同济大学第六版高等数学课后答案(前三章).pdf

同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11.设 A=(8,5)u(5,+oo),3),写出 AuB,AcB,A比及 的表达式.解 AuB=(-oo,3)u(5,+oo),AnB=-10,-5),AB=(-oo,-10)u(5,+oo),A(AB)=-10,-5).2.设A、8是任意两个集合，证明对偶律:(ACB)C=ACBC.证明因为xe(AcB)Cox纪A c B o x史A 或 xeAc xeBc xeAcu Bc,所以(AC3)C=ACUBC.3.设映射/:X fR A u X,B u X.证明(2 次 A cB)qM)Q ).证明因为u(因为 xeA 或 X EB)y/A)或所以 以口为守“(3).(2)因为y 4 A c 3)=d x e A c 3,使./(x)=)o(因为 xeA 且 xeB)#九4)且 ye.*B)n yeXA)n/(B),所以 九4C3)GAA)M3).4.设映射/:XTT,若存在一个映射g:Y fX,使g o/=/x，/*=/.其中/x、。分别是X、丫上的恒等映射，即对于每一个九w X,有/X J E；对于每一个y e Y,有lyy y.证明:/是双射，且g是7的逆映射:g=f，证明因为对于任意的y e Y,有4 g(j)eX,且r)=/gS)=/、,尸%即丫中任意元素都是X中某元素的像，所以/为X到丫的满射.又因为对于任意的X1WX2,必有於1)以X2),否则若yUl)4(X2)=g/(Xl)=g/U2)=X=X2-因此/既是单射，又是满射，即/是双射.对于映射g：丫 X,因为对每个ye Y,有g(y)x&X,且满足_/(xA/g(y)=/y卢y,按逆映射的定义,g是 的逆映射.5 .设映射y：x-y,A u x.证明：(1 尸(M)nA;(2)当/是单射时，有广1(/(A)=A .证 明(1)因为 xeA =r)=y 4 A)广四)，所以 f-(j(A)A.(2)由知厂(M)z 4另一方面，对于任意的xe/T(/(A)=存在ye儿4),使尸。)=月/0)=)，.因为yA)且/是单射，所以x E.这就证明了尸(M)u 4.因此广(M)=A.6 .求下列函数的自然定义域：(l)y=j3x+2 ;解 由3x+2 2 0得x-半 函数的定义域为-京+8).产 占；一片解 由1-fM得件1.函数的定义域为(-0 0,-1)5-1,1)。(1,+8).(3)y=-71-x2；X解 由冲0且1-0得函数的定义域D=-l,0)u(0,1 .解 由4-_?。得M 0且x O得函数的定义域 =(-0 0,0)5 0,3).(9)y=l n(x+l);解 由X+l 0得函数的定义域0=(-1,+8).1(1 0)y=ex.解 由注0得函数的定义域 =(-0 0,0)0(0,+0 0).7.下列各题中，函数兀r)和g(x)是否相同？为什么？(1 次x)=l g g(x)=2 1 g x;(2)/(x)=x,g(x)=G /(xy-llx-x3,g(x)=m x T .(4)/(x)=l,g(x)=s ec2x-t a n2x.解(1)不同.因为定义域不同.不同.因为对应法则不同,x 0时,g(x)=-x.(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同.因为定义域不同.4-38.设 Q(X)=e(f),以-?)，a-2),并作出函数y=(p x的图形.解奴为水皿鹏，86)牛山=*,奴 一 多 不 皿 ,奴-2)=0.O o 2 4 4 2 4 4 Z9.试证下列函数在指定区间内的单调性：产 产，(-8,1)；1-X(2)y=x+l n x,(0,+8).证明 对于任意的孙龙2(-8,1),有l-X l 0,l-X 2 0.因为当为%2时,=0M J 2 I1 1-%2(1 一 刈(1 )所以函数)，=声 在 区 间(-8,1)内是单调增加的.1-X(2)对于任意的X i,X 2 C(0,+0 0),当XlX2时，有第3页，共1 31页y-乃=(为 +In X)_(%+In 面)=(再 一 巧)+hi 立 0,x2所以函数y=x+ln x在区间(0,+8)内是单调增加的.10.设兀r)为定义在(-/,。内的奇函数，若凡r)在(0,7)内单调增加，证明.*x)在(-/,0)内也单调增加.证明 对于Vxi,X2G(-Z,0)且 Xl-X2.