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第 一 章 质 点 运 动 学 1-1 质 点 作 曲 线 运 动，在 时 刻/质 点 的 位 矢 为 r,速 度 为。，速 率 为。，/至（/+A/）时 间 内 的 位 移 为 A r,路 程 为 A s,位 矢 大 小 的 变 化 量 为 Ar（或 称 A I r I）,平 均 速 度 为 万，平 均 速 率 为 方.（1）根 据 上 述 情 况，则 必 有（）(A)I Ar I=A.v=Ar(B)I Ar I 我 As 声 Ar,当 A/T O 时 有 I dr I=由 dr(C)I Ar I#Ar 户 As,当 A/0 时 有 I dr I=d r r d s(D)I Ar I r A s 3,当 A/T O 时 有 I dr I=dr=ds（2）根 据 上 述 情 况，则 必 有（）(A)I V I=V,I V I=V(B)I V I V,V V(C)v=v,v t v(D)V,V=V题 1-1图 分 析 与 解（1）质 点 在，至（/+A/）时 间 内 沿 曲 线 从 尸 点 运 动 到 户 点，各 量 关 系 如 图 所 示，其 中 路 程 心=P P：位 移 大 小 I Ar I=P P；而 Ar=I r I-I r I 表 示 质 点 位 矢 大 小 的 变 化 量，三 个 量 的 物 理 含 义 不 同，在 曲 线 运 动 中 大 小 也 不 相 等（注：在 直 线 运 动 中 有 相 等 的 可 能）.但 当 时，点 P 无 限 趋 近P点，则 有 I dr I=由,但 却 不 等 于 d r.故 选(B).(2)由 于 I Ar I 松 5,故 生。生，即 I 万 I 题.t A/但 由 于 I dr I=&-，故=,M P v=V.由 此 可 见，应 选(C).d/d/1-2 运 动 质 点 在 某 瞬 时 位 于 位 矢;x,刃 的 端 点 处，对 其 速 度 的 大 小 有 四 种 意 见，即 下 述 判 断 正 确 的 是()(A)只 有(1)(2)正 确(C)只 有(2)(3)正 确(B)只 有(2)正 确(D)只 有(3)(4)正 确 分 析 与 解 上 表 示 质 点 到 坐 标 原 点 的 距 离 随 时 间 的 变 化 率，在 极 坐 标 dt系 中 叫 径 向 速 率.通 常 用 符 号 外 表 示，这 是 速 度 矢 量 在 位 矢 方 向 上 的 一 个 分 量;它 表 示 速 度 矢 量；在 自 然 坐 标 系 中 速 度 大 小 可 用 公 式。=变 计 算，在 At d/直 角 坐 标 系 中 则 可 由 公 式 v=求 解.故 选(D).1-3 质 点 作 曲 线 运 动,r 表 示 位 置 矢 量，。表 示 速 度,。表 示 加 速 度,s 表 示 路 程,d 表 示 切 向 加 速 度.对 下 列 表 达 式，即(l)d v/dr a；(2)dr/dZ v；(3)ds/d/Vt(4)d v/dt I=at.下 述 判 断 正 确 的 是()(A)只 有(1)、(4)是 对 的(B)只 有(2)、(4)是 对 的(C)只 有 Q)是 对 的(D)只 有(3)是 对 的 分 析 与 解 表 示 切 向 加 速 度 内,它 表 示 速 度 大 小 随 时 间 的 变 化 率，是 dtd r加 速 度 矢 量 沿 速 度 方 向 的 一 个 分 量，起 改 变 速 度 大 小 的 作 用；一 在 极 坐 标 系 d/中 表 示 径 向 速 率 以 如 题 1-2 所 述)；一 在 自 然 坐 标 系 中 表 示 质 点 的 速 率 y；dr而 一 表 示 加 速 度 的 大 小 而 不 是 切 向 加 速 度 m.因 此 只 有(3)式 表 达 是 正 确 d/的.故 选(D).1-4 一 个 质 点 在 做 圆 周 运 动 时，则 有()(A)切 向 加 速 度 一 定 改 变，法 向 加 速 度 也 改 变(B)切 向 加 速 度 可 能 不 变，法 向 加 速 度 一 定 改 变(C)切 向 加 速 度 可 能 不 变，法 向 加 速 度 不 变(D)切 向 加 速 度 一 定 改 变，法 向 加 速 度 不 变 分 析 与 解 加 速 度 的 切 向 分 量 m 起 改 变 速 度 大 小 的 作 用,而 法 向 分 量 仇 起 改 变 速 度 方 向 的 作 用.