固体物理经典复习题及答案.pdf

一、简答题1 .理想晶体答：内在结构完全规则的固体是理想晶体，它是由全同的结构单元在空间无限重复排列而构成的。2 .晶体的解理性答：晶体常具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这称为晶体的解理性。3 .配位数答：晶体中和某一粒子最近邻的原子数。4 .致密度答：晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比。5 .空间点阵（布喇菲点阵）答：空间点阵（布喇菲点阵）：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地做周期性无限重复排列，这些点子的总体称为空间点阵（布喇菲点阵），即平移矢量 d、睁、4d中4,4，4取整数时所对应的点的排列。空间点阵是晶体结构周期性的数学抽象。6 .基元答：组成晶体的最小基本单元，它可以由儿个原子（离子）组成，整个晶体可以看成是基元的周期性重复排列而构成。7 .格点（结点）答：空间点阵中的点子代表着结构中相同的位置，称为结点。8 .固体物理学原胞答：固体物理学原胞是晶格中的最小重复单元，它反映了晶格的周期性。取一结点为顶点，由此点向最近邻的三个结点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作的平行六面体即固体物理学原胞。固体物理学原胞的结点都处在顶角位置上，原胞内部及面上都没有结点，每个固体物理学原胞平均含有一个结点。9.结晶学原胞答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为边作的平行六面体称为结晶学原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性,它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n。，其中n是结晶学原胞所包含的结点数，。是固体物理学原胞的体积。1 0 .相喇菲原胞答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为边作的平行六面体称为布喇菲原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性,它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n Q,其中n是结晶学原胞所包含的结点数,。是固体物理学原胞的体积1 1 .维格纳-赛兹原胞（W-S 原胞）答：以某一阵点为原点，原点与其它阵点连线的中垂面（或中垂线）将空间划分成各个区域。围绕原点的最小闭合区域为维格纳-赛兹原胞。一个维格纳-赛兹原胞平均包含一个结点，其体积等于固体物理学原胞的体积。1 2 .简单晶格答：当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表该原子，这种晶体结构就称为简单格子或B r a v a i s格子。1 3 .复式格子答：当基元包含2个或2个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。显然，复式格子是由若干相同结构的子晶格相互位移套构而成。1 4 .晶面指数答：描写晶面方位的一组数称为晶面指数。设基矢/,石,末端分别落在离原点距离为 d、4d、4d的晶面上，%4、4为整数，d为晶面间距，可 以 证 明 小%、用必是互质的整数，称、也、4 3 为晶面指数,记为（力 44）。用结晶学原胞基矢坐标系表示的晶面指数称为密勒指数。1 5 .倒格子（倒易点阵）I 27tB 7 /答：设布喇菲格子（点阵）的基矢为d，a2,a3，由马=”决I 0 i*J定的格子（点阵）称为正格子。满足下述关系a 仇 =2兀6 j J7,0 i *J的几E、E 称为倒格子（易点阵）基矢。由7 =h +啦+E，（其中为任意整数）决定的格子称为倒格子（倒易点阵）。16.布里渊区答：在倒格空间中，选取一倒格点为原点，原点与其它倒格点连线的垂直平分面的连线所组成的区域称为布里渊区。17.n 度旋转对称轴答：若晶体绕某一固定轴转网角度后自身重合，则此轴称为n 度旋转对称n轴。18.4 度旋转对称轴答：若晶体绕某固定轴转90角度后自身重合，则此轴称为4 度旋转对称轴。19.6 度旋转对称轴答：若晶体绕某固定轴转60角度后自身重合，则此轴称为6 度旋转对称轴。20.3 度旋转一反演轴答：若晶体绕某一固定轴转型角度后，再经过中心反演，晶体能自身重合,3则此轴称为3 度旋转一反演轴。