2010年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)试题解答集锦.pdf

弘 竞赛 之路 往考 线 瓮 擘 1 0每拿 国 高中 i数学 ii,联合 蠢赛伽 试(豢)。溅磨解簪翁锶 陈孝 庚(西安 交 通大学 附属 中学)广 隶(陕西 省数 学竞赛 委员 会)王 强芳 黄科(广西南 宁市 第三 中学)一、(本题 满分 4 0分)如 图 1，锐角 AAB C 的外 心 为 0，K 是边 B C上一 点(不 是边 B C的 中点)，D 是线 段 AlK 延 长线 上 一 点，直线 BD 与 AC 交 于 点 N，直 线 C D 与AB 交于点 M，求证：若 OK上MN，则 A、B、D、C四点共 圆 证 法 1：用反证 法 若 A、B、D、C不 四 点 共 圆，设 AB C 的 外 接 圆 与 AD 交 于 点 E，连 结 B E 并延 长 交 直 线 A，、，于 点 Q；连 结 CE 并 延 长 交 直 线 AM 于 点 P 连结 P Q 图 1 设 AB C的外接 圆()的半 径 为 r，则 PK 一P 的幂(关 于(三)0)+K 的幂(关于 o0)一(P()2 一 r。)+(K02 一r )同理，QK。=(Q(一r 2)十(K()2 一r )两式 相减，得 P K。一Q K。一Po 2 一Q()2，0KL PQ OK上MN，P Q MN 于是，一 由直 线 P E C 截 AMD、直 线 Q EB 截 AND，应 用梅涅 劳斯 定理，得 一】，PM CD E A 丝 一1 D E A oN B 由 ，得 一 由分 比定 理，得 一 B C MN 叉 0K I M N，。0K上BC 从 而，K 为 BC 的中点，矛盾 故 A、B、D、C四点共 圆 证 法 2：如 图 2，延 长 0 K 交 MN 于点 L，连 结 BL、CL、0B、0C 先证 B L K一 C L K 显然，BC与 MN 不 c-平 行(否 则，K 为 BC 的 M L 图 2 中点，矛 盾)，设 直线 BC与 MN 交 于点 S 由直 线 S MN 截 AB C，应用 梅涅 劳斯定 理，得 AM BS CN M B SC N A 在AB C 中，直线 A_K、B N、C M 交 于点 D，应 用 塞瓦 定理，得 AM BK CN M B KC NA BS BK SC K C。_订BS一s B L sBLs i n【BLS一 SC S 盯|s CL s i n,C LS 同 理，丽B K 一 豢，C O S BLKs i n BLK C O S CLK s i n CLK BLc o s BLK CL C O S CLK 即 s i n 2 BLKs i n 2 C LK B L K 和 C L K 均为锐 角，BLK 一 CLK 再 证 0、B、L、C四点共 圆 在 O B L和OC L 中，由正 弦定 理，得 OL OB OC s i n OB L s i n Z B L K s i n Z C LK s i n OBLs i n OCL，s i OC L 0B L一()(1 L或 0B L+0 C L一1 8 0。若 0 B L一 OC L，则OB L c o O C L，从 而 B L _f 壬考绞 竞赛 之 路 _f 壬 缘 蔸贾 Z 跆 甙 一 CL 又 0BOC，0K上MN，OK上BC K 为 BC 的 中点，矛 盾 。OBL+OCL一 1 8 0。，。0、B、L、C四点共 圆 最 后证 A、B、D、C 四点共 圆 BLC一 1 8 0。一 BoC=1 8 0。一 2 BAC，BLC=1 8 0。一 BLM CLN=1 8 0。一 2 BLM，BAC一 BLM，A、B、L、N 四点共 圆 同理，A、C、L、M 四点 共 圆 连结 AL、DL，则 CM L一 CAL一 N BL B、D、L、M 四点共 圆 BDM 一 BLM=BAC 故 A、B、D、C 四点共 圆 说 明：在 证 法 1中，“PK 一 P 的 幂(关 于 o0)+K的幂(关 于o0)”的证 明如下：若 点 E在线 段 A_D 上，延长 P K 到 F，使 PK KF=AK KE(P、E、F、A 四点共 圆，PFE=PAE=BCE 从 而 E、C、F、K 四点共 圆，于是 PK PF PE PC 一，得 PK。一 PE PC AK K E P 的幂(关 于o0)+K 的幂(关 于o0)若 点 E在线 段 AD 的 延长 线上，完 全类 似 二、(本 题 满 分 4 O分)设 忌是 给 定 的正 整 数，r 一是 +寺 记(r)一，(r)一r f r 1，(r)一f(f ”(r)，z 2 证 明：存 在正整数，使 得(r)为一 个 整 数 这 里，表 示 不 小 于 实 数 z 的 最 小 整 数，例 如 丢 1 1，1 =1 证 法 1：记()表示 正 整 数 所 含 的 2的 幂 次，则 当 m。