因为TU)在(0 )内单调增加且为奇函数，所以这就证明了对于VXI,X 2&T,0),有应g(-X)=Mx)-g(x)于(力。)=/(%),所以尸(X)为偶函数，即两个奇函数的积是偶函数.如果/U)是偶函数，而g(x)是奇函数，则F(_x)4(_xg(_x)4x)_g(x)=TW g(x)=_F(x),所以尸(X)为奇函数，即偶函数与奇函数的积是奇函数.12.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？f);(2)尸3-危第4页，共131页尸盖;第 4 页，共 131页(4)卢x(x-l)(x+l);(5)y=sin x-co s x+1;解(1)因为犬T)=(X)2 l-(-*)2=*(1*)4团，所以/W是偶函数.由式-幻=3(T)2-(-九)3=3/+/可见於)既非奇函数又非偶函数.(3)因为/(尤)=1-(-4=子=/3所以用是偶函数.(4)因为X-x)=(-x)(-x-l)(-x+1 )=-%(%+1)(x 1 )=/x),所以火x)是奇函数.(5)|/(-x)=sin(-x)-co s(-x)+l=-sin x-co sx+1 可见r)既非奇函数又非偶函数.(6)因为/(冷=上 苧=贮 严=/(x),所以/U)是偶函数.13 .下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：(l)y=co s(x-2);解是周期函数，周期为/=2不(2)尸co s 4 x;解 是周期函数，周期为/=彳.(3)1+sin 玄；解是周期函数，周期为/=2.(4)y=xco s x;解不是周期函数.(5)y=sin2x.解是周期函数，周期为/=兀14 .求下列函数的反函数：(l)y=4 T错误!未指定书签。错误!未指定书签。；解 由 产3+1得 行/-1,所以=板口的反函数为13-1.(2)y=?错误!未指定书签。；1+X解 由 产p 得x=|z Z,所以产p 的反函数为尸早.l+x 1+y +x+x第5页，共131页(3),=生/(加从总)；c x+d解 由 广 旦 坐 得x=旦 他，所 以 尸 也 学 的 反 函 数 为 尸 也 幺c x+a c y-a c x-a c x-a(4)y=2sin 3 x;解 由尸2sin 3 x得光=；arcsin ,所以尸2sin 3 x的反函数为y=garcs岭.(5)y=l+ln(x+2);解 由尸l+ln U+2)得后8-2,所以 l+ln Q+2)的反函数为产产-2.尸 券 解 由三得X=l og d，所 以 尸 三 的 反 函 数 为 产10g2户.2+1 l-y 2*+1 1-x15 .设函数7 U)在数集X上有定义，试证：函数/U)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.证 明 先证必要性.设函数7 U)在X上有界，则存在正数M,使心)区M即这就证明了 /W在X上有下界-M和上界M.再证充分性.设函数於)在x上有下界K和上界K2,即K2.取M=max|K|,附|,则-M K x)K2 M,即 K x)M.这就证明了兀r)在X上有界.16 .在下列各题中，求由所给函数复合而成的函数，并求这函数分别对应于给定自变量值X 1和X 2的函数值：=sin x,西=,当=；o 5解 y=sin2x,y sin2)2,y2=sin2y=()2=-1.(2)y=sin u,u=2x,为=9,电=9；8 4解 j=sin 2x,M=sin(2q)=sin，=孚,乃=5融(2 4)=sin:=l.o 4 2 4 Z(3)y=y u ,U=1+X2,X l=l,X2=2;解 y=J l+%2,y=J l+12=0 ,%=A/14-22=y/5 .(4)y=el gx2,x=0,X 2=l;第6页，共131页解 y=ex2,M=e02=l,为=/2(5)y=u2,u=ex,x=1,X2=-l.解 尸e；y-e2 1-e2,y2-e2(,)-e2.17.设/(x)的定义域。=0,1,求下列各函数的定义域：娟；解 由 0?0);解 由0仝+K 1得-a幺41-a,所以函数;u+a)的定义域为-a,1-0.(4)J(x+a)+f(x-a)(a0).解 由OWr+aWl且0仝一区1得：当时,当a J 时，无解.因止匕当0i作出这两个函数的图形.1解/g(x)=0-1leKl r 1|e+l,即。g(M=0|e|l-1x0eg(x)=ex)=ekll Ie-kbA19.