2022年高考数学全真模拟卷04.pdf

一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 4 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.A A.3 +4 i B.4 +3 i C.3-4 i D.4-3 i2.已知集合4 =次一1 0 ,贝 iJ Ac 他 8)=()A.x|-2x l B.x|-4 x -2 D.x|x 0)的焦点至I 直线y =x +l 的距离为0，则/，=()A.1 B.2 C.2V 2 D.44 .如图，已知圆柱的底面半径为4,高为3,A 3 是上底面的直径，点C 在下底面的圆周上，则AA B C 面积的最大值为()A.12 B.16 C.18 D.205.若a =3 2,t =l o g0 2 3 ,c =l o g,2,则“、b、c 的大小关系为（）A.a 0 b B.b a cC.0 a b D.a h c6.桔梯始见于 墨子备城门，作“颉皋”，是一种利用杠杆原理的取水机械，如 图 1所示.桔椽的结构相当于一个普通的杠杆，在其横长杆的某处(点。处)由竖木支撑或悬吊起来，横杆的一端(点4处)用一根绳子与汲器相连，另一端(点8 处)绑上一块重石头，如图2 所示，已知C D L B C,O D =LX,O C =J当要汲水时，人用力将绳子与汲器往下压，汲满后，就让另一端的石头下降经测量，=g m,卜=亚 当桶装满水时水与桶共重1 5 0 N,且当水桶恰好离开水面时横杆与套桶的绳的夹角为10 5 ,则在没有外力的干扰下，当水桶恰好离开水面，且杠杆处于静止状态时，石头的重力约为()(由杠杆原理知，当杠杆处于静止状态时有 4=6 4 (6 等于水和桶的重力，鸟等于石头的重力).绳子的重量忽略不计，73 1.73 2)图1图2A.4 0 0.5 NB.4 19NC.4 3 9.2 ND.4 4 5N7.20 21年7月2 4日，国务院办公厅印发 关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见.“双减”政策指出，要全面压减作业总量和时长，某 校 在“双减”前学生完成作业时长为随机变量久4的期望为4,标准差为3,在“双减”后,该校学生完成作业的时长7=0%-0.5,的期望为“,标准差为，则()A(w =1.5 f 5,-1.5C.=2,s =l.5B.w =1.5,5=2D.=2,$=28.已知 函 数 不)=*：鼠是()若函数g(x)=/(x)-3x恰有三个不同的零点，则实数。的取值范围A.(1,2 B.1,2)C.1,-D.-1,二、多项选择题：本题共4小题，每小 题5分，共2 0分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.2021年秋季，某省在高一推行新教材，为此该省教育部门组织高中教师在暑假期间进行有关培训，培训 后 举 行 测 试(满 分100分).从参与培训的教师中随机抽取100名教师并统计他们的测试分数，得到如图所示的频率分布折线图，则下列说法正确的是()77.5 82.5 87.5 92.5 97.5 测试分数分A.这 100名教师的测试分数的极差是20B.这 100名教师中测试分数不低于90分的人数占总人数的30%C.这 100名教师的测试分数的中位数为87.5 分D.这 100名教师的测试分数的众数是87.5 分10.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”.则下列说法中正确的有()A.对于一个半径为1 的圆，其“优美函数”仅 有 1 个B.函数/a)=丁-38可以是某个圆的“优美函数”C.若函数尸/(x)是“优美函数”，则函数尸/1(x)的图象一定是中心对称图形D.函数y =2c o s(g-x)可以同时是无数个圆的“优美函数”11.在平面直角坐标系中，直线/的方程为履+，圆C 的方程为(x-l+(y _ l)2=l,则()A.圆 C 与圆 M：(%-4+(y-5)2=16外切B.若k=m =1 ,直线/与圆C 相交于A,8 两点，则=0C.若相=0,则直线/与圆C 一定相交D.若人=“=-1,过直线/上的一点P 作圆C 的两条切线，切点分别为E,F,则|成十归。的最小值为半12.