2022年北师大版新教材高中数学必修第一册第八章数学活动建模（一）教案.pdf

第八章数学活动建模（一）8.1 走近数学建模.18.2 数学建模的主要步骤.38.3 数学建模活动的主要过程.58.1走近数学建模【教学目标】知道数学建模的概念与意义.【教学重难点】实际问题的数学建模.【教学过程】一、激趣导入实际问题：普莱格尔河穿过美丽的哥尼斯堡城（现为俄罗斯的加里宁格勒）.普莱格尔河有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，在河上有七座桥，如图.岛上有古老的哥尼斯堡大学、知名的大教堂，居民经常到河岸和桥上散步.在18世纪初的一天，有人突发奇想：如何才能走过这七座桥，而每座桥都只能经过一次,最后又回到原来的出发每座桥都只能经过一次，最后又回到原来的出发点？人们开始沉迷于这个问题，在桥上来来回回不知走了多少次，却始终不得其解.这就是著名的哥尼斯堡七桥问题.二、新知探究1.实际问题的数学表述七桥问题引起了数学家欧拉的极大兴趣.他想：经过这么多人的努力都没有找到一次不重复走完七座桥的路径，会不会根本不存在这样的走法？首先，欧拉想到的是列举法，就是把所有的走法都一一列出来，再一个一个验证.但是，他很快发现这样做太麻烦了，因为对七座桥的不同走法就有5000多种，并且这种方法不具有通用性.经过反复思考，欧拉想到：岛的形状、大小，以及桥的长短、宽窄并不影响结果，重要的是陆地、桥与岛这三者之间的位置关系.不妨把图中被河隔开的4块陆地看作4个点，连接陆地的7座桥 看 作7条线，就得到如图的图形.实际问题中的陆地、河流和桥梁景观就不见了，七桥问题就变成能否一笔画出此图形的问题.这就是欧拉对七桥问题建立起来的数学模型.2.数学问题的解决欧拉注意到，如果这样的图形能一笔画成，那么除去起点和终点外，其他的点都是“经过点”.“经过点”的特征是：只要从一条线进入这个点，就要从另一条线离开这个点.有进无出，只能是终点；有出无进，只能是起点.若以某一点为端点的线有偶数条，则称该点为偶点；否则称为奇点.显然“经过点”是偶点.如果起点和终点是同一个点，那么这个点也是偶点.一笔画定理：一个由点和线组成的图形能一笔画完，必须符合以下两个条件：(1)图形是连在一起的，即是连通图形；(2)图形中的奇点个数为0或2.3.用数学结论解答原问题在七桥问题中，四个点全是奇点，不能一笔画，即不可能一次无重复地走完七座桥.1 7 3 5 年，欧 拉 把 研 究 论 文“T he so l utio n o f a p ro b l e m re l a tin g to thege o m e try o f p o sitio n 提交到圣彼得堡科学院，1 7 4 1年 发 表 在 圣彼得堡科学院通讯上，开创了图论和拓扑学两门新的学科.欧拉对实际问题进行抽象概括，用数学的语言（模型）把实际问题转化为数学问题，又用数学的思想方法分析、解决了这个问题，这个过程就是数学建模.8.2数学建模的主要步骤【教 学 目标】知道数学建模的主要步骤.【教学重难点】实际问题的数学模型.【教 学 过 程】一、基础知识数学建模活动的主要步骤如下:二、实例探究【提出问题】在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为1 5 s,那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过十字路口？【建立模型】经过对相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的几个假设：(1)通过路口的车辆长度都相等；(2)等待时，前后相邻两辆车的车距都相等；(3)绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；(4)前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；(5)车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞.将车辆长度记作1,车距记作d,经过实际调查，取 l=5m,d=2m较为合理.另据调查，一般的汽车按照十字路口的加速状态，10s内可从静止加速到21m/s,加速度记作a,计算可得a=21m/s2,为了简化，这里取a=2m/s2.