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角方40。(图 1-37).当过水断面ABCD的面积为定值S o时，求湿周L(L=A8+8C+C0与水深之间的函数关系式，并指明其定义域.图 1-37 A n 解 ABDC=.0,又从 厂sin 40 ；/BC第(Pb/0,田-c o t 4 0 0确定，定义域为0 /i 1 6 0 0 时,p=7 5.当 1 0 0 丫 1 6 0 0 时，p=9 0 (x 1 0 0)x 0.0 1=9 1 0.0U综合上述结果得到9 0 0 x 1 0 0*91-O.O l x 1 0 0 x 1 6 0 03 0 x(2)P=(/7-6 0)x=p i x-0.0 1 x2I5 x0 x 1 0 01 0 0 x 1 6 0 0(3)P=3 1 x 1 0 0 0-0.0 1 x 1 0 0 02=2 1 0 0 0(元).第 8 页，共 131页习题1-21 .观察一般项X”如下的数列 4的变化趋势，写出它们的极限:王解 当 时，4=二-0,l i m 7=0.(2)/=(-%;解 当f 8 时,%=(-1)1-0,l i m (-1)1=0.nn%=2+3；n解 当 8 时，x =2+4 7-2,l i m(2+)=2.；z-oo解 当 一 8 时，x =2二1=1一 一-0,l i m|=1.(5)3(一1).解当-0 0时，乐 尸 (-1)没有极限.C O S-2 .设数列%的一般项/=一-.问 出3%=?求出N,使当心N时,用与其极限之差的绝对值小于正数打当 力.0 0 1时，求出数N.解 l i m x=0.n-oo|C 0727r|k-o i=-2_O,要使l x”一OI ,只要!,也就是取n n n sN=山，则V心M有比L0|0 0 胪分析要使 一0卜4,只须/,，即-)=.n n yis第9页，共131页证明因为VQO N=4 ,当N时，有所以lim-V=O.y/s rrr3+l 3 照 诉T 2；分析要使1洌-丹=并 不:，只须d 上.2+1 2 2(2+1)4 4 4c证明因为V oO T N Y，当N时，有1誓!一 如 ,所 以lim 岩=2.4E2+1 2，?-82九+1 2 1 1mm=i；f 8 n分析要使|安还一平而靛-=。2 尤 N时，有1甲心1口，所以w-*oo n(4)lim 0.999-9=1.个分析 要使。9 9-9一11 =i+ig1.证明 因为V 0,m N=l+lg 当V N 时，有|0.99 9一1|co n-co%”未必有极限.证明 因为所以V i0,m N eN,当 N时，有%-水,从而nx)un-aun-a o o证 明 因为数列 加 有界，所以存在M,使V e Z,有偏区M.又 呼y”=0,所以X/0,m N e N,当N时，有加卜信.从而当 N时，有 0目修丁区 M|y,0 06.对于数列 x,若 X2k-i Ta(kT8),尤2&ra(k-8),证明：斯 一 a(一 8).证 明 因为 X 2 b i-a(%-8),X 2 8),所以V i 0,B T C i,当 2 b l 2 K i-l 时,有|*-水 ；3K2,当2心2 K 2时，有休2 E|N,就有%因此 Xn-a(0 0).习题1-31 .根据函数极限的定义证明：(1)l i m(3 x-l)=8;x-3分析因为|(3 x-l)-8|=|3 x-9|=3|x-3|,所以要使|(3六4)-8|,只须|x 3 4.i正明 因为当0|x 3|附，有1(3 元 1)8|3(2)l i m(5 x+2)=1 2;x 2分析因为|(5 x+2)-l 2 H5 x 1 0|=5|x 2|,所以要使|(5 x+2)-1 2|,只须|X-2|o,眸/，当0|x-2|矶 有|(5 x+2)1 2|2(3)Hmx 2 x+2分析因为|弟 一(_4)卜|白 等1小+2H A(一2)|,所以要使I宾-(-4)卜,只须|x-(-2)K .证明 因为V O,m s=,当0-1 4?1 2 x+l2=2.分析因为I 宗 卜2H l-2 x-2|=2|x-(f I,所以要使I 寓-2|,只须|x(g)K 3.证明因为so,联?，当（）k-（-如 万 时，有1-4。32 x+l-2|,所 以 里 赛X 2=2.2.根据函数极限的定义证明:期 翳 V；分析因为第12页，共131页I l+x3 1|_|1+九 3-X3|_ 1I 2x3 2 2x3 2|x|3所以要使I野-扑,只 须 册 ，即国 念.证 明 因 为 小。