在正方体A BCD-A BCA 中，M,N,R 分别为B C,CC、,B 片的中点，则下列说法正确的是()A.BB、L A NB.A R 平面 A M NC.设A8=l,且 p，。分别在线段A G与 8。上，则 P Q 的最小值为1D.设点E 在平面B8 CC内，且平面A MN,则 A E与平面B8 GC所成角的正弦值的最大值为迈3三、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0分13 .在 AABC 中，Z B A C =90,A B=2,AC =1,E,F 为 5c 的三等分点，则通.而.14 .设尸是抛物线f=4 x 上的一个动点，尸是抛物线=4 x 的焦点，若 8(3,2),贝力必|+|小1的最小值为 一15.若函数/(*)=。+，0,0,。，。1#1)是偶函数,则皿=16.已知函数/(X)=JM)”0，给出下列四个结论：x3-6x2+9x+l,x 0函数 X)在区间(-11)上单调递减；1和3 是函数 X)的极值点；当x e a,3 时,函 数/(*)的值域是口，则-I M aVl；函数g(x)=(x)-(a+1)/(%)+a的零点至少有2 个，至多有6个.其中，所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.四.解 答题：本小题共6 小题，共 7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 .(本小题10分)已知等比数列他,的公比和等差数列的,的公差都为4,等比数列 4 的首项为2,且%，6+2,%成等差数列，等差数列 ,的首项为1.(1)求他“和 电 的通项公式；(2)若数列%的 前 项 和 为 若 对 任 意“e N*均有7；。为边8 c 上一点，且 N B 4 D =N C 4 E,求 A O的长.19.(本小题12 分)在四棱锥尸-A3 c o 中，P O _ L 平面 A8C D,A B/DC,AH r AD,C D=A D =A B ,N P AD =4 5。，E 是 P 4 的中点，G在线段A B 上，且满足C G J.B O./AJi(1)求证：E 平面尸8 C；(2)在线段P A上是否存在点“，使得GH 与平面P G C 所成角的正弦值是 正，若存在，求出A 4的长；3若不存在，请说明理由.2 0.(本小题12 分)已知椭圆C:二+=1(人 0)的离心率 为 无，且过点P(O J).a b-2(1)求椭圆C的标准方程；(2)过定点(1,0)的直线/与椭圆C 相交于A、B 两点，已知点(4 彳)，设直线A N、8 N的斜率分别为k、k2,求证：K+&=l.2 1.(本小题12 分)某俱乐部的甲、乙两名运动员入围某乒乓球个人赛的半决赛后，将分别与其他俱乐部的两名运动员进行比赛，胜者可进入决赛.已知半决赛采用五局三胜制，即首先获胜三局的运动员胜出假设甲、乙每局比赛获胜的概率分别为：，|,且 每局比赛的结果相互独立.(1)求该俱乐部提前锁定冠军的概率；(提前锁定冠军是指同一俱乐部的两名运动员均进入决赛)；(2)在该俱乐部提前锁定冠军的条件下，记本次半决赛所进行的局数为4,求4 的分布列和数学期望.2 2 .(本小题1 2 分)已知函数/(x)=l n x-蛆 二？+1.X(1)求 函 数 的 极 值;(2)(i)当x l 时，/(x)0 恒成立，求正整数 的最大值;(ii)证明：(1 +1 X 2)(1 +2 X 3).I +n(+1)答案一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5分，共 4 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.1 +1A.3 +4 i B.4 +3 i C.3-4 i D.4-3 i【答案】C【详解】7_ i=(7-i)(l-i)=6-8i=3_4 i1 +i (l +i)(l-i)2 )故选：C2 .已知集合 4 =x|x-l 0 ,则 A c(Q B)=()A.x|-2 x l B.x|-4 x -2 D.x|x -4【答案】A【详解】A=(x|x-1 0 =x|x 1),3 =x|x。