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第 一 讲 数 论 综 合（一）【专 题 知 识 点 概 述】在 近 几 年 的 北 京 重 点 中 学 小 升 初 分 班 考 试 中，数 论 题 目 的 分 值 大 都 超 过 了 行 程 问 题，占 据 了 考 试 内 容 最 显 著 的 地 位！数 论 题 目 灵 活 多 变，能 较 充 分 考 察 你 思 维 的 开 拓 性、方 法 技 巧 的 综 合 运 用 能 力、创 新 及 细 心 程 度，易 于 分 开 学 生 层 次。数 论 问 题 按 知 识 体 系 大 体 可 分 为：整 除 问 题、余 数 问 题、奇 偶 问 题、质 数 合 数、约 数 倍 数，这 几 大 板 块 我 们 在 之 前 的 学 习 中 已 经 都 接 触 过 了，但 它 们 并 不 是 数 论 的 全 部，细 心 的 你 会 发 现 在 数 论 这 个 大 家 族 中 还 有 一 些“特 别 身 影”,它 们 也 是 帮 你 解 决 数 论 问 题 的 法 宝。比 如 最 大 最 小 问 题、关 于 取 整 运 算、尾 数 问 题、二 进 制 应 用、一 些 特 殊 变 形 问 题 等。/【授 课 批 注】涉 及 知 识 点 多、解 题 过 程 比 较 复 杂 的 整 数 综 合 题，以 及 基 本 依 靠 数 论 手 段 求 解 的 其 他 类 型、问 题._【习 题 精 讲】【例 1（难 度 等 级 派）从 1 开 始 由 小 到 大 按 顺 序 取 自 然 数，第 一 次 取 一 个 数，第 二 次 取 两 个 数，第 三 次 取 三 个 数,以 后 继 续 按 照 每 次 取 一 个、两 个、三 个 的 方 式 重 复 进 行，第（）次 取 的 数 之 和 为 573。【分 析 与 解】573=191所 以 三 个 数 分 别 是 19Q 191 192因 为 3次 是 取 6个 数，我 们 用 192-碗 2那 么 也 就 是 说，192是 32个 3次，就 是 取 到 192是 96次。【例 1(难 度 等 级 派)小 明 写 自 然 数 从 1 到 N,所 写 下 的 数 字 之 和 是 28035,则 N=?【分 析 与 解】解 法 一 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009010 011 012 013 014 015 016 017 018 019990 991 992 993 994 995 996 997 998 999共 有 1000个 数 字.个 位 的 1有 100个 个 位 的 2有 100个 个 位 的 3有 100个 个 位 珠 9有 100个 同 理.十 位 的 1、2 3 9分 别 有 100百 位 的 L 2 i 9有 100所 以 1至 999各 位 数 的 和 是(1+2+升“阳*100*3=135001000到 1999的 个 位、十 位、百 位 数 的 和 也 是(1+2+3+”阳*100*3=13500千 位 有 1000个 L 他 们 的 和 是 1000还 有 200Q 2001,2002,2003 2004 2005,2006各 位 数 字 的 和 是 35全 部 相 加 是 1350叶 1350叶 100(43注 8035解 法 二：(Q 1999,(1、1998,(Z 1997)(999,1000。这 样 配 共 1000对。每 对 的 和 都 有 l-+W+8另 外 200Q 2001,2002 2003 2004 2005,2006各 位 数 字 的 和 是 35所 以(1卜 外 9+9*1000+35=28035【例 3(难 度 等 级 派)从 1 到 1001的 所 有 自 然 数 按 格 式 排 列，用 一 个 正 方 形 框 子 框 出 九 个 数，要 使 这 九 个 数 的 和 741852-122346132027弘 41-)29630511234 185294112333101724313829162330371815222936等 于(1)1995,(2)2529,(3)1998 问 能 995 996 997 998 999 1000 10001否 办 到？若 能 办 到，请 你 写 出 正 方 形 框 里 的 最 大 数 和 最 小 数。