()+1时，f(r)为 整数 下面对。(尼)用数 学 归纳 法 当=0时，是为 奇 数，点+1为 偶 数，此 时，(r)一(是+丢)是+专 一(尼+)c 愚+为 整 数 假设 命 题 对 一1(1)成 立 2 0 1 0 年 第1 2瑚(上 旬)中 学教 学教 学 参 考 对 于 1，设 尼的二进 制表 示具 有 形式 是一 2 +a l2 +a 22 +，这 里，a 一0或 1，i 一+1，+2，于 是 厂 r，一(愚+吉)f 忌+丢 1 一(志+丢)+一+志 一+2 一 +(1+1)2 +(口 +l+a 2)2 +2。+一是 +1，这里，尼 =2 一+(a T J _ l+1)2 +(a l+口 +2)2 一+2。+显 然，忌 中所 含 的 设 知，r，一 是 +丢 经 过 2 的 幂 次 为 一 l _ 故 由 归 纳 假 厂的 次 迭 代 得 到 整 数，由 知，f (r)是一 个 整数 证 法 2：设 尼 一 2 m r(m 为非 负 整 数，t 是 正 奇 数)，故 只需证”(r)为 整 数 对 m 用 数学 归 纳法 当 一0 时，r=十寺一 +，f r 1 一 z+1 厂(r)一(+1)(+1)一 f(十 1)+z 假设 是一 2 t(m 为 非 负 整 数，t 是 正 奇 数)时，f“”(r)是整 数 那 么，当 志 一2 t 时，r=忌+寺一2 z+寺，f r 一2 +1 厂(r)一(2 m+l t+专)(2 +1)一2 +。f(2 f+1)+2 +去 令 r 一2 (2 t+1)+2 ro t，贝 4 2 l r ，2 。r 根 据 归纳 假设，可 得-厂 (r )Z f q(r)一f 叫(-厂(r)一f (r，)Z 说 明：证 法 2实质 上是 对证 法 1的 改进 三、(本题 满 分 5 0分)给 定 整 数 2，设 正 实 数 a l，a 2，a 满 足 a 1，忌一 1，2，记 A 一，尼 一1，2，求 证：是 ：I 塞 口 一 奎 A 小 k 一 =l 证 法 1：由 0 倪 1知对 1 志 7 z 一 1，有 0 口 走，0 U 叼，J Y j m a x，Yj 于是 对 1 是 一1，有 A -A+r f(一 1)+二 f 一 一(1 一 Y 1 i =1 max一1 n，(一 )壹i=1 a m a x c 一 尼，(去 一 )尼)一1 一鱼 故 n 一 A l 一 一A f。=1 女一 1 k一 1 =l n-1(A -A k)l 善 A -A,t 时，I A 一A l 一方 面，有 A 一 客 n 一 手 客 n 一 z k=j+k 1 1“=1 J 一 一 o _ 一 f A 一A f 0，此 时 c 一2 J=o 代人 得 量 f 号 4 I c c l一 4(c 2 )当 为偶数时，若 i 昙，则式仍然成立；若i 故 一 妻k=l I k=l I A -A+l 骞 一 2 方法 数 为。f 姒 四、(本题 满分 5 0分)一 种 密码 锁 的密 码 设 置 是 在正 边 形 A A。A 的 每 个 顶点 处赋 值 0和 l两 个 数 中的一个，同 时在 每 个 顶 点 处 涂染 红、蓝 两种 颜 色之一，使得 任意 相邻 的两个 顶点 的 数字 或颜 色 中 至 少 有一 个相 同 问：该 种 密码 锁 共 有 多少 种 不 同 的密 码 设 置?解 法 1：对 于该 种 密 码 锁 的一 种 密 码 设 置，如 果 詈 f 1 4 f c c g )f o【j=o J f 量 一4 l 1+(c 2 号 一2+4 (c 2 一 )一 L +一 一 l l +一 一 导数 读研 写 导椋 读。研。与 审学数学教 频 蟹 盆题滔 2 0 1 0年 第1 2 期(上 旬)中 学 盘学教 学 参 考 读 通往国际科学“奥赛”金牌之路 数学“研究型教学”的成 范仁梅(上 海市 复 旦大 学 出版 社)人们 常 说，一 分耕 耘 一 分 收 获 笔 者 读 完 复 旦 大 学 附属 中学(以下 简 称 复 旦 附 中)数 学 教 师 汪 杰 良先 生 所著 的 通 往 国 际 科 学“奥 赛”金 牌 之 路 数 学“研 究型 教学”的成 功 实践 (以下 简称 金 牌 之路 ，复 旦大 学 出版社 2 O 1 O年 5月 出版)一 书后，深 深体 会 到 从事基 础 数学 教育 工作 的教 师 