2008年全国高中数学联赛(A卷)一试试题解答集锦.pdf

垒国 裔曦 蝴 卷 谶 陕西 省 数学 竞赛 委 员会 刘康 宁 陕西师范大学数学与信息科学学院 李三平 今年的全国高中数学联赛 由中国数学会 主办、重 庆市数学竞赛委员会协办，试卷仍分为一试和加试两 部分 与往年不同的是，考虑到各省市教育发展的不 均衡，试题分为 A卷和 B卷两种类型 下面给出 A卷 一试试题 的解答(本文称之为基本解法或改进解法)和一些巧思妙解，仅供参考 一、选择题(本 题 满分 3 6分，每 小题 6分)1 函数，(z)一 在(一。，2)上的最小 厶 值是()A 0 B1 C 2 D3 基本 解法：。z 0 f(x)一 一 +(2 当且仅 当 一2 一z，即 一1时，上式取等号 故函数 厂(z)的最小值为 2，选 C 巧 思 妙 解：)一 兰 塾 等 (x-1)(x-3)一一 二 z)z。当x l 时，厂(z)o；当 l x 0 即 厂(z)在(一。，1)上是减 函数，在(1，2)上是增 函数 故E f(x)i=：-厂(1)一2，选 C 2 设 A一 一2，4)，B=：=z l z 一n z 一4 0)，若 B A，则实数 a的取值范围为()A 一1，2)B 一1，2 C E o，3 3 D E o，3)改进解 法：。A=a +1 6 0，B 0 设 厂(z)一lz。一以 z 一4，则由 B A，得 f厂(4-)2一)1=2 2a 4“0,。解得。口 3 1，所 以 6 9 若 一 6，则。z+6。一 5 8 由b z 妻 一 2 9，得 6 6 而 6 c 一6，所 以 6 6，此 时 a 一2 2，无 解；若 f 一7，则 口 +6。=4 5，有唯一解 以 一3，6 6；若 c 一8，则 口 +6。一3 0，无正整数解；若 c 一9，则 a。+6。一1 3，有唯一解 a 一2，6=：3 故 V1 3。+6。+7。一5 8 6或 V2 2。+3。+9。一7 6 4，选 A f z+y+2 0，5 方程组 x y z+一0，【z j，+z+O 的有理数解(z，y，)的个数为()A1 B 2 C 3 D 4 改进解法：由得 一0或 z 一一1 若 一0，则由、得 三 解 得 或 若 0，一一1，则 由、消去、，得(一1)(。一 一 1)一 0 当 一1时，z一一1，则 由得 一0，矛盾 当Y。一 一1 0，不妨设 Y 一，(口，6)一1，n，b N ，则 b。一n (n+6)因为(口，6)一1，所 以 b l(口 +6)，从 而 b 1 n，矛盾 故 方程 Y。一Y一1=0无 有理 数解 综上所述，原方程组仅有两个有理数解(0，0，0)和(一1，1，O)，应选 B 6 设AAB C的 内角 A，B，C所对 的边 a，b，C成 等 比 数 列，则 s i n A c o t C干+c o s A 的 取 值 范 围 是()A (O，+。)B (。，71)c (，q rff+2 1)D (，+。)改进 解 法：设 等 比数列 日，b，r的公 比为 口，则 b=aq，c=a q。由三角形三边不等关系，得 q。或 。0 q+q,口 解得 1 g 或 q 1 掣 q 掣 s i n Ac o t C+C O S A s i n Bc o t C上 C OS B s i n AC OS C+C OS A s i n C：一 s i n BC OS C+C OS B s i n C s i n(A+C)s i n =s i n(B+C)s i n B 6 一 q 故 所 求 取 值 范 围 是(，4 ff 2+1，选 c 二、填 空题(本题 满分 5 4分，每 小题 9分)7 设-厂(z)=a,T+b，其 中 a、b为实 数，厂 l(z)一，(z)，+，(z)一，(z)，一1，2，3，若(z)一1 2 8 x+3 8 1，则 口+6 一 基本解法：显然 n 1，由题设得(z)一 z+(n，l+一。+口+1)6 ：+6 。f 7()一1 2 8 x+3 8 1，墨2，。1 6 381，解 得 6 3故 n+6一 8 设 厂(z)=C O S 2 x-2 a(1+c o$)的最小值为 一寺，则 口=基本解 法：厂()一2 c o s z一 1 2 a(1+C O S z)一2(c。