2021-2022学年广西蒙山县高二年级上册学期期末模拟考试（二）数学（理）试题含答案.pdf

2021-2022学年广西蒙山县高二上学期期末模拟考试（二）数 学（理）试题一、单选题1.已知数列%满足q=5,an+l=a +3,若氏=2 0,贝等于（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【分析】根据给定条件求出数列通项公式，再将给定项代入即可计算作答.【详解】数列%中，因。用=%+3,即a“M-a”=3,则数列%是公差d=3的等差数歹U,于是得q =4+（T）d=3+2,由”“=2 0,即3 +2=2 0,解得=6,所以等于6.故选：D2.d _ x _ 6 0 的解集是（）A.x|-l x6 B.xx（T 曲）6C.x-2x0=（-3）（彳+2）0解得x 3,因此解集为 刈尤（-2或r）3.故选：D3.f=l 是 尸 1的（）条件A.充分不必要 B,必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要【答案】B【分析】运用充分必要条件的知识即可辨析得到结果.【详解】若炉=1,则=1;而若X=l,则必有炉=1,因此炉=1是L 1 必要不充分条件.故选：B.2,4.若 椭 圆 上+上=1上一点A 到焦点”的距离为3,则点A 到焦点工的距离为()16 4A.6 B.5 C.4 D.3【答案】B【分析】根据椭圆的定义可求解.【详解】由椭圆的定义知，|A闾=2a-|A 制=8-3 =5,故选：B5.空间直角坐标系中，两点A(1,2,3),B(4,2,7)间的距离是()A.1 B.3 C.5 D.7【答案】C【分析】利用距离公式直接求解即可【详解】两点A(1,2,3),B(4,2,7)间的距离为|Afi|=J(l-4 +(2-2)2+(3-7)2=5,故选：C6.已知 伍,几)是抛物线C：V=2 p x(p 0)上一点，尸是C 的焦点，y0=|M F|=6,则 片()A.2 B.3 C.6 D.9【答案】C【分析】结合抛物线的定义以及抛物线的标准方程列方程，化简求得P 的值.【详解】由定义|“目=与+=%=6,又y；=36=2px(),所以36=20(6-5)，解得p=6.故选：C7.在 ABC 中，a2+b2+c2=2 3 absinC,则.ABC 的形状是()A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形【答案】D【分析】在 ABC中，a2+b2+c2=2 j3 bcsmC,由余弦定理知，从+/-/=2cosC ,两式相加，利用基本不等式及正弦函数的有界性即可判断出该 ABC的形状.【详解】在 中，a2+b2+c2=2 y/iabsnC,又由余弦定理知，b2+a2-c2=2 abcosC,两式相加得：2(.2 +b2)=2 ab(3 si n C+c o s C)=4 Z?si n(C+),6.si n(C+C)=.”=1 (当且仅当会时 取“=”),又si n(C+),l ,6 lab 2 ab 6.si n(C+g)=l (当且仅当a =b时成立)，C为A A 3 C的内角，6:.C+-=,C =-,又 a=b,6 2 3.A B C的形状为等边.故选：D.8.已知命题“V x w R,2X2+1 0,则()A.-p:V x eR ,2/+1 W 0 B.-i p:3x0 e R,2 x：+1 4 0C.-i p:叫 e R,2 x：+l 0 D.:V x e R ,2 x2+1 0【答案】B【分析】根据全称量词的否定原则即可判断.【详解】命题P为全称量词命题，则命题。的否定为：3x（）e R,2X02+10.故选：B9 .已知xeR,设P：x 2或x-l,则下列命题为真的是（）A.若P则4 B.若F 则0c.若q则一P D.若 力 则q【答案】c【分析】由已知写出 力 和 r对应的x范围，再分别判断真假.【详解】由题设可得：1 4 x 4 2且A：由x -l不能推出 14x42,所以“若。则牙 为假；B：取x =3不能推出x0,6 0）过点（3,1 2）,则。