2020届黑龙江省哈尔滨市(东北三省四市)高三下学期高考调研模拟数学(理)试题(解析版).pdf

2020届黑龙江省哈尔滨市（东北三省四市）高三下学期高考调研模拟数学（理）试题一、单选题1.已知全集。=123,4,5,6,7,集合A=2,3,5,7,6=1,2,4,6,则AC（.B）=（）A.2,5,7 B.3,5,7 C.3 D.5,7【答案】B【解析】先由已知得到Cq6=3,5,7,再与A求交集即可.【详解】由已知，Q,5=3,5,7,故A n（G，5）=3,5,7.故选：B.【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2.已知复数=-则Z的虚部为 ）/-IA.1 B.-/C.1 D.1【答案】A【解析】分子分母同乘分母的共规复数即可.【详解】2i _ 2i(i+l)_-2 +2i故1的虚部为一1.故选：A.【点睛】本题考查史数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.3.2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图 所 示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是8 6,乙队得分的平均数是8 8,则x+y=（）第1页 共2 2页A.170C.172【答案】D【解析】中位数指一串数据按从小(大)到大(小)排列后，处在最中间的那个数，平均数指一串数据的算术平均数.【详解】由茎叶图知，甲的中位数为80+x=8 6,故x=6：乙的平均数为78+82+80+y+89+91+93+97解得y=6,所以x+y=12.故选：D.【点睛】本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均数的知识，是一道容易题.4.(1+2x)(1+x y的 展 开 式 中/的系数为()A.5 B.10 C.20 D.30【答案】C【解析】由(l+2x)(l+x)5=(l+x/+2 x(l+x/知，展开式中x，项有两项，一项是(1+x)s中的/项，另一项是2x与(1+中含x的项乘积构成.【详解】由己知，(1+2x)(1+x)s=(1+x)5+2x(1+x)s,因为(l+x)s展开式的通项为C 0 所以展开式中x2的系数为C；+2G=20.故选：C.【点睛】本题考查求二项式定理展开式中的特定项，解决这类问题要注意通项公式应写准确，本题是一道基础题.5.算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的第2页 共22页有系统的数学典籍.其中记载有求“困盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长人与高力，计 算 其 体 积 也人的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式V =高Eh相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为()2 2 1 5 7 2 8 3 3 7A.B.-C.D.-7 5 0 9 1 1 5【答案】C1 3【解析】将圆锥的体积用两种方式表达，即V =乃/6 =(2 r):A ,解出乃即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为r,则丫 =1乃/力，又V3 1 1 2 1 1 24 1 119 7Q故(2兀r f h k上兀r%,所以，”=.1 1 2 3 3 6 9故选：c.【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.6.已知公差不为。的等差数列 q 的前项的和为S“，=2,且q,%,生 成等比数列，则，=()A.56 B.72 C.88 D.40【答案】B【解析】a；=a,a9 O+2d)2=+8J),将q=2代入，求得公差d,再利用等差数列的前项和公式计算即可.【详解】由己知，a；=a”，=2,故(q+Zd)。=q(q+8d),解得 d =2 或 d =0 (舍),故4=2 +(-l)x 2 =2”，S3 =8(4；=4(2 +2 x 8)=72.故选：B.【点睛】本题考查等差数列的前 项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.7.下列说法正确的是()第3页 共2 2页A.命题”却40,2毛松山.”的否定形式是“也 0,2 x s m xMB.若平面a,P，Y,满足a_ Ly,则a 尸C.随机变量；服从正态分布N。,）（b 0）,若P（0 J o）=o.8D.设X是实数，“*0”是“！1”的充分不必要条件X【答案】D【解析】由特称命题的否定是全称命题可判断选项A：a.夕可能相交，可判断B选项：利用正态分布的性质可判断选项C：Lx 1,利用集合间的包含关系可x判断选项D.