2023艺术生新高考数学讲义 第34讲 圆的方程（学生版+解析版）.pdf

第 3 4讲 圆 的 方 程【知 识 点 总 结】、基 本 概 念 平 面 内 到 定 点 的 距 离 等 于 定 长 的 点 的 集 合(轨 迹)叫 圆.二、基 本 性 质、定 理 与 公 式 1.圆 的 四 种 方 程(1)圆 的 标 准 方 程：(x-a)2+0?-h)2=r,圆 心 坐 标 为(4力)，半 径 为 r(r 0)(2)圆 的 一 般 方 程：x2+y2+Dx+Ey+F=(D2+E2-4F 0),圆 心 坐 标 为(-去 一 号)，半 径 1=仍+尸-4尸 2(3)圆 的 直 径 式 方 程：若 A(七，x),B(z，为)，则 以 线 段 A B 为 直 径 的 圆 的 方 程 是(x f)(x-x2)+(y-y2)=0(4)圆 的 参 数 方 程：)v-y COS一.(6为 参 数)；y=r sin 6/(xa)2+G-份 2=/(r 0)的 参 数 方 程 为.(。为 参 数).y=/7+r sin 6/注 对 于 圆 的 最 值 问 题，往 往 可 以 利 用 圆 的 参 数 方 程 将 动 点 的 坐 标 设 为(a+rcosdh+rsin。)(，为 参 数，(ab)为 圆 心，r 为 半 径)，以 减 少 变 量 的 个 数，建 立 三 角 函 数 式，从 而 把 代 数 问 题 转 化 为 三 角 问 题，然 后 利 用 正 弦 型 或 余 弦 型 函 数 的 有 界 性 求 解 最 值.2.点 与 圆 的 位 置 关 系 判 断(1)点 尸(%,：%)与 圆(x-4+。-by=/的 位 置 关 系：(x-a f+Q-份 2 r2 O 点 P 在 圆 外；(x-a)2+。-牙=产 o 点 p 在 圆 上；(x-a)?+。-6)2 o+尸 0 o 点 尸 在 圆 外；+y：+Dr。+Ey0+尸=0 O 点 P 在 圆 上;%+#+。,%+后），0+/0 o 直 线 与 圆 相 交；=0。直 线 与 圆 相 切；r）,且 两 圆 的 圆 心 距 为 d,贝 lj：则 O 两 圆 相 交；d-R+r o 两 圆 外 切；R r d R+r 两 圆 相 离 d-R r 两 圆 内 切；-r o 两 圆 内 含（d=0时 两 圆 为 同 心 圆）【典 型 例 题】例 1.（2022全 国 高 三 专 题 练 习（文）已 知 圆 C 的 圆 心 在 直 线 y=6x上，且 与 直 线/:x+y-l=0相 切 于 点（一 2,3）,则 圆 C 方 程 为（）A.(x+l)2+(y+6)2=18 B.x2+y2=18C.(x-l)2+(y-6)2=18 D.(x-l)2+(y-6)2=12例 2.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)点 尸 在 圆 弓：/+),2=1上，点 0 在 圆 6：-3)2+&+4)2=16上，则()A.|P4的 最 小 值 为 0B.两 圆 公 切 线 有 两 条4C.两 个 圆 心 所 在 的 直 线 斜 率 为 D.两 个 圆 相 交 弦 所 在 直 线 的 方 程 为 3 x-4)，-5=0例 3.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)求 圆 心 在 直 线 x+y=O上，且 过 两 圆 X 2+丫 2-2+10),-2 4=0,f+y2+2 x+2 y-8=0交 点 的 圆 的 方 程.例 4.(2021.湖 南.攸 县 第 三 中 学 高 三 阶 段 练 习)已 知 圆 C 的 方 程：x2+y2-2x-4y+m=0.(1)求”?的 取 值 范 围；(2)当 圆 C 过 4(1,1)时，求 直 线/：x+2 y-4=0被 圆 C 所 截 得 的 弦 M N的 长.例 5.(2020.江 苏.高 三 专 题 练 习)AABC的 三 个 顶 点 的 坐 标 是 45,1),8(7,-3),C(2,-8),求 它 的 外 接 圆 的 方 程.例 6.(2020全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 圆 C：(x+2)2+y2=5,直 线/：，nr-y+l+2?=0,(1)判 断 直 线 与 圆 的 位 置 关 系，并 说 明 理 由；(2)若 直 线/与 圆 C 交 于 4 8 两 点，求 弦 A B的 中 点 M 的 轨 迹 方 程.例 7.(2021全 国 高 三 专 题 练 习(理)己 知 点 4(-2,-2),8(-2,6),(7(4,-2),点 尸 在 圆/2+/=4 上 运 动.(1)求 过 点 C 且 被 圆 E截 得 的 弦 长 为 2近 的 直 线 方 程；(2)求|川 2+|。8+|0 0|2的 最 值.例 8.