+的最小值为（）a bA.2 7 B.30 C.33 D.36【答案】A【分析】代入已知点得二+?=1,再由。+=+b +工，运用基本不等式计算可得选项.a h b）【详解】解：因 为 直 线?+*（。0 力0）过点（3,12）,所以5+宗1,所以+匕=（4 +3（：+5）=15+子+等2 15 +2 疾=27,当且仅当a =9,人=18 时，等号成立.故选：A.11.已知双曲线V-2=-V2=1（。0/0）的一条渐近线与直线2 x-y +3 =o 平行，则该双曲线的离心率a b是（）A.7 2 B.7 3 C.2 D.y/5【答案】D【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为y =2 x,易知y =与直线2 x-y +3 =0 平行,a a所以 2=2 n e =亚.故选：D.12 .在正方体ABCO-ABIG A 中，E 为正方形。CG的中心，尸为正方形A B C Q 的中心，则直线EF与平面A8O所成角的余弦值为（）A.也 B.m C.昱 D.也4 3 3 3【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用线面角的空间向量的坐标公式求出直线E F 与 平 面 所 成 角的正弦值，进而根据线面角的范围以及同角的平方关系即可求出结果.【详解】以O为坐标原点，OA所在直线为x 轴，0c所在直线为V轴，。4所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为 2,则。(0,0,0),8(2,2,0),4(2,0,2),E(O ),F(1,1,0),则。8=(2,2,0),A=(2,0,2)，历=(1,0,T),设平面A a)的法向量为 =(x,y,z),则令*=1，则平面AB。的一个法向量为 3=(1,-1,-1),设直线E F 与 平 面 所 成 角 为 a,.n-EF 1x1 1x0+(1)x(1)乖)则 sin a=T-7-j =/.=附 用 712+(-1)2+(-1)2X712+02+(-1)2 3又 因 为 线 面 角 的 范 围 是 则 c o s a=3.1 2 3故选：C.二、填空题3 x-y 01 3.若变量MN满足约束条件：Y+)4 4 0,则 z=4x+2y的最小值为.x-y+l+c-22 4所以-=bcsn A，4 2因为+c2-a2=2/7ccosA,所以 2 cos A _ J_ csin A,BP sin A=cos A,4 2因为A 0,),所以A=?故答案为：415.若点尸到直线y=-l的距离比它到点(0,3)的距离小2,则点P的轨迹方程是.【答案】x2=2 y【分析】根据题意，将条件转化为点尸到直线产-3 的距离与它到点(0,3)的距离相等，结合抛物线的定义即可求解点尸的轨迹方程.【详解】点尸到直线y=-1 的距离比它到点(0,3)的距离小2，点尸到直线产-3 的距离与它到点(0,3)的距离相等，.点户的轨迹是以(0,3)为焦点、直线/：y=-3 为准线的抛物线，因此，设尸的轨迹方程为f =2 4，(。0),可得=3,解得P=6,2p=12,动点尸的轨迹方程为x?=12y.故答案为：x2=1 2 y.16.在长方体ABC。-中，AB =,8 c =2,则异面直线4。与 所 成 角 的 余弦值为.【答案】上28【分析】以。为原点，D 4为 x 轴，DC为 y 轴，3 4 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A力 与 所 成 角 的 余 弦 值.【详解】以。为原点，D 4为 x 轴，DC为)，轴，为 z 轴，建立空间直角坐标系,*；在长方体 ABCD-A,BR 中，AB=1,BC=2,AA,=0,.A(2,O,6)，A(O,O,6),D(O,O,O),8(2,0),A O=(-2,0,-G),鹤=(-2,-1,6)设异面直线A。与B R所成角为0,则 cos 0=|AQ叫 =而,叶侬疗血一2 8异面直线AD,与DBt所成角的余弦值为眄.28故答案为：巫.28三、解答题1 7.