【分 析 与 解】用 一 个 正 方 形 框 子 框 出 的 9个 数 的 和 必 定 是 框 子 中 间 的 数 的 9倍。(1)因 为 1995不 是 9的 倍 数，所 以 9个 数 的 和 为 1995不 可 能。252为 9=581又 281-7=40余 1即 281在 所 有 数 的 排 列 中，它 排 在 左 边 第 一 列 上，所 以 不 可 能 以 它 为 中 心 构 成 一 个 9个 数 的 正 方 形 框。199头 M 2 2 222+7=1-余 5框 中 最 大 数 是 222+1+$30框 中 最 小 数 是 222-1一 片 214【例 4(难 度 等 级 派)如 果 四 个 两 位 质 数 a,b,c,d 两 两 不 同，并 且 满 足，等 式 a+b=c+d.那 么，(l)a+b的 最 小 可 能 值 是 多 少？(2)a+b的 最 大 可 能 值 是 多 少？【分 析 与 解】两 位 的 质 数 有 11,U 17,19,23 29 31,37,41,43,47,59,61,67,7L 7，79,83,89,97.可 得 出，最 小 为 11+19=13+1 最 大 为 97+71=8阳 9=168所 以 满 足 条 件 的 用 最 小 可 能 值 为 3 Q 最 大 可 能 值 为 16&【例 3(难 度 等 级 派)如 果 某 整 数 同 时 具 备 如 下 3 条 性 质:这 个 数 与 1 的 差 是 质 数；这 个 数 除 以 2 所 得 的 商 也 是 质 数；这 个 数 除 以 9 所 得 的 余 数 是 5.那 么 我 们 称 这 个 整 数 为 幸 运 数.求 出 所 有 的 两 位 幸 运 数.【分 析 与 解】条 件 也 就 是 这 个 数 与 1的 差 是 2或 奇 数，这 个 数 只 能 是 3或 者 偶 数，再 根 据 条 件，除 以 9余 5,在 两 位 的 偶 数 中 只 有 14 32 5Q 68,86这 5个 数 满 足 条 件.其 中 86与 50不 符 合，32与 68不 符 合，三 个 条 件 都 符 合 的 只 有 14所 以 两 位 幸 运 数 只 有 14【例 a(难 度 等 级)图 中 两 个 圆 只 有 一 个 公 共 点 A,大 圆 直 径 4 8厘 米，小 圆 直 径 3 0厘/()米.两 只 甲 虫 同 时 从 A 出 发，按 箭 头 所 指 的 方 向 以 相 同 的 速 度 分 别、一,爬 了 几 圈 时，两 只 甲 虫 首 次 相 距 最 远？一【分 析 与 解】圆 内 的 任 意 两 点，以 直 径 两 端 点 得 距 离 最 远.如 果 沿 小 圆 爬 行 的 甲 虫 爬 到 A点，沿 大 圆 爬 行 的 甲 虫 恰 好 爬 到 B点，两 甲 虫 的 距 离 便 最 远.小 圆 周 长 为 万 X 3(M 0 7 r,大 圆 周 长 为 4 8 万，一 半 便 是 2 4%,30与 24的 最 小 公 倍 数 时 12Q 12(H-3 X 120?24=5.所 以 小 圆 上 甲 虫 爬 了 4圈 时，大 圆 上 甲 虫 爬 了 5个 g 圆 周 长，即 爬 到 了 过 A的 直 径 另 一 点 B 这 时 两 只 甲 虫 相 距 最 远.【例 1(难 度 等 级 派)有 8 个 盒 子，各 盒 内 分 别 装 有 奶 糖 9,1 7,2 4,2 8,3 0,3 1,3 3,4 4 块.甲 先 取 走 一 盒，其 余 各 盒 被 乙、丙、丁 3 人 所 取 走.已 知 乙、丙 取 到 的 糖 的 块 数 相 同 且 为 丁 的 2 倍.问：甲 取 走 的 一 盒 中 有 多 少 块 奶 糖？【分 析 与 解】我 们 知 道 乙、丙、丁 三 人 取 走 的 七 盒 中，糖 的 块 数 是 丁 所 取 糖 块 数 的 5倍.八 盒 糖 总 块 数 为 9+17-4+28H0+31-H3+44=216.从 216减 去 5的 倍 数，所 得 差 的 个 位 数 字 只 能 是 1或 6观 察 各 盒 糖 的 块 数 发 现，没 有 个 位 数 字 是 6的，只 有 一 个 个 位 数 字 是 1的 数 3L因 此 甲 取 走 的 一 盒 中 有 31块 奶 糖.【例 用(难 度 等 级 派)用 a,b,c,d,e 分 别 代 表 五 进 制 中 五 个 互 不 相 同 的 数 字，如 果(ade)5,(adc),(aad)是 由 小 到 大 排 列 的 连 续 正 整 数，那 么(cde)5所 表 示 的 整 数 写 成 十 进 制 的 表 示 是 多 少？