21.2 度旋转一反演轴答：若晶体绕某一固定轴转角度后，再经过中心反演，晶体能自身重合，则此轴称为3 度旋转一反演轴。22.n 度螺旋轴答：一个n 度螺旋轴表示绕轴每转网角度后，在沿该轴的方向平移不/的L倍，则晶体中的原子和相同的原子重合（L为小于n的整数T为沿轴方向上的周期矢量），则此轴称为n度螺旋轴。23.晶体的对称性答：晶体经过某种对称操作能够自身重合的特性。24.原子散射因子答:原子内所有电子的散射波的振幅的几何和与一个电子的散射波的振幅之比。25.儿何结构因子答：原胞内所有原子的散射波，在所考虑方向上的振幅与一个电子的散射波的振幅之比。二、简 答 题（5 9道题）1.试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。答：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，称为长程有序；非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序；准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料,其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。晶体又分为单晶体和多晶体:整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体;而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。2.晶格点阵与实际晶体有何区别和联系？答：晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位置，也可以是基元中任意一个等价的点。当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。品格点阵与实际晶体结构的关系可总结为：晶格点阵+基元=实际晶体结构。3.简述晶体的特征。答：1）长程有序与周期性2）自限性3）各向异性4.什么是空间点阵?它与晶体结构有什么不同?它能确定一个晶体结构的什么特性而忽略了晶体结构的什么特性？答：1）晶体的内部结构可以概括为由一些相同的点子在空间有规律地做周期性无限分布，这些点子的总体称为空间点阵。2）晶体结构中的点是与原子、分子或其基团相对应的，空间点阵的点则是和晶体中一族晶面相对应的；晶体结构中的点是位于位置空间或坐标空间内的，其线度量纲为 长度,而空间点阵中的点是在倒格空间和傅里叶空间内的，其线度量纲为 长度，3）空间点阵反映了晶体结构的周期性，忽略了晶体结构的具体内容。5.六角密积结构是复式格子还是简单格子，平均每个原胞包含儿个原子，属于哪种晶系？答：六角密积结构是复式格子，平均每个原胞包含2 个原子，属于六角晶系。6.试解释“基元+点阵=晶格结构”的公式 要求说明：1）什么是布喇菲点阵？2）什么是基元？3）点阵和结构间的区别和联系。答：理想的晶体结构是由相同的物理单元放置在布喇菲点阵的阵点上构成，这些物理单元称为基元，它可以是原子、分子或分子团，将基元平移布喇菲点阵的所有点阵矢量，就得到晶体结构，这就是“基元+点 阵=晶体结构”的含义，布喇菲点阵是一个抽象的几何点的周期列阵，而晶体结构则是一个物理实体，当基元以相同的方式放置在布喇菲点阵的阵点上时,才得到晶体结构。7.在结晶学中，晶胞是按晶体的什么特性选取的？答:在结晶学中，晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性。8.什么是布喇菲点阵？按顺序写出晶体Si、Cu、CsCL、NaCL和 ZnS的布喇菲原胞名称。答：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的格点规则地做周期性无限重复排列，喇菲点阵是平移操作=4+2 a 2 +a?所联系的诸点的歹 U 阵,喇菲点阵是晶体结构周期性的数学抽象。S i：面心立方；Cu：面心立方；Cs CL：体心立方；N a CL：面心立方；Z n S：面心立方。9 .如图所示的点阵是布喇菲点阵（格子）吗？为什么？如果是，指明它属于那类布喇菲格子？如果不是，请说明这种复式格子的布喇菲格子属哪类？答：“面心+体心”立方不是布喇菲格子。从“面心+体心”立方体的任一顶角上的格点看，与它最邻近的有1 2个格点；从面心任一点看来，与它最邻近的也是1 2 个格点；但是从体心那点来看，与它最邻近的有6个格点，所以顶角、面心的格点与体心的格点所处的儿何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。