2c 5 5故 答 案 为：喳.17.【答 案】|.【知 识 点】柯 西 不 等 式 与 排 序 不 等 式、向 量 的 投 影【解 析】【解 析】根 据 权 方 和 不 等 式 可 知，m2+彦+乂 2.+n _ 2)2=0 上+且+(2m+n-2)2(-2m-n+2m+n-2)z=乙 5 1 7 4 1 5-4+1+5 5故 答 案 为：18.【答 案】(1)兀；(2)1+y-【知 识 点】三 角 函 数 的 最 值、三 角 函 数 的 图 象 和 性 质、函 数 产 Asin(cox+(p)的 图 象 与 性 质【解 析【解 析】/(%)=simr+cos%,/(%+)=sin(x+1)+cos(x+今=cosx-sinx,g(x)=/(%+1)2(cosx sin%)2=1 sin2x,y=/(x+卞 2的 最 小 正 周 期 r=手=兀；(2)/(x)=sinx+cosx=V2sin(x+f(%-*)=V2sinx,y=/(x)/(x-=(sinx+cosx)V2sinx=V2sin2x+V2sinxcosx=V2-+sin2x=+(sin2x-cos2x)=+sin(2x-),2 2 2、7 2 k 47令 2 x=3 则 一 彳 W t W 手，h(t)=+sint,4 4 4 v 7 2当 E s t w 时，函 数 M t)单 调 递 增，当 汴 t w,时，函 数 t)单 调 递 减,所 以 t=2 x*=,函 数 八(t)max=1+争 此 时 X=综 上：函 数 y=/(%)/(x*)在 o,上 的 最 大 值 为 1+919.【答 案】(1)见 解 析；(2)年.【知 识 点】线 面 垂 直 的 判 定、立 体 几 何 中 的 向 量 方 法、解 三 角 形、线 面 垂 直 的 性 质、直 线 与 平 面 所 成 角【解 析【解 析】(1)证 明：为 BC 的 中 点，BC=4,.-.CM=2,在 CDM 中,ZMCD 60,CD=1,则 CM=Vl+4-2 2 1-cos60=V3.CD2+DM2=CM2=4,1 A C D M 9(),CDIDAf,X V PD 1 DC,D MQPD=D,CD _L平 面 PDM,CD 1PM,AB/CD,.-.AB 1 PM；(2)PM 1 MD,PM 1 CD,DMnCD=D,MD,CD ABCD,：.PM JL平 面 ABCD,又:CD 1 D M,过 M 动 词 ME CD交 A D 于 点 E,则 ME 1 MD;如 图 所 示，分 别 以 MQ,ME,M P 所 在 的 直 线 为 x,y,z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，在 AA/3中，AM=Jl+4-2.l-2-(-1)=V7,MP=V15-7=2V2,P(0,0,2烟,C(遍 1,0)，JV(-V3,2,0),第 12页，共 16页N为 P C的 中 点,.丽=(苧,一 表 伪,若 平 面 的 一 个 法 向 量 元=(0,1,0),设 AN与 平 面 PQM所 成 角 为 0,而 与 元 所 成 角 为 w，故 而。=即 初=|糯|=盍=萼 20.【答 案】-3；(2)-3 A 2时，4S”=3Sn_i-9 一=4斯+1=3an(n 2),在 式 中，令 n=l,则 4(-、+a 2)=-与-9,y 2 T 满 吃 K，誓 1=:对 一 切 n e N*恒 成 立，.5 为 等 比 数 列，且 首 项 为 一、，公 比 为:，故 an=_.n-】=_ 3 C)n；(2)由 3垢+(n-4)an=0=hn=(n-4)-()n,：Tn=(-3):+(-2)($2+(-1)3+(n _ 5)C)+(n-4)二/=(一 3)2+(-2).3+(n-6)尸+(n _ 5)(。+(n-4)产+1 由 一=4%=_：+(2+3+_(n _ 4)(令 1-4rn=-1+(沪 丫-(n-4)-(|r+1=-n($+】4 葛=_4 n($.】