【分 析 与 解】注 意(adO 5+(i)5=ab)5,第 二 位 改 变 了，也 就 是 说 求 和 过 程 个 位 有 进 位，则 b=0,而 G=(1Q)5-(1)5=5,则 04.而 3比)5+必 5=3 g 5,所 以 则 e=3.又 升 用，所 以 d=L 后 22那 么，5 为 心 均 5=4X 5-+ix 543=10&即 9兆)5所 表 示 的 整 数 写 成 十 进 制 的 表 示 是 10&【例 里(难 度 等 级 派)I I I19 6 1 2 11将 自 然 数 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 成 螺 旋 形，2 处 拐 一 个 弯，在 3 处 拐 J!一 4一!1 7.1 H 1 q 14 13第 二 个 弯，在 5 处 拐 第 三 个 弯，问 拐 第 20个 弯 的 地 方 是 哪 个 数。15【分 析 与 解】拐 弯 的 序 数 0 1 2 3 4 5 6 7.下 面 一 列 数 中，相 邻 两 数 的 差 是 L k 2 2 A A 4 4 第 20个 拐 弯 处 的 数 是 1口 拐 弯 处 的 数 1 2 3 5 7 10 13 17.X(1+2+-+10)=111【例 id（难 度 等 级 派）把 连 续 奇 数 L 3、5、7，按 右 边 的 方 法 排 列。问:数 1995在 哪 条 射 线 上？是 这 射 线 的 第 几 个 数？【分 析 与 解】1121273117157 9 23 2529 ig 的 31995是 第（199升 D+=9 8 个 奇 数，因 为 周 期 数 是&99笠 8=124 6,所 以 数 1995在 射 线 C上，且 是 第 124X 2+2=250个 数。【例 1口（难 度 等 级 派）一 个 正 整 数，如 果 用 7 进 制 表 示 为 嬴，如 果 用 5 进 制 表 示 为 赤，请 用 1 0进 制 表 示 这 个 数.【分 析 与 解】解：由 题 意 知：l a,X 4 g 味 4 设 这 个 正 整 数 为 科 则 n=c=ax 72+bx 74-c,2：ba R 5 升 bx 5+a49arl-7tH-G=25c+5tH-a48a+-2b 2 4 a 0 b=12/.121 n又,g be 4b=0,c=2a.当 a=1,c=2时，n=51当 对 2,U：4时，102【例 1Z（难 度 等 级 派）甲、乙 两 个 三 位 数 的 乘 积 是 一 个 五 位 数，这 个 五 位 数 的 后 四 位 是 1 0 3 L 如 果 甲 数 的 数 字 和 是 10,乙 数 的 数 字 和 是 8,那 么 甲、乙 两 数 和 是 多 少？【分 析 与 解】方 法 一：很 显 然，这 道 题 的 突 破 口 是 在 个 位 数 上 乘 积 的 尾 数 是 L 只 有 IX 1,3X 7或 者 9X 9两 种 可 能，如 果 是 IX L 根 据 1031判 断，甲 数 和 乙 数 的 十 位 为 0和 3,1和 2 4和 9,5和&6和 7.很 容 易 试 出 这 些 均 不 成 立。根 据 乙 的 数 字 和 是 3 判 断 只 有 3X 7这 种 可 能 假 设 乙 的 个 位 数 是 7,则 只 能 是 10%根 据 乘 积 的 尾 数 判 断，甲 的 十 位 数 应 该 是 i（因 为 这 个 数 乘 以 7的 乘 积 加 上 个 位 数 进 位 Z 得 所 以 甲 就 是 433433X 10片 46331不 合 题 意。所 以 乙 的 个 位 数 只 能 是 二 甲 的 个 位 数 只 能 是 70所 以 甲 有 以 下 情 况，127 217 307三 种 情 况 根 据 上 述 方 法 很 容 易 判 断 出 甲 是 217,乙 是 143方 法 二:根 据 弃 九 法 得 知，乘 积 是 3031W1X 7X 11X 13,适 当 组 合 可 得 知 两 数 为 31X片 217,11X 13=143 和 为 360.【例 13（难 度 等 级 派）有 43位 同 学，他 们 身 上 带 的 钱 数 从 8 分 到 5 角，钱 数 各 不 相 同，每 个 同 学 都 把 身 上 全 部 的 钱 各 自 买 了 画 片。