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第十七章勾股定理1 7.1 勾股定理1 7.1.1 勾股定理（一）一、教学目标1 .了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。2 .培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。3 .介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就,激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。二、重点、难点1 .重点：勾股定理的内容及证明。2 .难点：勾股定理的证明。三、例题的意图分析例1 （补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠,没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。四、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如 果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。让学生画一个直角边为3 c m和4 c m的直角A B C,用刻度尺量出AB的长。以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3,长的直角边（股）的长是4,那么斜边（弦）的长是5。再画一个两直角边为5和12的直角AABC,用刻度尺量AB的长。你是否发现32+42与52的关系,52+122和 13?的关系，即 3 2+4 2=5 2,52+122=132,那么就有勾2+股2=弦2。对于任意的直角三角形也有这个性质吗？五、例习题分析例1（补充）已知：在AABC中，ZC=90,NA、ZB.N C的对边为a、b、Co求,证：a2+b2=co分析：让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。拼成如图所示，其等量关系为：4s+$,、/$加4 x la b+(b-a)2=c2,化简可证。2发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。(4)勾股定理的证明方法，达3 0 0余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。NA、NB、NC 的对边为 a、b、c。求证：a2+b2=c2o分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。左边 S=4X-ab+c22右边 S=(a+b)2左边和右边面积相等，即4X ab+c2=:(a+b)22化简可证。六、课堂练习1 勾股定理的具体内容是：2.如图，直角aABC的主性质是：ZC=90,(用几要cD何B语言表示)两锐角之间的关系：;若D为斜边中点，则斜边中线；(3)若Z B=3 0 ,则N B的 对 边 和 斜边：;三边之间的关系：。3 .A A B C的三边a、b、c,若满足b2=a2+c2,则=9 0 ；若满足 b 2 c 2+a 2,则N B 是 角；若 满 足b2 c2+a2,则N B是角。4 .根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。七、课后练习1.已知在 R t A B C 中，Z B=9 0 ，a、b、c 是A A B C的三边，则(l)c=o (已 矢 口 a、b,求 c)(2)a=o (已 矢 口 b、c,求 a)(3)b=o (已知 a、c,求 b)2.如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c,有a b ,AB=o2.在 R t AAB C 中，Z C=9 0,SAAB C=3 0,C=13,且 a l)求证：ZC=90 o分析：运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先判断那条边最大。分别用代数方法计算出a?+b2和c?的值。判断a?+b2和是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。要证NC=90,只要证4ABC是直角三角形，并且c边最大。根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。由于+1=(n21)2+(2n)2=n4+2n2+L c2=(n+1)2=n+2n2+1,从 而 故 命 题 获 证。六、课堂练习1.判断题。在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。命题：”在一个三角形中，有一个角是3 0 ,那么它所对的边是另一边的一半。”的逆命题是真命题。勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。ABC的三边之比是1：1：叵,则 ABC是直角三角形。2.Z ABC中N A、N B、N C 的对边分别是a、b、c,下列命题中的假命题是()A.如果N C N B=N A,则AABC是直角三角形。B.如果c2=b2a2,则A A B C 是直角三角形，且Z C=9 0 oC.如 果(c+a)(c-a)=b2,则4ABC 是直角三角形。D.如果N A：Z B：Z C=5：2：3,则4ABC 是直角三角形。3.下列四条线段不能组成直角三角形的是()A.a=8,b=15,c=17B.a=9,b=12,c=15C.a=y/5,b=yjs,c=V 2D.a：b：c=2：3：44.已知：在A A B C中，N A、N B、N C的对边分别是a、b、c,分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？(l)a=V 3,b=2后，c=./5 ；a=5,b=7,c=9；a=2,b=y/3,c=-1；a=5,b=2V 6,C=lo七、课后练习，1.叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。如果0,那 么a 2 0；如果三角形有一个角小于9 0 ,那么这个三角形是锐角三角形；如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；关于某条直线对称的两条线段一定相等。2.填 空 题。任 何 一 个 命 题 都 有，但任何一个定理未必都有。“两 直 线 平 行，内 错 角 相 等。”的逆定理是 o在AABC 中，若 a2=b2-c2,贝i JZ ABC 是 三角形，是直角；若 a2 0)课后反思:17.2.2勾股定理的逆定理（二）一、教学目标1.灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。二、重点、难点1.重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2.难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。三、例题的意图分析例1 （P 8 3例2）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。例2（补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。四、课堂引入创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。五、例习题分析例 1 （P 8 3 例 2）分析：了解方位角，及方位名词；依题意画出图形；依题意可得 P R=12X 1,5=18,P Q=16 X1.5=24,Q R=30；因为 242+18 =302,P Q2+P R2=Q R2,根据勾股定理的逆定理，知NQ P R=9 0 ；NP R S=NQ P R-NQ P S=45 。小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。例 2（补充）一根30 米长的细绳折成3 段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7 米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。分析：若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；根据勾股定理的逆定理，由 52+12=132,知三角形为直角三角形。解略。六、课堂练习 c1.小强在操场上向东走8 0 n l 后，又走了 6 0 m,再走1 0 0 m 回到原地。B D A小强在操场上向东走了 8 0 m 后，又走 6 0 m 的方向是。2 .如图，在操场上竖直立着一根长为2 米的测影竿,早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米,则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？3.如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距1 3海里的A、B两个基地前去拦截，六分A钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行1 2 0海/里，乙巡逻艇每小时航行5 0海/B 0里，航向为北偏西40,问：甲巡逻艇的航向？七、课后练习1.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为,此三角形的形状为 O2.一根12米的电线杆A B,用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9 米，B、D两点之间距离是5 米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？3.如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米,DA=12 米,又 已 知 NB=90 o课后反思:1 7.2.3 勾股定理的逆定理（三）一、教学目标1.应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。2 .灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。3 .进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。二、重点、难点1 .重点：利用勾股定理及逆定理解综合题。2 .难点：利用勾股定理及逆定理解综合题。三、例题的意图分析例 1 （补充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。例 2 （补充）使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。本题辅助线作平行线间距离无法求解。创造3、4、5 勾股数，利用勾股定理的逆定理证明D E 就是平行线间距离。例 3 （补充）勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。四、课堂引入勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。五、例习题分析例1 (补 充)已 知：在A A B C中，N A、N B、NC的对边分别是 a、b、c,满足分+b 2+c 2+338=10a+24b+26c。试判断 A B C的形状。分析：移项，配成三个完全平方；三个非负数的和为0,则都为0；(3)已知a、b、c,利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。例2(补充)已知：如图，四边形A B C D,A D B C,A B=4,B C=6,C D=5,A D=3O求：四边形A B C D的面积。分析：作D E A B,连结B D,则可以证明A A B D之Z X E D B (A S A)；(2)D E=A B=4,B E=A D=3,E C=E B=3；在 A D E C 中，3、4、5勾股数，Z W E C为直角三角形，D E B C；利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。例3(补 充)已 知：如图，在A A B C中，C D是A B边上的高，且C D?=A DB D。求证：A A B C是直角三角形。分析：V A C2=A D2+C D2,BC2=CD2+BD2.*.A C2+B C=A D2+2C D2+B D2=A D2+2A D B D+B D2=(A D+B D)2=A B2六、课堂练习1.若A A B C 的三边 a、b、c,满 足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则 A A B C 是()A.等腰三角形；B.直角三角形；C.等腰三角形或直角三角形；D.等腰直角三角形。2.若A A B C 的三边a、b、c,满足a：b：c=l：1：V 2,试判断A A B C 的形状。3.已知：如图，四边形A B C D,A B=1,DB C=-,C D=,A D=3,且 A B _ L B C。4 4求：四边形A B C D 的面积。B C4.已知：在AABC中，ZA C B=9 0,C D A B 于 D,且C D=A D -B DO求证：A A B C 中是直角三角形。