质 点 作 圆 周 运 动 时，由 于 速 度 方 向 不 断 改 变,相 应 法 向 加 速 度 的 方 向 也 在 不 断 改 变，因 而 法 向 加 速 度 是 一 定 改 变 的.至 于 m 是 否 改 变，则 要 视 质 点 的 速 率 情 况 而 定.质 点 作 匀 速 率 圆 周 运 动 时，内 恒 为 零；质 点 作 匀 变 速 率 圆 周 运 动 时，小 为 一 不 为 零 的 恒 量，当 m 改 变 时，质 点 则 作 一 般 的 变 速 率 圆 周 运 动.由 此 可 见，应 选(B).*1-5 如 图 所 示，湖 中 有 一 小 船，有 人 用 绳 绕 过 岸 上 一 定 高 度 处 的 定 滑 轮 拉 湖 中 的 船 向 岸 边 运 动.设 该 人 以 匀 速 率 M 收 绳，绳 不 伸 长 且 湖 水 静 止,小 船 的 速 率 为。，则 小 船 作()(A)匀 加 速 运 动,0=一 cos。(B)匀 减 速 运 动,0=%cose(C)变 加 速 运 动,0=-cos。(D)变 减 速 运 动,0=%cos9(E)匀 速 直 线 运 动V题 I-5 图 分 析 与 解 本 题 关 键 是 先 求 得 小 船 速 度 表 达 式，进 而 判 断 运 动 性 质.为 此 建 立 如 图 所 示 坐 标 系，设 定 滑 轮 距 水 面 高 度 为 时 刻 定 滑 轮 距 小 船 的 绳 长 为/，则 小 船 的 运 动 方 程 为=户 万，其 中 绳 长/随 时 间/而 变 化.小 船 I-速 度。=包=力，式 中 生 表 示 绳 长/随 时 间 的 变 化 率，其 大 小 即 为 加 d/J/一 2 d/代 入 整 理 后 为 0=/=,方 向 沿 轴 负 向.由 速 度 表 达 式，可“2 一 2 COS。判 断 小 船 作 变 加 速 运 动.故 选(C).讨 论 有 人 会 将 绳 子 速 率。按 X、7 两 个 方 向 分 解，则 小 船 速 度 v-v0 cos。，这 样 做 对 吗？1-6 已 知 质 点 沿 X 轴 作 直 线 运 动，其 运 动 方 程 为 X=2+6-2t3，式 中 x 的 单 位 为 m j 的 单 位 为 s.求：(1)质 点 在 运 动 开 始 后 4.0 s内 的 位 移 的 大 小；(2)质 点 在 该 时 间 内 所 通 过 的 路 程；(3)f=4 s忖 质 点 的 速 度 和 加 速 度.分 析 位 移 和 路 程 是 两 个 完 全 不 同 的 概 念.只 有 当 质 点 作 直 线 运 动 且 运 动 方 向 不 改 变 时，位 移 的 大 小 才 会 与 路 程 相 等.质 点 在 t 时 间 内 的 位 移 A r 的 大 小 可 直 接 由 运 动 方 程 得 到：Ax=x,-%,而 在 求 路 程 时，就 必 须 注 意 到 质 点 在 运 动 过 程 中 可 能 改 变 运 动 方 向，此 时，位 移 的 大 小 和 路 程 就 不 同 了.为 此,需 根 据 d巴 x=0 来 确 定 其 运 动 方 向 改 变 的 时 刻,求 出 0。和,内 的 位 移大 小 出、Ax,时 间 内 的 路 程$=|用|+收 2|，如 图 所 示，至 于 f=4.0 s时 质 点 速 度 和 加 速 度 可 用 d一 x 和 dW?Y两 式 计 算.d/d/-解（1）质 点 在 4.0 s内 位 移 的 大 小 由 Ax=x4-x0=-32 m史=0d/得 知 质 点 的 换 向 时 刻 为 tp 2s（f=0不 合 题 意）则 A%1=x2-xQ=8.0 mAX2=XA-X2=-40 m所 以,质 点 在 4.0 s时 间 间 隔 内 的 路 程 为 5=|A X1|+|A X2|=48 m(3)t=4.0 s时 dx Tv=-48 m sd/7=4.0 sd2xa=d/,=4,0s=-36 m.s-21-7-质 点 沿 x 轴 方 向 作 直 线 运 动，其 速 度 与 时 间 的 关 系 如 图（a）所 示.设 f=0 时 3=0.试 根 据 已 知 的 图，画 出 片/图 以 及 x-f图.-20-分 析 根 据 加 速 度 的 定 义 可 知，在 直 线 运 动 中。Y 曲 线 的 斜 率 为 加 速 度 的 大 小（图 中 AB、C D 段 斜 率 为 定 值，即 匀 变 速 直 线 运 动；而 线 段 B C 的 斜 率 为 0,加 速 度 为 零,即 匀 速 直 线 运 动）.