画 边 有 两 种：3 分 钱 一 张 的，和 5 非 钱 一 张 的。每 人 尽 可 能 多 卖 5 分 钱 一 张 的 画 片。问，他 们 能 买 的 3 分 钱 画 片 的 总 数 是 多 少 张？【分 析 与 解】43人 的 钱 从 8分 到 5角 各 不 相 同，说 明 这 些 人 身 上 的 钱 分 别 是：8分，9分，49分，50分.下 面 分 情 况 讨 论：8=3*1+5*1意 思 是 3分 钱 一 张，5分 前 一 张）*3+5*010=3*04-5*211=3*2+5*112=3*4+5*01 3=乂*1+5*250=*0+5*lQ说 明：当 钱 除 以 5余 1的 时 候，可 以 买 2张 3分 的;有 8个 人.当 钱 除 以 5余 2的 时 候，可 以 买 4张 3分 的;有 8个 人.当 钱 除 以 5余 3的 时 候，可 以 买 1张 3分 的;有 9个 人.当 钱 除 以 5余 4的 时 候，可 以 买 3张 3分 的;有 9个 人.当 钱 除 以 5整 除 的 时 候,可 以 买 0张 3分 的.有 9个 人.所 以 一 共 买 了 2*&M*SH*涉 4张 3分 的.【例 14（难 度 等 级 派）对 于 由 1 5组 成 的 无 重 复 数 字 的 五 位 数，如 果 它 的 首 位 数 字 不 是 1,那 么 可 以 进 行 如 下 的 一 次 置 换 操 作：记 首 位 数 字 为 k,则 将 数 字 k 与 第 k 位 上 的 数 字 对 换.例 如，24513可 以 进 行 两 次 置 换：2 4 5 1 3 T 4 2 5 1 3 T l2543.可 以 进 行 4 次 置 换 的 五 位 数 有 多 少 个？【分 析 与 解】经 过 4次 置 换 后 最 后 结 果 必 为 12345,所 以 可 进 行 4次 置 换 的 五 位 数 可 由 12345进 行 4次 首 位 与 其 他 位 的 调 换 得 到，规 则 为 从 首 位 上 调 换 出 的 数 不 能 再 与 首 位 调 换，那 么 这 样 的 调 换 方 法 共 有 4X 3X 2X 1=24种，即 可 进 行 4次 置 换 的 五 位 数 有 24个。【例 1 5 1（难 度 等 级 派）有 4 个 不 同 的 数 字 共 可 组 成 1 8个 不 同 的 4 位 数。将 这 1 8个 不 同 的 4 位 数 由 小 到 大 排 成 一排，其 中 第 一 个 是 一 个 完 全 平 方 数，倒 数 第 二 个 也 是 完 全 平 方 数。那 么 这 18个 数 的 平 均 数 是 多 少？【分 析 与 解】如 果 是 4个 非 0数 字 则 应 该 能 组 成 4X 3X 2X 1=24个 不 同 的 4位 数，而 实 际 只 能 组 成 18个 不 同 的 4位 数，则 4个 数 字 中 必 然 有 ft因 为 完 全 平 方 数 的 个 位 数 只 能 为 1,4 5,自 9(0必 须 成 对 出 现)，所 以 剩 下 的 3个 数 字 必 有 两 个 是 这 5个 中 的 2个，若 最 小 的 数 字 是 4 5,6的 话，只 有 9604和 4096为 完 全 平 方 数，但 4096并 不 是 这 4个 数 字 所 组 成 的 最 小 的 四 位 数，不 满 足 题 意，所 以 最 小 数 字 为 L 此 时 1089和 9801这 两 个 四 位 数 满 足 题 意。因 此 这 4个 数 字 为。1、&9,所 能 组 成 的 四 位 数 千 位 为 1、&9的 均 有 6个，所 以 这 18个 四 位 数 千 位 上 之 和 为 以 羯-6=10&同 理，个 位 百 位 十 位 上 的 数 字 之 和 均 为 72,所 以 这 18个 四 位 数 之 和 为 108X 10004-72X 10W-72X 104-72=115992,其 平 均 数 为 6444【例 1司(难 度 等 级)有 些 三 位 数，如 果 它 本 身 增 加 3,那 么 新 的 三 位 数 的 各 位 数 字 的 和 就 减 少 到 原 来 三 位 数 的-求 所 有 这 样 的 三 位 数.3【分 析 与 解】设 这 个 三 位 数 为 诙，数 字 和 为 a+bk,如 果 没 有 进 位，那 么 诙+3=ab(c+3),显 然 数 字 和 增 加 了 3,不 满 足，所 以 一 定 有 进 位，-I则 abc43=a(b+l)(c+3 10),数 字 和 为(H-(b+1)+lQ=-(a+b+c),则 阳#=9,而 必 须 有 进 位，所 以 c只 能 为 7,&9.