数学建模竞赛论文的写作与评判(校内).ppt

数学建模竞赛论文的写作与评判2011 年 5月1一、数学建模一、数学建模ABCABC A：Assume 如果你的数学学习的经验告诉你，不要超出已知条如果你的数学学习的经验告诉你，不要超出已知条件。那么，在数学建模中，你要摆脱这种思维的束缚。件。那么，在数学建模中，你要摆脱这种思维的束缚。数学建模是面对实际问题的，而实际问题所给出的已知数学建模是面对实际问题的，而实际问题所给出的已知条件往往是不够的，你必须自己作出假设条件往往是不够的，你必须自己作出假设关于什么是关于什么是重要的，什么是不重要的；关于现实背景的某种约定；重要的，什么是不重要的；关于现实背景的某种约定；关于模糊概念的理解等等。关于模糊概念的理解等等。2 总之，为你将要建立的模型确定一个边界较清晰总之，为你将要建立的模型确定一个边界较清晰的环境。事实上，有观点认为：模型就是假设。的环境。事实上，有观点认为：模型就是假设。假设决定了模型的方向，假设与现实的相容度决假设决定了模型的方向，假设与现实的相容度决定了模型的价值。定了模型的价值。对现实与理论之间的平衡度的掌握，简化原对现实与理论之间的平衡度的掌握，简化原则与贴近原则。则与贴近原则。3 B:Borrow 数学模型是用抽象形式表达我们所观察到的事物的数学模型是用抽象形式表达我们所观察到的事物的数学模型是用抽象形式表达我们所观察到的事物的数学模型是用抽象形式表达我们所观察到的事物的基本特性的一种尝试，这种尝试是否成功，既取决于建基本特性的一种尝试，这种尝试是否成功，既取决于建基本特性的一种尝试，这种尝试是否成功，既取决于建基本特性的一种尝试，这种尝试是否成功，既取决于建模者的数学能力，同样（如果不是更多地）取决于建模模者的数学能力，同样（如果不是更多地）取决于建模模者的数学能力，同样（如果不是更多地）取决于建模模者的数学能力，同样（如果不是更多地）取决于建模者关于该事物的实际知识，这种知识可以从建模者以往者关于该事物的实际知识，这种知识可以从建模者以往者关于该事物的实际知识，这种知识可以从建模者以往者关于该事物的实际知识，这种知识可以从建模者以往的经验中获得，也可以从别人的经验中获得，通过文献的经验中获得，也可以从别人的经验中获得，通过文献的经验中获得，也可以从别人的经验中获得，通过文献的经验中获得，也可以从别人的经验中获得，通过文献或交流。或交流。或交流。或交流。4 另外，还取决于建模者的另外，还取决于建模者的另外，还取决于建模者的另外，还取决于建模者的建模素养建模素养建模素养建模素养，这种素养主，这种素养主，这种素养主，这种素养主要不是从课堂讲授中得到的，而主要是从建模者要不是从课堂讲授中得到的，而主要是从建模者要不是从课堂讲授中得到的，而主要是从建模者要不是从课堂讲授中得到的，而主要是从建模者的建模实践中获得的，其中包括：目的性，鉴别的建模实践中获得的，其中包括：目的性，鉴别的建模实践中获得的，其中包括：目的性，鉴别的建模实践中获得的，其中包括：目的性，鉴别力（信息、方法、模型），建模各个环节的把握力（信息、方法、模型），建模各个环节的把握力（信息、方法、模型），建模各个环节的把握力（信息、方法、模型），建模各个环节的把握等等。等等。等等。等等。对相关信息的获取能力与决策能力。对相关信息的获取能力与决策能力。对相关信息的获取能力与决策能力。对相关信息的获取能力与决策能力。5 C:Criticize 建模者必须是一个批判者，批判别人也建模者必须是一个批判者，批判别人也批判自己，这也是建模的一个必不可少的批判自己，这也是建模的一个必不可少的环节。建模的过程是一个迭代的过程，也环节。建模的过程是一个迭代的过程，也就是一个批判与改进的过程。就是一个批判与改进的过程。对问题本质的洞察能力。对问题本质的洞察能力。