大学物理课后习题答案上册和下册.pdf

大学物理习题及解答习题一d r d r1-1 I ，I与4有无不同？口 和dr有无不同？举例说明.d vd t有无不同?其不同在哪里?试解：（1）1二l是位移的模，尸 是位矢的模的增量,即 T弓T,左=同 一1礼0d r d s是速度的模，即 加=M=d r .d r由 只是速度在径向上的分量.有二厂旧（式中户叫做单位矢）,d r式 中 小 就是速度径向上的分量，d r f.drd，d r不同如题厂1图所示.d r d r .d r=r+r 则 d r d r d r口|二（3）d z表示加速度的模，即 山，d r是加速度a在切向上的分量.有u =v六亍表轨道节线方向单位矢），所以d v d v _ d r 二 一r 4-v d z d t d td v式 中 力 就是加速度的切向分量.d F .d f（,d r 山 的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论）1-2设质点的运动方程为1=%（/）,y=y）,在计算质点的速度和加速度时，有人先求d r d V出r=J+y2,然后根据v=d f ,及。=山2而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有尸二 刀+_ d r d x-r d y -/.v =i +/d r d t d t一 d2r d2x v d2ya =-=-i +-jd 产 d r2 d r2故它们的模即为而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作d rv =一d rd2rQ 二 d r2其 二 可 能 是 湍 与d2rd rdJ误作速度与加速度的模。在 17 题中已说明出 不是速度的模,d2r而只是速度在径向上的分量，同样，也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一rdT2r ide Yd-。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢了及速度/的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。1-3 一质点在元 ），平面上运动，运动方程为X=3 f+5,=2 产+3 1.式中 以 s 计，X,卜以m计.（1）以时间,为变量，写出质点位置矢量的表示式：（2）求出r=1s时刻和f=2 s 时刻的位置矢量，计算这1 秒内质点的位移；（3）计算f=0 s 时刻到f=4 s时刻内的平均速度；（4）求出质点速度矢量表示式，计算f=4s时质点的速度：（5）计算，=0 s至 =4s内质点的平均加速度；（6）求出质点加速度矢量的表示式，计算，=4s时质点的加速度（请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式）.=(3 f +5)f+(g 产 +3/4)了解：（1）（2）将=1,=2 代入上式即有m“=Si-0.5j=1 1 7 +4；m(3)V酝=5一 斤=3.7 +4.5 j m/5 7-4市=1 7 7 +1 6/=A r r4-ra 1 2 F +2 0；p =-=-=3：+5/m-s 1A r 4-04v =3i+(r +3)m-s-1 山则(5)V(6)v4-3z+7y m-s-1v0=3i+3J,v4=3/4-7；=Av v4 VQ 4-：_2a=-=1/m-sAf 4 4-du -2dt这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。1-4在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如 题1-4图所示.当人以%(m)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小.图1-4解：设人到船之间绳的长度为/,此时绳与水面成角，由图可知I2=h2+s2将上式对时间f求导，得c,d/c ds21=2s dt dt根据速度的定义，并注意到。5是随，减少的,41/即或山=%，脸=-由I dl Idt s dt%cos。将丫船再对,求导，即得船的加速度 上dvr=-dr；2dl dsdz dz,-”船、，2-V0 =-2-V0s s(丁 J?诏52532-21-5质点沿轴运动，其加速度和位置的关系为“=2+6，。的单位为m-s,X的单位为n质点在1=0处，速度为io m-s，试求质点在任何坐标处的速度值.dv dv dx dva=-=v解：.dt dx dt dx分离变量 tdu=adx=(2+6x2)dx一v 2x+c两边积分得 2由题知，=0时，=1 ,./=50.v=2-7-X3+x+25 m-s-11-6己知一质点作直线运动，其加速度为a=4+3，m-s-2,开始运动时，X=5m,v=0,求该质点在，=10s时的速度和位置.dv/八a=4+3/解：df分离变量，得 dv=(4+3z)dr,3 2v=4t+-t +G积分，得 2由题知，f=0,%=,。