一 一 验，如 下 表：验 证 当 十 位 进 位 及 十 位、个 位 均 进 位 时 不 满 足.C的 值 7 8 9z+b的 值 2 1 0a的 值 2 1 1b的 值 0 1 0 次 的 值 207 117 108所 以，原 来 的 三 位 数 为 207,117或 108【例(难 度 等 级)有 1、A、B、C 四 个 整 数，满 足 A+B+C=2 0 0 1,而 且 1 A B C。这 四 个 整 数 两 两 求 和 得 到 六 个 和，把 这 六 个 数 按 从 大 到 小 排 列 起 来，恰 好 构 成 一 个 等 差 数 列。请 问：A、B、C分 别 是 多 少？【分 析 与 解】满 足 条 件 的 情 况 有 两 种：(+A l+B+C A+B A+C B+C.l+A l+8 4+8 l+C A+C 8+C；先 看：,-.-史-.-,1+C A+B A+C，l+/4l+8 l+C A+8，1+81+C A+8 A+C B+C，所 以 有(4 一 1)：(8-1):(C-1)=2:3:4,又 4+8+C=2001,所 以(4-l)+(B-l)+(C-l)=2001-3=1998,得 A=445,8=667,C=889;再 看,_ _ 空 _,_.+C A+C；1+C B+C,1+B A+8 I+C A+C B+C,所 以 有(A-1):(B-1):(C-1)=1:2:4,又 A+B+C=2001,所 以(A-l)+(8-l)+(C-l)=2001-3=1 9 9 8,得 A=,不 符 合 题 意；所 以 A=445,8=667,C=889。【例 1&（难 度 等 级 派）在 一 个 国 家 里，国 王 要 建 N 个 城 市，在 城 市 之 间 建 N-1条 道 路，使 得 从 每 个 城 市 都 能 到 达 另 一 个 城 市（每 条 道 路 连 接 两 个 城 市，道 路 不 相 交，不 穿 过 其 它 城 市）且 一 个 城 市 到 另 一 个 城 市 最 短 路 线 分 别 为 1,2,3,.,N（N T）.若（1）N=6;（2）N=2006；国 王 的 要 求 能 否 办 2到？【分 析 与 解】(D/6时，可 以 按 如 下 的 方 法 设 计 道 路。设 A B C D E 防 六 个 城 市，从 C引 出 三 条 道 路，分 别 通 向 A B D 长 度 分 别 为 1,2,5,从。再 引 出 两 条 道 路，分 别 通 向 E E 长 度 分 别 为 4&此 时 即 可 满 足 要 求，所 以 N 4 时，国 王 的 要 求 可 以 办 到。(2 根 据 在 N 个 城 市 之 间 建 N-1条 道 路 可 知，从 一 个 城 市 到 另 一 个 城 市 只 有 唯 一 的 路 线。把 城 市 A 染 成 红 色，若 城 市 8 与 A 之 间 的 路 程 为 偶 数，则 8 也 染 上 红 色，否 则 染 上 黄 色，这 样 可 以 把 所 有 城 市 均 染 成 红 色 或 黄 色，并 且 两 城 市 同 色 时，它 们 之 间 的 路 程 为 偶 数，否 则 它 们 之 间 的 路 程 为 奇 数。设 有 X个 城 市 染 成 红 色，y个 城 市 染 成 黄 色，则 由 一 个 红 色 城 市 与 一 个 黄 色 城 市 配 对 可 配 成 x y 对，所 以 在 所 有 的 路 程 中 有 xy个 奇 数。若 N(1N2-一 l)Z 是 偶 数，则 L 2 3，N(N-1)中 有 一 半 是 奇 数，所 以 有 x j 1N e F D o)2 2又 因 为 对 y=N 则 N=N Txy=G+9-4xy=(或。N(N-l)N(N-l)1 1若 12 是 奇 数，则 L 2 3,，(2 中 有 2，N W D+U 个 奇 数，所 以 有 X4 4 N W)+*N W)吞 又 瞅 则 由 广 日 2+22,即 N-2=O劭 o因 此，如 果 题 目 中 的 要 求 可 以 实 现，则 N N-2是 完 全 平 方 数，由 于 2006和 2004都 不 是 完 全 平 方 数，所 以 国 王 的 要 求 不 能 办 到。