2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(浙江卷).pdf

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（浙江卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A=x|x.l ,B=x-x-I B.x|x.l C.x|-l x l D.x|l x 2【命题意图】本题考查了集合交集的运算，解题的关键是掌握集合交集的定义，考查运算求解能力.【答案】D【解析】因为集合4 =*|1）,B=x|-1 x 2 ,所以 4 0|8=月1,是ua=bn的必要条件.综上所述，“a 是“a=6 ”的必要不充分条件.故选：B.4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：。/）是（）1俯视图A.-B.3 C.逑 D.3夜2 2【命题意图】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，考查空间想象能力【答案】A【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为直四棱柱，底面四边形A 8 8为等腰梯形，且4 8=2也，C D =42,AA=1,等腰梯形的高为也一变=立，2 2则该几何体的体积Vx（0+2夜）x1 x1=.2 2 2故选：A.【易错防范】由三视图计算几何体的表面积 与 体 积 时，由于几何体的还原不准 确 及 几 何体的结构特征认识 不 准 易导致失误.X +1.05,若 实 数 必y满足约束条件卜-%0，则z =元-4的最小值是（）2 x +3 y-l 0 3 1 A.-2 B.-C.-D.2 2 1 0【命题意图】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想.【答案】B【解析】由约束条件作出可行域如图，联立,八，解得A（-l,l）,2 x +3 y-1 =0化目标函数z =x-；y为y =2 x-2 z,由图可知，当直线y =2 x-2 z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为=故选5.6.如图，己知正方体A 8 C D-A 4 G R ,M ,N分别是A Q,0,8的中点，则（）A.直线AQ与 直 线 垂 直，直线M V/平面B.直线4Q与直线RB平行，直线M V _L平面B O R AC.直线4）与直线R8相交，直线MV平面D.直线AQ与直线RB异面，直线M V _L平面【命题意图】本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理与性质，考查了逻辑推理核心素养.【答案】A【解析】连接AR,如图:由正方体可知A。-L A/1 ,ADIAB,平面A 8 R ,.-.A.D ID.B,由题意知M N为RAB的中位线，:.MN 3 AB,又.4?u平面43CD,M V C 平面4 3 8,.例/平面至8.r.A 对;由正方体可知4)、A Q 都与平面8。口相交于点。，R B u 平面BOR,D史D、B,直线A D、都与直线力出是异面直线，.8、C 错；-,-MN/AB,AB不与平面跳巴片垂直，r.M V 不与平面BD。石 垂直，二。错.故 选：A.C尸 加(幻 D.尸瑞【命题意图】本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力.【答案】D【解析】由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数，因为f(x)=/+J 为偶函数，g(x)=sinx为奇函数，4函数y=/(x)+g(x)=x2+sinx为非奇非偶函数，故选项A 错误；4函数N=/(%)-g(x)=f -sinx为非奇非偶函数，故选项B 错误；4函数 y=f (x)(x)=(x2+；)sinx,则 yf=2xsinx+(x2+；)cosx0对 xw(0,()恒成立，则函数y=/(x)g(x)在(0二)上单调递增，故选项C 错误.故选48.已知a,/7,y 是三个锐角，则由2834,Sm/0$7/缶/8 。中，大 于;的 数 至 多 有()A.0 个 B.1个C.2 个 D.3 个【命题意图】本题考查了反证法，基本不等式，考查逻辑推理能力.【答案】C即sinacos/?5，sincos/,sin/cosa -则(sincrcos夕)(sin/7cosy).