=0v=4t+-t2故2u=dr =4/+-3 r2又因为 df 23,dx=(4r+-厂)dr分离变量，2X 2厂 H-1，+C-,积分得 2由题知/=0,%0=5,。2 =5x=2 +L，+5故2所以f=10s时3,v1in0=4x10+xl0=190 m-s271 axl o=2xlO2+-xlO3+5=7O5 m1-7 一质点沿半径为1 m的圆周运动，运 动 方 程 为0=2+3“，9式中以弧度计，以秒计，求：(1)t=2 s(2)当加速度的方向和半径成45角时，其角位移是多少？T=9产 上冷解：=2 s时,ar-/?/?=Ixl8x2=36m-s-2an=RCD2=1X(9X22)2=1 2 9 6 m-s-2t a n 4 5 =1（2）当加速度方向与半径成4 5 角时，有%即 R d =R/3 亦即（9）2=1 42 9P=-6 =2 +3/=2 +3 x =2.6 7 r a d则解得 9 于是角位移为 9vot-b t21-8质点沿半径为R的圆周按5=2 的规律运动，式中S为质点离圆周上某点的弧长，”,力都是常量，求：（1 时刻质点的加速度；（2）f为何值时，加速度在数值上等于以解：（1）v=-=vQ-btd v ,ar=-bT dtV2(%-从)2C I=-RRh2+仇 一 初）4则加速度与半径的夹角为(P=a r c t a i H -a“-R b(v0-bf)（2）由题意应有 2 中仇-从 尸b2 b2+,=(%-从)4 =0R-即.当 b 时，a=b1-9半径为R的轮子，以匀速沿水平线向前滚动：（1）证明轮缘上任意点B的运动方程为x =A（W _ s i n&）,y=R（1 c o s a f）,式中口=%/R是轮子滚动的角速度，当B与水平线接触的瞬间开始计时.此时8所在的位置为原点，轮子前进方向为X轴正方向；（2）求B点速度和加速度的分量表示式.解：依题意作出下图，由图可知灰孙3、。、题1-9图.e ex=vor-2/?s i n c o s 2 2=vQt-RsinO=R(cot-R sin cot)y=2/?s i n s i n 2 2=R（l-c o s。）=/?（1 -co sco t）（2）d rvx=R （1 -COSG。s i n co t-*d t,d vva.=R a r co sco t=-I d r1-1 0 以初速度=2 o m-s T 抛出一小球，抛出方向与水平面成幔6 0 求：（1）球轨道最高点的曲率半径与；（2）落地处的曲率半径 2.（提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系）的夹角,解：设小球所作抛物线轨道如题1-1 0 图所示.题 1-1 0 图（1）在最高点，V j=vv=v0 cos60i=g =10m-s-2a又:%P P x(2 0 x co s 60 0)21 0=日4=1 0 m（2）在落地点,而V2 =V0 =20 m.s-1a/h=gx cos60P i =(2。)2 =8(man 21 0 x co s 60 01-1 1 飞轮半径为0.4 m,自静止启动，其角加速度为 =0.2 r a d上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.解：当，=2s时，69=0.2 x2 =0.4 r a d-s-1,s,求r =2 s 时边缘则 v =R e o =0.4x 0,4=0.1 6 m-san=R e o2=0.4 x (0.4)2=0.0 64 m.s2%=刖=0.4x 0.2 =0.0 8 m.s-2a=个a：+a；=J(0.0 64)2 +(0.0 8)2 =0.1 0 2 m s-21-1 2 如 题 1 T 2 图，物体A 以相对B 的速度v =J 旃沿斜面滑动，)为纵坐标，开始时A 在斜面顶端高为力处，8 物体以M匀速向右运动，求 A 物滑到地面时的速度.解：当滑至斜面底时，y=h,则%=他 皿，A 物运动过程中又受到8 的牵连运动影响,因此，A 对地的速度为以地=+以=(i t+.2 g/7 co s a)i +(J 2 gs i n a)jy题 1-1 2 图1-1 3 一船以速率=30 k m h 沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率丫2 =40 k m I?沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何？解：(1)大船看小艇，则有%1=%一 ，依题意作速度矢量图如题1-1 3图(a)A&(a)(b)题 1-1 3图由图可知 V2 I =7V!2 +v2 =5()k m -h 0=a r ct a n-=a r ct a n =36.87方向北偏西 彩 4(2)小船看大船，则有0 1 2=一马，依题意作出速度矢量图如题1-1 3图(b),同上法，得vi 2 =50 k m -h-方向南偏东36871-1 4 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 nl 的甲板上，篷高4 m但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3 m ,如雨滴的速度大小为8 m s ,求轮船的速率.