1 0 .如图所示的点阵是布喇菲点阵（格子）吗？为什么？如果是，指明它属于那类布喇菲格子？如果不是，请说明这种复式格子的布喇菲格子属哪类？答：“边心”立方不是布喇菲格子。从“边心”立方体竖直边心任一点来看，与它最邻近的点子有八个；从“边心”立方体水平边心任一点来看，与它最邻近的点子也有八个。虽然两者最邻近的点数相同，距离相等，但他们各自具有不同的排列。竖直边心点的最邻近的点子处于相互平行、横放的两个平面上，而水平边心点的最邻近的点子处于相互平行、竖放的两个平面上，显然这两种点所处的儿何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。1 1.如图所示的点阵是布喇菲点阵（格子）吗？为什么？如果是，指明它属于那类布喇菲格子？如果不是，请说明这种复式格子的布喇菲格子属哪类？答：“边心+体心”立方不是布喇菲格子。从“边心+体心”立方任一顶点来看，与它最邻近的点子有6 个；从边心任一点来看，与它最邻近的点子有2 个；从体心点来看，与它最邻近的点子有1 2 个。显然这三种点所处的儿何环境不同，因而也不是布喇菲格子,而是属于复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。1 2 .如图所示的点阵是布喇菲点阵(格子)吗？为什么？如果是，指明它属于那类布喇菲格子？如果不是，请说明这种复式格子的布喇菲格子属哪类？答：“面心四方”从“面心四方”任一顶点来看，与它最邻近的点子有4个,次最邻近点子有8个；从“面心四方”任一面心点来看，与它最邻近的点 子 有 4个，次最邻近点子有8个，并且在空间的排列位置与顶点的相同，即所有格点完全等价，因 此“面心四方”格子是布喇菲格子，它属于体心四方布喇菲格子。1 3 .基矢为%=ai,a2=a j,=+/+，的晶体为何种结构?为什么？答：有已知条件，可计算出晶体的原胞的体积_ _ _C =q (%x a,)=耳.由原胞的体积推断，晶体结构为体心立方.我们可以构造新的矢量 a(二二 u=-q =i +j+k),a/v=a3-a2=y i-j+kj,a/k V =+Q 0 一 =j-k).，匕w满足选作基矢的充分条件.可见基矢为6/,=ai,a2=a j,a3=区(7+1+的晶体为体心立方结构。14.金刚石晶体的基元含有儿？其晶胞含有儿个碳原子？原胞中有儿个碳原子？是复式格子还是简单格子？答：金刚石晶体的基元含有2 个原子，晶胞含有8 碳原子，原胞中有2 原子,复式格子.15.写出金属mg和 GaAs晶体的结构类型。答：六角密堆，金刚石。16.氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a。答：氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个Na和一个CT组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的C 原子和一个体对角线上的C 原子组成的C 原子对。由于NaCl和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为：勺=|(/+A)&=(A+i)%=?，+力相应的晶胞基矢都为：a=ai,2 Qb=2-a,xa23 -Q式中。是晶格原胞的体积，即 =ar a2x a3 ,由此可以唯一地确定相应的倒格子空间。同样，反过来由倒格矢也可唯一地确定正格矢。所以一种晶体的正格和相应的倒格矢有一-一对应的关系。3 4 .分别指出简单立方体心立方面心立方倒易点阵类型答：简单立方面心立方体心立方3 5 .简述倒格矢与正格矢的关系。答：1）倒格矢与正格矢互为倒格矢；2）倒格原胞与正格原胞的体积比等于（2 万 丫；3）倒格矢%=%瓦+h2b2+h3h3与正格子晶面族（他 2 4）正交；4）倒格矢口的模与晶面族（姑 2 小）的面间距成反比。（1）两种点阵基矢间满足以下关系：_,r（i=/）ab.=2 冗 3询=/、（2）两种点阵位矢的点积是的整数倍；（3）除（2 乃丫因子外，正格子原胞体积。与倒格子原胞体积。互为倒数；0 j r（4）倒格矢小、2、3 与正格子中晶面族（人九,%）正交，且其长度为-o3 6 .倒格点阵与正格点阵间的关系有哪些？答：1）倒格矢与正格矢互为倒格矢2)倒格原胞与正格原胞的体积比等于(2 n )33)倒格矢K h=h l b l+h 2 b 2+h 3 b 3与正格子晶面族(h l h 2 h 3)正交。