加 速 度 为 恒 量，在 图 上 是 平 行 于 f 轴 的 直线，由。-/图 中 求 出 各 段 的 斜 率，即 可 作 出 图 线.又 由 速 度 的 定 义 可 知 曲 线 的 斜 率 为 速 度 的 大 小.因 此，匀 速 直 线 运 动 所 对 应 的 X T 图 应 是 一 直 线,而 匀 变 速 直 线 运 动 所 对 应 的 X T 图 为/的 二 次 曲 线.根 据 各 段 时 间 内 的 运 动 方 程 X=X),求 出 不 同 时 刻,的 位 置 X,采 用 描 数 据 点 的 方 法，可 作 出 X T图.解 将 曲 线 分 为 AB、BC、C D 三 个 过 程,它 们 对 应 的 加 速 度 值 分 别 为 aAB=20 m-s-2(匀 加 速 直 线 运 动)aBC=0(匀 速 直 线 运 动)aCD=空=-10 m-s-2(匀 减 速 直 线 运 动)，D C根 据 上 述 结 果 即 可 作 出 质 点 的 如 才 图 图(B).在 匀 变 速 直 线 运 动 中,有 1 2x=x+vot+t由 此，可 计 算 在 0 2 S和 4 6 S时 间 间 隔 内 各 时 刻 的 位 置 分 别 为 r/s 0。5 1 1.5o4 4.5 5 5.5 6x/m 0-7.5-10-7.5 0 40 48.8 55 58.8 60用 描 数 据 点 的 作 图 方 法，山 表 中 数 据 可 作 02 s 和 4 6 s 时 间 内 的 x-I图.在 2 4 s 时 间 内，质 点 是 作 0=20 m-s T的 匀 速 直 线 运 动，其 x-f 图 是 斜 率 左=20的 一 段 直 线 图(c).1-8 已 知 质 点 的 运 动 方 程 为 r=2+(2-)/,式 中 厂 的 单 位 为 m,/的 单 位 为 s.求：(1)质 点 的 运 动 轨 迹；(2)t=0 及 t 2 s 时,质 点 的 位 矢；(3)由/=0 至 I=2 s 内 质 点 的 位 移 A r和 径 向 增 量 Ar；*(4)2 s 内 质 点 所 走 过 的 路 程 s.分 析 质 点 的 轨 迹 方 程 为 y=加),可 由 运 动 方 程 的 两 个 分 量 式 无 和 火/)中 消 去,即 可 得 到.对 于 八 Ar、A s来 说，物 理 含 义 不 同,可 根 据 其 定 义 计 算.其 中 对 s的 求 解 用 到 积 分 方 法，先 在 轨 迹 上 任 取 一 段 微 元 小，则 ds=-J(dx)2+(d y)2，最 后 用 s=Jds 积 分 求 s.解(1)由 x(/)和 y 中 消 去 t 后 得 质 点 轨 迹 方 程 为y=2-x4这 是 一 个 抛 物 线 方 程，轨 迹 如 图 所 示.(2)将 f=0$和/=2 s分 别 代 入 运 动 方 程,可 得 相 应 位 矢 分 别 为 忆=2，,r2=4z-2y图(a)中 的 P、Q 两 点,即 为/=0 s 和/=2 s时 质 点 所 在 位 置.(3)山 位 移 表 达 式，得 r=&-4=(2-%)i+(y2-y0)J=i-2 j其 中 位 移 大 小|Ar|=7(M2+(Aj)2=5.66 m而 径 向 增 量，”=Ar|=h H d=Jx；+/一 J+=2.47 m*(4)如 图(B)所 示，所 求 A s 即 为 图 中 PQ段 长 度，先 在 其 间 任 意 处 取 AB微 元 ds,则 ds=7(dx)2+(dy)2，由 轨 道 方 程 可 得 dy=-xdx，代 入 ds,则 2 s内 路 程 为 s=(由=1 4+x2dx-5.91 m1-9 质 点 的 运 动 方 程 为 x=-107+30广 y=157 20/式 中 X”的 单 位 为 m,/的 单 位 为 s.试 求：(1)初 速 度 的 大 小 和 方 向；(2)加 速 度 的 大 小 和 方 向.分 析 由 运 动 方 程 的 分 量 式 可 分 别 求 出 速 度、加 速 度 的 分 量，再 由 运 动合 成 算 出 速 度 和 加 速 度 的 大 小 和 方 向.解（1）速 度 的 分 量 式 为 dx%=一=-10+60/“由%=型=15-40/y d/当 f=0 时,%t=-10 m-s_1,voy=15 nr s，则 初 速 度 大 小 为=18.0m,sT设。