(2021辽 宁 沈 阳 二 中 高 三 阶 段 练 习)已 知 圆 Ci：N+V+6 X 4=0 和 圆 C2：x2+y2+6y-28=0.(1)求 两 圆 公 共 弦 所 在 直 线 的 方 程；(2)求 经 过 两 圆 交 点 且 圆 心 在 直 线 xy4=0 上 的 圆 的 方 程.例 9.(2021 全 国 高 三 专 题 练 习)求 与 圆 工 2+丁-4-8)，+15=0切 于 点 4(3,6),且 过 点 8(5,6)的 圆 的 方 程.例 10.(2021.全 国 高 三 专 题 练 习(理)已 知 点 A(T,0),8(2,0),动 点 尸 满 足 I(1)求 点 尸 的 轨 迹 C 的 方 程；(2)求 经 过 点(2,-2)以 及 曲 线 C 与 尤 2+产=4 交 点 的 圆 的 方 程.【技 能 提 升 训 练】一、单 选 题 1.(2022.全 国 高 三 专 题 练 习(理)己 知 圆 C 经 过 A(5,2),B(-1,4)两 点，圆 心 在 x 轴 上，则 圆 C的 方 程 是()A.(X-2)2+y2=13 B.(X+2)2+)2=工 C.(X+l)2+y2=40 D.(尤 一 l)2+y2=202.(2021.新 疆 昌 吉.高 三 阶 段 练 习(理)圆(x-l+(y+2)2=2关 于 直 线/：x-y+l=0对 称 的 圆 的 方 程 为()A.(x+l)2+(y-3)2=2 B.(x-1)2+(y+3)2=2C.(x+3)2+(y-2)2=2 D.(x-3)2+(j+2)2=23.(2022全 国 高 三 专 题 练 习(理)若 圆 C 的 半 径 为 1,圆 心 在 第 一 象 限，且 与 直 线 4x-3y=0和 x轴 都 相 切，则 该 圆 的 标 准 方 程 是()A.(X-2)2+(J-1)2=1 B.(x-2)2+(y+l)2=1C.(x+2)2+(y-l)2=l D.(x-3)2+(y-l)2=l4.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)过 点 A(l,-1),8(-1,1),且 圆 心 在 直 线 x+y-2=0上 的 圆 的 方 程 是()A.(x-l)2+(y-l)2=4 B.(x+3)2+(y-l)2=4C.(x-3)2+(y+l)2=4 D.(x+l)2+(y+l)2=45.(2022.全 国 高 三 专 题 练 习)以 点(1,7)为 圆 心，且 与 直 线 x-y+2=0相 切 的 圆 的 方 程 为()A.(x+l)2+(y-l)2=2 B.(x-l)2+(y+l)2=2C.U+l)2+(y-l)2=8 D.(x-l)2+(y+l)2=86.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)圆 G：/+y2=l与 圆 G：(x-3)2+(y-4=16的 位 置 关 系 为()A.内 含 B.外 离 C.相 交 D.相 切 7.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)若 直 线 x+y+a=0与 圆 Y+y2=2相 切，则 机 的 值 为()A.2 B.2 C.-2 D.2y/28.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)直 线(+=1与 x轴，y轴 分 别 交 于 点 A,B,以 线 段 A5为 直 径 的 圆 的 方 程 为()A.x2+y2-4x-2y=0 B.x2+y2-4x-2y-1=0C.x2+y2-4x-2y+=0 D.x2+y2-2x-4y=09.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）/+:/+2；（：-4），+1=0与 圆/+/一 4+6丫+4=0 的 公 切 线 有（）A.1条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 10.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）圆 Y+y 2-2 x-8 y+13=0的 圆 心 到 直 线 o r+y 1=0 的 距 离 为 1,贝 小=4 3 lA.B.C.5/3 D.23 411.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）若 方 程 f+y 2-2 y+疗-机+1=0 表 示 圆，则 实 数 机 的 取 值 范 围 为（）A.（-2,1）B.C.（-8,0）51,+,”+1=0相 切，则 实 数 机 的 取 值 范 围 是 A.B.（T 口）C.（-1,0）D.（-U）18.（2021全 国 高 三 阶 段 练 习（文）已 知 点 尸 在 圆/-2+丁=0上 运 动，点。