4)倒格矢K h 的模与晶面族(h l h 2 h 3)的面间距成反比3 7 .一个物体或体系的对称性高低如何判断？有何物理意义？一个正八面体有哪些对称操作？答：对于一个物体或体系，我们首先必须对其经过测角和投影以后，才可对它的对称规律，进行分析研究。如果一个物体或体系含有的对称操作元素越多，则其对称性越高；反之，含有的对称操作元素越少，则其对称性越低。晶体的许多宏观物理性质都与物体的对称性有关，例如六角对称的晶体有双折射现象。而立方晶体，从光学性质来讲，是各向同性的。正八面体中有3个 4度轴，其中任意2个位于同一个面内，而另一个则垂直于这个面；6个 2度轴；6个与2度轴垂直的对称面；3个与4度轴垂直的对称面及一个对称中心。3 8.晶体宏观对称性的基本对称操作有哪些？(5 分)答：有 1、2、3、4和 5次旋转对称轴及4次旋转反演轴4,中心反演操作i,镜面操作m。3 9.给出晶体可以独立存在的8 种对称元素的名称和符号。答：8 种对称兀素为：(1)1次旋转对称轴，符号为1(G)；(2)2 次旋转对称轴，符号为2(G)；(3)3 次旋转对称轴，符号为3 ()；(4)4 次旋转对称轴，符号为4(G)；(5)6 次旋转对称轴，符号为6(C)；(6)1次旋转一反演轴,符号为i (G)；(7)2 次旋转一反演轴，符号为2(m)；(8)4 次旋转一反演轴，符号为4($4)。4 0.按对称类型分类，布喇菲格子的种类有儿种，晶格结构的点群类型有儿种，空间群有几种？答：按对称类型分，有 14 种布喇菲格子，晶格结构的点群有3 2 种，空间群有 2 3 0种。4 1.三维晶格包括哪七大晶系？并写出各晶系包含的布喇菲格子。答：七大品系分别为三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、三角晶系、四角晶系、六角晶系和正方晶系。三斜晶系只包含简单三斜；单斜晶系包含简单单斜和底心单斜；正交晶系包含简单正交、底心正交、体心正交和面心正交；三角品系只包含三角格子；四角晶系包含简单四角和体心四角；六角晶系只包含六角格子；立方晶系包含简单立方、体心立方和面心立方。42.设有AB型化合物，在某一温度范围内，具有CsCL结构；在另一温度范围内，处于中心位置的B 原子沿 001 方向发生小的位移；在第三温度范围内，B原子则由中心沿 111 方向发生小的位移。试说明三种温度范围内，该化合物的结构属于什么晶系，并扼要说明理由。答：当具有CsCL结构时，属于立方晶系，因为a=b=c,a =6 =/=90；若体心的B 原子沿 00日方向有一微小位移，使晶体轴拉长，则此时晶体属于四角晶系，因为Q=a =/7=y=90.若体心B原子沿 111 方向发生一微小位移，即沿立方对角线发生位移，此时晶体属于三角晶系,因为 a=b=c,。=夕=7#9 0;43.二维晶格包括哪几种晶系？并分别写出各品系包含的布喇菲格子。答：二维晶格包含四种晶系，分别为斜方晶系、长方晶系、正方晶系和六角晶系。斜方晶系只包含简单斜方；长方晶系包含简单长方和中心长方；正方晶系只包含简单正方；六角晶系只包含简单六角。44.为什么正交晶系有简单正交、底心正交、体心正交和面心正交四种格子，而四方晶系只有简单四方和体心四方没有底心四方和面心四方格子？答：因为在四方晶系中底心四方和面心四方不是最简单的四方格子。底心四方可化为更简单的简单四方格子，而面心四方可化为更为简单的体心四方格子。45.温度升高时，衍射角如何变化？X光波长变化时，衍射角如何变化？答：温度升高时，由于热膨胀，面 间 距 逐渐变大.由布拉格反射公式2fAMski nA可知，对应同一级衍射，当X光波长不变时，面 间 距&逐渐变大，衍射角后逐渐变小.所以温度升高，衍射角变小。当温度不变，X光波长变大时，对于同一晶面族，衍 射 角 4 随之变大。4 6 .在晶体衍射中，为什么不能用可见光？答：晶体中原子间距的数量级为1 一 米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光 波 的 波 长 应 小 于 米.但 可 见 光 的 波 长 为 7.J l.O x l O 米，是晶体中原子间距的1 0 0 0 倍.因 此，在晶体衍射中，不能用可见光.4 7 .高指数的晶面族与低指数的晶面族相比，对于同级衍射，哪一晶面族衍射光弱？为什么？答：对于同级衍射，高指数的晶面族衍射光弱，低指数的晶面族衍射光强.低指数的晶面族面间距大，晶面上的原子密度大，这样的晶面对射线的反射（衍射）作用强.相反，高指数的晶面族面间距小，晶面上的原子密度小，这样的晶面对射线的反射（衍射）作用弱.另外，由布拉格反射公式2%s i n。