6二、数学建模的基本要素二、数学建模的基本要素n nThe capacity to understand,interpret,criticize,and appreciate models is essential to all.n nThe three most fundamental ideas in mathematical modeling are transience,permanence,and optimality.7三、数学建模论文的一般结构三、数学建模论文的一般结构n n摘要n n问题重述与分析n n问题假设n n符号说明n n模型建立与求解n n模型检验n n结果分析n n模型的进一步讨论n n模型优缺点8 摘要摘要主要理解主要理解主要方法主要方法主要结果主要结果主要特点主要特点问题重述与分析问题重述与分析对题意的理解对题意的理解建模思路分析建模思路分析重要概念的约定重要概念的约定向导向导 “拿到一个数学建模竞赛题之后，首先应尽可能拿到一个数学建模竞赛题之后，首先应尽可能拿到一个数学建模竞赛题之后，首先应尽可能拿到一个数学建模竞赛题之后，首先应尽可能深入了解其实际背景，并在此基础上探讨解决问题深入了解其实际背景，并在此基础上探讨解决问题深入了解其实际背景，并在此基础上探讨解决问题深入了解其实际背景，并在此基础上探讨解决问题的方法。的方法。的方法。的方法。”数模竞赛中建好数学模型之研究数模竞赛中建好数学模型之研究数模竞赛中建好数学模型之研究数模竞赛中建好数学模型之研究 在一定意义下，你的模型的高度取决于你对问题在一定意义下，你的模型的高度取决于你对问题在一定意义下，你的模型的高度取决于你对问题在一定意义下，你的模型的高度取决于你对问题理解的深度。理解的深度。理解的深度。理解的深度。9 05B05B05B05B题题题题DVDDVDDVDDVD租赁租赁租赁租赁 题意理解问题题意理解问题题意理解问题题意理解问题（1 1 1 1）“保证希望看到该保证希望看到该保证希望看到该保证希望看到该DVDDVDDVDDVD的会员中至少的会员中至少的会员中至少的会员中至少50%50%50%50%在一个月在一个月在一个月在一个月 内能够看到该内能够看到该内能够看到该内能够看到该DVDDVDDVDDVD”随机需求。随机需求。随机需求。随机需求。P P P P(0.5)0.95.0.5)0.95.0.5)0.95.0.5)0.95.（2 2 2 2）“当前需要处理的当前需要处理的当前需要处理的当前需要处理的1000100010001000位会员的在线订单位会员的在线订单位会员的在线订单位会员的在线订单”第二问一次分配第二问一次分配第二问一次分配第二问一次分配。（3 3 3 3）“95%95%95%95%的会员得到他想看的的会员得到他想看的的会员得到他想看的的会员得到他想看的DVDDVDDVDDVD”1 1 1 1张？张？张？张？3 3 3 3张？张？张？张？6 6 6 6张？张？张？张？10问题假设问题假设符号说明符号说明模型建立与求解模型建立与求解模型的完整性与正确性模型的完整性与正确性一般，以一个模型为主一般，以一个模型为主解法思路描述的清晰性与简洁性解法思路描述的清晰性与简洁性11模型二：当模型一无可行解时，以安全裕度模型二：当模型一无可行解时，以安全裕度利用率最小为目标，调整各机组出力。利用率最小为目标，调整各机组出力。线路安全裕度线路安全裕度 rj，安全裕度利用率，安全裕度利用率 qj例例 ：2004 B2004 B题题 电力市场的输电阻塞管理电力市场的输电阻塞管理12模型模型定义满意度定义满意度例：例：2005B2005B题题 DVDDVD在线租赁在线租赁13 “经验、想象力、洞察判断能力以及直觉、灵感等经验、想象力、洞察判断能力以及直觉、灵感等经验、想象力、洞察判断能力以及直觉、灵感等经验、想象力、洞察判断能力以及直觉、灵感等在建模过程起很大作用。在建模过程起很大作用。在建模过程起很大作用。在建模过程起很大作用。无法给出若干条普遍使用的建模准则和技巧。面对无法给出若干条普遍使用的建模准则和技巧。面对无法给出若干条普遍使用的建模准则和技巧。面对无法给出若干条普遍使用的建模准则和技巧。面对竞赛题目，最基本的准则就是具体问题具体分析。