在 直 线 x-y+l=0上 运 动,则|P Q|的 最 小 值 为（）A.V 2-1 B.V2 C.V2+1 D.25/219.（2021全 国 高 三 专 题 练 习（理）已 知 圆/+9-4-4），-1=0上 的 点 至 IJ直 线 3 x-4 y-1 5=0 的 距 离 的 最 大 值 是“，最 小 值 是 6,则 4+6=（）34R33 17 n 225 5 5 520.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）k为 任 意 实 数 时，直 线（4+1）尤-仙-1=。被 圆（x-l f+（y-l）2=4截 得 的 弦 长 是 A.8 B.4 C.2 D.与 女 有 关 的 值 21.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 点 A 的 坐 标 是（-1,0）,点 M 满 足|AM|=2,那 么 M 点 的 轨 迹 方 程 是（）A.x2+y2+2x-3=0 B.x2+y2-2x-3-0 C./+炉+2），-3=0 D.x2+yz-2y-3-022.（2022全 国 高 三 专 题 练 习（文）已 知 点 P（6,0）,点 动 点 C 满 足 玩.无=0（。为 坐 标 原 点），过 A点 的 直 线 被 动 点 C 的 轨 迹 曲 线 截 得 的 所 有 弦 中 最 短 弦 所 在 的 直 线 方 程 为（）A.y=2 x-1 B.y=-2 x+lC.j=x-1 D.y=-x+12 223.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）圆 x 2-2 x+y2+4y+2=0 至 IJ直 线 2&x-y+2=0的 距 离 为 1的 点 有（）A.1个 B.2 个 C.3个 D.0个 24.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）直 线/：/n x-y+l-?=0 与 圆 C：幺+仆 _）2=5的 位 置 关 系 是（）A.相 交 B.相 切 C.相 离 D.不 确 定 25.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）过 点 P（-2,3）的 直 线/与 圆/+丁+2x-2y-3=0相 切,则 直 线/的 方 程 是（）A.x=-2 或 1-2+8=。B.x-2 y+8=0C.工=-2或 2 x+y+l=0 D.2 x+y+l=026.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 圆 C:/+V-4 x=0 与 直 线/切 于 点 尸（1,6）,则 直 线/的 方 程 为（）A.x-/3y+2=0 B.x-y/3 y+4=0C.x+G y-4=0 D.x+y/3 y-2=027.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）过 点 P（3,4）作 圆 W+y2=4 的 两 条 切 线，切 点 分 别 为 A,B,则|A8|=A.5-V3 B.5.0 C.D.5 528.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 0 c:必 一 2欠+尸-1=0,直 线/：y=x+3,P 为/上 一 个 动 点，过 点 P 作 Q C的 切 线 P M，切 点 为 M,则|加|的 最 小 值 为（）A.1 B.72 C.2 D.7629.（2021江 西 高 三 阶 段 练 习（文）已 知 圆。的 方 程 为 炉+尸=1,过 圆。外 一 点 外。力）作 圆 O 的 两 条 切 线 出，P B,切 点 分 别 为 4,B,则 直 线 A 8的 方 程 为（）A.ax b y+1=0 B.ax+by-1=0C.h x-a y+i=0 D.h x-a y-=030.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）过 点 M（0,-4）作 直 线/与 圆 C:x2+y 2+2 x-6 y+6=0相 切 于 A、8 两 点，则 直 线 的 方 程 为（）A.2x y+3=0 B.x 7y+18=0 C.2x 5y+5=0 D.2x+5y+5=031.（2021.江 苏 常 州.一 模）过 圆。：/+产=5外 一 点 p Q,0）作 圆。的 切 线，切 点 分 别 为 A、B,则|钻|=（）A.2 B./5 C.逑 D.3332.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 直 线=+机 与 圆（x-2）2+（）-3）2=2相 切，则 根 的 值 为（）A.3 或 一 1 B.1 或-3C.0 或 4 D.Y 或 033.