2023年经济数学基础上导数与微分笔记整理.pdf

经济数学基础（上）数学笔记整理第二章导数与微分（P49）目录一、身散的符老嵬滑楚.错误!未定义书签。二、易敢的小佝爸义.错误!未定义书签。三、可寻与值傻的关系.错误!未定义书签。四、仔故的基本2 式与傕可躅.错误!未定义书签。五、初覆方程向麴.错误!未定义书签。六、发台曲故的求导.错误!未定义书签。七、隐向敢的导教.错误!未定义书签。八、高汾导敌.错误!未定义书签。九、来分.错误!未定义书签。十、可聚、引寻加修、极限的关2.错误!未定义书签。身散的符号塞港焚（P 5 1,5 2 都有），最简朴的就是y二 身 散 的e何意义（P 5 5）函数y=f （x）在点与处的导数1（殉），就是曲线y=f （x）在 点（和，丫 0）处切线的斜率，k=f（%0），切线的方程为 y-X）=f（/）（x-物）三、可 寻 专 修0的关卷（P 5 6,2.1.5）定理2.1 和注意可导=连 续（充足条件）y=f （x）的图像在点无。处出尖，则 f （x）在出处不可导。例：y=W,图像如下，此时，当 x=O 时，图像出尖，不可导。四、导数的基本公式与四句题（P 6 5-6 6,2.2.6 的 1.,2,3.,）就记书上的前8个就行了，其他的不用记/1 .1 厂，1匕 J 2（口）=T再多记2个：X，%2仆【练 习 1：求导】?3y =5x+r-2x+4 co sx +ln 7 x解：有分式，商的导数不好算，可以先化简。.y=5x2+3-x 3-2X+4cosx+ln7.-.y=10 x-9 x-4-2zln2+4-(-sinx)+0【注意ln7为常数，常数的导数为0 哦！】910 x-r-2*ln2-4sinx=x4 y=(1+2x)(5x2-3x+1)解决此题有2 种方法，方法一是直接求。方法二是先打开，再求。你觉得怎么简朴就怎么来.一般情况是先打开再做比较容易，有时是怎么做都同样的。方法一：直接求。要用到乘积的导数。(先打开再做就用不着乘积的导数，看过程就知道哪个方法简朴了。)y=(l+2x)1(5X2-3X+1)4-(l+2x)(5x2-3x+1)=2(5/-3 x +1)+(1+2x)(lO x-3)=0 6x+2+lOx-3+20 x 6x2=30 x-2x-1方法二：先打开，再求导。y=(1+2x)(5x2-3x+1)-3x+1+10 x 6/+2x3 7=QX-X -X+1.y=3Ox2-2x-1【练习2：求导】y=3x4-5x+ln6解：y=1 2/-5【注意：m6为常数，导数也为0 哦！】y=4cx+3sinx-5cosx解：y=4ex+3cosx+5sinx y=x2-2x解：y=2x，2*+/.2*ln2 y=xsix+Inx.1y=sinx+xcosx+-解：x443-+1y=8很容易能看出来，此题必须要化简了。你要是想用商的导数来求的话，是够麻烦的了。4x3-m +1V -解：,X1=(x+1)2【书上的题P75,3,4P75,3.求导(2)y=x2(2+收)这题就是怎么做都行，你想用乘积的方法做就直接挑战吧。但是为了简朴，我们的习惯就是=(4%3一/+1)%1=4x2-x 2+%-13 1-2-2y=8x+-x-x：.2x2-2x y=x+l这题就不能化简了，怎么着都是麻烦。商的导数会背吗？要用了。注意所有公式都必须要会背哦！,(X2-2X)(x+1)-(X2-2X)(x+1)解：y=-n-(x+i)”(2x-2)(x+l)-(X2-2X)=(x+l)2+2.x 2先打开，再求导。.y=/(2 4-yfx)52 2=2X+x315 2.y=4x+-xy=2,%L _1 +4j3r(4)xL、，1/1 r 1(J)=一，和(V =-此题也可以直接，前提是你必须会背两个公式。2 /假如这两个公式知道的话，就直接求导。若不知道，就要化成指数的形式。方法一：直接求导。,1 解/=2.不.J1 _xJx-X方法二:若并不会背那两个公式，你也可以解题的。先把它化成指数的形式再求导就行了。=2 -%-1 +4/311-V=2-%2-(-1)X-221-2-2=%+【写成这样就行了，不用再化成根号了】X2 2、丫=万+”(8),x这题化简也不容易，直接来商的导数吧！.2%2-2-2x4x-1 XP 7 5,4.