七、课后练习，1.若4A B C 的三边 a、b、c 满足 a2+b2+c2+50=6a+8 b+10c,求A A B C 的面积。2.在 A B C 中,A B=13c m,A C=24c m,中线 B D=5c m。求证：A A B C 是等腰三角形。3.已知：如图，Z1=Z2,AD=AE,D为BC上一点，且 BD=DC,AC2=AE2+CE2O求证：AB=AE2+CE2O 4.已知AABC的三边为a、b、c,且 a+b=4,ab=l,c=V14,试判定AABC 的形状。课后反思：第十八章平行四边形18.1平行四边形及其性质1 8.1.1 平行四边形及其性质（一）一、教学目标：1.理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质.2.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证.3.培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力.二、重点、难点1.重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用.2.难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.三、例题的意图分析例 1是教材P93的例1,它是平行四边形性质的实际应用，题目比较简单，其目的就是让学生能运用平行四边形的性质进行有关的计算，讲课时，可以让学生来解 答.例 2 是补充的一道几何证明题，即让学生学会运用平行四边形的性质进行有关的论证，又让学生从较简单的几何论证开始，提高学生的推理论证能力和逻辑思维能力，学会演绎几何论证的方法.此题应让学生自己进行推理论证.四、课堂引入1.我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象?平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？你能总结出平行四边形的定义吗?(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(2)表示：平行四边形用符号“o”来表示.如图，在四边形A B C D中，A B D C,A D B C,那么四边形A B C D是平行四边形.平行四边形A B C D记 作“口A B C D”,读 作“平行四边形A B C D”.：AB/DC,AD/BC,，四边形/区笫是平行四边 形（判定）；：四边形力砥?是平行四边形.衩/C,AD/BC（性质）.注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角.而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角.（教学时要结合图形，让学生认识清楚）2.【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下.让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？(1)由定义知道，平行四边形的对边平行.根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角.(相邻的角指四边形中有一条公 共 边 的 两 个 角.注 意 和 第 一 章 的产、T邻角相区别.教学时结合图形使学生分辨清楚.)(2)猜想平行四边形的对边相等、对角相等.下面证明这个结论的正确性.已知：如图c A B C D,求证：A B=C D,C B=A D,Z B=Z D,Z B A D=Z B C D.分析：作o A B C D的对角线A C,它将平行四边形分成A B C和A C D A,证明这两个三角形全等即可得到结论.(作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题.)证明：连接A C,A B C D,A D B C,，Z 1 =Z 3,N 2 =N 4.又 A C=C A,A A B C A C D A (A S A).A B=C D,C B=A D,N B=N D.又 Z 1 +Z 4=Z 2+Z 3,N B A D=N B C D.由此得到：平行四边形性质1 平行四边形的对边相等.平行四边形性质2 平行四边形的对角相等.五、例习题分析例1 （教材P9 3例1）例2 （补充）如图，在平行四边形 A B C D 中，A E=C F,求证：A F=C E.分析：要证A F=C E,需证A D F Z Z X C B E,由于四边形A B C D是平行四边形，因此有N D=N B ,A D=B C,A B=C D,又A E=C F,根据等式性质，可得B E=D F.由“边角边”可得出所需要的结论.证明略.六、随堂练习1.填 空：在 口A B C D 中，Z A=5 0,贝！JNB=度，Z C=度,Z D=度.(2)如果口A B C D 中，N A N B=2 4 0,则N A=度，ZB=一 度，Z C=一 度，Z D=一度.(3)如果o A B C D 的周长为2 8 c m,且A B：B C=2 :5,那么 A B=c m,B C=c m,C D=c m,C D=c m.2.如图4.3 9,在口A B C D 中，A C 为对角线，B E A C,D F A C,E、F 为垂足，求证：B E=D F.七、课后练习L（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（）.（A）对 角 相 等（B）对 角 互 补（C）邻 角 互 补（D）内角和是3 6 0。2.在o A B C D 中，如果 E F A D,G H C D,E F 与 G H 相交与点0,那么图中的平行四边形一共有（）.（A）4 个（B）5 个（C）8 个（D）9 个3.如图，A D B C,A E/7 C D,B D 平分N A B C,求证 A B=C E.B 二BE c1 8.1.2平行四边形的性质（二）一、教学目标：1 .理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质.2 .能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题.3 .培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力.二、重点、难点1.重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用.2.难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.