【例 1%(难 度 等 级 派)有 13个 不 同 自 然 数，它 们 的 和 是 100.问 其 中 偶 数 最 多 有 多 少 个?最 少 有 多 少 个？【分 析 与 解】13个 整 数 的 和 为 100,即 偶 数，那 么 奇 数 个 数 一 定 为 偶 数 个，则 奇 数 最 少 为 2个，最 多 为 12个；对 应 的 偶 数 最 多 有 11个，最 少 有 1个.但 是 我 们 必 须 验 证 看 是 否 有 实 例 符 合.当 有 1 1 个 不 同 的 偶 数，2 个 不 同 的 奇 数 时，1 1 个 不 同 的 偶 数 和 最 小 为 244+什 8+10+12+14H644计 2计 22=132,而 2个 不 同 的 奇 数 和 最 小 为 143=4 它 们 的 和 最 小为 132+4=1 3 6 显 然 不 满 足；当 有 外 不 同 的 偶 数，4个 不 同 的 奇 数 时，外 不 同 的 偶 数 和 最 小 为 2+i+J8+10+l升 14+1阳 8=9 Q 而 4个 不 同 的 奇 数 和 最 小 为 1 毋 升 片 1 6 还 是 大 于 1 0 Q仍 然 不 满 足；当 有 7个 不 同 的 偶 数，6个 不 同 的 奇 数 时，7个 不 同 的 偶 数 和 最 小 为 2+44+10+12+14=56,6个 不 同 的 奇 数 和 为 1 仔 升 7田 4 1=3 6 满 足，如 Z 4 6&1Q 12,22 L%7,9,11的 和 即 为 10Q类 似 的 可 知，最 少 有 5个 不 同 的 偶 数，8个 不 同 的 奇 数，有 2,4&1 Q 屿 L 3,7,9,11,U 15满 足.所 以，满 足 题 意 的 13个 数 中，偶 数 最 多 有 7个，最 少 有 5个.【例 23（难 度 等 级 派）图 中，第 1 行 将 1 到 1 0 0的 自 然 数 依 从 小 到 大 排 列；第 2 行 有 9 9个 自 然 数，第 1 个 是 第 1 行 第 1 个 自 然 数 和 第 2 个 自 然 数 的 和 第 k 个 是 第 1 行 第 k 个 自 然 数 和 第 k+1 个 自 然 数 的 和，；从 第 2 行 起，根 据 第 2 行 的 规 律 排 列，一 直 到 第 1 0 0行.请 问：图 中 一 共 有 多 少 个 自 然 数 能 被 7 7整 除.第 1 行 1 2 3 4 5.96 97 98 99 100第 2 行 3 5 7 9.193 195 197 199第 3 行 8 12 16.388 392 396第 4 行 第 5 行.【分 析 与 解】规 律 是：第 1A x i 99行 的 整 数 是 第 1行 某 个 整 数 的 软 倍，第 2 4,100行 的 整 数 是 第 2行 某 个 整 数 的 4k倍。1.设 A 共 有 9 个 不 同 的 约 数，B 共 有 6 个 不 同 的 约 数，C 共 有 8 个 不 同 的 约 数，这 三 个 数 中 的 任 何 两 个 都 不 整 除，则 这 三 个 数 之 积 的 最 小 值 是 多 少？【答 案】172802.有 一 列 数，第 一 个 数 是 100,第 二 个 数 是 76,从 第 三 个 数 起，每 个 数 都 是 前 面 两 个 数 的 平 均 数，那 么 第 2009个 数 的 整 数 部 分 是【答 案】84.3.若 自 然 数 n 使 得 竖 式 加 法 n+(n+1)+(n+2)不 产 生 进 位 现 象，便 称 n 为“跃 进 数”。例 如 12是“跃 进 数”，因 为 12+13+14做 竖 式 加 法 不 产 生 进 位 现 象；而 13不 是“跃 进 数”。那 么 不 超 过 1000的“跃 进 数”共 有 个。【答 案】494.讲 1 到 101写 在 黑 板 上，得 到 12345678910111213100101,先 删 去 这 个 数 中 从 左 到 右 数 所 有 位 于 奇 数 位 上 的 数 字，再 删 去 所 得 的 数 中 所 有 位 于 奇 数 位 上 的 数 字.依 次 类 推，那 么 最 后 删 去 的 数 字 是【答 案】65.有 一 路 公 共 汽 车，包 括 起 点 和 终 点 站 在 内，共 有 15个 车 站。如 果 有 一 辆 车，除 终 点 站 外，每 一 站 上 车 的 乘 客 中，恰 好 各 有 一 位 乘 客 从 这 一 站 到 以 后 的 每 一 站。