【详解】命题“3%40,2 x Ws u i X o”的否定形式是“D x W O，2 x s i n x”,故 A错误：a l/,八丫 ,则圆力可能相交，故B错误：若尸（0 岁 1）=0 4,则尸（l g 2）=0.4,所以1-0 4-0 4 1P&0）=0.9,所以 C 错误；由一 1,得 x 1,故“x 0”是“-0,方0）的右焦点与圆M：（x-2）2+r=5a b的圆心重合，且圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2应，则双曲线的离心率为（）A.2 B.72 C.y/3 D.3【答案】A【解析】由已知，圆心M到渐近线的距离为，可得,又第4页 共2 2页c=2=a2+b2 解方程即可.【详解】由已知，c=2,渐近线方程为bx土。丁 =0,因为圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2点，所以圆心M到渐近线的距离 为 护 乙&7 =2b2b,=b,故a=yjc2 b2=1，所以离心率为e =2=2.a故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题.9.已知4(勺,以)是圆心为坐标原点O,半径为1 的圆上的任意一点，将射线QA绕点。逆时针旋转4到 0 8 交圆于点8(勺,治)，则 2%+”的最大值为()A.3 B.2 C.3 D.75【答案】C【解析】设射线0 A与x轴正向所成的角为a ,由三角函数的定义得y A =s i n a,yB=s i i i(z +),2yA+yB=s i n a +-co s a 利用辅助角公式计算即可.3 2 2【详解】设射线0 A与x轴正向所成的角为。，由已知，xA=cosa,yA=sina,xB=co s(a +yB=s i n(a +4)，所以 2 +%=2 s u i a +s i n(a +4)=2 s i n a -s m a +co s(/=s i i i a +co s a =Jisinla+)J3 .2 2 2 2 6当a =g时，取得等号.故选：c.【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题，涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识，是一道第5页 共2 2页容易题.10.从 集 合-3,-2,-1,12 3,4中随机选取一个数记为J从 集 合-2,-12 3,4中随机选取一个数记为，则 在 方 程 二+工=1表示双曲线的条件 下,方 程 二+弋=1表m n m n示 焦 点 在.V轴 上 的 双 曲 线 的 概 率 为()9 8A.B.17 1717 9C.D.3 5 3 5【答 案】A【解 析】设事件A为“方 程 上+工=1表示双曲线”，事 件B为“方 程 二+二=1表示焦m n m n点 在y轴上的双曲线“，分别计算出再利用公 式(3/A)=学曾计算即可.【详解】设 事 件A为“方 程+-=i表示双曲线”，事 件B为“方 程+-=i表 示 焦 点 在y轴m n m n上.4x9 17 3x3 9的双曲线”，由题意，P(A)=,P(A B)=-=,则所求的概率7 x 5 3 5 7 x 5 3 5为.)=必驾2.P(A)17故选：A.【点 睛】本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.11.已 知 函 数/。)=0a e (2,4)、16】；,解得3 0 55(4)0故选：B.【点睛】本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中档题.12.已知定义在 0,+8)上的函数/(X)满 足 x)=g/(x+2),且当x w 0,2)时，/*)=一/+2 1.设/(刈在2 2,2)上的最大值为最(e N*),且数列 ,的前项的和为S,.若对于任意正整数不等式k(S,+l)N2-9恒成立，则实数A的取值范围为(A.0,+o o)【答案】C【解析】由己知先求出f(x)3c=2 -,即a“=2 T,进一步可得S“=2 -l,再将所求问题转化为kN与2/1三-9对 于任意正整数恒成立，设=与2n-三9，只需找到数列 ,的最大值即可第7页 共2 2页【详 解】当2一2 W x 2时，则0 x+2-2 0,解得?，考虑到eN*,故有当4 5时，c“单调递增，当26时，有%单调递减，故 数列%的最大值为。6 =i_3 _F-6 4所 以&N工.6 4故选：C.【点 睛】本题考查数列中的不等式恒成立问题，涉及到求函数解析、等 比 数 列 前“项 和、数列单调性的判断等知识，是一道较为综合的数列翘.二、填空题1 3.若曲线，(x)=a e，l a x (其中常数。工0)在点(1 J(D)处的切线的斜率为1,【答案】-e【解析】利用导数的几何意义，由r(1)=1解方程即可.【详解】1 2由己知，f x)=aex，所以1 =1,解 得。=一.x c故答案为：一.C【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本运算能力，是一道基础即.1 4.若函数/(x)=s i n2 x-J I c o s 2 x的图像向左平移营个单位得到函数g(x)的图像.0第8页 共2 2页则g(x)在区间7t 3汽-上的最小值为.O O【答案】【解析】注意平移是针对自变量X,所以g(x)=f(x +)=2 s m(2 x-：),再利用整81 2体换元法求值域(最值)即可.【详解】由已知,f(x)=sin2x-y/i c o s 2x=2 s i n(2 x-),g(x)=x+：)=o2 s i n2(x +?)