匹脸，当g时，有1I 2X3 2 I所以lim/XT9 2x 2 lim 4=0.y/X,分析因为I木 sin一x n|卜|si丁nx|所以要使|嗤-o|,只须!X时，有智川小所 以 lim+=0.3.当x-2 时，*4.问 博 于多少，使 当 年 2|初 寸,|广 4|0.001?解 由于当x f 2 时,0,故可设,一2|1,即 lx3.要使-4-X+2I 怵-2|5|x-2|0.001,只要|x-2|l=0.0002.取舜0.0002,则当 0#2|渊，就有*-4|8时，尸与二一1,问X 等于多少，使当国0时,|，-1|0.01?力+3解 要 使 m-1=,4 30.014-3=391,故X=V7.5.证明函数7U)=|x|当X-0 时极限为零.证明因为第13页，共131页IAx)-0|=iM-0|=|A-|=k-0|,所以要使心)-0|,只须仇|因为对VQO,三层其使当0q-。1育 时有l/(x)-O|=|x|-O|0-xO-X x0lim f(x)=lim-=lim 1=1,X f 0+D+X X-0+lim f(x)=lim f(x),X f。-X-0+所以极限lim/(x)存在.x f 0因为lim(p(x)=lim =lim =-l,x 0-x 0-X x 0-X-lim 0(x)=lim =lim=1,XT0+XT0+X x-0+Xlim 0(x)w lim(p(x),X-0-XT0 +所以极限Iim0(x)不存在.x-07.证明：若x-+00及x f-8时，函数大功的极限都存在且都等于A,则lim f(x)=A.X-00证明 因为 lim f(x)=A,lim f(x)=A,所以V0,x-xf+oomxo,使当 x X|时，有/x)A|X2 时，有取 X=maxX1，X2,则当|x|X时,有的)-4 008.根据极限的定义证明：函数/U)当x f x o时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明 先证明必要性.设.穴x)f4(x fx(),则V 0,m苏0,使 当0|x-x()|3时,第14页，共131页有第14页，共131页f(x)-A.因此当x o-Ar x o和x o r r o+S时都有f(x)-A出时左右极限都存在并且都等于A.再证明充分性.设於0-0)与2+0)=4，则V QO,加 0,使当项-在4 x o时，有|危)-A 0,使当项4 x o+力时，有|於)-川.取N m i n 新，则当O|x-x o|S吐 有*0-在4令()及x o x x o+力，从而有AX)-A A(x-x o).9.试给出x f 8 时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明.解尤-8时函数极限的局部有界性的定理：如果/U)当X 8时的极限存在，则存在X 0及M 0,使当MX时，心)|X时，有|/U)-A|=1.所以|/(x)|=|/(x)-A+A|/(x)-A|+|A|0及M 0,使当用 乂时,优)|加，其中M=1+|A|.习题1-41.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.解不一定.例如，当x-0时,o(x)=2x,(x)=3 x都是无穷小，但l i m鲁不是无.10 4(x)3 p(x)穷小.2.根据定义证明：(1)丁=史。当-3时为无穷小；(2)y=x si n 当x-0时为无穷小.x证 明(1)当中3时3=1 2鲁|=|x 3.因为VQO 7&=,当0 卜 一3|渊，有阳 云 田-3|5=,所以当尤-3时 为 无 穷 小.x+3(2)当 封 时3=1刈si n 留X 0|.因为VGO辰,当0 ,-0|附，有X|y|=|x|si n !日 X-0|1。4?证明分析3=|曰 卜H+|N卜 _ 2,要使IM M 只须即XX I x I I X|际1M+2证明 因为V M O,3 3=一，使当0 以 0 M,M+2 1 x 1所以当x f O 时，函数y=是无穷大.X取 M=l()4 则 .当 0 10 K+Z 104+24 .求下列极限并说明理由：.38 X 阿 詈.x-O-x解 因为2=2+L而当时L是无穷小，所以加空1=2.X X X x e X 因 为:上=l+x(/l),而当x-0 时X 为无穷小，所以l i m 二二=1.1-X X-O 1-X5.