为 了 使 每 位 乘 客 都 有 座 位，问 这 辆 公 共 汽 车 至 少 要 有 多 少 个 座 位？【答 案】56琳、螃/己 S(难 度 等 级 X X X X)一 位 篆 告 诉 4、B、C、。、E 五 位 学 生 一 个 三 位 数 N 之 后，有 以 下 的 对 话 出 现：学 生 A：这 个 数 可 以 被 27整 除；学 生 8:这 个 数 可 以 被 12整 除；学 生 C：这 个 三 位 数 的 所 有 数 字 和 为 15；学 生 这 个 数 是 一 个 完 全 平 方 数；学 生 E：这 个 数 可 以 整 除 648 000.上 述 五 个 句 子 中，只 有 三 句 是 真 的。试 求 N。【答 案】324,108,216,432,864,540,900,144,576.7在 整 个 数 学 领 域，数 论 被 当 之 无 愧 的 誉 为“数 学 皇 后。翻 开 任 何 一 本 数 学 辅 导 书，数 论 的 题 型 都 占 据 了 显 著 的 位 置。在 小 学 各 类 数 学 竞 赛 和 小 升 初 考 试 中，我 们 系 统 研 究 发 现，直 接 运 用 数 论 知 识 解 题 的 题 目 分 值 大 概 占 据 整 张 试 卷 总 分 的 3 右，而 在 竞 赛 的 决 赛 试 题 和 小 升 初 一 类 中 学 的 分 班 测 试 题 中，这 一 分 值 比 例 还 将 更 高。【授 课 批 注】具 有 相 当 难 度，需 要 灵 活 运 用 各 种 整 数 知 识，或 与 其 他 方 面 内 容 相 综 合 的 数 论 同 题.习 题 精 讲】【例 1（难 度 等 级 派）一 台 计 算 器 大 部 分 按 键 失 灵，只 有 数 字 7 和 0 以 及 加 法 键+尚 能 使 用，因 此 可 以 输 入 77,7 0 7这 样 只 含 数 字 7 和 0 的 数，并 且 进 行 加 法 运 算.为 了 显 示 出222222,最 少 要 按 7键 多 少 次？【分 析 与 解】222222+7=3174$即 222222=70000X 3+7000X 1+700X 升 7ax 奸 7X 6,而 70000,7000,70Q 7Q 7均 只 用 按 一 次 所 以 222222最 少 只 用 按 升 1+744%=21次 7 键 即 可 显 示.【例 1（难 度 等 级 派）有 一 批 图 书 总 数 在 1000本 以 内，若 按 24本 书 包 成 一 捆,则 最 后 一 捆 差 2 本；若 按 28本 书 包 成 一 捆，最 后 一 捆 还 是 差 2 本 书；若 按 32本 包 一 捆，则 最 后 一 捆 是 3 0 本.那 么 这 批 图 书 共 有 本.【分 析 与 解】经 分 析 发 现，原 书 的 本 书 如 果 多 2本，那 么 原 来 书 的 数 目 就 会 同 时 是 24 2&32的 倍 数，而，区 2&33=672,且 原 书 的 本 书 不 超 过 1000本，所 以 原 来 的 书 有 672-2=670【例 3（难 度 等 级 派）一 个 五 位 数 恰 好 等 于 它 各 位 数 字 和 的 2007倍，则 这 个 五 位 数 是.【分 析 与 解】这 个 五 位 数 等 于 各 位 数 字 之 和 乘 以 2007,2007是 Z 3,22二 三 个 数 字 之 积，所 以 这 个 五 位 数 是 9的 倍 数，各 位 数 字 之 和 也 是 9的 倍 数（一 个 数 是 9的 倍 数，那 么 它 的 各 位 数 字 之 和 也 是 9的 倍 数,）所 以 这 个 五 位 数 可 能 是 2007X 9,2007X 2007X 27,2007X 36容 易 得 出：2007X 18和 2007X 27符 合 题 目.【例 4（难 度 等 级 派）在 纸 上 写 着 一 列 自 然 数 1,2，98,99.一 次 操 作 是 指 将 这 列 数 中 最 前 面 的 三 个 数 划 去，然 后 把 这 三 个 数 的 和 写 在 数 列 的 最 后 面.例 如 一 次 操 作 后 得 到 4,5，98,99,6;而 两次 操 作 后 得 到 7,8，98,99,6,15.这 样 不 断 进 行 下 去，最 后 将 只 剩 下 一 个 数，则 最 后 剩 下 的 数 是.