求导2 x(3)y =%，e解：y =2 x-ex+x2-ex=x*ex(2 +x)【怎么样，这些导数还算简朴？】Z、物覆方程向题从导数的几何意义可知，(”0)表达曲线y=f(X)在 点(与，V。)处切线的斜率。所以求切线方程就得先求斜率，再运用点斜式，方程就求出来了。2例 1：求曲线y=x 在 点(3,9)处的切线方程解：y =2 x.k=y =6.方程为y _ 9 =6 (x-3),g|j y =6 x-9例 2：求 y=lnx 在 x=l处的切线方程写方程得知道斜率和一个点。而这题没给点，则需要先把该点找出来。题目中给了该点的横坐标，纵坐标很好找的嘛！解：y (1)=0切 点 为(1,0),1y -;.k=y =i方程为y =x-i六、氮会留散的求身(P58,2.2.2)学会了上边的基本的求导，接下来就要学习更难一点的复合函数的求导了。并且，你还别着急，导数这章可是咱们期中考试的重点呐，怎么着也得会点吧？【求导的方法：】分解复合函数(第一章已经讲过了，不会的去看第一章吧)分别求导将导数相乘 把 中 间 变 量(U、V、s、t.)代回来下面有2 道例题，每道题都分为“初级、中级、高级”，哈哈，请对号入座你目前处在什么级别自己心里清楚，能把题做对就可以了嘛。例 1：求导：y=Insin(X2+1)初级：按照上边的方法一步一步来的说2解：分解：y=lnu,u=sinv,v=x 4-1.1.，y(u)=,u(v)=cosv,v(x)=2x分别求导：乙 一 y=y(u)-u(v)-v(x)=cosv-2x将导数相乘:、y=-cos(x2 4-1)-2x=2x-cot(x2+1)把中间变量(u、v)代回来：s in(%+【假如不知道余切公式，可以不用化成余切】中级：省掉了分解函数的环节，一步一步的求导y=-4-sin (x2+1)1解：sin(/+1)-cos(%2+1)-(%2 4-1)1_sin(xz+1)1?-z-cos(%+1)2x_sin(%，+1)_2x-cot(x2+1)高级：你懂的,cos（x2 4-1）解：y=-71-12xsin（%+1）_2x-cot（%2+1）例 2：y=sin2（2x3 4-x）你应当知道，y=s i i（2/+x）=s in（2X3+X）2初级：一切从分解复合函数开始2Q解：1分解：y=，u=sinv,v=2x+xv2分别求导：y（U）=2u,u（v）=cosv,v（x）=6x2+1 3将导数相乘:y=y（u）u（v）-v（x）=2u-cosv（6x2+1）4把中间变量（u、v）代回来：y=2sin（2x3 4-x）-cos（2x3 4-x）（6x2 4-1）=sin2（2 1 +x）-（6X2+1）【假如不会二倍角公式，这步可以不写】=s in（4 4 +2x）-（6X2+1）中级：解：y=2sin（2x3+x）sin（2x3 4-x）_2sin（2x3+x）-cos（2x3 4-x）（2x3+x）,_2sin（2x3 4-x）-cos（2x3 4-x）（6x2+1）=sin2（2 4 +x）（6x2+1）二 s in（4+2X）-（6x2 4-1）高级：解：y=2sin（2x3+x）-cos（2x3+x）（6x2+1）=s in2（2+x）（6x2 4-1）=s i n(4 x3+2 x)-(6 x2 +i)复合函数的导数学会了没？现在自己来做几道吧！下边的解题环节有点高手级别了，但是基本上都是用公式做的，你应当能看懂吧。看不懂的话只能说你公式不会背哦，先把公式背会吧。考试时可是闭卷哦。【书上的题，P 7 6,7 (3)(2 1)(6)(1 2)(2 0)(2 2)。前 2道是课堂练习，后 4道为作业题】P 7 6,7.求导(3)y =(2 x-l)Jl -解：y =(2 x-l)Jl -x2+(2 x-l)(Jl-x2)2 (1 -x2)-x(2 x-1)=-4 x2+x+2=J l-/1COS(2 i)y =3 x哦，天呐，最难打的一个公式了，好小的格哦看看是有多复杂的题吧。呵呵，看的懂吗？y=3,u=cosv,v=l-2解：x1,c o s7 I 1y=3 ln3-sin-2 x-3)1c s)3 13 ln3-2x 3-sinxy解：(12)y解：(20)1cos 花 12-3*ln3-sin%，=下边4道题，凡是抄过我作业的同学，你们写的过程都至少有4、5步，看不懂下边过程的，看作业上的去。