解：依题意作出矢量图如题1-1 4所示.。雨 船=/雨 一 /船由图中比例关系可知U雨=U雨 船+U船丫 船=丫 雨=8 m s-习题二2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为班的物体，另一边穿在质量为加2 的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动.今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度,下滑，求机I,加2 相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力（绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计）.解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为4 ,其对于加2 则为牵连加速度，又知加2对绳子的相对加速度为，故机2 对地加速度，由图（b）可知，为a=a又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力f 在数值上等于绳的张力T,由牛顿定律,有班 g_T=g6 T-m2g=m2a2 联立、式，得_ （4 一根2）g +m?。mx+m 2-m2）g-mxa2 mx+r 丁 机翻 2（2 g 一。）J =1=-m1+m2讨 论（1）若储=,则 为 =%表示柱体与绳之间无相对滑动.若 =2 g,则T =f =,表示柱体与绳之间无任何作用力，此时犯，加2均作自由落体运动.题 2-1 图2-2 一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾 角 为 上 以 初 速 度%运 动，%的方向与斜面底边的水平线A3平行，如图所示，求这质点的运动轨道.解：物体置于斜面上受到重力 g ,斜面支持力N.建立坐标：取%方 向 为 X 轴，平行斜面与X 轴垂直方向为丫轴.如图2-2.BmgA题 2-2图X方向：工=。X=vot丫方向：Fx m s i n a m avf =0时y =0 Vy=01 2y=gsma t由、式消去乙 得12y=-r-g s i n a x2%2-3质量为1 6 k g的 质 点 在 平 面 内 运 动，受一恒力作用，力的分量为人=6 N,于 丫 =-7 N,当，=0 时，x =y =0,vx=-2 m-s”y=0.求当，=2 s 位 矢;(2)速度.解：0 6 3 ,ar=-m -s 2m 1 6 8fv-7 .2=m-s,m 1 6(1)r2 3 5vxr =vxr。0 +J o x =-2+-g x 2 =4 m-sf2-7 7*=L-，o+J。y =1 6 =8m-s于是质点在2s 时的速度_ 5,7 r _ 1v =i-/m s4 8(2)=(-2 x 2+x-x 4)1 +(-)x 4 72 8 2 1 62-4质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力如(女为常数)作用，1=0 时质点的速 度 为%,证 明(1)，时刻的速度为u=%e;(2)由。至 W的时间内经过的距离为加%*(tn%=(k)(3)停止运动前经过的距离为“k.(4)证明当，=河左时速 _度 减 至%的 e,式中如为质点的质量.-ky d va =-=答：；m 山分离变量，得dv-kdtvIn=Ine_ k_t v=voe mx=J vdf=二 ”、出=(1-e)“(3)质点停止运动时速度为零，即 t-8,in(4)当 t 二人时，其速度为V =%/菽7=-e即速度减至%的e.2-5升降机内有两物体，质量分别为 叫，加2,且机2=2 叫.用细绳连接，跨过滑轮，绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速。=5 g上升时，求：(1)犯和加2相对升降机的加速度.(2)在地面上观察犯，加2的加速度各为多少？解：分别以“I,机2为研究对象，其受力图如图(b)所示.(1)设加2相对滑轮(即升降机)的加速度为优，则加2对地加速度a2=a-a,因绳不可伸长,故叫对滑轮的加速度亦为，又犯在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以仍在水平方向对地加速度亦为，由牛顿定律，有m2g T=m2(a ci)T=mya题 2-5 图(2)加2对地加速度为a2=a-a=2 方向向上仍 在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即。绝=相+牵6=arctan =arctan =26.6。2,左偏上.2-6 一质量为，的质点以与地的仰角6=30。的初速?从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量.