根据函数极限或无穷大定义，填写下表:於)-My u)-8火X)-+8人 )-0 0X Xo苏0,使当 O|x-x o|5 Bt,有 恒 阿-A|Xo+X*0一x-coV o,m x o,使当怵 x 时，有恒X +8X 0 0解第16页，共131页y w fAy u)o o/(x)f+o oy(x)f 8XX0/0,m&O,使当0|%-刈 册，有恒|/(x)-A|0,3 0,使当0 0,3 0,使当0 仇_对 跖V M 0,m&0,使当0 ,_却 0,3&0,使当 O r-x o(附，有恒|/(X)-A 0 苏0,使当0 4-尤 0 0,3 5 0,使当 0 0,三 方 0,使当 o x-x o x(rWQ05 0,使当 0 0-%5 0,有恒|/(%)一 A|0,m 出0,使当O x o-x M.WM 0,m&0,使当 0 0,使当0 x()-x 溯 寸，有恒 y u)00V 0,H K 0,使当|x|X 时,有恒f(x)-A 0,BX 0,使当|x|X 时,有恒m i w.V 6 0 X 0,使当R X 时，有恒VQ0X 0,使当b l x 时，有恒於)0,必 0,使当x X 时，有恒f(x)-A 0,m x o,使当x X 时，有恒m i w.V 0,3 X 0,使当x X时，有恒AX)M.VQO,m x o,使当x X时，有恒於)-C0VQ0X0,使当x -X 时，有恒欧)一 A|0,使当x MV 6 0 X 0,使当x 0,3 X 0,i t当x+00时，函数户X C O SX 不是无穷大.这是因为W M 0,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N 的X,都有仅(x)|M例如y(2%乃+5)=(2%乃+5)c o sQ左 乃+5)=0(=0,1,2,),对任何大的N,当人充分大时，总有%=兼万+5 5 但|,(x)|=00,在(0,1 中总可以找到点总,使例如当第17页，共131页1.伏=0,1,2,)2 k*N2时，有当攵充分大时,y(Xk)M.当x-0+时，函数产Li n!不是无穷大.这是因为X XV M 0,对所有的&0,总可以找到这样的点必，使0必朝 但例如可取=7-(0,1,2,),2k兀当 k 充分大时,Xk3,但 y(Xk)=2k7i si n 2k7v=0 l，-2x+lx2-l解l im 史 卓 里T im -=l im .xrl X2-1(x-1)(x4-1)X f l x+l 211m逆善wX f。3x2+2x解 l im 4x 3-2 x 2+=l im -+1=1.A-O 3X2+2X A o 3x+2 2照(%+)2彳2h第18页，共131页解 11 m(X+)2 T 2=1 m/+2 +/?2一/=描力.0 h 20 h 万 o(6)l im (2+4);x-oc x x解 l im (2-+r)=2-l im -+l im -=2.X f o o x xZ x o o x x-0 0 xz l im -fr2-14；x2x-x-l解l imX 0 0/I2x2-x-lI2 照 苗 景 _ ；2解l im 年芳；=0（分子次数低于分母次数，极限为零）.X X x”3片一1或l i m广 斗 彳A-OOX4-3X2-1田善解 1 1m6x+8=11m(7(1)=1 1 m鼻口2x-4 X2-5X+4 X-4(X-l)(X-4)X T4 X-1 4-1 3(10)l im(l+l)(2t)；X f 8 X X解 l im (l+-)(2 )=l im (1+-)-l im (2-)=l x2=2.(11)l im(1+1+J+)；-o c 2 4 2解 l im (1+!+H-F )=l im-=2.8、2 4 2 2 8 1 11-21+2+3H-l-(n 1)(12)l im-j-；/?0 0第19页，共131页(n-l)n解 l iin l+2+3+-+(n-l)=l j m lim zLd 一 8 00 2 8 fl 2(13)lim(+l)(+?(+3)5 5n3解,(H+!)(2)(n+3)=|(分子与分母的次数相同，极限为-8 5n 5最高次项系数之比).或 Rm(n+l)(H+2)(n+3)=|同(i+l)(1+2)(1+3)=1/l o o 5 n o o 匕 5I 吧 占 占；解 曾 占 一 金)=吧()：)；：；*)=_ lim(D(x+2),一(l-x)(l+x+x2)=_lim x+2=_1.Xfl+X+W2.