不过竞赛题目，最基本的准则就是具体问题具体分析。不过竞赛题目，最基本的准则就是具体问题具体分析。不过竞赛题目，最基本的准则就是具体问题具体分析。不过还是有些一般性的准则还是有些一般性的准则还是有些一般性的准则还是有些一般性的准则(经验经验经验经验)：1.1.1.1.先要对问题进行全面分析，简明建模的依据。先要对问题进行全面分析，简明建模的依据。先要对问题进行全面分析，简明建模的依据。先要对问题进行全面分析，简明建模的依据。2.2.2.2.尽量采用成熟的数学方法和已有的模型。尽量采用成熟的数学方法和已有的模型。尽量采用成熟的数学方法和已有的模型。尽量采用成熟的数学方法和已有的模型。3.3.3.3.有时针对问题的具体情况，可以先建立简单的、有时针对问题的具体情况，可以先建立简单的、有时针对问题的具体情况，可以先建立简单的、有时针对问题的具体情况，可以先建立简单的、基本的模型，再作改进或修正。基本的模型，再作改进或修正。基本的模型，再作改进或修正。基本的模型，再作改进或修正。4.4.4.4.当然，也要注意应用新方法。当然，也要注意应用新方法。当然，也要注意应用新方法。当然，也要注意应用新方法。”数模竞赛中建好数学模型之研究数模竞赛中建好数学模型之研究数模竞赛中建好数学模型之研究数模竞赛中建好数学模型之研究14模型检验模型检验稳定性检验稳定性检验敏感性检验敏感性检验误差分析误差分析仿真检验仿真检验结果分析结果分析清晰、完整的表达清晰、完整的表达结果合理性解释结果合理性解释算法复杂度分析算法复杂度分析不同模型、不同算法的对比不同模型、不同算法的对比15模型进一步讨论模型进一步讨论模型的改进与拓广模型的改进与拓广对题意不同理解下的模型对题意不同理解下的模型有意义、有价值的设想（有意义、有价值的设想（Valuable idea）16四、四、数学建模竞赛论文的评判标准数学建模竞赛论文的评判标准n n假设的合理性假设的合理性 假设是建模的基础，具有导向性，容易被忽视。假设是建模的基础，具有导向性，容易被忽视。假设是建模的基础，具有导向性，容易被忽视。假设是建模的基础，具有导向性，容易被忽视。常犯错误有缺少假设或假设不切实际。例如常犯错误有缺少假设或假设不切实际。例如常犯错误有缺少假设或假设不切实际。例如常犯错误有缺少假设或假设不切实际。例如97979797年赛题年赛题年赛题年赛题“零件参数设计零件参数设计零件参数设计零件参数设计”。对一些关键性的或对结果有重大影响的条件或参数应该在假设中明确约定。假设具有导向性作用，不同的假设可能导致截然不同假设具有导向性作用，不同的假设可能导致截然不同假设具有导向性作用，不同的假设可能导致截然不同假设具有导向性作用，不同的假设可能导致截然不同的结果。例如的结果。例如的结果。例如的结果。例如04040404年赛题年赛题年赛题年赛题“电力市场的输电阻塞管理电力市场的输电阻塞管理电力市场的输电阻塞管理电力市场的输电阻塞管理”。17 作假设的两个原则：作假设的两个原则：作假设的两个原则：作假设的两个原则：简化原则简化原则简化原则简化原则：抓住主要矛盾，舍弃次要因素，：抓住主要矛盾，舍弃次要因素，：抓住主要矛盾，舍弃次要因素，：抓住主要矛盾，舍弃次要因素，方便方便方便方便 数学处理。数学处理。数学处理。数学处理。贴近原则贴近原则贴近原则贴近原则：贴近实际。：贴近实际。：贴近实际。：贴近实际。以上两个原则是相互制约的，要掌握好以上两个原则是相互制约的，要掌握好以上两个原则是相互制约的，要掌握好以上两个原则是相互制约的，要掌握好“度度度度”。通常是先建模后假设。通常是先建模后假设。通常是先建模后假设。通常是先建模后假设。18 CMCMCMCM96A(96A(最优捕鱼策略最优捕鱼策略)有的队假设产卵的过程服从正态分布，这样的有的队假设产卵的过程服从正态分布，这样的假设是可以的，但大大增加了问题的难度。在不失假设是可以的，但大大增加了问题的难度。在不失生物学的真实的前提下，使模型的分析尽量简单的生物学的真实的前提下，使模型的分析尽量简单的假设应该是假设鱼群的个体在后四个月的第一天集假设应该是假设鱼群的个体在后四个月的第一天集中一次产卵。