-=2 s i n(2 x-1 ),又 x e n 3%S,8 I c 乃 r4 2 7 i故2 l i -2 s m(2 x-)e 7 3,2.所以 g(x)的最小值为一故答案为：一6【点睛】本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问超，涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用，是一道基础题.1 5.如图所示，在边长为4的正方形纸片ASC。中，4c与5。相交于。.剪去AAO 8,将剩余部分沿O C,折叠，使。4、0 6重合，则以A(6)、c、。、。为顶点的四面体的外接球的体积为【答案】8府【解析】将三棱锥置入正方体中，利用正方体体对角线为三棱锥外接球的直径即可得到答案.【详解】由已知，将三棱锥置入正方体中，如图所示第9页 共2 2页C D =4.O A =O C =O D =2yf2 故正方体体时角线长为y/oA2+O C-+O D2=2 5/6，所以外接球半径为R=n，其体积 为:“*=8疝r.故答案为：8灰兀.【点睛】本题考查三极锥外接球的体积问题，一般在处理特殊几何体的外接球问题时，要考虑是否能将其置入正（长）方体中，是一道中档题.,1 6.已知椭圆C：三+，1 =1的左、右 焦 点 分 别 为 生，如图A 6是过K且垂直6 2于长轴的弦，则A4 6尼的内切圆方程是_ _ _ _ _ _ _ _.【解析】利用公式=g/r计算出，其中/为A4 8乙的周长，为A 4 8 E内切圆半径，再利用圆心到直线A B的距离等于半径可得到圆心坐标.【详解】由已知，A（2,X2），6（2,_、2）,广 式2,0）,设内切圆的圆心为&0）。-2）,半径为r,则S1 Ag =g x A 6 x 工=g x(A8 +AF,+6 E)x r =；x 4 a x r,故有第1 0页 共2 2页x 4 =4 /6 r，解得r=)，由1 1一(2)卜 ,f =或，=(舍)，所以A 4 5/的内切圆方程为r 4丫，4I X+3 J 4-V =9 故答案为：(x+g)+)=1.【点睛】本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题，涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识,考查学生的运算能力，是一道中档题.三、解答题1 7.在A A B C中，M 为BC边上一点，ZB AM=45,c o s ZA A f C =.(1)求 s i n 5 ；1 -(2)若MC =-B M,A C =4,求M C.2【答案】(1)叵；(2)41 0【解析】(1)B=ZAMC-ZB AM,利用两角差的正弦公式计算即可；(2)设A/C =x,在A A B M中，用正弦定理将AM用x表示，在AACM中用一次余弦定理即可解决.【详解】(1)c o s N A M C =%,sinZ A M C=-,5所以，s i n 5 =s i n(ZA A/C -A B A M )=s m Z A M C-c o s Z B A M -c o s Z A M C-s m Z B A M_ 2/立 在立二叵=2 r=-i o-(2),：MC=-B M,2第1 1页 共2 2页工设MC=x,BM=2x,BM AM在A4W中，由正弦定理得，-=，sin 45 sin 62x _ AM尤加，T I F八 彳2下 AM=-x，5,/AC2=AM2+MC2-2AM-MC-cosZAMC，.一4 二二 小 小,4=-x+x 2-x*x*5 5 5：.MC=x=4.【点睛】本即考查两角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.1 8.某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了 20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试分数(以十位数字为茎，个位数字为叶)：T 5X 6 3 3 3 19HR77S339 K 6 6 5若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”.(1)从这20人中任取3 人，求恰有1人成绩“优秀”的概率；(2)根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图解决下面的问题.组别分组频数频率频率丽160,70)270,80)380,90)第12页 共22页490.100O.OS)IIiI IO _G S：_u.一 u _ _ i _ _ _.0所以 占+工=26+4,&X,=nr代入（）式，可得m=1满足4 0,y=-x+l.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，在处理直线与抛物线位置关系的问题时，通常要涉及韦达定理来求解，本题查学生的运算求解能力，是一道中档题.20.如图，在宜角AAO8中，OA=OB=2,AAOC通过M O 8以直线Q4为轴顺时针旋转120得 到（4 0 0 =120。）.点。为斜边4 6上一点.点M为线段6 c上一点，且加6=也.3（1）证明：A/OJ平面AO5；（2）当 直 线 与 平 面AOB所成的角取最大值时，求二面角5-C O-。