（2022河 北 张 家 口 高 三 期 末）直 线 x+y=2 与 圆（x-2）2+（y-3=6交 于 A、8 两 点，则|4?|=（）A.3 4 B.76 C.乎 D.2有 34.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）若 点 P（L1）为 圆/+），2-6），=0的 弦 A B的 中 点，则 弦 所 在 直 线 的 方 程 为（）A.2 x-y-l=0 B.x-2 y+l=0 C.x+2 y-3=0 D.2 x+y-3=035.（2019天 津 耀 华 中 学 高 三 阶 段 练 习）已 知 圆 V：（x-i y+（y+2=4 和 直 线/：y=x+m.若 直 线/与 圆 相 交 于 A,8 两 点，AM4B的 面 积 为 2,则 加 值 为（)A.-1或 3 B.1或 5 C.-1或 5 D.2 或 636.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）圆 Ci：。-2）2+（），-4）2=9 与 圆 Q：（x-5）2+）a=房 的 公 切 线 条 数 为（）A.1 B.2 C.3 D.437.（2021全 国 高 二 课 时 练 习）圆 心 在 直 线 x-y-4=0 上，且 经 过 两 圆 N+yz-4/-3=0,x2+y-4y-3=0的 交 点 的 圆 的 方 程 为（）A.炉+产-6x+2y-3=0 B.x2+y2+6x+2y-3=0C.x2+y2-6x-2y-3=0 D.x2+y+6x-2y-3=038.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）若 圆 G：/+y 2=l与 圆。2：/+2-6工 一 8+2=0夕 卜 切，则 小=（）A.21 B.19 C.9 D.-1139.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）圆 弓：/+/一 2 1-3=0 与 圆 6：/+/+4 工 2+1=0公 共 弦 所 在 直 线 的 方 程 为（）A.3x+y+l=0 B.3 x-y+l=0 C.3x+y+2=0 D.3 x-y+2=040.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）圆 0：f+y 2=9 与 圆。1：（%_2）2+（-3=16交 于 A、8 两 点，贝 1钻|二（）A.6 B.5 C.巫 D13 1341.（2022 上 海 高 三 专 题 练 习）已 知 圆 O:J+y 2=4上 到 直 线/：x+y=a 的 距 离 等 于 1的 点 恰 有 3 个，则 实 数。的 值 为 A.-2近 或 2&B.2&C.41 D.-血 或&42.（2022全 国 高 三 专 题 练 习（理）已 知 圆 片+y2-2x-4.y+a=0 上 有 且 只 有 两 个 点 至 IJ直 线 3 x-4 y 5=0 的 距 离 等 于 1,则 实 数。的 取 值 范 围 是（）A.（-4,4）B.（-4.1）C.（1,4）D.（2,4）43.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）若 圆 C：/+丁-2*+4、-20=0 上 有 四 个 不 同 的 点 至 I J直 线/：4x+3y+c=0的 距 离 为 2,则。的 取 值 不 可 能 是（）A.-15 B.13 C.15 D.044.（2022全 国 高 三 专 题 练 习（文）若 圆（x-a）2+（y-2 a+l）2=9上 有 且 仅 有 两 个 点 至 IJ直 线 3 x+4 y-1 2=0的 距 离 等 于 2,则 实 数 a 的 取 值 范 围 是（)二、多 选 题 B-245.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 圆 的 一 般 方 程 为/+?2一 弘+6了=0,则 下 列 说 法 正 确 的 是（)A.圆 M 的 圆 心 为（4,3）B.圆 M 的 半 径 为 5C.圆 M 被 x轴 截 得 的 弦 长 为 6 D.圆 M 被 y 轴 截 得 的 弦 长 为 64 6.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知（3,-2）,闻 为 圆/+（丫-2）2=4上 的 动 点,则 线 段 必 的 长 可 能 为（）A.3 B.5 C.7 D.947.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）若 P 是 圆 C:/+y 2=4上 任 一 点，则 点 P 到 直 线 x+y=3&的 距 离 可 以 为（）A.2 B.4 C.6 D.848.