2022高考全国乙卷数学理科试题及答案.pdf

2022年全国乙卷高考试题及答案数 学(理 科)1.设全集U =1,2,3,4,5,集合M满足=1,3,则()A.2GM B.C.D.5 M2 .己知z =l 2 i,且z +应+匕=0,其中m b为实数，则()A.a =l,Z?=2 B.a=1,Z?=2 C.a=l,b=23.已知向量a,8满足|。|=1,防|=百,|。一2切=3,则。引=(D.a=_ 1,Z?=2)A.-2 B.-1 C.1 D.24 .嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 2：4=1+,=1 H-1 1,4=1 -I-：-1 1a 1 H-%+-：-&a?n-%，依此类推，其中4 N*(Z =1,2,).则)A./?I b5 B.b3 Z?8 C.b6 b2 D.bAbn5 .设厂为抛物线C：V=4x的焦点，点4在C上，点5(3,0),若用，贝U|AB|=()A.2 B.2 72 C.3 D.3&6.执行下边的程序框图，输出的=()D.67.在正方体A B C O A gGA中，E,尸分别为AB,8 C的中点，则()A.平面&E P J.平面B.平面用E F _ L平面A/。C.平面片E f 平面R A C D.平面片E F平面A G。8.已知等比数列 4的前3项和为1 68,。2-%=42,则4=()A.1 4 B.1 2 C.6 D.39.已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为0,底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其 高 为()11 V3 V2A.-B.-C.D.-3 2 3 21 0.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为P 1，P 2，3,且。32 月0.记该棋手连胜两盘的概率为P，则()A.p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛，夕最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大1 1 .双曲线C的两个焦点为,工，以C的实轴为直径的圆记为。，过 匕 作。的切线与C3 _ _交于M,N两点，且c o s/NE=g,则C的离心率为()A旦2c巫2B-1D.叵21 2 .已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-幻=5送。)一/(工-4)=7.若22y =g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4,则Z/a)=()&=1A.2 1 B.-2 2 C.2 3 D.2 4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1 3 .从甲、乙 等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为1 4.过 四 点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中 的 三 点 的 一 个 圆 的 方 程 为.1 5.记函数/=3初+颁 口 贸 代 好 兀 邢 最 小 正 周 期 为 乙 若/二 孚 一 弋为/(%)的零点，则3的最小值为.1 6 .己知x=芭和x=/分别是函数/(x)=2优-e/(a 0且a。1 )的极小值点和极大值 点.若 不 马，则的取值范围是.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 6 0 分.1 7.（1 2 分）记 A 8 C 的内角 A,B,C 的 对 边 分 别 为,已知s i n C s i n（A-8）=s i n B s i n（C-A）.（1）证 明:2 a2=b2+c2；（2）若a =5,c o s A =三2 5，求 Z V I B C 的周长.3 11 8.（2 分）如图，四面体 ABCD 中，A D 1 CD,A D =C D,Z A D B =Z B D C,E 为 AC 的中点.（1）证明：平面平面ACD；（2）设 A3=8D=2,N A C B =6 O。，点 F在 30上，当 A F C 的面积最小时，求 CR与平面ABD所成的角的正弦值*1 9.（1 2 分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了 1 0 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：n?）和材积量（单位：m3）,得到如下数据：10 10 10样本号i123456789 1 0总和根部横截面积占0.0 4 0.0 6 0.0 4 0.0 8 0.0 8 0.0 5 0.0 5 0.0 7 0.0 7 0.0 60.6材积量x0.2 5 0.4 0 0.2 2 0.5 4 0.5 1 0.3 4 0.3 6 0.4 6 0.4 2 0.4 03.9并计算得 Z xi=0 3 8,Z y；=L 6 1 5 8,Z N R =0.2 4 7 4 .i=l i=l i=l（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.0 1）：（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为1 8 6 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.z（%-君（州 一 歹）附：相关系数 r =“、/1.8 9 6 忆1.3 77.