三、例题的意图分析本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，它是性 质3的直接运用，然后对例1进行了引申，可以根据学生的实际情况选讲，并归纳结论：过平行四边形对角线的交点作直线交对边或对边的延长线，所得的对应线段相等例1与后面的三个图形是一组重要的基本图形,熟悉它的性质对解答复杂问题是很有帮助的.例2是教材P94的例2,这是复习巩固小学学过的平行四边形面积计算.这个例题比小学计算平行四边形面积的题加深了一步，需要应用勾股定理，先求得平行四边形一边上的高，然后才能应用公式计算.在以后的解题中，还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题，在教学中要注意使学生掌握其方法.四、课堂引入1 .复习提问：(1)什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是:(2)平行四边形的性质：具有一般四边形的性质(内角和是3 6 0。).角：平行四边形的对角相等，邻角互补.边：平行四边形的对边相等.2 .【探究】：请学生在纸上画两个全等的o A B C D和CE F G H,并连接对角线A C、B D和E G、H F,设它 H们分别交于点o.把 这 两 个 平 行 四GV一2边形落在一起，在 点。处钉一个图钉，将口A B C D绕 点0旋转1 8 0。，观察它还和c E F G H重合吗？你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？结论：（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；（2）平行四边形的对角线互相平分.五、例习题分析例1（补充）已知：如图4-2 1,o A B C D 的对角线 A C、B D B c相交于点0,E F 过点0 与A B、C D 分别相交于点E、F.求证：0 E=0 F,A E=C F,B E=D F.证明：在 o A B C D 中，A B/C D,Z 1 =Z 2.Z 3 =Z 4.又0 A=0 C （平行四边形的对角线互相平分），.A A O E A C O F （A S A）.0 E=0 F,A E=C F （全等三角形对应边相等）.o A B C D,/.A B=C D （平行四边形对边相等）.，A B A E=C D C F.即 B E=F D.【引申】若 例 1中的条件都不变，将 E F 转动到图 b的位置，那么例1的结论是否成立？若将E F 向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图 c和图d）,例 1 的结论是否成立，说明你的理由.解略例 2（教材P 9 4 的例2）已知四边形A B C D 是平行四边形，A B=1 0 c m,A D=8 c m,A C 1 B C,求 B C、C D、A C、O A 的长以及口A B C D 的面积.分析：由平行四边形的对边相等，可得B C、C D 的长,在 R t A A B C 中，由勾股定理可得A C 的长.再由平行四边形的对角线互相平分可求得0 A 的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底义高（高为此底上的高），可求得S V B C D 的 面 积.（平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了.）3.平行四边形的面积计算六、随堂练习1.在平行四边形中，周长等于4 8,已知一边长1 2,求各边的长已知A B=2 B C,求各边的长已知对角线AC、B D 交于点0,A 0 D 与A A O B 的周长的差是1 0,求各边的长2 .如图，o A B C D 中，A E B D,Z E A D=6 0 ,A E=2 c m,A C+B D=1 4 c m,则O B C 的周长是 c m.3 .o A B C D 一内角的平分线与边相交并把这条边分成5 c m ,7 c m 的两条线段，则o A B C D 的周长是 c m.(4)Z 7 A B C D 的周长为 3 6 c m,A B=8 c m,BC=；当N B=6 0 时，A D,B C 的距离A E=,Z 7 A B C D 的面积SE R E=_.七、课后练习1.判断对错(1 )在 o A B C D 中，AC交BD于0 ,则A 0=0 B=0 C=0 D.()(2)平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等.()(3 )平 行 四 边 形 的 两 组 对 边 分 别 平 行 且 相等.()(4)平 行 四 边 形 是 轴 对 称 图形.()2 .在 A B C D 中，A C=6、B D =4,贝 ij A B 的范围是3 .在平行四边形A B C D 中，已知A B、B C、C D 三条边的长度分别为(x+3),(x-4)和 1 6,则这个四边形的周长是_ _ _ _ _ _ _4 .公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，A B =1 5 c m,A D =1 2 c m,A C B C,求小路 B C,C D,O C 的长,并算出绿地的面积.1 8.2平行四边形的判定18.2.1平行四边形的判定（一）一、教学目标：1.在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法.2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题.3.培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题.二、重点、难点3.重点：平行四边形的判定方法及应用.4.难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用.三、例题的意图分析本节课安排了3个例题，例1是教材P96的例3,它是平行四边形的性质与判定的综合运用，此题最好先让学生说出证明的思路，然后老师总结并指出其最佳方法 例2与例3都是补充的题目，其目的就是让学生能灵活和综合地运用平行四边形的判定方法和性质来解决问 题.例3是一道拼图题，教学时，可以让学生动起来,边拼图边说明道理，即可以提高学生的动手能力和学生的思维能力，又可以提高学生的学习兴趣.如让学生再用四个不等边三角形拼一个如图的大三角形，让学生指出图中所有的平行四边形，并说明理由.四、课堂引入1 .欣赏图片、提出问题.展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？2 .【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？