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）圆 G：（x-a y+y J 4 与 圆 C 22+（y-2）2=l有 且 仅 有 两 条 公 切 线，实 数。的 值 可 以 取（）A.1 B.2 C.3 D.449.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 圆=圆 N:（x+2）?+（f+厅=1,则 下 列 是 圆 M与 圆 N 的 公 切 线 的 直 线 方 程 为（）A.y=0 B.4x-3y=0C.x-2 y+j5=0 D.x+2y-/5=0三、双 空 题 50.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 方 程 为/+丫 2-2-2丫-2=0,则 圆 心 坐 标 为,圆 半 径 为 四、填 空 题 51.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 圆 心 在 第 一 象 限 的 圆 经 过 点 尸（-4,3）,圆 心 在 直 线 2 x-y+l=0 上，且 半 径 为 5,则 此 圆 的 标 准 方 程 为.52.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 圆 C 和 直 线 x-6 y-10=0相 切 于 点（4,-1）,且 经 过 点（9,6）,则 圆 C 的 方 程 为.53.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）圆 C:（X-3）2+（+6丫=8 1关 于 点 A（-l,2）中 心 对 称 的 圆 的 方 程 为54.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 三 个 点 A（0,0）,8（2,0）,C（4,2）,则 AABC的 外 接 圆 的 圆 心 坐 标 是 55.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）若 圆/+/+瓜+后+F=0关 于 直 线。x+2F+8=0对 称，则 该 圆 的 半 径 为 _56.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）两 圆 x2+y26x+6y48=0 与 x2+）+4.r8 4 4=0公 切 线 的 条 数 是 57.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 直 线/：&-y-2 A+2=0与 圆 C：N+y-缄-6），+6=0相 交 于 A,B 两 点，则|AB|的 最 小 值 为.58.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 圆 V+y2=4 上 一 定 点 4（2,0）,尸 为 圆 上 的 动 点，则 线 段 A P中 点 的 轨 迹 方 程 为.59.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 圆 x2+/-2 x+6 y=6,则 直 线 3 x-4 y+l=0和 圆 的 位 置 关 系 为 60.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 圆。则 f+y 2=4,过 点。（2,4）作 圆 的 切 线，则 切 线 的 方 程 为 61.（2021江 苏 省 如 皋 中 学 高 三 开 学 考 试）已 知 点 Q 是 直 线/：x-y-4=0 上 的 动 点，过 点。作 圆。：f+y 2=4的 切 线，切 点 分 别 为 A,B,则 切 点 弦 AB所 在 直 线 恒 过 定 点.62.（2022 上 海 高 三 专 题 练 习）若 斜 率 为 G 的 直 线 与 旷 轴 交 于 点 A,与 圆 产+（），-1）2=1相 切 于 点 8,则 卜 耳=.63.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 直 线 x-&y+8=0 和 圆 N+y 2=2 5相 交 于 A,B 两 点，则|43|=64.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）若 圆 C:i+（y+l）2=i被 直 线/：x+y+=0 所 截 得 的 弦 长 为 夜，则 实 数。的 值 是.6 5.（2022 上 海 高 三 专 题 练 习）已 知 直 线/：y=与 圆 C:（x-l）2+（y-G=4相 交 于 A、B两 点,且|A同=2,则 直 线/的 倾 斜 角 为.66.