的艰辛，十 分钦 佩 他 们 对事 业 的挚爱，被 他们 的那 种 执 著和 勤 奋 深深 地 感 动 着，也 为他 们所 取得 的成就 拍 案 喝彩 被马 克思 称为“英 国唯 物 主义 和 整个 现代 实 验科 学 的真正 始祖”，英 国 哲 学 家、思 想 家、作 家 和科 学 家 培根(F B a c o n)说 过：“数 学是 进 入各 个科 学 门户 的钥 匙，如果 没 有数 学 知 识，就 不 可 能 知 晓 这 个 世 界 的一 切”中学数 学 教育 亦 即初 等 数 学教 育 是 基 础 教育，中 学 数学 知识 是人 的 数学 知识 构 架 的基 本 链，在 中学数 学 学 习这 个 每个 人都 要经 历 的人 生 过 程 中，教 师扮 演 着 十分 重要 的角色 唐代 大 文豪 韩 愈在 他 的一 篇 文章 师说 中说 道，“师者，所 以传 道 授业 解 惑 也”，即指 出 了教师 的职 责 教 师 应 为 学 之 师、为 人 之 范 但 是，数 学 知识 具有 自己独 有 的特 点，它 环 环 相 扣，对 学 生 的 一3 +3 综 上所 述，这种 密码 锁 的所 有 不 同 的密 码设 置 方 法 数是：当 为奇 数 时有 3 +1 种；当 为偶 数 时有 3 +3种 解 法 2：先 对命 题 进行 加强：一 种 密码 锁 的密码 设 置是 在 凸形 A A。A 的 个 顶 点，每个 顶点 处赋 值 0 和 1两个 数 中的一 个，同时 在 每 个 顶 点 处 涂 染 红、蓝 两 种颜 色之 一，使 得任 意相 邻 的两 个 顶 点 的数 字或 颜 色 中至少 有 一个相 同 问：该 种 密 码 锁 共 有 多 少 种 不 同的密码 设置?对每点赋值且染色称为一种“赋染方案”，若两点 赋值 与颜 色都 不 同，称 它们“互 异”，否 则 称“类 似”设 对 凸形 A A。A 赋染 方案 数 为 口 ，显 然 每个 顶 点 共 有 4种赋 染方 案，后一 个与 之 类 似，则 有 3种 方 案，列 举 可得 口 一 4，n。=1 2 3时，从 A 到 A 顺 次 赋 呻 一 功实践 有 感 =想象 能 力、联 想 能力、论 证 能力 的培 养，对 学 生 的抽 象 思维、逻 辑思 维、创新 思 维 的启迪，都 具 有 很 重要 的基 础作 用；而想 象 能力、联想 能 力、论证 能力 的初 步 养 成 及抽 象 思维、逻 辑 思 维、创 新 思 维 的 初 步 发 生 对 学 生 以后 进 一步 的学 习、研究 都 至关 重要 因此，教 师 的人 格 魅 力、教师 的 责任 心、教 师 的教 学 方 法、教师 的教学 水 平 和科 研水 平 都会 对学 生 的学 习产 生很 大 的 影 响，甚 至 会使 学生 终 身 铭 刻在 心 1 9世 纪末 2 O世 纪 初世 界 最 有 影 响力 的数 学 学 派 德 国哥 廷 根学 派 的创 始 人 菲利 克斯 克莱 因(F Kl e i n)在 他 的一 部 被 誉 为 世 界 数学 教育 史 上 的不朽 经 典 高 观点 下 的 初等 数 学 (复 旦 大 学 出 版社 出版)一 书 中指 出：“有关(数 学)的 每 一 个 分 支，原 则 上 应 看 做 是 数 学 整 体 的代 表”，“有许 多初 等 数学 的 现象 只有 在 非 初等 的理论 结 构 内才 能深 刻 地理 解”他认 为：一 名 数学 教 师 的 职责 是“应 使学 生 了 解 数 学并 不 是 孤 立 的 各 门 学 问，而 是 一个有机的整体”基础数学的教师应该站在更高的 视角(高等数学)来审视、理解初 等数学 问题，只有观 点 高 了，事 物才 能显 得 明 了而 简单 一 名 称 职 的教 师 染 方 案数 为 4 3 3 3 4 3 一，这既 包括 了 n ，还 包括 了 A 与 A 互 异 的情 形，设 为 b 对 于 b ，再按 A A A A。A。顺 序染 色，同理 共 有 413 X 3 3 43 种，当然这 同样 既 包 括 b ，又 包含 A。与 A 互 异 的情形，此 时则 A 与 A：赋染 方 案完 全相 同 从 而 可 以把 A、A、A。合 成 一个 点，即此 时 的赋 染 方 案 数 为 a 由此 得 到 递 推关 系 式 4 3 一 n +4 3 一 n，r 2，即 一3”=口 2 3 当 为 奇数 时，一3 ：一 2 3 一。一 口 l 一3=1，即 n 一 3”+1；当 n 为偶数时，口 一3 一a n 2 3 一 口 2 3。一 3，即 n 一 3”+3 综 上所述，口 =3”+2+(一 1)