微积分作业应用题6题文档.pdf
应用题：1.设生产某种产品 x 个单位时的成本函数为 C(x)=100+0.25x2+6x(万元)求:(1)当 x=10 时的总成本、平均成本和边际成本;(2)当生量 x 为多少时,平均成本最小?解：（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：C（X）=100+0.25X2+6X c(X)=X100+0.25X+6,C (X)=0.5X+6所以 C(10)=100+0.25 102+610=185c(10)=10100+0.2510+6=18.5C(10)=0.5 10+6=11(2)令C=2100X+0.25=0,得 X=20(X=20 舍去)因为 X=20 是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实存在最小值,所以当 X=20 时,平均成本最小.2.某厂生产一批产品,其固定成本为 2000 元,每生产一吨产品的成本为 60 元,对这种产品的市场需求规律为 q=1000-10p(q 为需求量,p 为价格).试求:(1)成本函数,收入函数;(2)产量为多少吨时利润最大?解：（1）成本函数 C（q）=60q+2000 因为 q=100010p,即 p=100101q 所以收入函数 R（q）=pq=(100101q)q=100q101 q2（2）因为利润函数 L(q)=R(q)C(q)=(100q 101 q2(60q+2000)=40q101 q22000 且L(q)=(40q 101 q22000)=40 0.2q令L(q)=0,即 400.2q=0,得 q=2000,它是 L(q)是在其定义域内的唯一驻点.所以,q=200是利润函数 L（q）的最大值点，即当产量为 200 吨时利润最大。3.设某工厂生产某产品的固定成本为 50000 元,每生产一个单位产品,成本增加100 元.又已知需求函数 q=2000-4p,其中 p 为价格,q 为产量,这种产品在市场上是畅销的 试求:(1)价格为多少时利润最大?(2)最大利润是多少?1、解：（1）C（p）=50000+100q=50000+100(20004p)=250000400p R(p)=pq=p(2000 4p)=2000p4p2 利润函数 L（p）=R(p)C(p)=2400P4p2250000,且令 L(p)=2400 8p=0 得 p=300，即该问题确实存在最大值，所以，当价格为 p=300 元时，利润最大。（2）最大利润 L(300)=24003004003002250000=110000(元)微积分作业(应用题6题)4.某厂生产某种产品 q 件时的总成本函数为 C(q)=20+4q+0.01q2(元),单位销售价格为 p=14-0.01q(元/件),试求:2、解：（1）C（p）=50000+100q=50000+100(20004p)=250000400p R(p)=pq=p(2000 4p)=2000p4p2 利润函数 L（p）=R(p)C(p)=2400P4p2250000,且令 L(p)=2400 8p=0 得 p=300，即该问题确实存在最大值，所以，当价格为 p=300 元时，利润最大。（2）最大利润 L(300)=24003004003002250000=110000(元)(1)产量为多少时可使利润达到最大?(2)最大利润是多少?5.某厂每天生产某产品 q 件的成本函数为 C(q)=0.5q2+36q+9800(元).为使平均成本最低,每天产量应为多少?此时,每件产品平均成本为多少?6.已知某厂生产 q 件产品的成本为 C(q)=250+20q+102q(万元).要使平均成本最 少,应生产多少件产品?答案：3、解：（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：C（X）=100+0.25X2+6X c(X)=X100+0.25X+6,C (X)=0.5X+6 所以,C(10)=100+0.25 102+610=185 c(10)=10100+0.2510+6=18.5 C(10)=0.5 10+6=11(2)令C=2100X+0.25=0,得 X=20(X=20 舍去)因为 X=20 是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实存在最小值,所以当 X=20 时,平均成本最小.4、解：（1）成本函数 C（q）=60q+2000 因为 q=100010p,即 p=100101q 所以收入函数 R（q）=pq=(100101q)q=100q101 q2（2）因为利润函数 L(q)=R(q)C(q)=(100q 101 q2(60q+2000)=40q101 q22000 且L(q)=(40q 101 q22000)=40 0.2q 令L(q)=0,即 400.2q=0,得 q=2000,它是 L(q)是在其定义域内的唯一驻点.所以,q=200是利润函数 L（q）的最大值点，即当产量为 200 吨时利润最大。5、解：（1）C（p）=50000+100q=50000+100(20004p)=250000400p R(p)=pq=p(2000 4p)=2000p4p2 利润函数 L（p）=R(p)C(p)=2400P4p2250000,且令 L(p)=2400 8p=0 得 p=300，即该问题确实存在最大值，所以，当价格为 p=300 元时，利润最大。（2）最大利润 L(300)=24003004003002250000=110000(元)4、解：（1）由已知 R=qp=q(140.04q)=14q 0.01q2 利润函数 L=R C=14q 0.01q22040q0.01 q2=10q200.02q2 则L=1000.04q,令L=100.04q=0，解出唯一驻点 q=250 因为利润函数存在着最大值，所以当产量为 250 件时可使利润达到最大。（2）最大利润为 L（250）=100250200.02 2502=2500201250=1230（元）5、解：因为C(q)=qqC)(=0.5q+36+q9800(q0)C(q)=(0.5q+36+q9800)=0.5-29800q 令C(q)=0，即 0.5 29800q=0，q1=140,q2=140 得 （舍去）。q1=140 是C(q)在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值。所以 q1=140 是平均成本函数C(q)的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量成为 140 件，此时的平均成本为 C(140)=0.5 140+36+1409800=176(元/件)6、解：（1）因为C(q)=qqC)(=q250+20+0qq C(q)=（q250+20+10q）=2250q+101 令C(q)=0，即2250q+101=0，得 q1=50，q2=50（舍去）。q1=50 是C(q)其定义域内的唯一驻点。所以，q1=50 是C(q)最小值点，即要使平均成最小，应生产 50 件产品。