-2 x-8 2 O =(E|(X-4)(X+2)W 0 =x|x M -2 或x“,所以d B =x|-2 x 4 ,所以 A c(4 B)=x|-2 x 0)的焦点到直线y =x +l 的距离为狡，则”()A.1 B.2 C.2 5/2 D.4【答案】B【详解】抛物线的焦点坐标为(5,o1,-0 +1其到直线x-y+i=o 的距离：d=2 _=6,V i+T -解得：P =2(p =-6 舍去).故选：B4.如图，已知圆柱的底面半径为4,高为3,A 3 是上底面的直径，点C 在下底面的圆周上，则AA 8 C面积的最大值为()A.12B.16C.18D.20【答案】D【详解】如图，过 AB作轴截面A BEF,可知四边形A BEF为矩形，过点。作CG _L 尸，交 跖 于 点G,过点G作。G _L EF,交 4?于点连接 CD,因为 QG_LEF,C G EF,GcCG=G，所以 EF_L 平面 COG,因为 CQ u 面 CDG,因此 EF_LC,又 ABE F,所以 A8_LCD,由圆柱的底面半径为4,可得：A8=8,所以5 f 尤=3 4 比8=4。0，因为四边形ABEF为圆柱的轴截面，所 以 底 面 CEF,因为C G u 底面CEF,所以A FLCG,因为CG_LE厂,A FrEF=F,所以CG_L平面A 8E F,因为。G U 平面4 8 E F,所以。G J.C G,所以C D =y/DG2+C G2=yj9+CG2 =log02 3,c=log,2,则“、b、c的大小关系为（）A.a c b B.b a cC.c a b D.a b c【答案】A【详解】由已知得a=32 3=1,t =logo,23 log0 21=0,c=log,2 log3l=0,所以故选A.6.桔 棒 始 见 于 墨子备城门，作“颉皋”，是一种利用杠杆原理的取水机械，如 图 1所示.桔椽的结构相当于一个普通的杠杆，在其横长杆的某处（点。处）由竖木支撑或悬吊起来，横杆的一端（点 4 处）用一根绳子与汲器相连，另一端（点 8 处）绑上一块重石头，如图2 所示，已知CO_L5C,O D=L1,0C=4.当要汲水时，人用力将绳子与汲器往下压，汲满后，就让另一端的石头下降经测量，O 5 =g m,当桶装满水时水与桶共重150N,且当水桶恰好离开水面时横杆与套桶的绳的夹角为1 0 5 ,则在没有外力的干扰下，当水桶恰好离开水面，且杠杆处于静止状态时，石头的重力约为()(由杠杆原理知，当杠杆处于静止状态时有4=心(耳等于水和桶的重力，鸟等于石头的重力).绳子的重量忽略不计，V 3 1.7 3 2)图1图2A.4 0 0.5 NB.4 1 9 NC.4 3 9.2 ND.4 4 5 N【答案】C【详解】由题意，得/。4。=1 8 0。-1 0 5。=7 5。，则 NAOC=N 4 O =1 5。，&=OC=0 8 co s 1 5。=；co s(4 5。-3 0。)=g (co s 4 5。co s 3 0。+s in 4 5。s in 3 0。)f V2 石 0 1、x 1 x 2-2-2 2/V6+V28(m).由百与=54,得、+夜.=1500,解得月=600(6-1卜4 3 9.2 (N),8.当水桶恰好离开水面，且杠杆处于静止状态时，石头的重力约为4 3 9.2 N,故选：C.7.2 0 2 1年7月2 4日，国务院办公厅印发 关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见.“双减”政策指出，要全面压减作业总量和时长，某校在“双减”前学生完成作业时长为随机变量久4的期望为4,标准差为3,在“双减”后，该校学生完成作业的时长7 =0.5 4-0.5,7的期望为，标准差为3则()A =s =l .5 B.w 1.5 f s =2C.w =2 ,s =1.5D.u=2,5=2【答案】A【详解】由期望和方差的性质可得 u=Etj=E(0.5-0.5)=0.5 E -0.5 =0.5 x 4 -0.5 =1.5,52=0 7 7 =0(0.5-0.5)=D a由题意得：g(x)=2 ,公 ；x+4x+3,xa3令-2 x +3 =0得：x=；令丁+4戈 +3 =0得：x =-3 n gx =-l ；即g )至多有3个零点;若函数g(x)=/)-3 x恰有三个不同的零点，则需g(x)大致图象如下图所示,a即需g(x)=x)-3 x恰有三个不同的零点，实数”的取值范围为1-1，|,三、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.2 0 2 1年秋季，某省在高一推行新教材，为此该省教育部门组织高中教师在暑假期间进行有关培训，培训后举行测试(满分1 0 0分).