=nA.可知，面间距“，大的晶面，对应一个小的光的掠射角。.面 间 距 “，小的晶面，对应一个大的光的掠射角火。越大，光的透射能力就越强，反射能力就越弱.4 8 面心立方元素晶体，密勒指数（1 0 0）和（H O）面，原胞坐标系中的一级衍射，分别对应晶胞坐标系中的儿级衍射？答：对于面心立方元素晶体，对应密勒指数（1 0 0）的原胞坐标系的面指数可以求得为（i l l）,p =1.由（1.3 3）式可知，月=2 匕 闺 勺=2 勺向；且求得dWh=dh kl/2.再由（1.2 6）和（1.2 7）两式可知，n =2/7.即对于面心立方元素晶体，对应密勒指数（1 0 0）晶面族的原胞坐标系中的一级衍射，对应晶胞坐标系中的二级衍射.对于面心立方元素品体，对应密勒指数（1 1 0）的原胞坐标系的面指数可由（1.3 4）式求得为（0 0 1）,p，=2.由（1.3 3）式可知，；由（1.1 6）和（1.1 8）两式可知,小 1 M.再由（L 2 6）和（1.2 式两式可知,n，=n,即对于面心立方元素晶体，对应密勒指数(1 1 0)晶面族的原胞坐标系中的一级衍射，对应晶胞坐标系中的一级衍射.4 9.由K C 1 的衍射强度与衍射面的关系，说明K C 1 的衍射条件与简立方元素晶体的衍射条件等效。答：C1与 K是原子序数相邻的两个元素，当 C 1 原子俘获K原子最外层的一个电子结合成典型的离子晶体后，C 1-与K+的最外壳层都为满壳层，原子核外的电子数和壳层数都相同，它们的离子散射因子都相同.因此,对 X光衍射来说，可把C 与 K+看成同一种原子.K C1 与 N a Cl 结构相同,因此，对 X光衍射来说，K C1 的衍射条件与简立方元素晶体等效.由K C1 的衍射强度与衍射面的关系也能说明K C1 的衍射条件与简立方元素晶体的衍射条件等效.一个K C1 品胞包含4个 K+离子和4个。离子，它们的坐标ilo loloilK+：(0 0 0)(2 2 )(2 2 )(2 2 )-0 0 0-0 0 0-c r：(2 )(2)(2 )1 1 1(2 2 2 )由(1.4 5)式可求得衍射强度Ih k l 与衍射面(h k l)的关系臬产，K+1+c o s n加(h+k)+c o sn7r(k+/)+c o s 4(/+h)+fC c o s 力 乃 +CO Snk7T 4-CO SnlT T+c o s 笈(/?+Z+/)由于 K 一等于 c ，所以由上式可得出衍射面指数，成，/全为偶数时，衍射强度才极大.衍射面指数的平方和(泌尸+(.)?+(/：4,8,1 2,1 6,2 0,24-.以上诸式中的A由2si n 夕=2(泌)2+(成)2+(n/)2决定.如果从X 光衍射的角度把K C1 看成简立方元素晶体，则其晶格常数为a=a/2,布拉格反射公式化为2 si n 9 =A2 +(4)2 +(*)2显然=2 ，衍 射 面 指 数 平 方 和+(出尸+(7)2：1,2,3,4,5,6,这正是简立方元素晶体的衍射规律.5 0.金刚石和硅、错的几何结构因子有何异同？答：取儿何结构因子的(1.4 4)表达式%=乃（+助+岫）=1其中U j,v,的是任一个晶胞内，第J个原子的位置矢量在a，瓦C 轴上投影的系数.金刚石和硅、铭具有相同的结构，尽管它们的a。大小不相同,但 第 j 个原子的位置矢量在Q，4c 轴上投影的系数相同.如果认为晶胞内各个原子的散射因子力都一样，则几何结构因子化为2f Y.J2”乃（加，j +k fj +lwj）在这种情况下金刚石和硅、错的几何结构因子的求和部分相同.由于金刚石和硅、错原子中的电子数和分布不同，儿何结构因子中的原子散射因子,不会相同。两者的几何结构因子相同。由公式可推出，金刚石和硅的每个原胞内包含4个原子，且其晶体结构相同，由定义，在所考虑的方向上，儿何结构因子=Z 力 e xp。2 W+/吗）(力表示原胞中第i 个原子的散射因子)由上式可得，小 h、叫、4、叱均与a 无关，所以两者的几何结构因子相同。5 1.(a)列出简单六角点阵以下点阵平面的等效平面数目：(1 0 0),(1 1 0),(1 1 1),(0 0 1),(1 2 0),(h k l)o (b)已知点群为6/m m m 的六角晶体中一个晶面的指数为(1 2 1),试写出全部与此等效的晶面指数。答：(a)等效平面数目一对,(1 0 0)与(0 0 1)o(b)与 晶 面 的 指 数(1 2 1)等效的晶面指数有5 2.