、忙（菁-亍）/（%-了V /=1/=!2 0 .（1 2 分）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y轴，且过A（0,-2）,玄-1 1 两点.（1）求 E 的方程；（2）设过点P（l,-2）的直线交E 于 M,N两点，过 M 且平行于x轴的直线与线段AB交于点 T,点、H 满足M T =T H.证明：直线HN过定点.2 1 .（1 2 分）已知函数 x）=l n（l+x）+a x e T.（1）当a =l 时，求曲线y =/（x）在点（0,/（0）处的切线方程；（2）若/（力 在区间（1,0）,（0,十 动各恰有一个零点，求 的取值范围.（-）选考题，共 1 0 分.请考生在第2 2、2 3 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.2 2 .选修4-4：坐标系与参数方程（1 0 分）在直角坐标系x 0 y 中，曲线C的参数方程为*=G c s 2 f（/为参数）.以坐标原点为极y =2 s i n r点，X 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为0 s i n e +1）+m=O.（1）写出/的直角坐标方程；（2）若/与 C有公共点，求2 的取值范围.2 3 .选修4-5：不等式选讲（1 0 分）3 3 3己知a,b,c 都是正数,且 层+京+。=1,证明：(1)abc _LC,所以。E=AC=1,2在，。七B 中，DE2+BE2=BD2 所以 BEL DE.以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则 A(l,0,0),B仅,6,0),。(0,0,1),所以AD=(-l,0,l),柏=(1,厉,01设平面A3)的一个法向量为 =(x,y,z),则n-AD=-x+z=0 (l l,取 =石，则=3,j3,3,n-AB=-x+J3y=0 、(63、又因为。(一 1,0,0),叩,芋 W,所以CE=I 4 4J所以cos(n,CFn CF _ 6 _4 百HIC F|V21X|7设CF与平面回力所 成 的 角 的 正 弦 值 为0 0所以g(x)在(0,+8)上单调递增所以g(x)g(0)=1 +a.0,即fx)0所以f M在(0,+o o)上单调递增,/(x)/(0)=0故f M在(0,+8)上没有零点，不合题意3 若a 0,所以 g(x)在(0,+)上单调递增g(0)=1 +a v 0,g =e 0所以存在m e (0,1)，使得g(=0,即 八 =0当 x e (0,m),f(x)0,f(x)单调递增所以当 X G(0,机),/(x)+CO所以/(X)在(相,+0 0)上有唯一零点又(0,加)没有零点，即/(X)在(0,+8)上有唯一零点当 x e (-1,0),g(x)=ev+o(l-x2)设 hx-g(x)=e -laxh(x)=ex-2 a 0所以g a)在(1,0)单调递增g(-l)=-+2 0e所以存在 e (1,0)，使得g()=0当 x e (-1,n),g(x)0,g(x)单调递增,g(x)g(0)=1 +a 0e所以存在 t e (-1,n)，使得 g(f)=0,即 f(t)=0当x e (-1),/(x)单调递增，当x G Q,0),/(x)单调递减有 X 1,/(X)0 0而/(0)=0,所以当 x G Q,0),/(x)0所以/(X)在(-1,/)上有唯一零点,(，,0)上无零点即/(X)在(-1,0)上有唯一零点所 以 符 合 题 意所以若f(x)在区间(-1,0),(0,+8)各恰有一个零点，求。的取值范围为(F,1)(-)选考题，共 10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.(1)因/：psin +j +m =0 ,所以gp.sin e +夕-c o s6+/=0，又因为夕5皿。=%。0$。=，所以化简为L y +立光+m=0，2-2整理得/的直角坐标方程：百x+y +2m =()(2)联 立/与C的方程，即将x =6 c o s 2 r，y =2sin f代入/3x+y+2 m =0 中，可得3 c o s2，+2sin f+2m =0,所以 3(1 -2 sin?f)+2 sin r +2,篦=0.化简为-6sin +2sin f+3 +2/n =0，要 使/与C有公共点，则2加=6sin 2-2sin r-3有解，令sin/=a,则令/(a)=6/一2。一3,(-I W aW l),对称轴为。=,，开口向上,6所以/3),四=/(T)=6+2-3 =5，、_ “I、2 1 9/(a)m in =八2)=2_ 2_ 3 =_ _T6 6 6 61 9所以一-2m 561 9 5m的取值范围为-/0，b0,c 0,则 。，/3 03 3 3 _所 以 邑 立 土 处 之 扃 三13即(蕨)昊;，所 以 欣 当且仅当=/=，即a=b=c =心 时 取 等号.3 9 Y 9(2)证明：因为。0,b0,c 0,所以人+c N 2/，a+c 2 yfac a-b 2 yah，3 3 3 3 3 3b4-a+cc a2+8 2 +02a+b 2 abc 2 abc lyfabca2+济 +52 yJabch+c当且仅当。=b=c时取等号.