从参与培训的教师中随机抽取1 0 0名教师并统计他们的测试分数，得到如图所示的频率分布折线图，则下列说法正确的是()A.这 1 0 0 名教师的测试分数的极差是2 0B.这 1 0 0 名教师中测试分数不低于9 0 分的人数占总人数的3 0%C.这 1 0 0 名教师的测试分数的中位数为8 7.5分D.这 1 0 0 名教师的测试分数的众数是8 7.5分【答案】B C D【详解】由题意知，这 1 0 0 名教师的测试分数的最高分与最低分都无法确定，A不正确；这 1 0 0 名教师中测试分数不低于9 0 分的人数占(O.O 3 +O.O 3)x 5 x l O O%=3 O%,B正确；设 这 1 0 0 名教师的测试分数的中位数为 a,则(0 Q2 +0.0 4)x 5 +(a -8 5)x 0.0 8 =0.5,解得a =8 7.5 (分)，C正确；由题图易知这1 0 0 名教师的测试分数的众数为8 7.5分，D正确.故 选:B C D.1 0.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”.则下列说法中正确的有()A.对于一个半径为1 的圆，其“优美函数”仅 有 1 个B.函数/(x)=d-3 x 可以是某个圆的“优美函数”C.若函数尸/(x)是“优美函数”，则函数片/(X)的图象一定是中心对称图形D.函数y =2 c o s(冷-x)可以同时是无数个圆的“优美函数”【答案】B D【详解】对于A,过圆心的任一直线都可以满足要求，故 A错误；对于B,函数x)=V-3 x 为奇函数，关于原点对称，可以是单位圆的“优美函数”，故 B 正确；对于C,函数尸f(x)的图象是中心对称图形，函数一定是“优美函数”，但“优美函数”不一定是中心对称函数，如图，故 C 错误；对于D,函数y =2c o s N-x J =-2s in x 关于原点对称，是圆/+y?=r,0/9+16=5=7?+r,两圆外切，故 A 正确;对于B,直线/的方程为y =x+i圆心C 到直线/的距离4,所以|AB|=2J r?-d；=2J 1 g =2x=/2,故 B 正确;对于C,因为直线/：y =过 原 点，（0-1）2+（0-1）2=2 1,原点在圆。外，所以直线/与圆。不一定相交，故 C 不正确;对于D,由题设及圆的切线性质得，师 忖。=2S 四 边 形 叩=2 x2 S =2 阳-因=2 附=2历 7 =2府 I,直线/的方程为x+y+i=o,|P C|的最小值为圆心。到 直 线/的 距 离 出=孚，则 但 尸 卜|尸。的最小值为2,乎）-1=7 1 4,故 D 不正确.综上可知，选 AB.故选：AB12.在正方体A B C O-A B C R中，M,N,R 分别为BC,CC,B片的中点，则下列说法正确的是（）A.BBt 1 A NB.A R 平面 A M NC.设 AB=1,且 户，。分别在线段A G与 B O上，则P Q 的最小值为1D.设点E 在平面B B GC 内，且 4 E平面A MN,则4 E与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 的 最 大 值 为 逆3【答案】BCD【详解】在正方体A B C Q-A 冉C Q中，以点为原点，向量方，玩，丽的方向分别为M 必 z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，令正方体的棱长为 1,则 A(l,0,0),B(l,1,0),C(0,1,0),A (10,1),B,(1,1,1),C,(0,1,1),Dt(0,0,1),对于A,棱C G中点N(0,l 1),则 丽=(-1,1,g),瓯=(0,0,1),W函=g,即 而 与 西 不 垂直，A不正确;对于B,棱比中点1,0),则 丽=(-；/,0),令平面A MN的法向量1(x,y,z),因此，_ 1n AM=-5 +)=0一 1 A N=-x +y +z =0令y =1,得A=(2,1,2),又棱 B耳中点 R(l,l,g),则 率=(0,1,-；),4 RM=1X1 +(-1)X2=0,即 乖 _L3,而 A Re 平面 A MN,于是得A R平面A M N,B正确;对于C,因48=1,P,。