指数函数知识点总结文档.pdf
指数函数（一）指数与指数幂的运算1根式的概念：一般地，如果a xn，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作0 0 n。当n是奇数时，a an n，当n是偶数时，)0()0(|aaaaa an n2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定：)1,0(*n N n m a a an mnm)1,0(1 1*n N n m aaaan mnmnm 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义 3实数指数幂的运算性质（1）ras r ra a),0(R s r a；（2）rs s ra a)(),0(R s r a；（3）s r ra a ab)(),0(R s r a（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(a a a yx且叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1 2、指数函数的图象和性质 a1 0a1 654321-1-4-2 2 4 6 01654321-1-4-2 2 4 6 01定义域 R 定义域 R 值域 y 0 值域 y 0 在 R 上单调递增 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在 a，b 上，)1 a 0 a(a)x(fx 且值域是)b(f),a(f 或)a(f),b(f（2）若0 x，则1)x(f；)x(f取遍所有正数当且仅当R x；（3）对于指数函数)1 a 0 a(a)x(fx 且，总有a)1(f；指数函数例题解析 指数函数知识点总结【例 1】求下列函数的定义域与值域：(1)y 3(2)y(3)y12 x 2 1 3 32 1 x x 解(1)定义域为 x R 且 x 2值域 y 0 且 y 1(2)由 2x+2 1 0，得定义域 x|x 2，值域为 y 0(3)由 3 3x-1 0，得定义域是 x|x 2，0 3 3x 1 3，值域是 0 y 3 练习：（1）412 x y；（2）|2()3xy；（3）1 2 41 x xy；【例 2】指数函数 y ax，y bx，y cx，y dx的图像如图 2 6 2 所示，则 a、b、c、d、1 之间的大小关系是 A a b 1 c d B a b 1 d c C b a 1 d c D c d 1 a b 解 选(c)，在 x 轴上任取一点(x，0)，则得 b a 1 d c 练习：指数函数 满足不等式,则它们的图象是().【例 3】比较大小：(1)2(2)0.6、的大小关系是：2 4 8 16323 5 8 94512()(3)4.54.1_3.73.6 解(1)y 2 2 1()x，函数，该函数在，上是增函数，又，2 2 2 2 4 2 8 2 16 213382549122 8 4 16 2123135258389493 8 5 9 解(2)0.6 1 10.6，451245123232()()解(3)借助数 4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1 4.53.6，作函数 y14.5x，y2 3.7x的图像如图 2 6 3，取 x 3.6，得 4.53.6 3.73.6 4.54.1 3.73.6 说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例 2 中的(1)若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助 1 作桥梁，如例 2 中的(2)其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与 4.54.1同底与 3.73.6同指数的特点，即为 4.53.6(或3.74.1)，如例 2 中的(3)练习：（1）1.72.5 与 1.73(2)0.10.8与0.20.8(3)1.70.3 与 0.93.1（）5.31.2和7.20.2【例4】解比较大小 与 且，当，a aaaan nn n n nn nn nn n 1 1111111(a 0 a 1 n 1)0 a 1 n 1 0()()，当 时，a a an na a an n n n n nn n n n n n11 1 111 1 111()()()1a 1 n 1 01【例 5】作出下列函数的图像：(1)y(2)y 2 2x，()121 x(3)y 2|x-1|(4)y|1 3x|解(1)y(2 6 4)(0)(1 1)y 1 的图像 如图，过点，及，是把函数 的图像向左平移 个单位得到的()()1212121 xx 解(2)y 2x 2 的图像(如图 2 6 5)是把函数 y 2x的图像向下平移 2 个单位得到的 解(3)利用翻折变换，先作 y 2|x|的图像，再把 y 2|x|的图像向右平移 1个单位，就得 y 2|x-1|的图像(如图 2 6 6)解(4)作函数 y 3x的图像关于 x 轴的对称图像得 y 3x的图像，再把 y 3x的图像向上平移 1 个单位，保留其在 x 轴及 x 轴上方部分不变，把 x 轴下方的图像以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方而得到(如图 2 6 7)【例8】已知 f(x)(a 1)aaxx11(1)判断 f(x)的奇偶性；(2)求 f(x)的值域；(3)证明 f(x)在区间(，)上是增函数 解(1)定义域是 R f(x)f(x)，aaaaxxxx 1111 函数 f(x)为奇函数(2)y y 1 a 1 y 1x函数，有，aayyyyxx 1111110 即 f(x)的值域为(1，1)(3)设任意取两个值 x1、x2(，)且 x1 x2 f(x1)f(x2)，故 在 上为增函数aaaaa aa aa a aaxlxlxxxlxxlxx x xx 