列出简单立方点阵中以下各点阵平面的等效面数目：(001),(Oil),(111),(210),(211),(hkl)o (b)列举简单立方点阵中以下各晶向的等效方向数目；001,o n,ill,E210L 211L hklo答：(a)与(001)平面的等效面数目为3 个:(001)、(100)、(010),与(Oil),(111),(210),(211)平面的等效面数目分别为3 个、1 个、3 个、3个。(b)与001,Oil,111,210,2 1 1 平面的等效面数目分别为4 个、2个、1 个、2 个、2 个。53.比较金刚石结构，闪锌矿结构的平移群，点群和空间群。答:金刚石结构与闪锌矿结构的基元均含两个原子，闪锌矿结构与金刚石结构不同之处就是立方体顶角及面心上的碳原子为Zn原子代替，而体对角线上的碳原子为S 原子代替。什么是布喇菲点阵？为什么说布喇菲点阵是晶体结构周期性的数学抽象？_ 布喇菲点阵是平移操作=n产 +2a2 +4 4 所联系的诸点的列阵，为了简单地描述晶体内部结构的周期性，常把基元抽象成数学上的一点(这点可以是基元是重心，也可以是任-位置)，这个基元的代表点称为格点(或称结点)，因此布喇菲点阵是晶体结构周期性的数学抽象。54.什么是布喇菲点阵的初级矢量?就下图的二维布喇菲点阵指出哪组矢量是初基的?哪组是非初基的。点 阵 矢 量 方=+4 a 3 ,其 中，4,4和4 均 为 整，团咆和a?是不在同一平面内的三个矢量，叫做布喇菲点阵的初级矢量，左边三组矢量是初基的，两组是非初基的5 5 .试描述点阵和晶体结构的区别。答：是空间点阵是抽象出来的,它其中每一个点都是代表实际很多东西,可以是原子,可以是分子，也可以是离子.晶体结构是实际中真正存在的。5 6 .为什么金刚石格子不是布喇菲点阵？为什么氯化钠格子也不是布喇菲点阵？它们是什么样的点阵?最小基元是什么？答：金刚石格子布喇菲晶格是面心立方格子，是复式格子，把 0和（a/4）E+)1两碳原子作为基元，氯化钠格子布喇菲晶格是面心立方格子，基元含脂+和c r 两个离子。5 7 .为什么正交晶系有四种布喇菲点阵：简单正交，底心正交，面心正交和体心正交，但四角晶系只有简单四角和体心四角两种布喇菲点阵？答：正交晶系特点是没有高次对称轴，二次对称轴和对称面总和不少于三个。晶体以这三个互相垂直的二次轴或对称面法线为结晶轴。a =6 =Y=9 0 o；a W b W c。故正交晶系有四种布喇菲点阵：简单正交，底心正交，面心正交和体心正交假设存在面心立方，则可将其晶胞分割成体心四方的晶胞假设存在底心立方，则可将其晶胞分割成简单四方的晶胞而简单四方和体心四方的晶胞不能相互转化，因此四方晶系中只有简单四方和体心四方两种点阵类型58.从二维平面点阵作图说明点阵不可能有七重旋转对称轴。AB=2a|cos 0 ma lc o sl=2八八 4 3)八 2 47 54AH=O,/*/?0,73.简 单 立 方（配位数为6）：0.73 r/Z?0.41 o证明：半径相同的原子才可能构成密积结构，配位数等于1 2。如原子球半径不等，就不可能形成密积结构，配位数必低于1 2。（1）体心立方设小球位于立方体中心，大球位于立方体顶角，立方体的边长a=2 R,空间 对 角 线 长 为 届=2百R。当小球恰与大球相切时，将形成稳定的体心立方结构。此时，小球的半径2 r=2百火-2R,匚（行一 1）R=0 7 3 R因此，对于体心立方，1 r/R2 0.7 3若 r/Rr/RN0.41。当 r/Rr/l?0.23.（2）层 状 结 构（配位数为3）：0-23 r/?0.16 o证明：（1）四面体结构当大球（半 径 R）形成一正四面体且彼此相切，而小球（半 径 r）位于由它们围成的正四面体中的间隙处并与大球相切时.，则四面体处于稳定状态。R 12有 K+r 一伤匚=片 区=0.23所以R J2因此，对于四面体结构，0.41r/RN0.23若 r/Rr/R0.23（2）层状结构在层状结构中，当半径为R 的三个大球A、B、C彼此相切，而间隙中又共同外切一半径为r 的小球时，结构最稳定。因此，对于层状结构，0.2 3 r/RN 0.1 6。3.如果将等体积球分别排成下列结构，设 x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明：1）简单立方的x=2 =0.52；2）体心立方的x=4 乃 0.6 8 ；3）面6 8V?心立方的x=0.7 4 6证明：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一 个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积n V 与晶体原胞体积V c 之比，即：晶体原胞的空间利用率，X-Vc1）对于简立方结构：a=2 r,V=-n r3,V c=a3,n=l3-7r r3 4 加3,3 力W=0-522）对于体心立方：晶胞的体对角线B G 依=邪n=2,V c=a32 x r3 3一 3ac 4 32x 7r r3鹏）3 -a O.6 883）对于面心立方：晶胞面对角线B C 二血a =4 r,n a =2 拒 rn=4,V c=a34/x 4 3 44x 4 3r-x=-=-2=7T X 0.7 4 （2 V 2 r）3 64.