(sin/cos-8而另一方面(sinacos)(sincos/)(sin/coscr)=(sinacostzXsin/?cos)(sinycosy)=5皿20.3后2夕.5吊27 二 1皿2。与112/与11273矛盾故sinacos民sin/?cosy,sinycosa 不可能均大于;_ n K 7t 71._._/6 1 /6 1而 取 =一,a=,y=一 知$111&(:。3/=H.sinpcos/=4 3 6 4 2 4 2大于;的数至多有2个，选C.9已知a 力e R出 0,函数/(公=加+。(*R),若/(s-f)J(s),/+f)成等比数列,则 J)平面上的点的轨迹是()A.直线和圆 B.直线和椭圆C.直线和双曲线 D.直线和抛物线【命题意图】本题考查等比数列，轨迹问题，考查数学抽象，逻辑推理能力.【答案】C【解析】f(s-tf(s)J(s+。成等比数列f2(s)=f(s-t)-f(s+0=+bq(s+/)2+b=(as=a2(s2-l2)2+ab(2s2+2r)-b2=a2s4+2abs2+b2=a2(s4-2s2r +t4)+2abs2+2abr+b2=a2s4+2abs2+b2a2t4-2a2s2t2 4-labf=0=ar4-2as2t2+2bt2=0=r(at2-las+2)=0当r =0时，(s j)的轨迹是直线；当“-2/+2/=0时，2/-/=攻 0,即ay-=l此时(s,。的轨迹是双曲线，综上：选C.8.已知数列他“满足4=1,。向=A(e N*).记数列%的前”项和为S“，贝 l j()1 +M551 009-2D.9-20044(X)51(C l-及 +3 (+l)(+2)=1 H-1-6(一?F )2,若/(/(指)=3,则 x-3+a,x,2-【命题意图】本题考查了函数的求值问题，主要考查的是分段函数求值，考查数学运算能力.【答案】2【解析】因为函数f(x)1 -4，x2,所以/(倔=(府-4 =2,则/(7()=/(2)=|2 3|+。=3,解得。=2.1 3.已知多项式(x-a+(x+l)4 =/+平 3+/X 2+%*+4,则 q=5；a2+a3+a4=.【命题意图】本题考查了二项展开式的通项公式的运用以及赋值法求解系数问题，考查数据分析运算求解能力.【答案】5；10【解析】4 即为展开式中/的系数，所以4=婢(-1)。+仁=5；令 x=l,则有 1 +4+%+/+%=()3+(1+1)4=所 以%+生+4=1 6-5-1 =10.【方 法 归 纳】1.“赋 值 法”普 遍 适 用 于 恒 等 式，是 一 种 重 要 的 方 法，对形如(ax+b),(ax2+hx+c)m(a,A6 R)的 式 子 求 其 展 开 式 的 各 项 系 数 之 和，常用赋值法.2.若/(jO n a o+a ix+a z/H -anx ,则_/(x)展开式中各项系数之和为人1),奇 数 项 系 数 之 和 为 a o+s+a t+=，？,偶数项系数之和为 小+卷+=乙F-口-1 4.在&WBC中，ZB=60*,AB=2,例 是 BC 的中点，AM=2 6，则 AC=_ 2 而 _；cosZMAC=.【命题意图】本题考查余弦定理应用，考查逻辑推理，数学运算能力.【答案】2而；观.13 解析】在 M BM AM2=BA2+BM2-2BA-BM cos60,/.(273)2=22+BM2-2 x 2 BM-,2BM-8 =0,2解得：B M=4或-2(舍去).点 M 是 中 点，.M C=4,B C=8,在 AAfiC 中：AC2=22+82-2 x 2 x 8cos60=52,AC=2/13；+,，八(2A/3)2+(2V13)2-42 2回在 zVWC 中：cos ZMA C=-=-.2x27x2713 131 5.袋中有4 个红球，加个黄球，个绿球.现从中任取两个球，记取出 的 红 球 数 为 若 取出的两个球都是红球的概率为1,一红一黄的概率为1，则zn-=1 ,E(g)=_.6 3【命题意图】本题考查了古典概型的概率，组合数公式的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望，考查了数学抽象及运算求解能力.【答案】1:89【解析】由题意，尸(4=2)=-=1=色。+“+4 6 36又一红一黄的概率为竿1=-=,。+田 3 36所以 C，4=36，C=3,解得/刀=3,ti=2,故加 =1；由题意，J的可能取值为0,1,2,所以 P(g =o)=3=W=W,C；36 181 3P(=2)=-=-,O lo所以 C)=0 x +l x W +2 xa=g.18 18 18 9r2 2116.已 知 椭 圆 方+斗=1 3 。