，由 A6n-4 n-(|)n+1(n-4)4-3 n,当 i?i v 4时，则 a 4时，则 入 n 4-3n-3(n-4)-12 o 12=-=-3-3,n-4 n-4 n-4又 一 3-三 关 于 单 调 递 增，且 当 n 7+8 时，一 3 三 T 一 3,n-4 n-4A N 3.综 上：3 A/3,1)U(1,+oo).知 识 点】抛 物 线 的 性 质 及 几 何 意 义、直 线 与 抛 物 线 的 位 置 关 系、等 式 与 不 等 式 的 性 质、圆 锥 曲 线 中 的 综 合 问 题【解 析【解 析】(1)由 题 意 知 p=2,故 抛 物 线 方 程 为/=4x;(2)设 直 线 A B 的 方 程 为 x=ty+l,联 立 1=f-4ty-4=0,4 Q 1，),B(x2,y2),M(1,0),设 直 线/的 方 程 为：y=2x+m,值 联 乂 0卷=2%ty+6=y=E2+*t 片,”1、R普 魄，N(J,0),.N R?=喘+a+管)2=嵬 才+(鬻=3 嚼 直 线 P M的 方 程：y=(x+i),联 立 y=(、+i)=yp=y=2x+m2%i+2Vi2ty1+4-y1/同 理 y。=(2一 叫 乃 2ty2+4-y2,|PN|QN|=7 7 1.1.I,1.5(2-m)2 y-i y2+*Q I，J+4*I Y PI-4,j(2t-l)y1+4(2t-l)y2+4j，5 4(2 m)25(2-m)24(2t 1)2%为+(8t 4)(y+力)+16(2t-1)?(-4)+(8t-4),4t+165(2-m)2=16t2+12第 1 4页，共 1 6页V|RN|2=|PN|QN|,.5(m+2)2 _ 5(2-？n)2(m+2)?_(1-2C)2 4(l-2 t)2.16t2+i2(m-2)2-4 t2+3，.“l-2 t)2 s2 1令 1-2t=s,则=s2 s八.1.40 14+8次 或 m 0,f(x)在 R上 单 调 递 增，此 时 f(x)的 单 调 递 增 区 间 为(-8,+8),无 递 减 区 间，当 b 0时，令/(%)=0=u=log。%当 XVloga卷 时，/(%)10ga卷 时，ff(X)0,f(X)单 调 递 增，故 f(x)的 递 减 区 间 为(-x.k)&J L),递 增 区 间 为(loga,+s)；Ina Ina(2)数 形 结 合 令 a*Z?x 4-e2=0=ax=fox e2,设 g(x)=ax,h(x)=bx e2f问 题 转 化 为 对 任 意 的 b 2e2,g(x)与 九(x)总 有 两 个 不 同 的 交 点，P(0,e2),g(x)=axna9设 g(%)与 h(%)切 于 切 线 PM 方 程 为 y Q&=axna(x x0)e2 ax=X Q axna=e2 4-ax%oaxlna=axnaxf 令 Q”。=t(t 1),-tint t=e2,易 知 t=e2,ax=e2,结 合 图 像 得，axna 2e2,故 Ina l a%=Inh,当 x V ln b时，ln b时，f x 0,f(x)单 调 递 增，:./(x)min=/(In/?)=b bnb 4-e2=b(l-ln&)+e2-3 b 4-e2-3e4 4-e2 0,f(b)=eb-b2+e2 b2-b2+e2 0,/(%)在(0,1帅)和 0 仇/0上 各 有 一 个 零 点 勺，x2,f/(xi)=0(e*i bx1 4-e2=0i/(%2)=o=le2 bx2+e2=0?要 曲 证、T%2、b.、n?b+z,0e2%2 e2 nb t Ind z”z 2e2 1 b z bT-7 2bex2=z(e，i+e)，1 2e2 7由 于 f(x)=2e2 2h 0,故 0%i 2,所 以 翳(。“1+”)+Inh,4 b 乙 bv 彳+Inh Inb=即 证：/(-+Inb)0,所 以/(彳+InZ?)=。石 b bnb=b e b bnb=b(eb lnb)而-Inb _ 4，故+Inb)0,得 证.第 1 6页，共 1 6页