如果将等体积球分别排成下列结构，设 x 表示钢球所占体积与总体积之比,证明：1）六 角 密 排 的“0.7 4；2）金 刚 石 的*=亘 k 0.3 46 6证明：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积n V 与晶体原胞体积V c 之比，即：晶体原胞的空间利用率,X=nV1）对于六角密排：a=2 r 晶胞面积：S=6XSAABO=6X空 浮 图=2晶胞的体积：VS C考入序=3 技=2 4 后n=1 2 1 2 x L+2 x +3=6 个6 2,4 34 x 7 i r aA4 34 x 一加3（2 后）36=0.7462)对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG二 6 a=4 x 2 rn8rn=8,Vc=4 3 4 38x一 加 一 8x T zr*rr3 3 737rx=-=-x 0.34/83 3 63s5.证 明 立 方 晶 系 的 晶 列 力 与 晶 面 族(W)正交。证明：设晶面族(hkl)的面间距为d,法向单位矢为八。按照密勒指数的意义，在立方品系中，的方向余弦可写成cosR)=亮，cos(即 卜亮，cos(.卜 亮因此n=h -i-vk j+l k=(h i +kj-lka a a)式中，、/、2 分别为三个坐标的单位方向矢量。晶列 hkl 的方向矢量为 /R =h ai +ka j+lak=a1h i +kj+lk)对比(1)、(2)两式，显然有-d-n=Ra即无A所以，晶列 hkl 垂直于晶面族(hkl)。6.证明在立方品系中，面指数为伍/)和(他占右)的两个晶面之间的夹角。满足：f)_L_?_ L_?_ L2_(M+M+铲挺+对+铲证明：在立方晶系中，如用a 表示晶格常数，为代表晶面族6#/)法向单位矢，出为面间距，则有)=ht-i+&+4 k-(hti+k j+/1)a a a a同样，如晶格中另一晶面族(心心右)的面间距为%,这组晶面的法向单位矢为而 2=（人 2+k?j+12k）两晶面族的夹角6 就是它们法向矢量的夹角，即cos 6=而而2 =中hxh2+kxk2+）a由于立方晶系的面间距d=呼因此rn a Q+&+，2 _c E 明k峭生+后+欧7.若R去与岗谕平行，&，是否是R，M 的整数倍？以体心立方结构证明之。证明：若 叫 佻 与 时 平 行,七阳一定是/必的整数倍.对体心立方结构，可知a=a2+a3 ）=03+%,c=a+a2Rhki=ha+kb+lc=（k+l）a+（/+力）。2 +（7?+4）a3-pRW3=p（1a+La2 +lsa3）,其中夕是a+i）、（/班）和（力 弘）的公约（整）数。8.若舄M 与品”平行，是否是R，M 的整数倍？以面心立方结构证明之。证明：对于面心立方结构,可知，Q u +。）+。3 b=，+。3 0=。+。，一。3Rhki=ha+kb+/c=（一 力“+/）%+（力 一 4+/）。2+（力 弘 一/）的二 2&M=pf（7,1+722+7,3）,其中。是 Qh+k+D、（-k+h+r）和 5 k+D 的公约（整）数。9.证明点阵平面上的阵点密度（单位面积上的阵点数）。=匕，这里匕是初基晶胞的体积，d 是该点阵平面所属的平面族中相邻两点阵平面之间的距离。证明：考虑晶体点阵中相邻二平行点阵平面所构成的平行六面体，如图2.11所示.设该平行六面体中包含n 个阵点，它的体积为V=nV或写为V Ad其中4 是所考虑的平行六面体底面的面积，d 是它的高.由以上二式得Ad=nVe于是点阵平面上的密度为n dcr=一A V.10.证明在二维格子中，倒格子原胞的面积与正格子原胞的面积互为倒数。证明：以二花表示正格子的基矢，正格子原胞的面积为Sa X.bsin y 式中，/为 a、B间的夹角如e 表示垂直于所在平面 的 单 位 矢 量，*花表示倒格子基矢，则二维倒格子基矢可写成-*h x cZ.仿 x c)7*(b=a c x ab x c因而-F04利用矢量乘积公式A x fi x C =(A C)B-(A ,B)C得到(&xc)x(c x a)=(&xc)*ac-(&xc)-ca=(b xc)c所以-*a x b=zr-a b x c因为a(&xc)=c-(axft)=a6sin/代入上式得*Qa x b=-ab sin/因而倒格子原胞的面积等于 *s1a x bI ab比较、(2)两式,即得ssin y11.