中一次产卵。19 CMCMCMCM05B(DVD05B(DVD租赁租赁)（1）需求分布需求分布 一一般般用用样样本本均均值值代代替替总总体体均均值值,即即认认为为DVD1DVD1的的需需求求为为2000020000张张，这这样样得得到到第第一一问问结结果果为为62506250。“要要点点”为为二二项项分分布布B B(n,pn,p),),近近似似为为正正态态分分布布N(np,npqN(np,npq),),取取置置信信度度为为0.950.95，这样得到第一问结果为，这样得到第一问结果为63156315。20 （2 2 2 2）还碟时间分布）还碟时间分布）还碟时间分布）还碟时间分布 最最最最简简简简单单单单的的的的一一一一种种种种是是是是假假假假定定定定60606060的的的的会会会会员员员员月月月月中中中中还还还还，40404040的的的的会会会会员员员员月月月月底底底底还还还还，在在在在此此此此假假假假定定定定下下下下，每每每每张张张张碟碟碟碟的的的的每每每每月月月月使使使使用用用用次次次次数为数为数为数为1.61.61.61.6次。还有其他种种假定。次。还有其他种种假定。次。还有其他种种假定。次。还有其他种种假定。（3 3 3 3）“95959595的会员看到他想看的的会员看到他想看的的会员看到他想看的的会员看到他想看的DVDDVDDVDDVD”的理解。的理解。的理解。的理解。21n n 结果的正确性结果的正确性 模型的正确性。模型的正确性。计算的正确性（方法、结果）。计算的正确性（方法、结果）。例一：例一：9999年年“自动化车床自动化车床”，在计算刀具，在计算刀具 发发生故障后的损失时未考虑条件概率，导致计算生故障后的损失时未考虑条件概率，导致计算错误。错误。例二：例二：9898年年“投资组合策略投资组合策略”，使用均方风险，使用均方风险函数，违背题义要求。函数，违背题义要求。22 例三：例三：例三：例三：98989898年年年年“投资组合策略投资组合策略投资组合策略投资组合策略”，约束条件错。，约束条件错。，约束条件错。，约束条件错。例四：例四：例四：例四：96969696年年年年“最优捕鱼策略最优捕鱼策略最优捕鱼策略最优捕鱼策略”，死亡率意义理解错。，死亡率意义理解错。，死亡率意义理解错。，死亡率意义理解错。“自然死亡率为自然死亡率为自然死亡率为自然死亡率为0.80.80.80.8（1/1/1/1/年）年）年）年）”被理解为每年平均死亡被理解为每年平均死亡被理解为每年平均死亡被理解为每年平均死亡80%80%80%80%，事实上应理解为单位时间内死亡的鱼的数量与鱼，事实上应理解为单位时间内死亡的鱼的数量与鱼，事实上应理解为单位时间内死亡的鱼的数量与鱼，事实上应理解为单位时间内死亡的鱼的数量与鱼的总量之比，是瞬时死亡率概念。的总量之比，是瞬时死亡率概念。的总量之比，是瞬时死亡率概念。的总量之比，是瞬时死亡率概念。例五：例五：例五：例五：95959595年年年年“天车与冶炼炉调度天车与冶炼炉调度天车与冶炼炉调度天车与冶炼炉调度”，对题目要求的理，对题目要求的理，对题目要求的理，对题目要求的理解有误，导致全军覆没，教训惨重。解有误，导致全军覆没，教训惨重。解有误，导致全军覆没，教训惨重。解有误，导致全军覆没，教训惨重。“各台天车的作业各台天车的作业各台天车的作业各台天车的作业率尽量均衡（考虑到设备及人员安全等因素，一般天车率尽量均衡（考虑到设备及人员安全等因素，一般天车率尽量均衡（考虑到设备及人员安全等因素，一般天车率尽量均衡（考虑到设备及人员安全等因素，一般天车作业率不超过作业率不超过作业率不超过作业率不超过70%70%70%70%）”。23n n建模的创造性建模的创造性 创造性是灵魂，文章要有闪光点。好创意、好想法应当既在人意料之外，又在人意料之中。新颖性（独特性）与合理性皆备。24误区之一：数学用得越高深，越有创造性数学用得越高深，越有创造性。