与 x 轴 的 夹 角 为 a,则 a=12341（2）加 速 度 的 分 量 式 为 ax=60 m-s-2,a.,=-40 m-s-2*dr d/则 加 速 度 的 大 小 为 a=+a J=72.1 m-s-2设 4 与 X 轴 的 夹 角 为 人 则/av 2tan/=4 3=-3341（或 32619）1-10-升 降 机 以 加 速 度 1.22 m-s 1上 升,当 上 升 速 度 为 2.44 m-s”时,有 一 螺 丝 自 升 降 机 的 天 花 板 上 松 脱，天 花 板 与 升 降 机 的 底 面 相 距 2.74 m.计 算：（1）螺 丝 从 天 花 板 落 到 底 面 所 需 要 的 时 间；（2）螺 丝 相 对 升 降 机 外 固 定 柱 子 的 下 降 距 离.分 析 在 升 降 机 与 螺 丝 之 间 有 相 对 运 动 的 情 况 下，一 种 处 理 方 法 是 取 地 面 为 参 考 系,分 别 讨 论 升 降 机 竖 直 向 上 的 匀 加 速 度 运 动 和 初 速 不 为 零 的 螺 丝 的 自 由 落 体 运 动，列 出 这 两 种 运 动 在 同 坐 标 系 中 的 运 动 方 程 为=和 以=刃（。,并 考 虑 它 们 相 遇，即 位 矢 相 同 这 一 条 件,问 题 即 可 解；另 一 种 方 法 是 取 升 降 机（或 螺 丝）为 参 考 系，这 时，螺 丝（或 升 降 机）相 对 它 作 匀 加 速 运 动，但 是，此加 速 度 应 该 是 相 对 加 速 度.升 降 机 厢 的 高 度 就 是 螺 丝(或 升 降 机)运 动 的 路 程.解 1(1)以 地 面 为 参 考 系，取 如 图 所 示 的 坐 标 系,升 降 机 与 螺 丝 的 运 动 方 程 分 别 为 1 2必=0。/+。厂,1 2y2 h+v0t-g t当 螺 丝 落 至 底 面 时，有 y=乃,即 v1 2,1 2ot+-a r=h+vnt-g f(2)螺 丝 相 对 升 降 机 外 固 定 柱 子 下 降 的 距 离 为,1,d=h y2=vnt+gt=0.716 m解 2(1)以 升 降 机 为 参 考 系，此 时，螺 丝 相 对 它 的 加 速 度 大 小，=g+a,螺 丝 落 至 底 面 时，有 1,0=h-(g+a)t2(2)由 于 升 降 机 在，时 间 内 上 升 的 高 度 为 h=vat+-a t贝 i j d=一=0.716 myl题 I-io图 1-11-质 点 P 沿 半 径 R=3.0 m 的 圆 周 作 匀 速 率 运 动，运 动 一 周 所 需 时 间 为 20.0s,设/=0 时，质 点 位 于。点.按 5）图 中 所 示。x y 坐 标 系，求（1）质 点 P 在 任 意 时 刻 的 位 矢；（2）5 s 时 的 速 度 和 加 速 度.分 析 该 题 属 于 运 动 学 的 第 一 类 问 题，即 已 知 运 动 方 程 r=2）求 质 点 运 动 的 一 切 信 息（如 位 置 矢 量、位 移、速 度、加 速 度）.在 确 定 运 动 方 程 时，若 取 以 点（0,3）为 原 点 的 坐 标 系，并 采 用 参 数 方 程 V=x）和 来 表 示 圆 周 运 动 是 比 较 方 便 的.然 后,运 用 坐 标 变 换 x=x0 和 y=y0+其 将 所 得 参 数 方 程 转 换 至。中 坐 标 系 中，即 得 O x y 坐 标 系 中 质 点 P 在 任 意 时 刻 的 位 矢.采 用 对 运 动 方 程 求 导 的 方 法 可 得 速 度 和 加 速 度.题 1-II图2兀 解(1)如 图(B)所 示，在。、产 坐 标 系 中，因。=亍/,则 质 点 P 的 参 数 方 程 为 xr=Rsin t,yf=-R e o s-tT T坐 标 变 换 后，在 O x y坐 标 系 中 有/c 2 兀，-27r 八 x=x=Rsm t,y-y+y()=-A c o s-/4-7?则 质 点 P 的 位 矢 方 程 为 r=Rsin ti+TR c o s-t+R j=3sin(0.17t/)/+31-cos(0.In/)j(2)5 s 时 的 速 度 和 加 速 度 分 别 为 v=dr=RD 2n cos-2兀 t，i.+，R万 2 7 ts.i n-2it.