2023年经济数学基础作业电大.pdf
经济数学基础作业4知识要点：1.掌握函数单调性的判别方法，会求函数的单调区间。2.知道极值存在的必要条件，掌握极值点的判别方法，知道极值点与驻点的关系，会求函数的极值。3 .会求需求对价格的弹性。4.纯熟掌握经济分析中求最大（小）值的方法（求平均成本的最小值，利润的最大值）。5 .纯熟掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法。6 .了解微分方程的几个基本概念:微分方程、阶、解（通解、特解）及线性微分方程等。7 .掌握可分离变量微分方程的解法，掌握一阶线性微分方程的解法。8 .理解并纯熟掌握线性方程组的有解鉴定定理；纯熟掌握用消元法求线性方程组的一般解。（-）填空题1.函数f（x）=+i 的定义域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _I n（x-l）-4-x 0解：要使/（x）故意义，贝I 规定1 0,X-1 W 1x 4解不等式组得：l,X H 2求初等函数的定义域，一般要满足：（1）分式中分母的表达式不为零；（2）根式中偶次根号下的表达式大工前笺工重.因此，定义域为（1,2）。（2,4。2 .函数y =3（x-I）2的驻点是，极值点是，它是极_ _ _ _值点.解:y =3 x 2(x l)(x-1/=6(x-1)令 y =0 得：x=1y =6 0 A 因此,所求驻极值点是x=l,它是极小值点。I.使f(x)=0的点称为函数/(x)的驻点。2 .设广(%)=0,且/设玉,)*0(1)若/(%)0,则与为极小值点;(2)若/(/)P-11 A)(0 A +1J当方程有非零解，则 r(A)2 (未知量个数),则 A =1 o1 15.设线性方程组AX=。，且入0 -10 0一解.齐 次 方 程 组 AX=0有非零解的充足必要条件为：”A)，(为-A-X C 14口 士+G r-SL 人就、I 63 2，则 ft+0.时，方程组有唯解：要使线性方程组AX=。有唯一解厕规定 A)=r(A)=(方程未知量个数)，因此，当”一 1 时,，(A)=r(A)=3,方程组有唯一解。(二)单项选择题1 .下列函数在指定区间(-8,+8)上 单 调 增 长 的 是().A.s i n x B.e *C.x2 D.3 -x解:函数s i n x,e，,x 2 均为基本初等函数，由它们的性质知：函数e、在区间(-8,+8)上是单调增长。该题对的答案为：B.2.设/)=,，则/(/(幻)=()XA .B.C .x D./X X解油于/(X)=士则/(/(X)=/(-)=X ,X X该题对的答案为:C.3.下列积分计算对的的是().x 八 一x r 1A.f =dx=O B.f -dx=OJ-i 2 L 2C.j ：九 s i n A d x=O D.j (x2 4-x3)d r=0a解:注意到:定积分J/(x)d x,-aa(1)当/(x)为奇函数时，则 J/(x)必:=0;(2)当/(x)为偶函数时，则 j/(x)d x=2 j/(x)a x。-a0 x-x-x-(-Jr)-x x答案 A 中设/(X)=F，/(一%)=-=F-=一幻，因 止 匕 Jri i e exdr =O,该题对的答案为：A.4.设线性方程组A*“X=b 有无穷多解的充足必要条件是().A.r(A)=r(A)m B.r(A)n C.m n D.r(A)=r(A)n解:该题对的答案为：D.$+=a5.设线性方程组0 1 1 a2_ 1 2 1 3_0 1 1 a3-a11 1 0 4 0 1 1 a20 0 0%4-。2方程组有解的充足必要条件是：r(A)=r(A),即/-4 一。2=。,即。I +。2 a3=，该题对的答案为:C.三、解答题1.求解下列可分离变量的微分方程：(1)V =e f解:原方程变形为：e-ydy=exdx方程两边积分得：Jeydy=Jexdx-e 7=e*+c即为方程通解.出=dr 3y解:原方程变形为:3 y 2力=x exdx方程两边积分得：J 3y2力=J X exdxy 3-J xdex-xex J exdx-xex ex+cy 3=x e x-e*+c即 为 方 程 通 解.2.求解下列一阶线性微分方程：、，2 3(1)y y=x3x解：由一阶线性微分方程通解公式：y=q(x)e J djc+c)得原方程通解：y=/1(J/公+)=e21nv(J xV21n +c)=(J *-dx+c)2=x2(+c)2(2)/-=2xsi n2xx解：由一阶线性微分方程通解公式:y=心(J q(x)e J、dx+c)f ()d x 广 f ()d x得原方程通解：y=e*(J 2xsi n2xeJ x dx+c)=elnjc(J 2xsi n 2xenxdx+c)=x(J 2si n 2xdx+c)=x(cos2x+c)3.