分别在线段A G与8。上，贝IJ丽=，福=-1,1,0)=(-5,0),点尸(1-，/，1),Z)Q =$0 3 =(s,s,0),点。(s,s,0),t9s 0,1,_ 1/+=1于是得 10Al=J(l-r-s)2+(f-s)2+l Zl,当且仅当,即r =s =7 时取所以当点a。分别为线段A G，8。的中点时，PQ取得最小值1,c正确；对于D,因点E在平面B B C C内，设E(X|,l,Z|),则4 g=由选项B知平面A MN的法向量五=(2,1,2),3因A E/平面A MN,则 率 不=2(占-1)+1 +2亿 1)=0,即4=5-不，又平面8片QC的法向量而=(0,1,0),令 直 线 与 平 面B B g C所成的角为。，则s in 3=|c o s 荏，而 H，簟二,|=_1 _ _ 1 _ _ _ 2 也&1)2+1+(马-1)2 和 iy+i+5T 桃扪：3当且仅当占=1时 取=”，因此，当点E(I,当 时，平 与平面网C C所成角的正弦值的最大值为遗，4 4 4 3D正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分1 3.在BC 中，N B A C =90。，4 8 =2,A C =l,E,F 为 B C 的三等分点，则 荏.而=.【答案】罕【详解】设 而=上 而=2(/一 而)，AE=AB +B E =-AB +-A C,3 3 3 3同 理 而=2而，AF=AB+W=-AB+-AC,3 3 3T T由NA =得：A B-A C=O,.衣.而=化 通+工 词.仕 通+2罚=2宿+9 福.正+2k(3 3 八 3 3 J 9 9 92。，2 ,10=-x2-+x r=.9 9 9故答案为：y.14 .设 P是抛物线/=4 x 上的一个动点，厂是抛物线y=4x 的焦点，若 8(3,2),则|如|+|所|的最小值为.【答案】4【详解】过点8 作制垂直准线于点0,交抛物线于点A,如图，则 建 0|=仍尸.则有 P B+P FPxB+4 0 =|BQ =4,即I阴+I例的最小值为4.故答案为：415 .若函数/(x)=a +b，(a 0,b 0,a xI,Kl)是偶函数，则 a。=.【答案】1【详解】由/(X)为偶函数可得-x)=/(x),即/+=优+，所 以(优+)(时-1 =0.因为x e R,且。0,Z?0,a w l,匕 h 1 ,所以 a Z?=l.故答案为：116 .已知函数y(x)h(j)，给出下列四个结论：x3-6 x2+9x+I,x 0函数x)在区间(7,1)上单调递减;1和3是函数 X)的极值点；当 引 时,函 数 的 值 域 是 函 5 ,则TSaSl；函数g(x)=L 初 2-(a +l)/(x)+”的零点至少有2 个，至多有6 个.其中，所有正确结论的序号是【答案】【详解】解：当 x 0 时，/(X)=X3-6X2+9X+1,则 r(x)=3f-12 x+9=3(x-l)(x-3),令尸(x)=0,得 x=l 或 3,所以当xe(O,l)时，r(x)0,x)单调递增；当xe(l,3)时，f(x)0,单调递增，作出函数/的大致图象，如下图所示：对于，由图象得，“X)在(-U)上先减后增，故错误；对于，由图象得，x=l 是 函 数 的 极 大 值 点，x=3 是函数/)的极小值点，故正确；对于，当x V O 时，令()=5得x=-l,所以若当xe 4,3 时，函数 X)的值域为 1,5 ,则故正确；对于，由 g(x)=/(x)-(a +l)/(x)+a =(x)-l .(x)-a ,得函数 g(x)的零点，等价于方程/(x)=1和方程f (x)=a的根的个数，即 等 价 于 尸 1 和 尸 a,与 函 数 片/1(x)的图象的交点个数，由 图象得尸1 与函数f (x)的图象有2个交点，当 a 1 时，片 a 与函数f (x)的图象没有交点，所以函数g G)的零点有2个；当 a=1 时，y=a 与函数f(x)的图象有2个交点，所以函数g(x)的零点有2个；当 l a 5 时，片 a 与函数7 (x)的图象有2 个交点，所以函数g (x)的零点有4个；所以函数g(x)=(x)J(l)F(x)+a的零点至少有2个，至多有6个，故正确.故答案为：.四.