解：依题意作出示意图如题2-6图题2-6图在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下,而抛物线具有对y轴对称性，故末速度与轴夹角亦为3。,则动量的增量为酝=mv mv0由矢量图知，动 量 增 量 大 小 为 方 向 竖 直 向 下.2-7 一质量为机的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞.并在抛出1 s,跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等.求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向.并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒？解：由题知，小球落地时间为85 s.因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为匕=g f=S 5 g,小球上跳速度的大小亦为彩=0-5 g.设 向 上 为 轴 正 向，则动量的增量即=2%-叫方向竖直向上，大小|曲|=加马一（一 加“）=加8碰撞过程中动量不守恒.这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用.另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这嘤明动量不守恒.2-8作用在质量为101的物体上的力为7?=（10+2）,福 式 中，的单位是s,（1）求4s后,这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量.（2）为了使这力的冲事为200 Ns,该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度-6/m s 的物体,回答这两个问题.解：（D若物体原来静止，则酝=（融=黄10+2制=56kg-m-s看 沿x轴正向,A-二 -j-rAVj=5.6 m-s imI-Apj=5 6kg m si若物体原来具有6 m-sT初速，则瓦=-mv0,p =zn(-v0+dr)=-/HV0+j FdtJo m Jo 于是与 2=P-P o =同理，=AQ,72=Z这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大,那么物体获得的动量的增量（亦即冲量）就一定相同，这就是动量定理.（2）同上理，两种情况中的作用时间相同，即/=r（1 0+2r）d r =1 0 r +/2Jo亦即r2+1 0-2 0 0=0解得，=1 0 s,（f =2 0 s 舍去）2-9 一质量为 机 的 质 点 在 平 面 上 运 动，其位置矢量学r =a co sM i+Z?s i n M71t-求质点的动量及f=0到 20解：质点的动量为p=m v =m z y（-s i n co ti+Z?c os 6 9/）71t-将 f =0和 2（W分别代入上式，得px-mco b j p2=-mco a i则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为7=4=瓦 一 片-mco a i +h j）2-1 0 一颗子弹由枪口射出时速率为%m-sT,当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为尸=（。-初）N（。，为常数），其中，以秒为单位：（1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零,试计算子弹走完枪筒全长所需时间；（2）求子弹所受的冲量.（3）求子弹的质量.解：（1）由题意，子弹到枪口时，有_ aF =（a-b f）=O b（2）子弹所受的冲量I-（a-h t）d t-a tt=将 人代入，得（3）由动量定理可求得子弹的质量I a2m -=-%犯2-1 1 一炮弹质量为机，以速率u 飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为T,且一块的质量为另一块质量的女倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为证明：设一块为4,则另一块为机2,m 1 =ktn1 及 m+m2=mkm mm=-,m-y-于是得 Z+l 4+1 又 设 町 的 速 度 为%,旭2的速度为彩，则有rr，1 2 1 2 1 2T=+AH2V2 /nvmv=mx v+m2v2联立、解得v2=（Z+l）u 仙将代入，并整理得了 =（h 一 丫）2km,2TV|=V Ah于是有V km将其代入式，有又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取证毕.2-1 2 设%=7 i 6/N.（D 当一质点从原点运动到了=-3 i+4/+1 高m时，求户所作的功.