=(,0A.3_ 兀 m s、)/.5 T T T Ta=号=-7?(y)2s i n y/i+/?(y)2c o s y/=(-0.03 TI2 m s-2)/1-1 2 地 面 上 垂 直 竖 立 一 高 20.0 m 的 旗 杆，已 知 正 午 时 分 太 阳 在 旗 杆 的 正 上 方，求 在 下 午 2：0 0 时，杆 顶 在 地 面 上 的 影 子 的 速 度 的 大 小.在 何 时 刻 杆 影 伸 展 至 20.0 m?分 析 为 求 杆 顶 在 地 面 上 影 子 速 度 的 大 小，必 须 建 立 影 长 与 时 间 的 函 数 关 系，即 影 子 端 点 的 位 矢 方 程.根 据 几 何 关 系，影 长 可 通 过 太 阳 光 线 对 地 转 动 的 角 速 度 求 得.由 于 运 动 的 相 对 性，太 阳 光 线 对 地 转 动 的 角 速 度 也 就 是 地 球 自 转 的 角 速 度.这 样，影 子 端 点 的 位 矢 方 程 和 速 度 均 可 求 得.解 设 太 阳 光 线 对 地 转 动 的 角 速 度 为。，从 正 午 时 分 开 始 计 时，则 杆 的 影 长 为 s=tgM,下 午 2:0 0时，杆 顶 在 地 面 上 影 子 的 速 度 大 小 为 u=-h M-=1.94X10-3 m s-1d/cos cot当 杆 长 等 于 影 长 时，即 s=,则 1 S 兀-_ _ _t=arctan=3 x6 0 x6 0 sco h 4co即 为 下 午 3:0 0 时.1-1 3 质 点 沿 直 线 运 动，加 速 度。=4-t2，式 中。的 单 位 为 nr s 1，/的 单 位为 s.如 果 当，=3 s 时 J=9 m,v=2 m-s，求 质 点 的 运 动 方 程.分 析 本 题 属 于 运 动 学 第 二 类 问 题，即 已 知 加 速 度 求 速 度 和 运 动 方 程，必 须 在 给 定 条 件 下 用 积 分 方 法 解 决.由 a=电 和 0=由 可 得 do=山 和 dt dtdx=v d t.如 或 o=o(r),则 可 两 边 直 接 积 分.如 果。或 o不 是 时 间/的 显 函 数，则 应 经 过 诸 如 分 离 变 量 或 变 量 代 换 等 数 学 操 作 后 再 做 积 分.解 山 分 析 知，应 有 得 do=adtv=4/一；#+00 由 d r=1 vdt得 x=2/-+%/+/(2)将，=3 s 时.=9 m,v=2 m-s 代 入(1)(2)得。=1 m s。()=0.75m.于 是 可 得 质 点 运 动 方 程 为 x=2/一 J-J+0.7 5121-14 一 石 子 从 空 中 山 静 止 下 落，由 于 空 气 阻 力,石 子 并 非 作 自 由 落 体 运 动，现 测 得 其 加 速 度 a=A-B o,式 中 A、B 为 正 恒 量，求 石 子 下 落 的 速 度 和 运 动 方 程.分 析 本 题 亦 属 于 运 动 学 第 二 类 问 题，与 上 题 不 同 之 处 在 于 加 速 度 是 速 度 v的 函 数，因 此，需 将 式 do=a(o)d/分 离 变 量 为 生=山 后 再 两 边 积 分.解 选 取 石 子 下 落 方 向 为 y 轴 正 向，下 落 起 点 为 坐 标 原 点.(1)由 题 意 知 c i=A-Bvdt用 分 离 变 量 法 把 式(1)改 写 为 dv,-=AtA-B v将 式(2)两 边 积 分 并 考 虑 初 始 条 件,有 A得 石 子 速 度 o=(1-e-w)BA由 此 可 知 当 J T 8 时,。7 4 为 一 常 量，通 常 称 为 极 限 速 度 或 收 尾 速 度.(2)再 由 0=业=4(1 一&)并 考 虑 初 始 条 件 有 At B得 石 子 运 动 方 程 1-15 一 质 点 具 有 恒 定 加 速 度。=6i+做 式 中 a的 单 位 为 皿 s 一2.在,=0 时，其 速 度 为 零，位 置 矢 量 为=10 mi.求：(1)在 任 意 时 刻 的 速 度 和 位 置 矢 量：(2)质 点 在。号 平 面 上 的 轨 迹 方 程，并 画 出 轨 迹 的 示 意 图.题 I-15图 分 析 与 上 两 题 不 同 处 在 于 质 点 作 平 面 曲 线 运 动，根 据 叠 加 原 理,求 解 时 需 根 据 加 速 度 的 两 个 分 量/和 为 分 别 积 分，从 而 得 到 运 动 方 程 r的 两 个 分 量 式 X。)