计算下列极限：物 汗解 因为lim 华 磐=2=0,所以lim 3+个：=8.12 +2%2 16(x-2)2 lim/r不21 8 2x+l2解山n R=8 (因为分子次数高于分母次数).1 8 2x+l(3)lim(2%3-x+l).x x 解 扁(2/-1+1)=00(因为分子次数高于分母次数).X-83.计算下列极限：(l)lim jf2sin;x-0 x解 描 2S 1111=0(当%0时,/是无穷小，而sin 1是有界变量).x o x x 1 1m包*x-w X第2 0页，共131页解 l im ar c t ar L Y=J im -.a rcta nx=O,是无穷小,xf o o x x o o x x而ar c t an x是有界变量).4.证明本节定理3中的(2).习题1-51.计算下列极限:期分N+5拉=一92-3l im 个x-2 x 3解解=0./、1 工2 2x+1n 大一1b J T)1 2x+l 1*(X 1)2 1 X1 0 八用 牛 l iin-z-=l im-=l im-=0 x2-l X T I(x-l)(x+l)R T 1X+1 2 蚂4工3一2/+工3x2+2x解鞭茨空=蚂珠浮=;图(X+/Q2 T 2h解11 m支 处i 1m立 次 叨T=i 1m+人 心.2 0 h -o h -o(6)l im (2-H-y);v-x x x解 l im (2 H-)=2 l im -4-l im -=2.X-00 X Xz x-xX A-o c X1第21页，共131页(7)l imx c o12X2-X-1解l imx 00，12x2-x-l12 l imX 00d+xx4-3x2-2解l im 年母=0（分子次数低于分母次数，极限为零）.X 001或l imX 8x4-3x2-lU m%十 X-0 01 2 I=0./(、N 6x+8.x-4%2-5 x+4解1 1m 6犬+8加(7(1)=而工口2x-4 X2-5X+4 X-4(X-1)(X-4)X-4 x-l 4-1 3(10)li m (1+1)(2-4);X X解 li m (l+-)(2V)=li m (1+-)-li m (2-)=lx 2=2.x o o x A-x x x xr(11)li m(1+4+)+J);解 li m (1+-+-+)=H m =2.78、2 4 2，!，1 8 1 12/i r、r +2+3d-F(H 1)(12)li m-5 _-；r j Q O(n-V)n解A Z J lr i m-l -+-2-+-3-d-5_-F-(M 1)-=rh m 2%=1 rl i m-1 =-1.一 8 w o o 及，2 一 8 n 2z1Q A.(几+1)(+2)(力+3)(13)li m -_产-;700 5 rr解(n+l)(n+2)(n+3)=l(分子与分母的次数相同，极限为5 n 3最高次项系数之比).第2 2页，共131页或 11m(+D(+?(+3)=3l i m(i+l)(1+2)(1+3)=l/?0 0 5 J 5 w o o Y l Y l 5(14)吧匕占；解 li m(-.：=li m 皿+-4=_111T l(j)(x+2),X f 1 l-x 1-X3(l-x)(l+x+x2)X f l(l-x)(l+x+x 2)=_ li m x+2 l+x+x22.计算下列极限：(l)li m v 3+2v；x-2(x-2)2解 因为li m 与|4=2=0,所以li m /等=8.X f 2%3+2x2 16 2(x-2)2r 2 li m;x 002x+l2解li m-=o o (因为分子次数高于分母次数).Xf 82x 4-1(3)li m (2x3-x+l).解li m(2x 3-x+l)=o o(因为分子次数高于分母次数).X-003.计算下列极限：(1)li m x2 si n-;x-o x解li m x 2si n L=0(当x-0时 是 无 穷 小，而si n是有界变量).x-o x x1 1 m卫当”X-C O X解li m卫也”=li m L a r cta a r=O(当x-8时，,是无穷小，x-00 x x-co x X而a r cta n尤是有界变量).4.证明本节定理3中的(2).第2 3页，共131页习 题1-71.当x f 0时,2A/与x2-%3相比，哪一个是高阶无穷小?2 3解因为端手嘴2-2x-x=0,所以当x f 0时,Wt3是高阶无穷小，即N-XOQX T2).2.当x-1时，无穷小1-龙和1-总 ;(1-/)是否同阶？是否等价?解(1)因为 支 誓 把!Wn=lim(l+x+x2)=3,x-l x X fl l x x-l所以当龙-1时，l-x和 是 同 阶的无穷小，但不是等价无穷小.