（2）如果质点到 处时需0.6 s,试求平均功率.（3）如果质点的质量为1 k g,试求动能的变化.解：（1）由题知，星 为 恒 力，,4合=户 产=（7f 6）（3f+4了 +1 夕）=一21 24=T 5 J（2）2 0.6（3）由动能定理，AE*=A=-45J2-1 3 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 c m,问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同.解：以木板上界面为坐标原点，向内为 坐标正向，如题2-1 3 图，则铁钉所受阻力为题 2-1 3 图f =-ky第一锤外力的功为AA =f fy=J-心=妙d y=&J s J。2 式中/是铁锤作用于钉上的力，/是木板作用于钉上的力，在d f -O时，f =f .设第二锤外力的功为42,则同理，有A2 =d y=g；一：由题意，有AA A A/2 k2=A）=（5 2 厂）=即1,2 k k-2k y-22 2 =2所以，2=6于是钉子第二次能进入的深度为A y=-_ X =V 2 -1 =0.4 1 4 c m2-14设已知一质点（质量为机）在其保守力场中位矢为 点的势能为E p（）=/r ,试求质点所受保守力的大小和方向.F=3=_也解：d r 片方向与位矢尸的方向相反，即指向力心.2-1 5 一根劲度系数为4的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为e的轻弹簧B,8的下端一重物C,C的质量为M,如题2-1 5图.求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比.解：弹簧A、8及重物0受力如题2T5图所示平衡时，有IMg题2-1 5图FA=FR=Mg又FA=匕用FR=%2 A 2所以静止时两弹簧伸长量之比为At k2AX2 k弹性势能之比为1 2E=72K_ _A_ ir1(7?-r)2经整理，得加 地+。M月,7.3 5 x 1()2 2=75.9 8 x l O2 4+V 7.3 5 x l 02 2 x 3.4 8 x 1 0s=3 8.3 2 x 1 06 m则 P点处至月球表面的距离为h=r-rn=(3 8.3 2-1.74)x l 06=3.6 6 x l 07m(2)质量为【k g 的物体在P点的引力势能为八M i 四M由=3 6 7 x 1。X7-35X1 0；-6.6 7X1 0-X,5.9 8X*，3.8 3 x l 07(3 8.4-3.8 3)x l 07=1.2 8 x l 06 J2-1 7 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为犯和加2的滑块组成如题2T7 图所示装置，弹簧的劲度系数为女，自然长度等于水平距离B C,加2与桌面间的摩擦系数为，最初犯静止于A 点，AB=BC=h,绳已拉直，现令滑块落下 犯，求它下落到B处时的速率.解：取 B 点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有121 2-/jm2gh-(mi+m2)吸 一/%i g +,%(/)J式中/为弹簧在A 点时比原长的伸长量，则M=AC-BC =(y2-Y)h联立上述两式，得v=2（叫-4m2）gft+（应 一题 2 T 7 图m+m22-18如题2-18图所示，一物体质量为2 k g,以初速度 =3m s 从斜面A 点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N,到达8 点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度.解：取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点。则由功能原理，有frs-g kx2 1g m v2+mgssin 3 7）1 2 mV+mgssin 37-frs式中s=4.8+0.2=5 m,x=0.2 m,再代入有关数据，解得)t=1390N-mI题 2-18图再次运用功能原理，求木块弹回的高度代入有关数据，得则木块弹回高度-frs=mg s，sin37-g奴?s=1.4 m/?=ssin370=0.84 m题 2 T 9 图2-1 9 质量为M 的大木块具有半径为R 的四分之一弧形槽，如题2-19图所示.质量为“的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度.解：加 从 加 上下滑的过程中，机械能守恒，以“，M,地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有1 9 1 9mgR =-mv MV又下滑过程，动量守恒，以机，M 为系统则在加脱离M 瞬间，水平方向有mv -MV=0联立，以上两式，得2-20 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向互相垂直.2 2证：两小球碰撞过程中，机械能守恒，有又碰撞过程中，动量守恒，即有(b)题 2-20 图(a)题 2-20 图(b)亦即mvn-m vt+m v20o=i+%由可作出矢量三角形如图(b),又由式可知三矢量之间满足勾股定理，且以正为斜边，故知片与%是互相垂直的.2-21 一质量为m 的质点位于(为，必)处，速度为 =质点受到一个沿工负方向的力/的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩.解：由题知，质点的位矢为作用在质点上的力为f =-fi所以，质点对原点的角动量为0=r x m v=(x j+x m(v j +vyj)=(xlm vy-y m v k作用在质点上的力的力矩为MQ=rxf =(x J+yij)x(-fi)=yljk2-22哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆.它离太阳最近距离为八=8.7 5 X 1 0,时的速率是 =5.46X10 m s-1,它离太阳最远时的速率是丫2=9.08X 1 0 1 阳的距离 2 多少？(太阳位于椭圆的一个焦点。)解：哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力一一即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有rxmvx=r2mv2迫=5.26x10。m,v2 9.08x1022-23物体质量为3kg,=0时位于亍=4fm,v=i+6m s；如一恒力f =5；N作用在物体上，求3秒后，（1）物体动量的变化；（2）相对z轴角动量的变化.解：酝=/油=1：5迎=157 kg.m 7(2)解(一)x=x0+vQxt=4+3=7y=+=6x3+-xx32=25.5j即7=4i 弓=7i+25.5j匕=1vy=v()y+6Zf=6+x3=ll即G=7+6,%=i+lD.L=rx mVj=4i x 3(：+6 J)=72kL2=r2x mv2=(7?+25.5j)x 3(7+11J)=154.5 及.AL=Z2-L,=825左 kg-m2.s-1-dzM =解(二)dtAL=A i.dr=(rx F)d/=(4+r)F+(6r+)x|r2)J x5jdr5(4+，)&k=82.5及 kg-m2-s-1题2-24图2-24平板中央开一小孔，质量为机的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为“I的重物.小球作匀速圆周运动，当半径为7时重物达到平衡.今在的下方再挂一质量为2的物体，如题2-24图.试问这时小球作匀速圆周运动的角速度少和半径为多少？解：在只挂重物时加1,小球作圆周运动的向心力为”|g,即Ml g=m 挂上“2后，则有(陷+M2)g=mr co 2重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒.即romvo=r mv=蜡 g =r 2a 联立、得m c o ,+22-2 5 飞轮的质量机=6 0 k g,半径R=0.2 5 m,绕其水平中心轴。转动，转速为9 0 0 re v -min 现利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力/，可使飞轮减速.已知闸杆的尺寸如题2-2 5 图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数 =0.4,飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算.试求：(1)设 尸=1 0 0 N,问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转？(2)如果在2 s 内飞轮转速减少一半，需加多大的力产？解：(1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b).图中N、N 是正压力，Fr工 是摩擦力,工 和%是 杆 在 A点转轴处所受支承力，R是轮的重力，P是轮在。轴处所受支承力.杆处于静止状态，所以对A点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有F(/1+/J-2V7,=0 N=FA对飞轮，按转动定律有4式中负号表示与角速度0方向相反.工=V N=NFr-W =/+F1又：1 ,2-7FrR -_ 2(什4)FmR 1以尸=10N等代入上式，得B=-2 x 0.4 0 x(0.50+0.7 5)4 0 J _2-x l(M)=-r a d -s6 0 x 0.2 5x 0.503由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为g 9 00 x 2%x 3 r c vt=-=-=7.06 s(3 6 0 x 4 0这段时间内飞轮的角位移为,1 90 0 x2%9 1 4 0 2d =a)nt+pt=-x 兀x x 2 6 0 4 2 3=53.1 x 2 7 r a d可知在这段时间里，飞轮转了 53.1转.g=9 00 x r a d -s 1(2)6 0,要求飞轮转速在=2 s内减少一半，可知-l r a d-s-22用上面式(1)所示的关系，可求出所需的制动力为FmRlp2 4(/+，2)_ 6 0 x 0.2 5x 0.50 x 15万2 x 0.4 0 x(0.50+0.7 5)x 2=17 7 N2-2 6 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴转动.