和 由 于 本 题 中 质 点 加 速 度 为 恒 矢 量，故 两 次 积 分 后 所 得 运 动 方 程 为 固 定 形 式，即 x=%+和 丁=为,两 个 分 运 动 均 为 匀 变 速 直 线 运 动.读 者 不 妨 自 己 验 证 一 下.解 由 加 速 度 定 义 式，根 据 初 始 条 件 为=0 时。o=0,积 分 可 得 j do=j adt=J(6/+4 j)dtr=6/Z+44又 山 彩=及 初 始 条 件/=0 时,o=(lO m)i,积 分 可 得 d/dr=1 vdt-J(6+4/)d/r=(0+3t2)i+2t2j由 上 述 结 果 可 得 质 点 运 动 方 程 的 分 量 式，即 x=10+3，y 2r消 去 参 数，可 得 运 动 的 轨 迹 方 程 3y=2x-20 m这 是 一 个 直 线 方 程.直 线 斜 率 左=苴=tana=2,a=33O41，.轨 迹 如 dr 3图 所 示.1-16 一 质 点 在 半 径 为 R 的 圆 周 上 以 恒 定 的 速 率 运 动，质 点 由 位 置 A运 动 到 位 置 B,OA和 O B 所 对 的 圆 心 角 为 A0.(1)试 证 位 置 A 和 B 之 间 的 平 均 加 速 度 为 4=J2(1-COSA8)02/(RM)；(2)当 A9分 别 等 于 90。、30。、10和 1。时，平 均 加 速 度 各 为 多 少？并 对 结 果 加 以 讨 论.A(b)题 I-16图 分 析 瞬 时 加 速 度 和 平 均 加 速 度 的 物 理 含 义 不 同，它 们 分 别 表 示 为 和=.在 匀 速 率 圆 周 运 动 中，它 们 的 大 小 分 别 为 d/t%=匕，万=幽，式 中 I I可 由 图(B)中 的 几 何 关 系 得 到，而 加 可 由 转 R A/过 的 角 度 A 8 求 出.由 计 算 结 果 能 清 楚 地 看 到 两 者 之 间 的 关 系，即 瞬 时 加 速 度 是 平 均 加 速 度 在 A/T O 时 的 极 限 值.解(1)由 图(b)可 看 到 Ao=勿-。1,故 Av=Jo；+场-2%02cos 夕=oj2(l-cosAd)而,As R W t=-v v所 以|Ar|i-v2 t 7，R W(2)将 A，=90,30,l 0,l。分 别 代 入 上 式，得 V2 V2a,1=0.9003,o2=0.9886R 2 Rv v 0.9987,a4=1.0003 R 4 R以 上 结 果 表 明，当 AO T O 时,匀 速 率 圆 周 运 动 的 平 均 加 速 度 趋 近 于 一 极 限 值，该 值 即 为 法 向 加 速 度.R1-1 7 质 点 在。町 平 面 内 运 动,其 运 动 方 程 为 r=2.0+（19.0-2.0/仇 式 中 r 的 单 位 为 m J的 单 位 为 s.求：质 点 的 轨 迹 方 程；在 4=1.0 s到 交=2.0 s时 间 内 的 平 均 速 度；（3）4=1.0 s 时 的 速 度 及 切 向 和 法 向 加 速 度；（4）t=1.0 s时 质 点 所 在 处 轨 道 的 曲 率 半 径 p.分 析 根 据 运 动 方 程 可 直 接 写 出 其 分 量 式 x=x（/）和 y=兴。，从 中 消 去 参 数，即 得 质 点 的 轨 迹 方 程.平 均 速 度 是 反 映 质 点 在 一 段 时 间 内 位 置 的 变 化 Ar率，即 万=P _,它 与 时 间 间 隔 4 的 大 小 有 关，当 4-0 时，平 均 速 度 的 极 限 即 Ar瞬 时 速 度 看=史.切 向 和 法 向 加 速 度 是 指 在 自 然 坐 标 下 的 分 矢 量 小 和,d/前 者 只 反 映 质 点 在 切 线 方 向 速 度 大 小 的 变 化 率，即 a,=近，后 者 只 反 映 质 点 速 度 方 向 的 变 化，它 可 由 总 加 速 度。和 小 得 到.在 求 得”时 刻 质 点 的 速 度 和 法 向 加 速 度 的 大 小 后，可 由 公 式 求 小 P解（1）由 参 数 方 程x 2.0/,y 19.0-2.0/-消 去 f 得 质 点 的 轨 迹 方 程：y=19.0-0.50 x2(2)在 4=1.00 s 到 a=2.0 s 时 间 内 的 平 均 速 度 _ 厂 r.