【分 析 与 解】观 察 规 律 发 现，最 后 一 个 数 字 即 为 1到 99的 和，为 4950.【例 3(难 度 等 级 派)有 两 种 规 格 的 9 箱 钢 珠，每 箱 300个，甲 种 钢 珠 每 个 10克，乙 种 钢 珠 每 个 11克，将 这 9箱 钢 珠 编 为 19号,然 后 依 次 从 19号 箱 中 取 出 2。，2】，22,23,24,25,26,27,28,个 钢 珠，这 些 钢 珠 共 重 5555克。问：哪 几 箱 是 甲 种 钢 珠？【分 析 与 解】本 题 很 明 显 地 表 明 在 考 察 二 进 制 的 相 关 知 识 点.同 时 对 于 这 种 出 现 两 种 规 格 要 求 和 的 问 题，可 以 采 用 假 设 法.假 设 全 为 甲 种 规 格 的 钢 珠，则 每 箱 各 取 2Q 21,22,2七 24 25,26,27,2&共 取 出 2%4=511 个，则 应 重 1GX 511=5110克，比 实 际 的 少 了 5555-5110=445克，此 重 量 应 该 来 自 乙 种 钢 球，由 于 乙 种 钢 球 每 个 比 甲 种 重 1克，以 二 进 制 表 示 445为 a 10111101)2,也 就 是 说 445=&+27-+25+24+23+22+20,贝 田 有 2号 箱 与 7号 箱 是 甲 种 钢 珠.【例 司(难 度 等 级 派)把 除 1 外 的 所 有 奇 数 依 次 按 一 项，二 项，三 项，四 项 循 环 的 方 式 进 行 分 组：(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(43),.那 么，第 1994个 括 号 内 的 各 数 之 和 是 多 少？【分 析 与 解】我 们 把 每 4个 括 号 组 成 一 个 周 期，1994-4=498 Z 在 前 498个 周 期 内 有 奇 数(1+2+5的 X 498=4980个，而 第 1993个 括 号 内 有 2个 奇 数，即 第 4980+-1+1=4982个 奇 数，第 4982+1=4983个 奇 数.而 4982X 2+1=9965,4983X 2+1=9967,9965+9967=19932即 第 1994个 括 号 内 的 各 数 之 和 是 19932【例 1（难 度 等 级 派）2001个 球 平 均 分 给 若 干 人，恰 好 分 完。若 有 一 人 不 参 加 分 球，则 每 人 可 以 多 分 2 个，而 且 球 还 有 剩 余，若 每 人 多 分 3 个，则 球 的 个 数 不 足。问 原 来 每 人 平 均 分 到 多 少 个 球？【分 析 与 解】设 2001个 球 平 均 分 给 N f 人，每 人 分 得 X个 球，则*2001=3X 23X 2%若 3X 2 3 那 么 每 个 人 分 得 球 数 不 多 于 29个，如 果 一 人 不 参 加 分 球，则 多 余 的 球 不 多 于 29个）被 其 余 的 人 分，每 人 不 足 1个，不 合 题 意；若 用 23,那 么 每 个 人 分 得 的 球 数 不 少 于 3X 29=87个，如 果 一 人 不 参 加 分 球，则 多 余 的 球 不 少 于 87个）每 人 至 少 可 以 分 3个，也 不 合 题 意；若 N=29,那 么 每 个 人 分 得 的 球 数 是 3X 23=69个，如 果 一 人 不 参 加 分 球，则 多 余 的 球（69个）每 人 可 以 多 分 2个，还 有 剩 余，符 合 题 意。答：原 来 每 人 分 到 69个 球。精 析:因 2001个 球 平 均 分 给 若 干 人，正 好 分 完，说 明 这 时 分 球 的 人 数 和 每 人 分 的 球 数 都 是 2001的 约 数。可 将 2001分 解 质 因 数，再 探 讨 其 各 种 分 法 的 可 能 性。【例&（难 度 等 级 派）一 堆 球，如 果 球 的 总 数 是 10的 倍 数，就 平 均 分 成 10堆 并 拿 走 9 堆；如 果 球 的 总 数 不 是 10的 倍 数，就 添 加 不 多 于 9 个 球，使 球 数 成 为 10的 倍 数,再 平 均 分 成 10堆 并 拿 走 9 堆.这 个 过 程 称 为 一 次“均 分.若 球 仅 为 一 个，则 不 做 均 分.如 果 最 初 有 球 1234.19961997个，问 经 过 多 少 次 均 分”和