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 过 点（0,1）且 斜 率 为&的 直 线/,与 圆 C：（x-2+（y-l）2=2交 于 M,N 两 点，若 弦 M N的 长 是 2,则 k 的 值 是.67.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 圆 X2-2 0 1+丁=0（4 0）截 直 线 x-y=0所 得 弦 长 是 2血，则。的 值 为 68.（2021婀 北 秦 皇 岛,二 模）已 知 直 线 x+y 5=0与 圆 C:（x _ 2）2+（y l）2=4相 交 于 4 6 两 点,则 ABC面 积 为.五、解 答 题 69.（2021山 东 邹 平 市 第 一 中 学 模 拟 预 测）已 知 直 线/经 过 两 条 直 线 2 x-y-3=0和 4 x-3），-5=0 的 交 点，且 与 直 线 x+y-2=0垂 直.（1）求 直 线/的 一 般 式 方 程：（2）若 圆 C 的 圆 心 为 点（3,0）,直 线/被 该 圆 所 截 得 的 弦 长 为 2 a，求 圆 C 的 标 准 方 程.70.（2020.西 藏 林 芝 市 第 二 高 级 中 学 高 三 阶 段 练 习（文）已 知 圆 心 为 C（4,3）的 圆 经 过 原 点 O.（1）求 圆 C 的 方 程；（2）设 直 线 3 x-4 y+1 5=0与 圆 C 交 于 A,B 两 点,求 A B C的 面 积.71.（2021山 西 天 镇 县 实 验 中 学 高 二 期 中）已 知 圆 G：d+y2-2x+10y-24=0 和 圆 C 2：/+2+2x+2y-8=0.(1)试 判 断 两 圆 的 位 置 关 系：(2)求 公 共 弦 所 在 直 线 的 方 程;(3)求 公 共 弦 的 长 度.第 3 4讲 圆 的 方 程【知 识 点 总 结】、基 本 概 念 平 面 内 到 定 点 的 距 离 等 于 定 长 的 点 的 集 合(轨 迹)叫 圆.二、基 本 性 质、定 理 与 公 式 1.圆 的 四 种 方 程(1)圆 的 标 准 方 程：(x-a)2+0?-h)2=r,圆 心 坐 标 为(4力)，半 径 为 r(r 0)(2)圆 的 一 般 方 程：x2+y2+Dx+Ey+F=(D2+E2-4F 0),圆 心 坐 标 为(-去 一 号)，半 径 r-X-/D-2-+-E-2-4-F-2(3)圆 的 直 径 式 方 程：若 A(七，x),B(z，为)，则 以 线 段 A B 为 直 径 的 圆 的 方 程 是(x f)(x-x2)+(y-%)=0(4)圆 的 参 数 方 程：0)的 参 数 方 程 为 厂-cos：(9 为 参 数)；y=r sin”(x-a)2+(y-b)2=r2(r 0)的 参 数 方 程 为 J=(6 为 参 数).y=匕+r sin 8注 对 于 圆 的 最 值 问 题，往 往 可 以 利 用 圆 的 参 数 方 程 将 动 点 的 坐 标 设 为(a+rcos6,h+rsin。)为 参 数，(ab)为 圆 心，r 为 半 径)，以 减 少 变 量 的 个 数，建 立 三 角 函 数 式，从 而 把 代 数 问 题 转 化 为 三 角 问 题，然 后 利 用 正 弦 型 或 余 弦 型 函 数 的 有 界 性 求 解 最 值.2.点 与 圆 的 位 置 关 系 判 断(1)点 尸(%,%)与 圆(x-4+。-A)?=/的 位 置 关 系：(x-a)2+。-与 2 r2 o 点 P 在 圆 外；(x-“)2+(y-力 2=/o 点 P 在 圆 上；(x-a)2+(j-6)2/+E%+尸 0 点 P 在 圆 外；*；+#+。/+为+尸=0=点 P 在 圆 上;%+#+。/+坳)+/()o 直 线 与 圆 相 交；=O o 直 线 与 圆 相 切；r),且 两 圆 的 圆 心 距 为 d,贝 ij：则 d R+r o 两 圆 相 交；d=R+r 两 圆 外 切；R r d R+r o 两 圆 相 离 d=R r o 两 圆 内 切；0 M d R r o 两 圆 内 含(d=0时 两 圆 为 同 心 圆)【典 型 例 题】例 1.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习(文)已 知 圆 C 的 圆 心 在 直 线 y=6x上，且 与 直 线/:x+y-l=0相 切 于 点(一 2,3),则 圆 C 方 程 为()A.(x+l)2+(y+6)2=18 B.x2+y2=SC.(x-l)2+(y-6)2=18 D.(x-l)2+(y-6)2=12【答 案】C【详 解】设 圆 心 为(肛 6加)，则 圆 心 与 点(2,3)的 连 线 与 直 线/垂 直，即 包 七 二 x(-l)=1,z+2贝 I 点 7=1,所 以 圆 心 为(1,6),半 径 r=J(l+2j+(6-3(=3所 以 方 程 为(xl)2+(y-6)2=18,故 选：C例 2.