解答题：本小题共6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列 ,的公比和等差数列 4 的公差都为4,等比数列 4 的首项为2,且%,%+2,%成等差数列，等差数列 ,)的首项为1.（1）求和 仇 的通项公式;(2)若数歹H组 的 前 项 和 为 若 对 任 意“e N*均有(2恒成立，求义的范围.【答案】(1)因为。2,“3+2,生成等差数列,所以:2(%+2)=%+4,整 理 得:2 x(2/+2)=24+2/,即/-2/+”2=0,故(q-2)(/+l)=0,解得q=2,所 以=2x2T=2,b=l+2(n-l)=2n-l.(2)证明：(2)由 得:G吟=(2-1)夕，故 7；=lxg+3x(；+.+(2f.(夕，文=1 x 卡 +3 x(；)，+.+(2-1).(；严，-得：g z,=g +l-(3 i-(2 -l)x(；严，故7；=3-苧3.因此4的范围为3,+8).1 8.在AABC中，内角A,B,C的对边分别为。，h,C,且满足2acosB=+2c.(1)求角A；(2)若“8C的面积为百，a=2,D 为边B C 上 一 点,且NBAD=N C A O,求A。的长.【答案】(1)解：由正弦定理及 2。cos 5=Z?+2c,2 sin A cos B=sin B+2 sin C,因为 A+3+C=%，可得 sinC=sin(A+3),所以 2sin AcosB=sinB+2sin(A+B),可得 2sin Acos B-sin B+2sin Acos B+2cos Asin B,所以 sin B+2cos Asin B=0,因为 8 c(0,乃)，可得 s in/w O,所以 cosA=-g,又因为04加，所以4=与.(2)解：由三角形的面积公式，可得S A.c=g A s in g =6,解得儿=4,又由余弦定理得/=b1+ci-2bccosZ BA C=b2+ci+bc=21,所以从+c?=17,fc=1 (c=4联立方程组，可 得 八4或 八 p =4 b=l24IT因为 N 5A D=N C 4D,且 4=彳，所以 NBA。=NCAZ)=,又因为 SJB C=S.D +S.CAO，可得 6 =g c AOsin +J .AD sin ,解得 m=/4-=三4.b+c 51 9.在四棱锥 P-A8 c。中，PQ_L 平面 A 5 C O,A B/DC,AH AD,C D =AD =AB ,Z P A D =45,E 是P A的中点，G在线段AB上，且满足C G J.8 O.(1)求证：D E/平面尸8C；(2)在线段P A上是否存在点“，使得GH与平面P GC所成角的正弦值是赵，若存在，求出4的长；3若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明：由题意，设 D 4 =l,因为 P O 1 平面 A S C D,A B H D C ,A 8 J.A D,如图，以。为原点，DA.D C、O P所在直线分别为x、)1 z轴建立空间直角坐标系。-个2,如图所示.则 C Z)=AO =gA8=l,而NPA )=4 5,易知N P D 4=9 0 ,于是P =D 4 =1,又E是应的中点，故 0(0,0,0)、7 1(1,0,0),8 0,2,0)、4 0,1,0)、以0,0,1)、所 以 配=(T,1,0),C P =(O,-l,l),fn-B C=0m -C P=0设平面P 8C的法向量为京=(x,y,z),则-x -y =0-y +z=0即令 y =l,则 x =-l,z =l,可得加又 诙=(!，0，:l .-.D =-lx l+0+l x l =0,.-.mA,DE,2 2)2 2D E Z 平面 P B C ,DE/平面 P B C .(2)解：设点G坐标为(l,f,0),其中0V Y 2,则 黄=。,10),丽=(1,2,0),p由 CGJ_5D得 希 丽=l+2 -l)=0 n 4=g,AP=(-1,O,1),设 丽=2丽=(-4,0,4),2 e 0,l,GA=0,-,0:.GH=GA+7Jd设平面 PGC 的法向量为 2=(a,b,c),CP=(O,-l,l),CG=l,-1,o jr _ -6+C =0由一，得d1 ,取6=2,可得五=(1,2,2),/?CG=0 a b=0i I 2则 cos=G H n 2 2-2|画 卡 3,842+1,：G H与平面P G C所成角的正弦值为也,32/1-23 J8/P+1 3整理得：2022+8 2-1=0,解得：2=专 或 义=-；（舍）所以，存在满足条件的点“，加=（-；,0,白,且A/7=克.I 10 10J 102 0.