第二十二节双变量问题之换元法与主元法-原卷版.docx

第二十二节 双变量问题之换元法与主元法知识与方法1 .换元法：将要证明的不等式或目标代数式通过变形成关于土的整体结构，通过将土 x2x2换元成，把问题化归成单变量问题来处理，这一方法也称为“齐次换元”.2,主元法：要证明的不等式或目标代数式中含有为和与两个变量，将其中一个变量看成 主元，另一个变量看成次元，将主元换成x,构造函数研究问题.典型例题【例1】已知函数/(x) = xlnx.(1)求曲线y = /(x)在点(1J)处的切线方程；(2)设8>a>0,证明：/(6Z)+(6Z + Z?)ln2>/(tz+ /?)-/(/?).【例2】已知函数/(X)= xlnx-"之£ r).(1)若“X)存在单调递增区间，求。的取值范围；(2)若内，9是/(x)的两个不同的极值点，证明：3 In %) +ln%2 >-1.【例3】已知函数/(另二电一叱X(1)当a = e时，讨论函数力的单调性；(2)当 时，证明：/(x) <(6z-l)e .强化训练1 .设和匕是任意两个不相等的正数，证明：4ab< ab na-nb2.已知函数 f (x) = ex, g(x) = lnx(1)若直线 > ="+ 1与g("的图象相切，求实数Z的值；(2)设a<b,比较/(耳+/伍)与/仅)一/6)的大小,并说明理由.2b-a.已知函数 = (x-lnx) + %2 一2% ,其中 q£ R .(1)当a = -2e时，求/(%)的极值;（2）当 Q>0,不>%2>0 时，证明：/（%1）-/,（2）当 Q>0,不>%2>0 时，证明：/（%1）-/,<fMf/ X +工24.设函数/(x) = ln(x + l)-（2x-Y）,其中wo.（1）当。=g时，证明：有且仅有一个零点;（2）在函数y = x）的图象上是否存在不同的两点A（xqJ,35,为），使得线段转中点的横坐标与与直线AB的斜率左之间满足攵=（不）？若存在，求出餐;若不存在，说明理由.