11212122121221 1()()()a 1 x x(1)(1)0 f(x)f(x)f(x)R1 21 2 单元测试题 一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分）1、化简1 1 1 1 132 16 8 4 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2，结果是（）A、113211 22 B、1132 1 2 C、132 1 2 D、13211 22 2、4 43 6 6 3 9 9a a 等于（）A、16a B、8a C、4a D、2a 3、若 1,0 a b,且2 2b ba a,则b ba a的值等于（）A、6 B、2 C、2 D、2 4、函数 2()1xf x a 在 R 上是减函数，则a的取值范围是（）A、1 a B、2 a C、2 a D、1 2 a 5、下列函数式中，满足1(1)()2f x f x 的是()A、1(1)2x B、14x C、2x D、2x 6、下列2()(1)x xf x a a 是（）A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数 7、已知,0 a b ab，下列不等式（1）2 2a b；(2)2 2a b；(3)b a1 1；(4)1 13 3 a b；(5)1 13 3a b 中恒成立的有（）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 8、函数2 12 1xxy是（）A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数 9、函数12 1xy的值域是（）A、,1 B、,0 0,C、1,D、(,1)0,10、已知0 1,1 a b,则函数xy a b 的图像必定不经过（）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 11、2()1()(0)2 1xF x f x x 是偶函数，且()f x不恒等于零，则()f x()A、是奇函数 B、可能是奇函数，也可能是偶函数 C、是偶函数 D、不是奇函数，也不是偶函数 12、一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b，则n年后这批设备的价值为（）A、(1%)na b B、(1%)a nb C、1(%)na b D、(1%)na b 二、填空题：（本题共 4小题，每小题 4 分，共 16 分，请把答案填写在答题纸上）13、若10 3,10 4x y，则10 x y。14、函数22 8 11(3 1)3x xy x 的值域是。15、函数22 33xy的单调递减区间是。16、若2 1(5)2xf x，则(125)f。三、解答题：（本题共 6小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17、设0 1 a，解关于x的不等式2 22 3 2 2 2 3 x x x xa a。18、已知 3,2 x，求1 1()14 2x xf x 的最小值与最大值。19、设a R，2 2()()2 1xxa af x x R，试确定a的值，使()f x为奇函数。20、已知函数22 513x xy，求其单调区间及值域。21、若函数4 3 2 3x xy 的值域为 1,7，试确定x的取值范围。22、已知函数1()(1)1xxaf x aa(1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明()f x是R上的增函数。指数与指数函数同步练习参考答案 一、题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C D D B C A D A A D 二、13、43 14、991,33，令2 22 8 1 2(2)9 U x x x，3 1,9 9 x U,又13Uy 为减函数，99133y。15、0,，令23,2 3Uy U x，3Uy为增函数，22 33xy的单调递减区间为 0,。16、0，3 2 2 1(125)(5)(5)2 2 0 f f f 三、17、0 1 a,xy a 在,上为减函数，2 22 3 2 2 2 3 x x x xa a,2 22 3 2 2 2 3 1 x x x x x 18、221 1 1 3()1 4 2 1 2 2 1 24 2 2 4x x x x xx xf x,3,2 x,12 84x.则当122x,即1 x时,()f x有最小值43；当2 8x,即3 x 时，()f x有最大值 57。19、要使()f x为奇函数，x R,需()()0 f x f x,12 2 2(),()2 1 2 1 2 1xx x xf x a f x a a,由12 202 1 2 1xx xa a,得2(2 1)2 02 1xxa,1 a。20、令13Uy,22 5 U x x，则y是关于U的减函数，而U是,1 上的减函数，1,上的增函数，22 513x xy 在,1 上是增函数，而在 1,上是减函数，又2 22 5(1)4 4 U x x x,22 513x xy 的值域为410,3。21、24 3 2 3 2 3 2 3x x x xy，依题意有 22(2)3 2 3 7(2)3 2 3 1x xx x 即1 2 42 2 2 1xx x 或，2 2 4 0 2 1,x x 或 由函数2xy 的单调性可得(,0 1,2 x。22、（1）定义域为x R,且1 1()(),()1 1x xx xa af x f x f xa a 是奇函数；（2）1 2 2 2()1,1 1,0 2,1 1 1xxx x xaf x aa a a 即()f x的值域为 1,1；（3）设1 2,x x R,且1 2x x，1 2 1 21 2 1 21 21 1 2 2()()01 1(1)(1)x x x xx x x xa a a af x f xa a a a(分母大于零，且1 2x xa a)()f x是R上的增函数。