求解下列微分方程的初值问题：(1)y =e?”,y(0)=0解:原方程变形为：eydy=elxdx方程两边积分得:J dy=J e2xdxe=，e 2x+c即为方程通解2将 y(0)=0代人通解得：e O=g e O+f lJ c=；因此，原方程特解为：/=；(2)xy+y-ex=O,y(l)=O解:原方程变形为：y+2v =一e X X由一阶线性微分方程通解公式：y=q(x M ddx+c)得方程通解:y=e 1”(J +c)e-n nxdx+cJ x将y=0代人通解得：O =；(e +c),则c=-e原方程特解为：y=-(ex-e)x4.求解下列线性方程组的一般解：(1)2-1 11 7-44 21 111 51 2 0-50 5-1 4 23-7 -3-3 7 31 2-1 0-5 30 0 04 2-7 -30 0o1o1oo4-53-506-57-5023-5047-5013-51-o210loo3 7 3（其中尤1，%2是自由未知量）X2 =X3 -%4 +-5.当;l为什么值时，线性方程组x-x2-5X3+4X4=22苞-%2+3xj 13X1-2X2-2X3+3X4=37%5X2 9X3+10X4=2有解,并求一般解。-1-1-542解:=2-13-113-2-2337-5 91021-1-5420113-9-30113 9-30226-182-14方程有无穷多解1-1-542108-5-10113 9-3_ _、0113-9-30000000004 800002-800000当;1 =8时，A)=r(A)=2 4,方程的一般解为:玉-8x3+5X4-1x2=-13X3+9X4-3（其中X1,乙是自由未知量）5.a,b为什么值时，方程组X,-x2-x3=l 0 20 4-1 1a+b-1 -1-1 1 0 2-1 10 0 a+3 b-3当a =-3且时，方程组无解；当aw 3时，方程组有唯一解；当a =3且6=3时，方程组无穷多解。6.求解下列经济应用问题:(1)设生产某种产品q个单位时的成本函数为：C(q)=100+Q 2 5 d+6 q (万 元)，求：当“=1 0时的总成本、平均成本和边际成本;当产量q为多少时，平均成本最小?解:C(10)=100+0.25 x 102+6x 10=185(万元);心(10)=型8 =18.5(万元/单位);10(7(10)=(100+0.25炉+6/=(0.5q +6)|(/=10=11(万元/单位).平均成本：=1 3 =她+0.25q +6,q0q qC(q)=(+0.25 7 +6丫 =-粤 +0.250q 7=2 0因此，当产量为20个单位时可使平均成本达成最低。(2).某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q)=求经济最值问题的解题环节:(1)列出目的函数(就是所求实际问题达成最值的经济函数，比如利润函数或平均成本函数等)；(2)对目的函数求导，令目的函数的导数等于0,求出驻点；(R)若 酢 占 唯 一.由 鉴知+4q+U.U q-(兀)，甲.位，用 售 价格为=14-0.09(元/件)，问产量为多少时可使利润达成最大？最大利润是多少.解：收入函数H(q)=pg =(14 0.01q)q =14q 0.01q 2利润函数 L(q)=R -C(q)=14q -0.0 Iq?_(20+4q +O.Olcf)=10-0.02-20L (q)=10-0.04q令L (q)=0得唯一驻点q=250,f(250)=-0.04 0XXH、1 36C (x)=1一一rx令不(x)=0得唯一驻点x=6 72Cr,(6)=0X x=6因此，当产量为6百台时，平均成本达成最低.(4)已知某产品的边际成本Cx)=2(元/件)，固定成本为0,边际收益R(x)=12-0.0 2x,求：产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产5 0件，利润将会发生什么变化?解：边际利润r(x)=R(x)-C(x)-12-0.0 2x-2=10-0.0 2%令L (x)=0得唯一驻点x=50 0,，(50 0)=0.0 2(10 0.0 2幻公500 500、1 550=(10X-0.0 1X2)|5M)=-25即利润将减少2 5元.