(2)因为 lim2_-=lim(l+x)=l,所以当X f 1时，1-X和是同阶的无穷小，而且是等价无穷小.3.证明：当x-0时，有：(1)arctan一.r2(2)secx 1 证 明(1)因为lim竺 四 =lim-)-=1(提示:令尸arctan x,则当x-0时,a o x y-o tan yy-0),所以当 x 0 口 寸,arctaar-x.2sin 二一)2=1,2,1 2sin24因为 Um se：x-l=211m 早 区=扁 _-i =iim(.-0 1 2 xfO x COSX x-X2 x f2T2所以当x-0时，secx4.利用等价无穷小的性质，求下列极限:11 m里；D 2x蚂煞斜,为正整数);limx-0tanx-sinx.sin3x第24页，共131页(4啊si n x-ta n x(V l+x2-I X V l+si n x-1)解 等券。亲，蚂 群=蚂 二1000n=mn m.n O),V a+x V+v i+i 3J l+si n x-l=，-si n x x(x 0),J l+si n x+1所以li m sm x _ 一 一 f_=_3.(V l+x2-l)(V l+si n x-l)X 0 lx2-x5.证明无穷小的等价关系具有下列性质：(1)a (自反性)；(2)若a ,则止a(对称性)；(3)若 a /3,13 y,则 传递性).证 明(l)li m 2=l,所以a a;a(2)若a 0,则li m 耳=1,从 而 痴 2=1.因此分a;p a(3)若li m =li m li m-=1.因此a /P习 题 1-81.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：第25 页，共 页(1)/W=2-xQ x.lx r x-r X-J+所以li m/(x)=l,从而函数外)在=1处是连续的.x-l综上所述，函数/(X)在 0,2上是连续函数.(2)&)=：;片解 只 需考察函数在4-1和4 1处的连续性.在4-1处，因为4-1)=-1,并且li m f(x)=li m 1=1*/(-1),x-r x-rli m f(x)=li m x=-l=/(-l),x-l+x-l+所以函数在4-1处间断，但右连续.在mi处，因为y u)=i,并且l i m /(x)=l i m x=l=J(l),l i m f(x)=l i m 1=1=(1),x-r%-r x-i+x-i+所以函数在41处连续.综合上述讨论，函数在(-00,-1)和(-1,+00)内连续，在4-1处间断，但右连续.2.下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续：.=1 c m 2;-3 x+2解 尸R y?因为函数在m2和ml处无定义，所以m2和W-3 x+2 (x-2)(x-l)A 1是函数的间断点.因为l i m y=l i m 产J 所以m2是函数的第二类间断点；f X2X2-3X+2因为l i m y=l i m 2=-2,所以ml是函数的第一类间断点,X 1 x (x 2)第2 6页，共131页并且是可去间断点.在4 1处，令尸-2,则函数在4 1处成为连续的.(2)y=x,x=k,x=k1(&=0,1,2,);tanx 2解 函数在点m b纸EZ)和x=氏+三(让Z)处无定义，因而这些点都是函数的间断点.因lim =o o(0),故户匕心M)是第二类间断点；xfk冗 tan%因为lim 一二1,lim 一=0(婕Z),所以 后0和1=觊+(婕Z)是第一i o tan x xik冗 十 三 tan x 22类间断点且是可去间断点.令|户0=1,则函数在4 0处成为连续的；令.攵1+管时，尸0,则函数在户就+方处成为连续的.(3)y=cos2-,x=0;x解因为函数尸COS21在4 0处无定义，所以4 0是函数尸COS21的间断点.X X又因为limcos2上不存在，所以4 0是函数的第二类间断点.1 0 X/八 尸fx-1院 XQl0|x|=l.X|x|r Xf 1+XT1+为函数的第一类不可去间断点.第2 7页，共131页4.证明：若函数 x)在点x o连续且/U o)M,则存在旧的某一邻域U(x o),当x G伏 时,y(x)M.证明不妨设7 U o)O.因为於)在即连续，所以l i m /(x)=/(x0)0,由极限的局部保号性定理，存在出的某一去心邻域。(殉)，使当代。