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)点 在 圆&：/+2=1上，点。在 圆。2：(-3)2+&+4)2=16上，则()A.归。|的 最 小 值 为。B.两 圆 公 切 线 有 两 条 C.两 个 圆 心 所 在 的 直 线 斜 率 为 D.两 个 圆 相 交 弦 所 在 直 线 的 方 程 为 3x-4y-5=0【答 案】AC【详 解】由 圆 的 方 程 知：圆 的 圆 心 G(o,o),半 径 4=1；圆 G 的 圆 心 G(3，T),半 径 4=4：.ctc2=40-3)2+(0+4)2=5=4+弓，两 圆 外 切；对 于 A,若 P,。重 合，为 两 圆 的 切 点，则 户。|疝=0,A 正 确；对 于 B,两 圆 外 切，则 公 切 线 有 3条，B 错 误；-4-0 4对 于 C,kc c=-,C 正 确：,2 3-0 3对 于 D,.两 圆 相 外 切，两 个 圆 不 存 在 相 交 弦，D 错 误.故 选：AC.例 3.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)求 圆 心 在 直 线 x+y=0上，且 过 两 圆 x?+/-2x+10y-24=0,?+y+2 尢+2尸 8=0 交 点 的 圆 的 方 程.【详 解】依 题 意 可 得，圆 心 在 圆 公+产 一 2x+10y-24=0和 圆/+/+2x+2y-8=0公 共 弦 的 垂 直 平 分 线 上.x2+/-2 x+10-24=0 x2+/+2x+2y-8=0 x=-4 x=0叫=0 y=2则 两 圆 交 点 为(-4,0),(0,2),则 其 公 共 弦 的 垂 直 平 分 线 为 y=-2(X+2)+1,即 2x+y+3=0所 以 圆 心 是 直 线 2x+y+3=0与 直 线 x+y=O的 交 点，x+y=0 x=-3联 立，解 得=.2 x+y+3=0 y=3则 圆 半 径 r=J(-3+4)2+(3-0)2=加 所 以 圆 方 程 为(x+3)2+(y-3 f=10例 4.(2021湖 南 攸 县 第 三 中 学 高 三 阶 段 练 习)已 知 圆 C 的 方 程：x2+y2-2x-4y+m=0.(1)求 加 的 取 值 范 围：(2)当 圆 C 过 A(l,1)时，求 直 线/：x+2 y-4=0被 圆 C 所 截 得 的 弦 M N的 长.【详 解】解：(1)圆 C 的 方 程 可 化 为(x-l)2+(y-2)2=5-m令 5-加 0得?-4=0 的 距 离 为 d=L二 三=或 71+4 5M N=2.T 4/5例 5.(2020江 苏 高 三 专 题 练 习)AABC的 三 个 顶 点 的 坐 标 是 A(5,l),8(7,-3),C(2,-8),求 它 的 外 接 圆 的 方 程.【详 解】设 所 求 圆 的 方 程 为：V+y 2+E y+F=0,则 圆 经 过 A(5,l),8(7,-3),C(2,-8)三 点 52+l2+5D+E+F=0,72+(-3)2+7P-3E+F=0,解 之 得 出=6.22+(-8)2+2D-8E+F=0 lF=-1 2所 以 所 求 圆 的 方 程 为：x2+y2-4 x+6v-12=0.例 6.(2020,全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 圆 C：(x+2)2+y2=5,直 线/：，nr-y+l+2?=0,(1)判 断 直 线 与 圆 的 位 置 关 系，并 说 明 理 由；(2)若 直 线/与 圆 C 交 于 4 8 两 点，求 弦 A B的 中 点 M 的 轨 迹 方 程.【详 解】（1）直 线/：mx-y+2m=Q,也 即 y-l=加（了+2）,故 直 线 恒 过 定 点(-2,1),又(-2+2)2+F A B X kMC=1,x+2即 为 上=T,x+2 x+2化 筒 可 得：(x+2 y+(y-|=；,(-2)；当 直 线 A B斜 率 不 存 在 时，显 然 中 点 M 的 坐 标 为(-2,1)也 满 足 上 述 方 程.故 M 点 的 轨 迹 方 程 为：(x+2 y+(y-g=；.例 7.(2021全 国 高 三 专 题 练 习(理)已 知 点 A(-2,-2),8(-2,6),C(4,-2),点 P在 圆 脱 丁+丁=4上 运 动.(1)求 过 点 C 且 被 圆 E截 得 的 弦 长 为 2&的 直 线 方 程；(2)求 1 P A F+|P 8 F+|P C|2的 最 值【详 解】(1)依 题 意，直 线 的 斜 率 存 在，因 为 过 点 C 且 被 圆 E 截 得 的 弦 长 为 2夜，所 以 圆 心 到 直 线 的 距 离 为 0,设 直 线 方 程 为 y+2=A(x-4),即 履 y-软 一 2=0,所 以&温;:，解 得 人-;或&=1所 以 直 线 方 程 为 工+7丁+10=0或 不+丁 一 2=0.