0),焦点耳(一a 0),F2(C,0)(C 0).若过 的直线和圆(x,c)2+y 2=c 2相切，与椭a b2圆的第一象限交于点P,且轴，则该直线的斜率是，椭圆的离心率是.【命题意图】本题考查了椭圆、圆的简单几何性质，以及点到直线的距离公式，考查分类讨论，逻辑推理，数学运算能力 答案述，且5 5【解析】直线斜率不存在时，直线与圆不相切，不符合题意;由直线过耳，设直线的方程为旷=A +),直线和圆(x-g c)2+./=02相切，.圆心(；c,0)到直线的距离与半径相等,k-O +kclk2+解得T2 2将 一 代 入，刀,可得P点坐标为尸(c,Z),a52叩段啜*乎，a2-c2 2#1-e2 2 后 亚-=-,-=-,c lac 5 2。5 5【解 题 方 法】求椭圆离心率的方法 直 接 求 出a,c的 值，利用离心率公式直接求解.(2)列 出 含 有a,b,c的齐次方程(或不等式)，借 助 于 =/一,2消去仇 转 化 为 含 有e的方程(或不等式)求解.17.已知平面向量3,瓦2(#6)满 足 忖=1,忖=2,4=0,(石)工=0记平面向量7在,各方向上的投影分别为羽3-在c方向上的投影为z，则x2+/+z?的最小值是【命题意图】考查向量的投影，向量的数量积运算，均值不等式，考查分析问题，数学运算的能力【答案】-5【解折】设=(l,0),B=(0,2),则-(1,-2),由(-5)2=0,可设c=(2m,m)而Z=(x,y),.,.1一a=(x-l,y),2-在r上的投影为二_(d-a)*c _ 2m(x-)+my _(2x+v-2)m.，=6同=上网F I:.x-?+，+z*2 =2 ，(2x+y-2)2 2 y|2x+y-2JT+-=x+十+J-(y+2x+y-2)2 2x-2|2 _ 5 2 4 2 266 3 3 3 52 1 2当x=g,y=时 取”二，故应填：y注释:中间有一步使用了权方和不等式，即a也c,d 0,则 忙+工 2(h +d)2,a c a+c当且仅当2=时取.a c三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.1 8.设函数/(x)=s i n x +c o s x(x e R).(I)求函数y =(x +)的最小正周期；(H)求函数y =f(x (x ,在 0,上的最大值.【命题意图】本题考查了三角函数的图像性质，涉及求解函数的周期以及最值问题，考查了运算能力，逻辑推理能力.【解析】函数/(x)=s i n x +co s x =0s i n(x +二)，4(I )函数 y =/(x +)F=&s i n(x +5)2=2CO S2(X+?)7C 711 +co s 2(x +)=1 +co s(2x +)=1 -s i n 2 x,则最小正周期为r=二 =%;2(II)函数 y=/(x)/(x-)=V2sin(+)-V2sin(x-+)4 4 4 4=(应(sin x+cos x)sin x=(si/x +sin xcos x)-cos2x 1 .八、.万、&=v2(-1 sin 2x)=sin(2x-)H-,2 2 4 2因为XG0,1,所以2 x-生-%,M,2 4 4 4所以当2-巳=工，即=四 时，m ,u=i+4 2 8 2 1 9 (本题满分15分)如图，在四棱锥P-X 8 C D 中，底面X 8 C D 是平行四边形，Z J 5C=120,.4 8=1,5C=4,必=厉，M.N分别为8C,P C的中点，PD D C ,P M 1.MD.(I )证明：AB 1P M；(n)求直线,4 N 与平面P D M所成角的正弦值.【命题意图】本题考查线面垂直的位置关系，线面角，考查逻辑推理能力，空间想象能力(I)证明：河为8 c的中点，5C=4,：.CM=2在COM 中，Z.MCD=60,CD=.DM=V1+4-2-2 1 cos60=G：.CD2+DM2=4=CM2,：.ZCDM=90P,CDk DM又；PD 1.DC,ZM/nPO=,平面 POM,.C3_LPA/：AB/CD,：.ABLPMx(H)：PM M D ,PM CD,M DCCD=D,A/O,C D u 平面 Z 6 8.PM 平面 A BCD,又CD DM过M作ME CD交AD于 点E.则 例E J_A/)如图分 别 以MD、ME,M P所在的直线为x,v,z轴建立空间直角坐标系在中，AM=J1+4-2 I-2(-g)=,J.PM=V 1 5-7 =272P(0,0.2V2),C(V3,-1,O),/(-X/5,2,0);N为F C的 中 点，.N卓T友),.而=(挈,-1，句设4 V与 平 面P D W所 成 角 为9,前 与 所 成 角 为。