四川省绵阳市高中2022-2023学年高二下学期期末教学质量测试数学（理）试题含答案.pdf
四川省绵阳市高中2022-2023学年高二下学期期末教学质量测试数学（理）试题绵阳市高中绵阳市高中 2021 级第级第四学期期末四学期期末考试考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分BDACDBCCADAC二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13101412215062 yx162三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17解：（1）设答对交通安全题目、答对消防安全题目的事件分别为1A，2A，两道题目回答得分不低于 6 分的事件为 B，2 分则121212()()()()()()()P BP A P AP A P AP A P A2121215(1)(1)3232326，4 分该队两道题目回答得分不低于 6 分的概率为56；5 分（2）X 的可能取值为 3，7，11，15，6 分21113(1)(1)(1)3239P Y；7 分21121121177(1)(1)(1)(1)(1)(1)32332332318P Y；8 分211211211711(1)(1)(1)32332332318P Y；9 分2111153239P Y，10 分则 Y 的分布列为：Y371115P1971871819 11 分所以 17713711159918189E Y 12 分18解：（1）由已知得：23APAE =23(a+c)，1 分1122AQABAD=12(a+b)，2 分PQAQAP 12b16a23c，4 分PAQB a(12b16a23c)=12ab16a223ac 5 分=016 66 0=6；6 分（2）由题意可得 ab=ac=0，7 分由（1）得，PQ 12b16a23c，2PQ (12b16a23c)2=14b2+136a2+49c221216ab21223bc+21623ac 9 分=1436+13636+493602122366cos120+0=38|38PQ ，10 分cosAB PQ ，=AB PQAB PQ =6638=3838，11 分异面直线 AB 与 PQ 所成角的余弦值为383812 分19解：（1）因为31()3f xxaxb，所以2()fxxa，1 分3x 时，()yf x有极小值，(3)0f ，即30a，即3a.2 分当3a 时，2()3fxx，令()0fx，即33x；3 分令()0fx，即3x或3x，()f x在(3)，上单调递减，在(33)，上单调递增，在(3)，上单调递减，()f x在3x 处取得极小值，符合题目条件.4 分又1(2 3)24 33 2 303fb ，所以2 3b，5 分 3132 33fxxx.6 分（2）由（1）可知，函数()g x在(,3)上单调递减，在(3,3)上单调递增，在(3,)上单调递减，7 分令()()2 30g xf x，得0 x，3x ，8 分当30m时，则()g x在(3,3)上单调递增，()(0)0g xg，()g x在3)m，上无零点；9 分当03m时，则()(0)0g mg，则()g x在3)，m上仅有一个零点，10 分当3m 时，()g x在 3)m，上单调递减，()g(3)0g m，()g x在3)，m上有两个零点；11 分综上所述，当30m时，()g x在3)m，上无零点；当03m时，()g x在3)，m上仅有一个零点；当3m 时，()g x在3)，m上有两个零点12 分20解：（1）取 AC 中点 O，连接 DO、OB，在正ACD 和正ABC 中，2AC，DOAC，BOAC，DO=BO=3，2 分而平面ACD 平面 ABC，平面ACD 平面ABCAC，DO 平面 ACD，BO平面 ABC，DO 平面 ABC，BO平面 ACD，4 分又BE 平面 ABC，则有/DOEB，而3DOEB四边形 DOBE 是平行四边形，则/DEOB，5 分而OB 平面 ABC，DE 平面 ABC，DE/平面 ABC 6 分（2）由（1）知，OB，OC，OD 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz，则 A(0，1，0)，B(3，0，0)，D(0，0，3)，C(0，1，0)，13(0)22，M，8 分(3 1 0)，AB ，33(0)22，AM ，9 分显然平面 DAC 的一个法向量为1(1,0,0)n，10 分设平面 MAB 的一个法向量为2(,)nx y z，则223033022nABxynAMyz ，令1x，得2(1,3,3)n ，11 分121222212|113|cos,|13|11(3)3n nn nnn ，平面 AMB 与平面 ACD 所成锐二面角的余弦值为131312 分21解：（1）由题，()f x的定义域为(0 1)(1)，1 分22ln11 ln()(1)1(1)xxxfxxxx，2 分令()1 lng xxx，则11()1xg xxx，3 分当0,1x时，()0g x，()g x为减函数，()(1)0g xg，()0fx；当1,x时，()0g x，()g x为增函数，()(1)0g xg，()0fx；4 分()f x的单调递增区间为(0 1)，(1)，5 分（2）令()ln(1)1kxf xx xx，22()(1)(1)ln11()ln(1)1(1)kx xkxkkxxfxxxxxx 2(1)(1)ln(1)kxkkxxx，7 分令()(1)(1)ln(1)kg xxkkx xx，2222111()1xkxkxkxkkg xxxxx；8 分当1k 时，()0g x恒成立，则()g x在1,上单调递增，()(1)0g xg，即()0f x，则()f x在1,上单调递增，此时()f x在1,上不存在最小值，不合题意；9 分当1k 时，若1,xk，则()0g x；若,tk，则()0g x；()g x在1,k上单调递减，在,k 上单调递增，又(1)0g，()0g k，又21(e)(e1)(e2)0eekkkkgk，存在0(e)，kxk，使得0()0g x，且当0(1)，xx时，()0g x，即()0fx；当0(,)xx时，()0g x，即()0f x；10 分()f x在0(1,)x上单调递减，在0(,)x 上单调递增，min0()()f xf x，即()f x存在最小值；11 分综上所述：实数k的取值范围为(1,)12 分22解：（1）由3sin2cosxy，得22223sin2cosxy，消去，C 的普通方程为22132xy；2 分由2cossin6，得2cossin6，令cosx，siny，直线l的直角坐标方程为26xy.4 分（2）在22132xy中，令cosx，siny，所以22222cos3sin6，即 C 的极坐标方程为222sin6，5 分联立222cossin62sin6，得22cos2sincos1，6 分cos2sin20，所以tan21，7 分又02，则024，所以324或74或114或154，解得38或78或118或158，8 分由图可知，两交点位于第一、四象限，38或158，9 分12315988410 分23解：（1）当1a 时，()4f x 等价于|1|3|4xx，1 分当1x时，13420 xxx，则01x，2 分当13x时，13424xx，则13x，3 分当3x时，134244xxx，则34x，4 分综上所述，不等式()4f x 的解集为(04)，5 分（2）()3(3)2f xxaxaxaxaa，当且仅当()(3)0 xa xa等号成立，min()|2|2f xa，即21a，6 分24()()am amn，22241amn，7 分222222221144()()5()52 49()nnmmnmmnmn，8 分当且仅当224()()mnmn，即2()2mn，即213m，26n 时，等号成立，9 分221nm的最小值为 9 10 分