让学生利用手中的学具一一硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：(1)你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？(2)你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？(3)你能说出你的做法及其道理吗？(4)能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？(5)你还能找出其他方法吗？从探究中得到：平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。平行四边形判定方法2 对角线互相平分的四边形是平行四边形。五、例习题分析例 1 （教材P 9 6 例 3）已知:如图o A B C D 的对角线A C、B D 交于点0,E、F 是 A C 上的两点，并且A E=C F.求证：四边形B F D E 是平行四边形.分析：欲证四边形B F D E 是平行四边形可以根据判定方法 2 来证明.（证明过程参看教材）问；你还有其它的证明方法吗？比较一下，哪种证明方法简单.X/A 例 2（补充）已知：如图，A B B A,B C C B,Cz A /A C.求证：（1）N A B C=N B ，N C A B =N A ，Z B C A=NC；（2）ZkABC的顶点分别是AB C A 各边的中点.证明：（1）A B BA,C B BC,.四边形ABCB是平行四边形.N A B C=N B（平行四边形的对角相等）.同理NCAB=NA,N BC A=N C.（2）由（1）证得四边形ABCB是平行四边形.同理,四边形ABA C是平行四边形.,AB=B C,AB=A C （平行 太 不四边形的对边相等）.BA/EB C=AZ C.X 乂同理 B A=C A,A B=C B.ZXABC的顶点A、B、C分别是AB C A 的边B C，、C A，、Az B 的中点.例3（补充）小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形.你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由.解：有 6个平行四边形，分别是口A B O F,o A B C O,o B C D O,o C D E O,o D E F O,o E F A O.理由是：因为正A B O 也正 A O F,所 以 A B=B 0,0 F=F A.根 据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形A B C D 是平行四边形.其它五个同理.六、随堂练习 片-YDV1 .如图，在四边形A B C D 中，A C、B D 相交于点0,(1)若 A D=8 c m,A B=4 c m,那么当 BC=cm,CD=cm时，四边形A B C D 为平行四边形；(2)若 A C=1 0 c m,B D=8 c m,那么当 A0=cm,D 0=c m时，四边形A B C D 为平行四边形.2 .已知：如图，o A B C D 中，点 E、A F BF 分别在 C D、A B 上，D F B E,E F交 B D 于点0.求证：E 0=0 F.3.灵活运用课本P 8 9例题，如图：由火柴棒拼出的一列图形，第n个图形由（n+1）个等边三角形拼成，通过观察，分析发现：n=l n=2 n=3 n=4第4个图形中平行四边形的个数为（6个）第8个图形中平行四边形的个数为（2 0 个）七、课后练习1.（选择）下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（）.（A）对角线互相垂直（C）对角线互相垂直且相等（B）对角线相等（D）对角线互相平分2.已知：如图，/X A B C,B D 平分NA B C,D E B C,E F B C,求证：B E=C FA1 8.2.2 平行四边形的判定（二）一、教学目标：1 .掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法.2 .会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题.3 .通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力.二、重点、难点1.重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法.2.难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用.三、例题的意图分析本节课的两个例题都是补充的题目，目的是让学生能掌握平行四边形的第三种判定方法和会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题.学生程度好一些的学校，可以适当地自己再补充一些题目，使同学们会应用这些方法进行几何的推理证明，通过学习，培养学生分析问题、寻找最佳解题途径的能力.四、课堂引入1.平行四边形的性质；2.平行四边形的判定方法;3.【探究】取两根等长的木条A B、C D,将它们平行放置，再用两根木条B C、A D 加固，得到的四边形A B C D是平行四边形吗？结论：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.A E D五、例习题分析/B F c例1 （补充）已知：如图，Z=7A B C D 中,E、F 分别是A D、B C 的中点,求证：B E=D F.分析：证明B E=D F,可以证明两个三角形全等，也可以证明四边形B E D F 是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单.证明：四边形A B C D 是平行四边形，A D C B,A D=C D.:E、F 分别是A D、B C 的中点,D E B F,且D E=A D,B F=1 B C.2 2，D E=B F.四边形B E D F 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）.，B E=D F.此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次有三，且利用知识较多，因此应使学生获得清晰的证明思路.例2 （补充）已知：如图，口A B C D 中,E、F 分别是A C 上两点,且B E _ L A C 于E,D F，A C 于F.求证：四边形B E D F 是平行四边形.分析：因为B E _ L A C 于E,D F _ L A C 于F,所以B E D F.需再证明B E=D F,这需要证明A A B E 与A C D F 全等，由角角边即可.证明：四边形A B C D 是平行四边形，A B=C D,且A B C D.Z B A E=Z D C F.D F _ L A C 于F,.B E D F,且N B E A=N D F C=9 0 .