解决问题是第一原则，最合适的方法是最好的方法。误区之二：创造性主要体现在建模与求解上。创造性主要体现在建模与求解上。创造性可以体现在建模的各个环节上，并且可以有多种表现形式。25误区之三：好创意来自于灵感，可遇不可求好创意来自于灵感，可遇不可求。好创意来自于对数学方法的掌握程度与对问题理解的透彻程度。26例一：例一：9494年年B B题：锁具装箱。题：锁具装箱。将锁具按照槽高之和将锁具按照槽高之和H H为奇数与偶数分为为奇数与偶数分为两大类，每一类装两大类，每一类装4949箱。最优性证明。箱。最优性证明。随机销售方式与序贯销售方式随机销售方式与序贯销售方式 。抱怨程度的度量。抱怨程度的度量。27 例二：例二：9595年年MCM AMCM A题：螺旋线交点问题。题：螺旋线交点问题。关键是计算速度与计算精度的平衡问题。牛顿关键是计算速度与计算精度的平衡问题。牛顿迭代法有很高的精度，但速度较慢；线性近似法迭代法有很高的精度，但速度较慢；线性近似法速度很快，可以满足实时要求，但精度稍差。速度很快，可以满足实时要求，但精度稍差。“Rabbit,Turtle and HunterRabbit,Turtle and Hunter”抓住了问题的主要方面抓住了问题的主要方面速度。速度。创造性体现在对问题的理解程度上，进而体现创造性体现在对问题的理解程度上，进而体现在建模思路上。在建模思路上。28n n表达的清晰性表达的清晰性 好的文章好的文章好的文章好的文章 =好的内容好的内容好的内容好的内容 +好的表达好的表达好的表达好的表达n n替读者着想。该交代的要交代，如对题目的理解，关替读者着想。该交代的要交代，如对题目的理解，关替读者着想。该交代的要交代，如对题目的理解，关替读者着想。该交代的要交代，如对题目的理解，关键指标或参数的引入，建模的思路，结果的分析等。键指标或参数的引入，建模的思路，结果的分析等。键指标或参数的引入，建模的思路，结果的分析等。键指标或参数的引入，建模的思路，结果的分析等。n n写好摘要，包括：建模主要方法、主要结果，模型主写好摘要，包括：建模主要方法、主要结果，模型主写好摘要，包括：建模主要方法、主要结果，模型主写好摘要，包括：建模主要方法、主要结果，模型主要优点。要优点。要优点。要优点。n n专人负责写作，及早动手。考虑写作的过程也是构思专人负责写作，及早动手。考虑写作的过程也是构思专人负责写作，及早动手。考虑写作的过程也是构思专人负责写作，及早动手。考虑写作的过程也是构思框架、理清思路的过程，有利于从总体上把握建模的框架、理清思路的过程，有利于从总体上把握建模的框架、理清思路的过程，有利于从总体上把握建模的框架、理清思路的过程，有利于从总体上把握建模的思路，反过来促进建模。思路，反过来促进建模。思路，反过来促进建模。思路，反过来促进建模。n n适当采用图表，增加可读性。适当采用图表，增加可读性。适当采用图表，增加可读性。适当采用图表，增加可读性。29 附：附：附：附：94949494年年年年B B B B题：锁具装箱题：锁具装箱题：锁具装箱题：锁具装箱 某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有5 5 5 5个槽，每个槽，每个槽，每个槽，每个槽的高度从个槽的高度从个槽的高度从个槽的高度从1 1 1 1，2 2 2 2，3 3 3 3，4 4 4 4，5 5 5 5，6 6 6 6这这这这6 6 6 6个数中任取一数。个数中任取一数。个数中任取一数。个数中任取一数。由于工艺及其它原因，制造锁具时对由于工艺及其它原因，制造锁具时对由于工艺及其它原因，制造锁具时对由于工艺及其它原因，制造锁具时对5 5 5 5个槽的高度还有个槽的高度还有个槽的高度还有个槽的高度还有两个限制：至少有两个限制：至少有两个限制：至少有两个限制：至少有3 3 3 3个不同的数；相邻两槽的高度之差个不同的数；相邻两槽的高度之差个不同的数；相邻两槽的高度之差个不同的数；相邻两槽的高度之差不能为不能为不能为不能为5 5 5 5。