证明三角布喇菲格子的倒格子仍为三角布喇菲格子，并且倒格子基矢间的夹角e*和基矢长度办分别满足coe=-cos 81+cos 0(l+2cosecos62式中，。和。分别为正格子基矢的长度和基矢间的夹角。按照倒格子基矢的定义-2万b j x)2%同 x匹)1 4 6 X .*)Q(i.j,k=1,2,3)(1)式 中 小 为 正 格 子 基 矢。对 于 三 角 布 喇 菲 格 子，基 矢 的 长 度 为%=%=%=，基矢间的夹角a=7 =e。从(1)式容易看出，倒格子基矢长度必为=%=。应用式，斤 邑=/cos稣=(2.同*2)他3、玛)a (2)5 b=b2=(2%y(瓦 x/)2 =(2%为 S i-e o o(3)式中d*2表示倒格子基矢瓦和灰间的夹角。把(3)式代入(2)式得到5=吐尤紧迎12/s i/e 依&）一/依a）a4 sin2 0_ a4 cos6（cos6-1）a4sin2（4）cos。=-l+cos6其中使用了三角转换公式sin*=（l+cos6）（l-cose）。轮换（4）式中各量的下标，容易得到仇*2=*3=g二夕。结合前述结论伉=打，可见三角布喇菲格子的倒格子仍为三角布喇菲格子。其次，设基矢瓦和之所在晶型片更单位矢为23,它与基矢4的夹角为a。在图中，过 0点做以“2。3,连 接PQ,并过p点做尸RLO。在A。尸。中_ 0OQ=acosyPQ=V3a sinyOP=a根据余弦定理，线段 而 和。的夹角的余弦-2-2-2OP+OQ-PQ2（夜而）2cos 2-1 C s s B6cos2+cos o y2从。尸R的几何关系可得cos a=si”=(1-cos2/2cos2 1-cos。,即、八、l/22cos2 01+cos。，=(l+2cos6cose*y (5)式中最后一个等式已使用式(4)进行化简。于是，三角布喇菲原胞的体积Q=4&x/)=03 sin 3 cos a=a3 sin 6(I+2 cos 6 cos 6*丫 俗)把(6)式代入式(3)并将等式两边开平方即得b=_网_“(1+2 cos 0 cos 6*丫 12.证明对于简单单斜晶系，面间距d(hk l)为一任+土一吆四+d(hkl)sirrp la；药%J ai证明:G图2.12 单 斜 点 阵 的 惯 用 晶 胞单斜点阵惯用晶脑的儿何特征是a-y-90,*90,q#4#%初基晶胞的体积为V.=（%x 佝）=a1a2a3 sin（3(hkl)平面族的面间距为2乃d（Md）=|G（附）|要计算或hkl),除了计算各倒易点阵基矢的长度外，还要求出它们之间的标量积，由倒易点阵基矢的定义闻2|a2 xa3|2 乃/sin 2乃k x q l 2万应1 =V,24何、蜀 InV%sin P此外，有b3 bl=4/（%X%）（。2 X%）_ 4万%g X （%X%）_ 4/COSBK2匕2aya3 sin2/34也=历,4=o代入d(hkl)的表达式中得4万2d h k l）=4万2sin:/1h2 I2a1 小2hl cos 6 k2的3 ；+a21clhkl)上传+J2 /C OS +&s ir r/?(Q；药 aa3 J a；1 3.证明对于六角晶系，晶面族（色力3）的面间距d*为1 4（发+力：+洒 21 H_ 1 4 I I J方a.k 一 55 -a-不-方/c证明：因为晶面间距或与倒格矢心 有如下关系：2 不=h.b.+h b+4 41 1 1 4 4 J O因而 =始=R寸ac s in a21 6/二IF+戈 戈+2 但 仅 1,4)+2 方 3 R 1 .4)+2 奶.日对于六角晶系。=尸=90,7=120原胞体积团 丹a1 s in 1 2 0 j c=azc倒格基矢 =%=（2 万 丫/、4 x a?Q /2ac s in a(6/2)a 2 c1 6 后3 a 2而6 电=?(2 X匹).伍3 Xa,)=粤 阿 4 X/%)一(4 -1 烟 3)/介 8病=一 q；(cosacosp-c o s/)=员 员=员 也=0把这些结果经整理后即得1 4(环+后+%),必T=-1-11 4.证明面心立方的倒格子是体心立方证明:4冬+1)a 面心立方的正格子基矢(固体物理学原胞基矢)：1 2=5。+攵)4苧+力 77T由倒格子基矢的定义：h=(52X53)a2Q=5,(a2 x 53)=0,a2,j，a2,0,a _ _丁,a2xa3=-2 0，a5 a2,3=亍(-i +j+k)0a20a a