已知椭圆C:1+口=1（。6 0）的离心率为无，且过点尸（。,1）.a2 b2 2（1）求椭圆C的标准方程；（2）过定点例（1,0）的直线/与椭圆C相交于A、B两点，已知点N（4，m）,设直线AN、BN的斜率分别为&1、右，求证：匕+&=1.【答案】(1)因为椭圆离心率为近，且过点P(O，1),2所以c 3e=a 2b=1 ,解得 a =2,b=l,a2=h2+c2所以椭圆c 的 方 程 为%(2)证明：若A8的斜率不存在，则A(1,日3 百3 百此时*+寺”若A3的斜率存在，设 A 8,*),B(X2,y2)f设A3的方程为)，=A(x T),y=k（x-V）+丁=1得（1 +4 公卜2-八+4 公-4 =0,由韦达定理得玉+X 2=J T4 二一4X,1 X7-=1 +4 产 3则 一 y 一 5,3h=总一 4所%+&=y2 2 2 烟&-（5 Z+）+4（2 攵 +3）xxx2 4（x）+x2）+1 63%4 /一 43 6+1 2 _3 6F+1 2 -综上4+1.2 1.某俱乐部的甲、乙两名运动员入围某乒乓球个人赛的半决赛后，将分别与其他俱乐部的两名运动员进行比赛，胜者可进入决赛.已知半决赛采用五局三胜制，即首先获胜三局的运动员胜出假设甲、乙每局比赛获胜的概率分别为1|，且每局比赛的结果相互独立.(1)求该俱乐部提前锁定冠军的概率；(提前锁定冠军是指同一俱乐部的两名运动员均进入决赛)；(2)在该俱乐部提前锁定冠军的条件下，记本次半决赛所进行的局数为3求。的分布列和数学期望.【答案】(1)解：记事件力表示“该俱乐部提前锁定冠军”，事件6 表 示“甲进入决赛”，事件。表 示“乙进入决赛”，则 P(B)=H+C；XS+CMH，尸(c)=(|)+0/用 +c；x)x(|)喑,因此该俱乐部提前锁定冠军的概率P(A)=P(B)-P(C)=兰32.(2)解：在该俱乐部提前锁定冠军的条件下，4 的所有可能取值为6,7,8,9,1 0,3；32%=7)=看；小|乂品(|)1564P5)=看x C；x(|xC旧x(|)+(升叫x图 +C唱 x图1564、()小停)=所以。的分布列为067891 0P3151115332643264323 15 11 15 3故数学期望E =6 x至+7X M+8X袁+9至+办 记=8.2 2.已知函数/(x)=l nx 1 .X(1)求函数函*)的极值;(2)(i)当x l 时，/(x)0 恒成立，求正整数的最大值;(ii)证 明:(1 +1 X 2)(1 +2X 3).1 +/(+!)e(2,)【答案】x k(1)fx)=-,x 0,X当 A W 0 时，f(x)0,函 数 在(0,+8)上单调递增，没有极值;当 A 0 时，由 f(x)0 得 x k,由 F (x)l时，F (x)0恒成立，即只要f (x)而 0即可，由(1)女 0时，f(x)在(0,k)上单调递减，在(k,+8)上单调递增，(a)若 A W 1 时，f (x)在(1,+8)上单调递增，f(%)w/nf(1)=1满足题意；Q b)当左1时，f Q x)在(0,k)上单调递减，在(k,+8)上单调递增，f (x)ain=f(k)=/9 一衣2 0,1 Y令 g(x)=lnx-x+2f 则 g(x)=-0,g(3)=lrii-1 0,g(4)=7/?4-20的解集为(1,弱)，综上衣的取值范围(-8,照)，其中照仁(3,4),所以正整数攵的最大值3；(ii)证明：要证0 +ix2)(l +2x3)L (l +x(+l)e (2E l两边取对数，即证l n(l +l x2)(l +2x3)L (1 +x(+1)2 言也即证 l n(l +l x2)+l n(l +2x3)+L+l n l +x(+l)2 由 知 l nx 亚 心-1,X令 x=l+(加 1),则 I nin(加1)+1 2-/+3 )+2-3(3 3;=2-厂 内所以l n(l +l x2)+l n(l +2x3)+L +l n l +nx(n+l)c /1 1 1 T 1 1 2 n-3 1-b-i-L H-e 2G L