满足以上条件的所有互不相同的锁具称为一。满足以上条件的所有互不相同的锁具称为一。满足以上条件的所有互不相同的锁具称为一。满足以上条件的所有互不相同的锁具称为一批。批。批。批。从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中“一把钥一把钥一把钥一把钥匙开一把锁匙开一把锁匙开一把锁匙开一把锁”。但是在当前工艺条件下，对于同一批中。但是在当前工艺条件下，对于同一批中。但是在当前工艺条件下，对于同一批中。但是在当前工艺条件下，对于同一批中两个锁具是否能够互开，有以下试验结果：若二者相对两个锁具是否能够互开，有以下试验结果：若二者相对两个锁具是否能够互开，有以下试验结果：若二者相对两个锁具是否能够互开，有以下试验结果：若二者相对应的应的应的应的5 5 5 5个槽的高度中有个槽的高度中有个槽的高度中有个槽的高度中有4 4 4 4个相同，另一个槽的高度差为个相同，另一个槽的高度差为个相同，另一个槽的高度差为个相同，另一个槽的高度差为1 1 1 1，则可能互开；在其他情况下，不可能互开。，则可能互开；在其他情况下，不可能互开。，则可能互开；在其他情况下，不可能互开。，则可能互开；在其他情况下，不可能互开。30 原来，销售部门在一批锁具中随意地取每原来，销售部门在一批锁具中随意地取每原来，销售部门在一批锁具中随意地取每原来，销售部门在一批锁具中随意地取每60606060个装一箱个装一箱个装一箱个装一箱出售。团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们抱怨购出售。团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们抱怨购出售。团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们抱怨购出售。团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们抱怨购得的锁具会出现互开的情形。现聘你为顾问，回答并得的锁具会出现互开的情形。现聘你为顾问，回答并得的锁具会出现互开的情形。现聘你为顾问，回答并得的锁具会出现互开的情形。现聘你为顾问，回答并解决以下的问题：解决以下的问题：解决以下的问题：解决以下的问题：（1 1 1 1）每一批锁具有多少个，装多少箱。）每一批锁具有多少个，装多少箱。）每一批锁具有多少个，装多少箱。）每一批锁具有多少个，装多少箱。（2 2 2 2）为销售部门提出一种方案，包括如何装箱，如何给）为销售部门提出一种方案，包括如何装箱，如何给）为销售部门提出一种方案，包括如何装箱，如何给）为销售部门提出一种方案，包括如何装箱，如何给箱子以标志，出售时如何利用这些标志，使团体顾客箱子以标志，出售时如何利用这些标志，使团体顾客箱子以标志，出售时如何利用这些标志，使团体顾客箱子以标志，出售时如何利用这些标志，使团体顾客不再或减少抱怨。不再或减少抱怨。不再或减少抱怨。不再或减少抱怨。（3 3 3 3）采取你的方案，团体顾客的购买量不超过多少箱，）采取你的方案，团体顾客的购买量不超过多少箱，）采取你的方案，团体顾客的购买量不超过多少箱，）采取你的方案，团体顾客的购买量不超过多少箱，就可以保证一定不会出现互开的情形。就可以保证一定不会出现互开的情形。就可以保证一定不会出现互开的情形。就可以保证一定不会出现互开的情形。（4 4 4 4）按照原来的装箱办法，如何定量地衡量团体顾客抱）按照原来的装箱办法，如何定量地衡量团体顾客抱）按照原来的装箱办法，如何定量地衡量团体顾客抱）按照原来的装箱办法，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度（试对购买一、二箱者给出具体结果）。怨互开的程度（试对购买一、二箱者给出具体结果）。怨互开的程度（试对购买一、二箱者给出具体结果）。怨互开的程度（试对购买一、二箱者给出具体结果）。31谢 谢！32