的正弦值.【答案】（1）见解析：（2）生Eg35【解析】（1）先算出OM的长度，利用勾股定理证明O M _LO 6,再由已知可得OALOM,利用线面垂直的判定定理即可证明：（2）由（1）可得NM0O为直线MD与平面AO6所成的角，要使其最大，则OD应最小，可得。为A 5中点，然后建系分别求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值,进一步得到正弦值.【详解】（1）在MO6中，NOBC=30,由余弦定理得_ ）nOM=yJOB2+BM2-2OB BM-cos 30=-y-，：-OM2+OBZ=M B.第16页 共22页，OM 1 O B.由题意可知：O4 _LQ 5,O A J.O C,O BC O C=O,.Q A _L 平面 COB,。时 匚 平 面。05,，0 4 _1 0”，又 0 4 0 0 6 =0，:.Q M _ L 平面 A O5.(2)以O为坐标原点，以OAZ，O B.的方向为X，y，二轴的正方向，建立空间直角坐标系.V OM 1平面A O B MD在平面A O B上的射影是O D ,二MD与平面4 0 8所成的角是NM 0O,NM QO最大时，即O JL A5,点。为A B中点.8(0 2 0),C(6，T,0)，A 0,0,2),0(0,1)，C D =(-7 1,2,1),丽=(0,1,-1),0 0 =(0,1,1).设平面 C 5 的法向量G =(x,y,z),n-CD=0 ,.得n-D B=0由，-y/3 x+2y+z=0 人 但 r，令z =l，得y =l,x =7 y-Z =O所以平面C DB的法向量输=(J I 1,1),同理，设平面C 0O的法向量m=(x,y,z),由，in-C D=0_ ，得，m -O D=0-y/3 x+2y+z=0.y+z=o令y =L得z =-Lx =立，所以平面c oo的法向量而=3俘,臼/1 0 5 co s =-，s in =3 5故二面角6-C -O的正弦值 为 e.3 5【点睛】第1 7页 共2 2页本题考查线面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.2 1.已知函数f(X)=X：+C OSX (f l G R ),/(x)是/(x)的导数.(D当a =l时，令 (x)=/(x)-x+l nx,力(x)为力(x)的导数.证明：万(x)在区间 o、g；存在唯一的极小值点；(2)已知函数、，=/(2刈-,*在O,y上单调递减，求的取值范围.【答案】(1)见解析：(2)a【解析】(1)设g(x)=/?(x)=L-c o sx,g(x)=+sinx,注意到g(x)在(0,gXx 2)上单增，再利用零点存在性定理即可解决：(2)函数y =/(2 x)-gx 在0,|上单调递减，则yYO在0,(恒成立，即4 r 乃 42ax40在O.y 上恒成立，构造函数，”(x)=2 a Y-sm2 x-x 3,求导讨论心)的最值即可.【详解】(1)由已知，f x)=x-sinx,所以(x)=l nx-sinx,i,一 i设 g(x)=(x)=-c o s x ,g(x)=+sin x,Xx-当x e o,?时，g(x)单调递增，而g 0,且g(x)在(0,1 1上图象连续不断.所以g(x)在 o，)上有唯一零点a ,当x w(0,a)时，g(x)0；.g(x)在(0,a)单调递减，在(a.gj单调递增，故g(x)在 区 间 匕 存 在 唯 一 的极小第1 8页 共2 2页值点，即八 (x)在区间|o段)上存在唯一的极小值点：(2)设k(x)=x-sinx,xeO,+),k(x)=l-cosxN O,k(x)在0,+。)单调递增，kx)k(0)=0,即xN sinx，从而sin2xV2x,因为函数y=/(2 x)-在0,1上单调递减，4 产m(x)=2ax-sin2xXs 4 0在 0,上恒成立，令/(x)=2a-2 cos 2x-4.r2=p(x)，V sin2x2x.:.p(x)=4SHI2X-8A 3abc.【答案】(1)，=3：(2)见解析【解析】(1)由题意，只需找到/(x)=|x+l|-|x-3|的最大值即可：(2)a3b+b3c+c3a 3abcO +3,构造并利用基本不等式可得a b cC C l U C C l+(a+b+c)2(a+b+c),即+a+b+c=3.a b c a b c【详解】4,x 3(1)/(x)=|x+1 1-1 x-3 1=2x-2,-l x 3,-4,x-l./(x)的最大值为4.关于X 的不等式|x+l|-|x-3|m-2|+m有解等价于工皿(x)=4 4m-2+m,i)当机2 2 时，上述不等式转化为4 2?-2+6，解得2 V/W 3，(ii)当?2 时，上述不等式转化为4 N m+2+m，解得?。，b 0,c 0，azb 4-b5c+a a 3abc O一+一 3 a b c-F i-F(a +b +c)=na +FCa b c a b c第 2 1 页 共 2 2 页2 xa+2 -xb+2-xc=2(a+b+c)当且仅当a=b=c时，等号成立,b-c-a-.b-c-t rIJJ-F 4-N a+/7+c,-1-H-N 3,a b c a b c所以，alb+b5c+c5 3abc-【点睛】本题考查绝对值不等式中的能成立问题以及综合法证明不等式问题，是 一道中档题.第2 2页 共2 2页