-r.v=L=2.0/-6.0 j t-h(3)质 点 在 任 意 时 刻 的 速 度 和 加 速 度 分 别 为 矶/)=vxi+Vyj=部+*=2.0/-4.0/a(t)+j=-4.0 m sjd 产 d/2则”=LOO s 时 的 速 度 v(t)I i=1 s=2.0/-4.0/切 向 和 法 向 加 速 度 分 别 为 令 屋=的=(幅+琮 应=3.58 m1 dr dr v%=荷-币”=1.79m-s-(4)r=1.0s质 点 的 速 度 大 小 为 v=J.+o；=4.47 m-s-1则=一=U.17m1-1 8 飞 机 以 100 nr s 的 速 度 沿 水 平 直 线 飞 行,在 离 地 面 高 为 100 m时，驾 驶 员 要 把 物 品 空 投 到 前 方 某 一 地 面 目 标 处，问：(1)此 时 目 标 在 飞 机 正 下 方 位 置 的 前 面 多 远？(2)投 放 物 品 时,驾 驶 员 看 目 标 的 视 线 和 水 平 线 成 何 角 度？(3)物 品 投 出 2.0 s 后,它 的 法 向 加 速 度 和 切 向 加 速 度 各 为 多 少？题 1-18图 分 析 物 品 空 投 后 作 平 抛 运 动.忽 略 空 气 阻 力 的 条 件 下,山 运 动 独 立 性 原 理 知，物 品 在 空 中 沿 水 平 方 向 作 匀 速 直 线 运 动，在 竖 直 方 向 作 自 由 落 体 运 动.到 达 地 面 目 标 时，两 方 向 上 运 动 时 间 是 相 同 的.因 此，分 别 列 出 其 运 动 方 程，运 用 时 间 相 等 的 条 件，即 可 求 解.此 外,平 抛 物 体 在 运 动 过 程 中 只 存 在 竖 直 向 下 的 重 力 加 速 度.为 求 特 定 时 刻 t时 物 体 的 切 向 加 速 度 和 法 向 加 速 度，只 需 求 出 该 时 刻 它 们 与 重 力 加 速 度 之 间 的 夹 角 a或 小 由 图 可 知，在 特 定 时 刻/,物 体 的 切 向 加 速 度 和 水 平 线 之 间 的 夹 角 a,可 由 此 时 刻 的 两 速 度 分 量 打、4 求 出，这 样，也 就 可 将 重 力 加 速 度 g 的 切 向 和 法 向 分 量 求 得.解(1)取 如 图 所 示 的 坐 标,物 品 下 落 时 在 水 平 和 竖 直 方 向 的 运 动 方 程 分 别 为 x=vt,y=1/2 gt2飞 机 水 平 飞 行 速 度。=100 m s-1,总 机 离 地 面 的 高 度 y=100 m,由 上 述 两 式 可 得 目 标 在 飞 机 正 下 方 前 的 距 离(2)视 线 和 水 平 线 的 夹 角 为 0-arctan=12.5x(3)在 任 意 时 刻 物 品 的 速 度 与 水 平 轴 的 夹 角 为 Vv gta=arctan=a rc ta n-vr v取 自 然 坐 标，物 品 在 抛 出 2 s 时，重 力 加 速 度 的 切 向 分 量 与 法 向 分 量 分 别为 at-gsin a=gsinf arctan j=1.88 m-s2an=geos a=geos arctan=9.62 m-s-21-1 9 如 图(a)所 示，-小 型 迫 击 炮 架 设 在 一 斜 坡 的 底 端 O 处，已 知 斜 坡 倾 角 为 a,炮 身 与 斜 坡 的 夹 角 为 炮 弹 的 出 口 速 度 为 为,忽 略 空 气 阻 力.求：(1)炮 弹 落 地 点 P 与 点 0 的 距 离 0P;(2)欲 使 炮 弹 能 垂 直 击 中 坡 面.证 明 a和 日 必 须 满 足 tan 0=并 与 无 关.2 tan a分 析 这 是 一 个 斜 上 抛 运 动，看 似 简 单，但 针 对 题 目 所 问,如 不 能 灵 活 运 用 叠 加 原 理，建 立 一 个 恰 当 的 坐 标 系，将 运 动 分 解 的 话,求 解 起 来 并 不 容 易.现 建 立 如 图(a)所 示 坐 标 系，则 炮 弹 在 x 和 y 两 个 方 向 的 分 运 动 均 为 匀 减 速 直 线 运 动，其 初 速 度 分 别 为。ocos戒 和。osiM，其 加 速 度 分 别 为 gsina和 g c o sa.在 此 坐 标 系 中 炮 弹 落 地 时，应 有 y=0,则 x=O P.