假如还不会的话，问我。(6)y=旧-2X+52x-22 M-2x+5X-1-2x+52.1y=%-sin-x1 2 1 1=2xsin-+%-cos(-z)%x x21 12x-sin-cos-=x xy=e Xcos3x解：y=e-x.(-1)cos3x+_ 3sin3x)=-e-x(cos3x+3sin3x)(22)y=5解：y=5xlnxln5-(xlnx)=5xlnxIn5-(lnx+1)【练习：求导数(复合函数)】y=(2X3+1)20解：y=u,u=2x+1y=20(2x3+1)19-6X2 y=sin(%4-4x)现在都应当知道丫=$访3 (/+4 x)=s i n (/+4 X)F 了吧，不解释。解：y =u,u=s m v,v=x 4-4 xy =3 s i n2(%2 4-4 x)-c o s (x2+4 x)(2 x+4)2 y =4 2解：y =4U,u=v2,v=c o s x.2y =4CO S Xl n 4-2 c o s x-(-s i n x)(4)y =e -Xs i n 3 x解：y =ex-(-1)-s i n 3 x+e-x-3 c o s 3 x=ex(-s i n 3 x+3 c o s 3 x)2 1y=x-c o s-x1 2 /八 1y =2 x-c o s-+%-s i n-1 -(-r)解：“/1 12 x-c o s-+s i n-xx y =c o s (l n&+4)解：y =c o s u,u=In v,v=价,t=%2 4-4y =-s i n (l n Jx2+4)/.F=-2XJ%，+4 2 收+4-s i n (i n /x2+4)=x2 4-4 y=e c o s 2 x解：y =c c o s 2 x+c (-2 s i n 2 x)=e2x(c o s 2 x-2 s i n 2 x)七、德备散的身敢(P 6 2)隐函数求导的方法：（书上有P 6 2）直接来例题试试看：例 1：已知方程3 x-y+l=0 拟定了函数y=y(x),求y：解：y=3x+l,.-.y=3例 2：已知方程e*+lny=y2拟定了y=y(x),求匕x 1,e+-y=2y-y解：y.ie=2y-y-y12y一 yy=-例 3：已知方程丫3+/=*丫 2拟定了函数丫=丫 (x),求y。解:3y2-y+2x=y2+x-2y-y3y2-y-%2yy=y2-2x,y2-2xy=-?3y-x-2y例 4：已知方程4/+siny=e，拟定了函数y=y(x),求y：解：8x 4-cosy-y=ey-y*8x=H y -cosy-y.8xy=-ey-cosy八、君汾身散(P66),dy一阶导数：y=x二阶导数：y=(y)三阶导数：y=(y )二阶导数及二阶以上的导数，都叫高阶导数。n 阶导数：y 5)=(i)例 :y=3x4+5x2y=12x3+lOx,y =36x2+10,y=72x,y(4)=72y=-6)=.=y(n)=0y=aoxn+a1xn-1.(n)=a0-n!(n+1)=y(n +2)=Oj27 1,S 1I c y=x.cosx,求y”(5)例2：,7解：y=2xcosx-x sinx 7y=2cosx-2xsinx-2xsinx-x cosxC 4 2=2cosx-4xsinx-x cosx，弓)=*九、微分(P68)1.y=f(x)在点x处，将dy记作y的微分。dy=y,dx。dx记作x的微分，是一个必须要带着的符号。如何判断方程的左边与右边呢？有d x的就是方程的右边。2.求微分：求导，后边再加上dx就可以了。如下：y=sin(x2+2)解：y=2x-cos(x2+2).d y=2 xcos(x2+2)-dx y=In(3X4+5X),12x3+5y=-4 -解：3%4-5x12x3+5dy=-dx3x+5x（）y=也 +解：y=+也51-6y=6X51.dy=-x-dx3.左边(微分)d-sinx=cosx-dxd-cosx=-sinx-dx1d-lnx=dxxd-x=2x-dxd-ex=ex-dx右边(积分)1 2x-dx=d-(-x)cosx-dx=d-(sinx)sinx-dx=d-(-cosx)ex-dx=d-ex1dx=d*ln|x|x十、可微、可 身 初 但 篌、极限的关怒可微O可导=连续=有极限