，A A B E A C D F （A A S）.B E=D F.四边形B E D F 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）.六、课堂练习1.（选择）在下列给出的条件中，能判定四边形A B C D为平行四边形的是（）.(A)A B C D,A D=B CA=Z B,Z C=Z D(C)A B=C D,A D=B CA B=A D,C B=C D(B)Z(D)2 .已知：如图，A C E D,点B 在A C 上，且A B=E D=B C,找出图中的平行四边形，并说明理由.3 .已知：如图，在o A B C D 中，A E、C F 分别是N D A B、N B C D 的平分线.求证：四边形A F C E 是平行四边形.七、课后练习1.判断题：相 邻 的 两 个 角 都 互 补 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形;()两 组 对 角 分 别 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形;一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；()一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；()对 角 线 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形；()(6)对 角 线 互 相 平 分 的 四 边 形 是 平 行 四 边形.()2 .延长Z X A B C 的中线A D 至E,使 D E=A D.求证：四边形A B E C 是平行四边形.3 .在四边形 A B C D 中，A B C D；(2)A D B C；(3)A D=B C；(4)A 0 =0 C；(5)D 0=B 0；(6)A B =C D.选择两个条件,能判定四边形A B C D 是平行四边形的共有对.(共 有 9 对)1 8.2.3平行四边形的判定（三）一、教学目标：1.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质.2.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算.3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力.4.能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论.理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法.二、重点、难点1.重点：掌握和运用三角形中位线的性质.2.难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）.三、例题的意图分析例1是教材P98的例4,这是三角形中位线性质的证明题，教材采用的是先证明后引出概念与性质的方法，它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定，二是为了降低难度，因此教师们在教学中要把握好度.建议讲完例1,引出三角形中位线的概念和性质后,马上做一组练习，以巩固三角形中位线的性质，然后再讲 例2.例2是一道补充题，选自老教材的一个例题，它是三角形中位线性质与平行四边形的判定的混合应用题，题型挺好，添加辅助线的方法也很巧，结论以后也会经常用到，可根据学生情况适当的选讲例2.教学中，要把辅助线的添加方法讲清楚，可以借助与多媒体或教具.四、课堂引入1.平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？2.你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？（答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题.例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题.）3.创设情境实验：请同学们思考：将任意 人一个三角形分成四个全等的三角 六形，你是如何切割的？（答案如图）B F C图中有几个平行四边形？你是如何判断的？五、例习题分析例 1（教材P98例 4）如图，点D、E、分别为AABC边 AB、AC的中点，求证:BcD E B C 且 DE=LBC.分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系,联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对,不边平行且相等的性质来证明结论 D,/k-yF成立，从而使问题得到解决，这 就R2-1，BC(1)需要添加适当的辅助线来构造平行四边形.方 法1：如 图（1）,延 长D E到F,使E F=D E,连接C F,由4 A D E之C F E,可 得A D F C,且A D=F C,因此有B D F C,B D=F C,所以四边形B C F D是平行四边形.所以D F/B C,D F=B C,因为 D E=；D F,所 A以 D E B C 且 D E=1 B C.D/E、F（也可以过点C作C F A B交D E的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）方法2：如图(2),延长D E 到F,使 E F=D E,连接C F、C D 和A F,又A E=E C,所以四边形A D C F 是平行四边形.所以 A D F C,且 A D=F C.因为 A D=B D,所以 B D F C,且 B D=F C.所以四边形A D C F 是平行四边形.所以D F B C,且 D F=B C,因为 DE=DF,所以 D E B C 且 D E=，B C.2 2定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.【思考】：(1)想一想：一个三角形的中位线共有几条？三角形的中位线与中线有什么区别？(2)三角形的中位线与第三边有怎样的关系？(答：(1)一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同.中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线.(2)三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半.)三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半.K