专题1利用定积分定义求极限文档.pdf

1 专题 1利用定积分定义求极限 对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法：是n 时的极限 极限运算中含有连加符号1ni 在定积分的定义中，我们把区间,a b平均分成n个小区间（定积分的定义中是任意分割区间,a b，我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为ban（即定义中的ix），这n个小区间分别为,baa an，,2babaaann，2,3babaaann，(2),(1)babaanannn ，(1),baanbn，在定义中每个小区间上任意取的i我们一致取为每个小区间的右端点ibaain（也可以取左端点(1)ibaain ），那么定义中的1()niiifx就变为1()niba baf ainn，那么1lim()()nbaniba baf aif x dxnn。（取左端点时1lim(1)()nbaniba baf aif x dxnn）注意：定积分的定义中0表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n 也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n 来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n 就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1lim()()nbaniba baf aif x dxnn，而不是01lim()()nbaiba baf aif x dxnn。2 如()f x在区间0,1上的积分可以表示为1011()lim()nniif x dxfnni取每个小区间的右端点，或者10111()lim()nniif x dxfnni取每个小区间的左端点。举例：求341limnniin 分析：函数3()f xx在区间0,1上的定积分的定义可以表示为133011lim()nniix dxnn（这里i取的是每个小区间的右端点），即313340111lim()limnnnniiiix dxnnn。所以3413104011lim|44nniixx dxn 对于这个考点的考法应该不会很深（这个方法经常在数学竞赛中用到），给出的极限应该可以化为某个函数在区间0,1上的定积分，基于此，遇到这类题时，一定要把给出的极限化为如下形式：1111lim()lim()nnnniiiiffnnnn或者111111lim()lim()nnnniiiiffnnnn，只要化为以上的几种形式，那么给出的极限就是函数()f x在区间0,1上的积分，即101111111111()lim()lim()lim()lim()nnnnnnnniiiiiiiif x dxffffnnnnnnnn