s z 一 号)一 一 2 n 当 一1，即 口 l，即 a 2，则 当 c o s z 一1时，厂(z)取得最 小值为 1 4 口 由 1 4 n 一一 1，得 n 一 詈 0)有且仅有三个公共点，交点的横坐标 的 图 A G 求 如 体 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 最大值为，求证：五 C O S G 改 进 解 法：易 知 f(z)一I s i n zl 是 最 小 正 周 期 为 丌 的周期 函数，直线 Yk x与 函数 厂(z)一1 s i n zl 在一个周 期内最多有两个公共点 1+d 0 4a 幽 3 轴上方，其 坐 标 为(2 t。，2 t)(t 0)，过 点 P 作 圆(x-1)+一1的切线交 y轴于点M(O，m)，则切线 I 方 程 为 P M：一 2 t-m z+，即(2 t-m)z一 2 +2 t。一 0 由圆心(1，0)到切线 P M 的距离等于半径 1，得 直线 y：k x与-厂(z)的图象有且仅有三个公共 点 直线 y=k x与，(z)在 7 c，2 兀)内相切，其切点 T 的坐标为 T(a，一s i n a)，a 7 c，2 丌)f (z)一一C O S a，惫 一-C O S n 又点 T(a，一s i n )在直线 一-X C O S 0 上，。一 s i n口 一-O C O S ，且 口a t a n 故 一 一 一 COS COS 口 一 一一s i n a+s i n 3 a 1 4 解 不等式：l o g 2(z +3 x +5 x +3 x +1)1+l o g 2(z +1)基本解法 1：原不等式等价于 z +3 z 。+5 。+3 z +1 2(z +1)，即。+3 z 。+5 z +3 Lz 一 2 x 一 I 0 将上式左边分解因式，得(z +z。一1)(z +2 x。+4 x +1)O，z +z z I 0，解得 z z 故 原 不 等 式 的 解 集 为 ，j 基本解法 2：原不等式等价于 z 。+3 z 。+5 z。+3 z +1 z +3 x +3 x。l+2 x。+2 一(z +1)。+2(z。+1)，亦 即()。+2 (3C 2+1)。+2(X 2+1)令 厂()一 +2 t，则 厂()厂(z。+1)易知-厂()一。+2 t 在 R上是增函数，则有 iz。+1，即 z +z。一 1 0 下同基本解法 1 注意：本题原标准答案有误 1 5 如图 4，P是抛物线 Y 一 2 z上的动点，点 B、C在 Y轴上，圆(X一 1)。+y。一 1 内 切 于 P B C，求 PB C 面 积 的 最 小值 改 进解 法：不 妨 设 点 P 在 z 一 D C 图 4 l(2 )+2 t mI (2 t 一)。+4 整理，得(+1)f (一1)m+一O 当 一1时，切线 P M 与 Y轴平行，不合题意；当 0 l时，由得 m一 或 m一 B(0，南)、c(o，)故 S A e B C 一 1 I B cI 2 2 t 一 1 1 1 t 2 t 4 一 1南一 l。2 一(一 )。+一几 V=7，即 一 时，S A P B C 取得最小值为 8 巧 思妙解：设 P(z。，Y。)(O)、B(O，6)、C(o，-c)，6 0，c 0，则直线 P B的方程为 一 _ _=Yo_-bz+6，即(。-b)x-x。y+b x。一O 由圆心(1，0)到直线 P B的距离等于半径 1，得 l 二垒 一 “整理，得(。一2)b +2 y。b-x。=O 同理 可得(z o-2)c。-2 y o C-T o-0 易知 z o 2，b和 一c是方 程(z o 一2)+2 y 0 T t z。一。的两个根，则 6 一c：一 2 y o，一 一 。(6+c)(H4 +一4+4 X二o(X o-2)一 4：g o-2)6+c 一 (z n 一2)。(勘。筋 一 2 又点 P(x。，y。)到 圆 z。+y 一2 x一 0的 切 线 长 I P EI I P FI 一 藕 2 2一z。，AP B C的半周长 P=b+c+x o 故 S a e c r 一 =丁 一 一 一一 一2(一 丢)+吉 当=1，即2 C。一4时，S 船c 取得最小值为 8