而 平 面A D V/的一个法 向 量 =(0,1,0)20(本 题 满 分 1 5分)已 知 数 列 阮 的 前 项 和 为 S”，4=-?，且44s M =3 S,-9(w Ar)(I)求数列 a 的通项公式；(口)设 数 列 也;满 足 她+(-4)a.=0(w ，记 的前项和为7；.若7；4 也，对任意 w AT 恒成立，求实数的取值范围.【命题意图】本题等比数列的通项公式，数列错位相减法求和，考查逻辑推理能力，运算求解能力(I)4s.1=3S“-9 当N2时，4 s L 3 S E-9一=4勺.1 =3a“(N 2),在式中令=1=4一(+%)=一/一9满 足&=3,.也=对一切wN*恒成立16 a 4 an 4a?为等比数列，且 首 项 为 公 比 为j(I I)由3=0=(-4)5.。=(一3)，；+(-2),(5)+(T)0+(-5)图+(“-4)(?%=(-3).图 +(-2).图+.+(一6)图+(-5)图+(一4旧 3?+，(3丫，由 1 W 独1n 4 ,(”-4)丸之一3 当IW 4时，A n-4-3 =-3(?-4)-12=_3_12 _3 4-0 0 时，-3-3 t A 3 综上：-3 W 丸 V 1一4【21如图，已知/是抛物线/=2 p x(p 0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|例目二2.(I)求抛物线方程.(D)设过点b的直线交抛物线于4 8两点，若斜率为2的直线/与直线何轴依次交于点,且满足|/?N =|PN|.|2M，求直线/在x轴上截距的取值范围.【命题意图】本题抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，求范围问题，考查逻辑推理能力，数学运算能力。(I)由题意知 =2,抛物线方程为必=4x(口)设直线力8的方程为工=3+1x=ty-=/-4 r y-4 =0,4(如必),6(吃,%)也(-1,0)J =4工设直线/的方程为：y=2x+my=2x+m 2+m(I)/向+1 w+Kr(m/.NR2M +1 +m 丫+(zw +2 Yl-2 r+T J+l l-2/Jm+22(1-2/)m+21-2/(m+2)27 (1-2/)2直线/w的方程为：广告1a+i)联立y=7(x+l)(2-，”)乂占+1 =-x 2x,+2-y,y=2x+ni(2一机)凹2缶+4 f(2-，)42ty2+4-y2同理=5 _(2_/n)2 yM4(2-1)必+4(2-1)必+45 _ 4(2-m l_4+(8，-4)(必+外)+16_ 5(2_m)2_ _ 5(2-m)2(2 r-l)2(-4)+(8/-4)-4/+16-16/2+12=|NP|.|NQ|.5 (，”+2)2 5(2-m)2.(m+2)2(1-2/)2 人，、，.-=-；-=-=；-,令 I-2/=s4(1-2/)2 1 6 r+12 佃-2 4r+3(l-2/)2=s2 1 4 4+3 _ s 2 25+4-4 2、-1 y-r 1S S+2 14+8 6 或加 2/,函数/(X)有两个不同的零点，求“的取值范围；(m)当 =(，时,证明：对任意人，函数 小)有两个不同的零点心与熊 譬.0+4.(注：e=2.71828是自然对数的底数)2夕 h【命题意图】本题利用导数研究函数的单调性，零点，考查数学抽象，逻辑推理能力，运算求解能力(I)f(x)=a in b当6W0时，ff(x)0,/(x)在 R上单调递增，此时/(x)的单调递增区间为(-00,4-00),无递减区间.当力0时，令r(x)=0=x=log“3且当x log.3时，/(x)log,3 时，/(x)0,/(x)单调递增.Ina故/(X)的单调递减区间为(70,log.3),单调递增区间为。陶：竺，)Ina Ina由(I)知，当人2/时，/(6mbi=/(噫3 =3-/噫3-+/V na J na Ina注意到 XT-oo 时，/(X)T+OO；当工 T*C,/(.r)-+ao要使/Q)有两个零点，只需3 一。bg。3+2/恒成立Ina Ina令gS)=7-*logu-+e2+1)+logln Ina Ina当Ina42/时，*(6)0,gS)在(2e+oo)上单调递减.-.-l e1 log+e2 0,-21oga+l 0Ina Ina Ina Ina 2 2/八.Ina 1 I n a,；2Iogae-2log-+140,Ioga-a-Ina 2e 2 2ea2 n a a 2e?时，令短0)=On/=Ina且当 6 0,g单调递增当 人IM时，g 。与题设矛盾，舍去综上：实数”的取值范围为(Le1