(闻)时段)0,从而当x e U(x o)时，段)0.这就是说，则存在项的某一邻域U(x o),当x e U(&)时,5.试分别举出具有以下性质的函数 r)的例子：(l)m O,l,2,-i,n,L 是於)的所有间断点，且它们都是无穷间2n断点；解 函数/(x)=c sc(玄)+c sc C 在点 x=0,1,2,-,+n,L -处是间断的x2n且这些点是函数的无穷间断点.(2次r)在 R 上处处不连续，但欣x)|在R 上处处连续；解函数/(乃=口 无1在 R 上处处不连续，但伏功=1在 R 上处处连续.(3/x)在 R 上处处有定义，但仅在一点连续.解 函 数/(%)=*在 R 上处处有定义，它只在4。处连续.-X X J习题1-91 .求函数/(X)=卓 餐 旅 的 连 续 区 间，并求极限史(X),呼 /(及l i m/W.x-2解/(幻=二+严与3 =空3)(总4)(煞1),函数在(_8,+8)内除点m2和户3x2+x-6(x+3)(x-2)外是连续的，所以函数/U)的连续区间为(-%-3)、(-3,2)、(2,+00),在函数的连续点=0处，l i m/(x)=/(0)=1.在函数的间断点m2和4-3处，l i m /(x)=l i m (.空厚吗：D=o o,l i m f(x)=l i m (1)(+1=-1.x 2 x 2(X+3)(X2)x-3 x-3 X 2.52 .设函数 x)与g(x)在点x()连续，证明函数第28页，共131页x)=max 伏x),g(x),次 龙)=min 伏x),g(x)在点xo也连续.证明已知 lim/(*)=/(%)，lim g(x)=g(xo).X X0Xf 与可以验证例 x)=J/(x)+g(x)+|/(x)-g(x)|,“(x)=g/(x)+g(x)-|/(x)-g(x)l 因此 奴而)V (%)+g(Ab)+|/(%)-g(%)1,(%)=g/(/)+g(W T/(M)-g(W IL因为lim 夕(x)=lim(x)+g(x)+|/(x)g(x)|x-xQ x x0 Z=1 lim/(%)+lim g(x)+|lim/(%)-lim g(x)|=/(凤)+g(X)+l/(S)-g(演)1=四0)，所以奴x)在点xo也连续.同理可证明Ax)在点X0也连续.3.求下列极限：(1)lim ylx2-2x+5;x-0(2)lim(sin2x)3;r(3)lim ln(2cos2x);XT”O 呵回 T；x-0 X 1 1m且三I二X f x-l lim sin x-sin。；X-a xa(7)lim(y/x2-x-y/x2-x).X-+00第29页，共131页解(1)因为函数/(幻=以五由是初等函数，/)在点户0有定义，所以l i m J/2x+5=/(0)=J()2 2.o+5=石.了 一 0(2)因为函数1 x)=(s i n 2九只是初等函数,X v x+l+l)=l i m 7=X D Jx+1+11 JV 6+T+r 2y/5 x-4 y x(J5x-4-V )(j5x 4+V )(5)l i m-=l i m -/产-X-1 1 x A(x 1)(J 5x-4却甘一 4_(x1)(A/5X 4+V x)44J5x 4+/A/5*1 4+V 1=2.2c o s?s i n%(6)l i m s mmj1 1 m-2-2x-a x-asin r=l i m c o sx+a lr i m-2=c o s Q+。1i=C O S Q.x a 2 x f a X a 2=l i m=l i m2=1._ _ _ _ _ _ _2x_ _ _ _ _ _ _(V x2+x+v x2-x)g+旧)第30页，共131页4.求下列极限:(1)l i m ;X-QO(2)l i m l n迎;x-0 X l i m(l+写;x-o o X(4)l i m(l+3 t an2x)c o t 2j:;x-0(5)l i i n(X-0 0 x-lI 2 蚂Jl+t anx-Jl+s i nxx v l+s i n2x-x i i m一解 l i m ex=e x=e0=l.X-0 0(2)l i m l n =l n(l i m )=l nl=O.x-0 x x-0 Xx(3)l i m (1+)2=l i m (1+)A =4e,Xf 8X X f g L x(4)l i m(l+3 t an2x)c o t 2x=l i m(1+3 t an2x)3 t an2j t J=3o .x-1 o 6+x 3%-1(5)(/)=(1+/L)WW1.因