设大小圆柱体的半径分别为R和 r，质量分别为加 和相.绕在两柱体上的细绳分别与物体班和 相连,班 和“2 则挂在圆柱体的两侧，如题2-2 6 图所示.设R=0.2 0m,r=0.10m,m 4 kg,M=10 k g,g=旭2=2 k g,且开始时叫，旭2 离地均为人=2 m.求：(1)柱体转动时的角加速度；(2)两侧细绳的张力.解：设勾，的 和 6分别为团1,加2 和柱体的加速度及角加速度，方向如图(如图b).题 2-2 6(a)图题 2-2 6(b)图(1)如，外 和柱体的运动方程如下:12-m2g-m2a之m,g -7；=m1a lT；R-T；r =I/3式中 T =TR/3由上式求得c R m.-r m)P 一 2 2 gI+n R +m2r0.2 x 2-0.1 x 2 八。=1 i x98-x l 0 x 0.2 02+x 4 x 0.102+2 x 0.2 02+2 x 0.1022 2=6.13r a d s-2由式T2=m2 r 0 +m 2 g=2 x 0.1 O x 6.13+2 x 9.8 =2 0.8 N由式-jr g ni R(3=2 x 9.8 -2 x 0.2.x 6.13=17.1 N2-2 7 计算题2-2 7 图所示系统中物体的加速度.设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为M,半径为广，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设 叫=50k g,加2 =2 00 kg,M=15 k g,尸=0.1 m解：分别以 飞,加2 滑轮为研究对象，受力图如图所示.m 2 g T2=m2a7 j=mxa对滑轮运用转动定律，有T j f r=(g M 产邛又，”R联立以上4个方程，得对 叫，加2 运用牛顿定律，有m -sm 2 g _ 200 x9.8题 2-2 7 (a)图 题 2-2 7 (b)图题 2-2 8 图2-2 8 如题2-2 8 图所示，一匀质细杆质量为，长为/,可绕过一端。的水平轴自由转动,杆于水平位置由静止开始摆下.求：(1)初始时刻的角加速度；(2)杆转过。角时的角速度.解：(1)由转动定律，有；=42)尸B=3g21(2)由机械能守恒定律，有mg g si n S =(/n/2)6 y22-2 9 如题2-2 9 图所示，质 量 为 长 为/的 均 匀 直 棒，可绕垂直于棒一端的水平轴。无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上.现有一质量为”的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞.相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度 =3 0 处.(1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速%的值;(2)相撞时小球受到多大的冲量？解：（1）设小球的初速度为%,棒经小球碰撞后得到的初角速度为，而小球的速度变为U,按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式：mv l =Ico +mv l2 0221 ,I=-Ml2上两式中 3 ,碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖直位置上摆到最大角度e=3 0,按机械能守恒定律可列式:1/=(MR2-m R2)co +m v0R(-MR2-m R2)co =(MR2-m R2)a)得=0(角速度不变)圆盘余下部分的角动量为(；M R 2 m R2)co转动动能为题 2-3 1 图Ek=/陋2 _”求2)22-3 1 一质量为 相、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动.另一质量为m 的子弹以速度射入轮缘(如题2-3 1 图所示方向).(1)开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值？(2)用机，机。和8表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比.解：(1)射入的过程对。轴的角动量守恒R si n 6 Ho%=(m4-m0)7?26 9movos i n 2+klr2 2 2co=v/Rl(2mgh-kh2)k2v=-k 2 x 6.0 x 9.8 x 0.4-2.0 x(M?)x。