汽车加速到最高限速后，便以这个最高限速行驶.资料显示，城市十字路口的限速v*=40km/h 11.1 m/s.延时时间记作T,经观察，取 T=ls较为合理，用 L表示第n 辆汽车开始启动的时间，则 h=nT用 h*表示第n 辆车到达最高限速的时间，则汽车做匀加速运动的时间是t；=5.55(s).a用Sn(t)表示时亥|J t 第n辆汽车所在的位置，停车线位置记作0,则Sn(0)=-(n-l)(l+d).这样，实际问题就可以表述为数学问题：求满足Sn(15)0的n 的最大值，其中S.(0),0 4 V j,s“a)=S(0)4-a(z；j A+t/(te；)【求解模型】代入各个量的参数值，可以计算出绿灯亮至15s时若干辆汽车的位置，如表:汽车序号12345678位置/m124.6106.588.470.352.234.116.0-2.1由表可见，绿灯亮至15s时，第 7 辆车已经驶过停车线16.0m,而第8 辆车还距停车线2.1m,没有通过.因此，15s的绿灯最多可以通过7辆汽车.【检验结果】到十字路口实地调查，对结论做检验.若没有明显误差，就可以使用这个模型.否则，再修改假设，重新建模.三、课后作业到十字路口实地调查，对结论做检验.若没有明显误差，就可以使用这个模型.否则，再修改假设，重新建模.8.3数学建模活动的主要过程【教学目标】知道课题研究的主要环节.【教学重难点】实际问题的数学模型建立.【教学过程】一、课题研究课题研究的过程包括选题、开题、做题、结题四个环节.学生需要撰写开题报告，教师要组织开展开题交流活动，开题报告应包括选题意义、文献综述、解决问题思路、研究计划、预期结果等.做题是解决问题的过程，包括描述问题、数学表达、建立模型、求解模型、得到结论、反思完善等.结果包括撰写研究报告和报告研究结果，开展结题答辩.根据选题的内容，报告可以采用专题作业、测量报告、算法程序、制作的实物、研究报告或小论文等多种形式.二、实例探究测量学校内、外建筑物的高度（供选）：1.目的 运用所学知识解决实际测量高度的问题，体验数学建模活动的完整过程.组织学生通过分组、合作等形式，完成选题、开题、做题、结题四个环节.2.情境 给出下面的测量任务；(1)测量本校的一座教学楼的高度；(2)测量本校的旗杆的高度；(3)测量学校院墙外的一座不可及，但在学校操场上可以看到见的物体的高度.可以每2 3个学生组成一个测量小组，以小组为单位完成；各人填写测量课题报告表，一周后上交.3.要求(1)成立项目小组，确定工作目标，准备测量工具.(2)小组成员查阅有关资料，进行讨论交流，寻求测量效率高的方法，设计测量方案(最好设计两套测量方案).(3)分工合作，明确责任.例如，测量、记录数据、计算求解、撰写报告的分工等.(4)撰写报告，讨论交流.可以用照片、模型、PPT等形式展现获得的成果.4.根据上述要求，每个小组要完成以下工作.(1)选题本案例活动的选题步骤略去.(2)开题可以在课堂上组织开题交流，让每一个项目小组陈述初步测量方案，教师和其他同学可以提出质疑.在讨论的基础上，项目小组最终形成各自的测量方案.(3)做题依据小组的测量方案实施测量.尽量安排各个小组在同一时间进行测量，这样有利于教师的现场观察和管理.要有分工、合作、责任落实到个人.(4)结题在每一位学生都完成“测量报告”后，安排一次交流讲评活动.遴选的交流报告最好有鲜明的特点，如测量结果准确，过程完整清晰，方法有创意，误差处理得当，报告书写规范等；或者测量的结果出现明显误差，使用的方法不当.5.分析 测量高度是传统的数学应用问题，这样的问题有助于培养学生分析解决问题、动手实践、误差分析等方面的能力.测量模型可以用平面几何的方法，例如，比例线段、相似形等；也可以用三角的方法，甚至可以用物理的方法，例如，考虑自由落体的时间；等等.6.拓展 欢迎提出新的问题，积累数学建模资源.例如：1.本市的电视塔的高度是多少米？2.一座高度为a m 的电视塔，信号传播半径是多少？信号覆盖面积有多大？3.找一张本市的地图，看一看本市的地域面积有多少平方千米？电视塔的位置在地图上的什么地方？按照计算得到的数据，这座电视塔发出的电视信号是否能覆盖本市？4.本市（外地）到省会的距离有多少千米？要用一座电视塔把信号从省会直接发送到本市，这座电视台的高度至少要多少米？5.如果采用多个中继站的方式，用 100 m 高的塔接力传输电视信号，从省会到本地至少要建多少座100 m 高的中继传送塔？