设 P点 坐 标 为(X,y)则 x2+y2=4.|PA|2+|P B|2+|P C|2=(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y-6)2+(x-4)2+(y+2)2=3(f+力-4y+68=8()-4y因 为-2 W y W 2,所 以 72 V 80-4 y 88.BP|PA|2+|PB|2+|PC|2 的 最 大 值 为 88,最 小 值 为 72.例 8.(2021辽 宁 沈 阳 二 中 高 三 阶 段 练 习)已 知 圆 C”/+产+6*4=0 和 圆 C2：x2+y2+6 j-2 8=0.(1)求 两 圆 公 共 弦 所 在 直 线 的 方 程；(2)求 经 过 两 圆 交 点 且 圆 心 在 直 线 x y 4=0 上 的 圆 的 方 程.【详 解】解：(1)设 两 圆 交 点 为 A(xi，yi),8(x2,”)，x2+V2+6x 4=0?则 A,B 两 点 坐 标 是 方 程 组 2 1,“二 的 解，两 式 相 减 得 一+4=0,A,B 两 点 坐 标 都 满 足 此 方 程，“一 丫+4=0 即 为 两 圆 公 共 弦 所 在 直 线 的 方 程；x2+y2+6 一 4=0?(2)解 方 程 组 八 得 两 圆 的 交 点 4-1，3),8(6,-2),x-+y+6 y-2 8=0设 所 求 圆 的 圆 心 为 3,b),因 为 圆 心 在 直 线 x-y 4=0 上，所 以 匕=a 4,则(4+1)2+(4-4-3)2 J(a+6)2+(-4+2)2,解 得。=g,所 以 圆 心 为 半 径 为 楞,所 以 圆 的 方 程 为(x-g j+(y+g j=掾，即/+y 2 x+7 y 32=0.例 9.(2021全 国 高 三 专 题 练 习)求 与 圆 丁+2-4-8)，+15=0切 于 点 4 3,6),且 过 点 8(5,6)的 圆 的 方 程.【详 解】设 与 圆 V+切 了 点 4 3,6)的 圆 系 方 程 为：x2+y2-4 x-8 y+1 5+A(x-3)2+(y-6)2=0.以 点 8(5,6)代 入，求 得，=2.x2+y2-4 A-8 y+1 5-2(x2-6 A+9+r-1 2 y+36)=0,化 简 即 得 所 求 圆 的 方 程 为 x 2+y 2-8 x-1 6 y+75=0.例 10.(2021 全 国 高 三 专 题 练 习(理)已 知 点 A(T,0),8(2,0),动 点 尸 满 足 I E 4|=2|P B|.(1)求 点 P的 轨 迹 C 的 方 程：(2)求 经 过 点 例(2,-2)以 及 曲 线 C 与*2+丁=4 交 点 的 圆 的 方 程.【详 解】设 尸(x,y),因 为 4-4,0),8(2,0),|PA|=2 1,所 以(x+4)2+y2=2y/(x-2)2+y2，整 理 得 x2+/-8 x=0.所 以 曲 线 C 的 方 程 为 f+y2-8 x=0.(2)设 所 求 方 程 为 x2+r-4+2(x2+/-8x)=0,QP(1+2)x2+(1+团/-8/lx-4=0,将 M(2,-2)代 入 上 式 得(l+A)-22+(l+2)-(-2)2-8A-2-4=0fA=l,Q Q所 以 所 求 圆 的 方 程 为 f+V x-1=0.【技 能 提 升 训 练】一、单 选 题 1.(2022全 国 高 三 专 题 练 习(理)己 知 圆 C 经 过 A(5,2),B(-1,4)两 点，圆 心 在 x 轴 上，则 圆 C的 方 程 是()A.(X2)2+y2=13 B.(X+2)2+y2=C.(X+l)2+y2=40 D.(尤 一 1)2+产=20【答 案】D【分 析】设 圆 心 坐 标 为(。,0),由 圆 心 到 A,3 距 离 相 等 求 得 a,然 后 再 求 出 半 径 后 可 得.【详 解】由 题 意，设 圆 心 坐 标 为(。，0),则 J(q _+(02)2=J(a+1尸+(04)2,解 得。=,圆 半 径 为 r=7(1-5)2+(0-2)2=2#).所 以 圆 方 程 为(x-lH+V=20.故 选:D.2.(2021新 疆 昌 吉 高 三 阶 段 练 习(理)圆(x-iy+(y+2)2=2关 于 直 线/：x-y+l=0对 称 的 圆 的 方 程 为()A.(x+l)2+(y-3)2=2 B.(x-1)2+(y+3)2=2C.(x+3)2+(y-2)2=2 D.(x-3)2+(y+2)2=2【答 案】C【分 析】圆 关 于 直 线 的 对 称 圆 问 题，第 一 步 求 圆 心 关 于