了6.0 v O.32+0.5=2.0 m-s-1I题 2-32图 题 2-33图2-3 3 空心圆环可绕竖直轴AC自由转动，如题2-33图所示，其转动惯量为4,环半径为R,初始角速度为例）.质量为根的小球，原来静置于A点，由于微小的干扰，小球向下滑动.设圆环内壁是光滑的，问小球滑到B点与C点时，小球相对于环的速率各为多少？解：（1）小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至B点时、有人 例=（/o+次该系统在转动过程中，机械能守恒，设小球相对于圆环的速率为力,以B点为重力势能零点，则有彳/）就+mgR=彳（/（）+,加2）/2 +彳 加 工2 2 2 联立、两式，得（2）当小球滑至0 点时故由机械能守恒，有A 10-Q=G1 2mg（2R）=mve.匕=请读者求出上述两种情况下，小球对地速度.习题三3-1惯性系S 相对惯性系S以速度”运动.当它们的坐标原点。与。重合时，f =f=O,发出一光波，此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程.解：由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波.波阵面方程为：x2+y2+z2=（c r）2x2+y2+z 2=（a）2题 3-1图3-2设图3-4中车厢上观测者测得前后门距离为21 试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间差.解：设光讯号到达前门为事件1,在车厢（S）系 时 空 坐 标 为 c ,在车站（S）系:=处+=工）=7（，+彳/）=（1 +与C C C C C光信号到达后门为事件2,则在车厢（S）系 坐 标 为 2 2 C ,在车站（S）系：.=/（+-2）=（1-）C C C”=-2 号于是L或者 W=0,A z =4 _/2，效,=x x2=21t=y 3+=）=y（2 21）c2 c-3-3惯性系S 相对另一惯性系S沿 x 轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时 起 点.在 S系中测得两事件的时空坐标分别为匹分X 为1,1=2 X 1 0%,以及2=1 2 X1 0 m j 2=l X1 0 s.已知在S系中测得该两事件同时发生.试问：（l）S系相对S系的速度是多少？（2）S 系中测得的两事件的空间间隔是多少？解:设（S ）相对S的速度为度4二7 亿 一一TM）C由题意则故(2)由洛仑兹变换代入数值，弓=/。2 FX2)C；=0V/、12 T l =r(X2 一 2)C：-2-1-=-=-1.5X1 08x2 x 2 m sX =/Ui 一 )石=/U2 一%)xr2x =5.2 x l 04 m3-4长度，。=1 m Sz系中，与X轴的夹角。=3 0 ,S 系相对S系沿轴运动，在S系中观测者测得米尺与左轴夹角为6=4 5 .试求：(l)S 系和S系的相对运动速度.(2)S系中测得的米尺长度.解：米尺相对S 静止，它在x ，v轴上的投影分别为：L x-()co s。=0.8 6 6 m Ly=LQ s i n O =0.5 m米尺相对s沿 工方向运动，设速度为v,对s系中的观察者测得米尺在x方向收缩，而y方向的长度不变，即把6 =4及4 4代入0-5则得V c2 0.8 6 6故v =0.8 1 6 cLL=0.7 0 7 m(2)在S系中测得米尺长度为 s i n 4 5 3-5 一门宽为。，今有一固有长度，。(/。以)的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动.若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率w至少为多少？解：门外观测者测得杆长为运动长度，V c,当1 4 a时，可认为能被拉进门，)2解得杆的运动速率至少为:题 3-6 图3-6两个惯性系中的观察者。和。以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近,如果0测得两者的初始距离是20m,则0测得两者经过多少时间相遇？解：。测得相遇时间为加v 0.6 c测得的是固有时A t，N 俨/V=8.89x10-8 sv/?=-=0.6c1Y=0.8 ,或者，。测得长度收缩，L=Ln“-伊=L 7 1-0.62=O.8 Lo,Af=-VAtO.8 Lo 0.8 x 2 00.6 c 0.6 x 3 x 1 0 88.89x10-8$3-7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系S 和 S 中，甲测得在同一地点发生的两事件的时间间隔为4 s,而乙测得这两个事件的时间间隔为5 s.求：(1)S 相对于S 的运动速度.(2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离.解：甲测得&=4s,Zlx=0,乙测得4 =5