如 欲 使 炮 弹 垂 直 击 中 坡 面,则 应 满 足 力=0,直 接 列 出 有 关 运 动 方 程 和 速 度 方 程，即 可 求 解.由 于 本 题 中 加 速 度 g为 恒 矢 量.故 第 一 问 也 可 由 运 动 方 程 的 矢 量 式 计 算，即 r=+g,做 出 炮 弹 落 地 时 的 矢 量 图 如 图(B)所 示，由 图 中 所 示 几 何 关 系 也 可 求 得 而(即(1)解 1 由 分 析 知，炮 弹 在 图(a)所 示 坐 标 系 中 两 个 分 运 动 方 程 为x=o(/cosS-gg/sinay-%/sin B 一；g cosa令 y=0 求 得 时 间/后 再 代 入 式(1)得(1)八 八 2vsin i.n.n.2喙 sin 4.OP-x-7(cos a cos p-sina sin p)-cos(a+p)geos a geos a解 2 做 出 炮 弹 的 运 动 矢 量 图，如 图(b)所 示，并 利 用 正 弦 定 理，有 从 中 消 去 才 后 也 可 得 到 同 样 结 果.(2)由 分 析 知,如 炮 弹 垂 直 击 中 坡 面 应 满 足 y=0 和 q.=0,则 vx=00cos B-gZsin a=0(3)由 Q)(3)两 式 消 去 f 后 得 1tan B=-2sin a由 此 可 知.只 要 角 a和 尸 满 足 上 式，炮 弹 就 能 垂 直 击 中 坡 面，而 与 火 的 大 小 无 关.讨 论 如 将 炮 弹 的 运 动 按 水 平 和 竖 直 两 个 方 向 分 解，求 解 本 题 将 会 比 较 困 难，有 兴 趣 读 者 不 妨 自 己 体 验 一 下.1-20 一 直 立 的 雨 伞，张 开 后 其 边 缘 圆 周 的 半 径 为 凡 离 地 面 的 高 度 为 万,(1)当 今 留 蚂 I速 3 旋 转 时，求 证 水 滴 沿 边 缘 飞 出 后 落 在 地 面 上 半 径 为 r=/?Jl+2痴 2/g的 圆 周 上;(2)读 者 能 否 由 此 定 性 构 想 一 种 草 坪 上 或 农 田 灌 溉 用 的 旋 转 式 洒 水 器 的 方 案？y v0O)题 1-2()图 分 析 选 定 伞 边 缘。处 的 雨 滴 为 研 究 对 象，当 伞 以 角 速 度。旋 转 时，雨 滴 将 以 速 度 V 沿 切 线 方 向 飞 出，并 作 平 抛 运 动.建 立 如 图 所 示 坐 标 系 洌 出 雨 滴 的 运 动 方 程 并 考 虑 图 中 所 示 几 何 关 系，即 可 求 证.由 此 可 以 想 像 如 果 让 水 从 一 个 旋 转 的 有 很 多 小 孔 的 喷 头 中 飞 出,从 不 同 小 孔 中 飞 出 的 水 滴 将 会 落 在 半 径 不 同 的 圆 周 上,为 保 证 均 匀 喷 洒 对 喷 头 上 小 孔 的 分 布 还 要 给 予 精 心 的 考 虑.解(1)如 图(a)所 示 坐 标 系 中，雨 滴 落 地 的 运 动 方 程 为 x=vt=Rcot(1)y=-g f2=h(2)由 式 可 得 空 也 S由 图(a)所 示 几 何 关 系 得 雨 滴 落 地 处 圆 周 的 半 径 为 r=Vx2+A2=R(2)常 用 草 坪 喷 水 器 采 用 如 图(b)所 示 的 球 血 喷 头(%=45。)其 上 有 大 量 小 孔.喷 头 旋 转 时，水 滴 以 初 速 度 vo从 各 个 小 孔 中 喷 出，并 作 斜 上 抛 运 动，通 常 喷 头 表 面 基 本 上 与 草 坪 处 在 同 一 水 平 面 上.则 以 夕 角 喷 射 的 水 柱 射 程 为 o()sin2g为 使 喷 头 周 围 的 草 坪 能 被 均 匀 喷 洒，喷 头 上 的 小 孔 数 不 但 很 多，而 且 还 不能 均 匀 分 布,这 是 喷 头 设 计 中 的 一 个 关 键 问 题.1-21 一 足 球 运 动 员 在 正 对 球 门 前 25.0 m 处 以 20.0 m.s 的 初 速 率 罚 任 意 球，已 知 球 门 高 为 3.44 m.若 要 在 垂 直 于 球 门 的 竖 直 平 面 内 将 足 球 直 接 踢 进 球 门，问 他 应 在 与 地 面 成 什 么 角 度 的 范 围 内 踢 出 足 球？（足 球 可 视 为 质 点）题 1-2 1图 分 析 被 踢 出 后 的 足 球，在 空 中 作