已知等比数列 4 的前”项和为S“，且=4,%=32.(1)求 可 的通项公式；若 5.=3 1,求.【答案】(l)a=2T(2)n=5【分析 1(1)根据已知条件求得首项和公比，由此求得 4 的通项公式.(2)利用S“=31列方程，化简求得”的值.【详解】(1)设等比数列%首项为4,公比为4,1 5 2 产 1=1，4=2,=3 2所以。=2 工-2n(2)S=-=2 -l=3 1,2”=3 2,=5.1-21 8.已知函数/。)=工2 一 2 工 一 1 一 (o e R).(1)若。=1,求不等式/(幻 。的解集；若不等式/(幻 。的解集为R,求。的取值范围.【答案】(1)(-8/-石)1(1 +73,4-00);(-8,-2).【分析】(1)代入。=1,然后根据一元二次不等式的解法计算即可.(2)依据题意得到 0,可化为 X2-2X-2 0,解得或 X1+6，不等式f(x)0 的解集为(-00-石)(1 +后,+8).(2)不等式/(x)0可 化 为 2 彳 j0,不等式f(x)0的解集为R,A=4 -4 x (一 1 一。)2ac-2acx,4 24整理得：匚 双，当且仅当。=。时，等号成立，则A3C面积的最大值为x x-=xV2 x(2 4-72)=/2 4-1 2 2 2-V 2 22 0.如图，在四棱锥尸 A3CO中，底面A8CD是平行四边形，侧棱PZU 底面ABCD,PD=DA=DB,(2)求平面D E F与平面A B C D夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；立.3【分析】(1)证明4)1.平面以。为原点，。48,)户 所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，证 明 无.办=o 即得证；(2)利用向量法求平面。所 与平面ABC。的夹角的余弦值.【详解】(1)解：因 为 底 面 A B C D,所以又 P B L BC,AD/BC,AD PB,因为PD,P B为平面P B D内的两条相交直线，所以AD，平面打犯.以。为原点，04,10反。尸所在直线为了,)，,2轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 PD=1,则由已知,可得(0,0,0)由(1,0,0),3(0,1,0),C(-l,1,0),尸（O,O,l）,E（O,；mg,|）,所以宓品=（o,另）(2)解：因为D k =(0,g,；),D =(T，gq),设平面D E F的法向量为7 =(x,y,z)，m D E =O,得加。尸=0,由 _L底面 A8CO,所以6 P =(0,0,1)为平面A B C D的一个法向量,所以c o s(w,DP)-J =-,/V 3 x l 3所以平面O E尸与平面A 3。的夹角的余弦值走.32 1.已知椭圆C的 焦 点 为-(-6,0),名(6,0),且长轴长是焦距的 竽 倍.(1)求 椭 圆C的标准方程；若 斜 率 为1的 直 线/与 椭 圆C相 交 于AB两点，已 知 点P(l,l),求&A B P面积的最大值.【答案】(1)二+2=1；4 1.【分析】(1)根据给定条件求出椭圆半焦距C，长短半轴长4,。即可得解.(2)设出直线/的方程，再与椭圆C的方程联立，求出弦A 3长及点P到直线/的距离，然后求出一/W P面积的表达式并求其最大值即得.【详解】设 椭 圆 C 的标准方程为 +看=1（。6 0）,依题意，半焦距C=G，2 =当x 2 c,即。=2,b2=a2-c2=1所以椭圆C 的标准方程为+y 2=l.（2）依题意，设直线/：y =x +m,4（3,乂）,3（,必），y=x+m ,由 1 工 2+4 2 -4 消去 丁 并整理得：5%2+8)n x+4M -4 =0,由 =M m2-20(W-4)=-K m?+80 0 ,解得一石?逐，,七 8 2 4/?2-4则有X +占=-，xx2=-，于是得|从同=Jl+产 x+/)2 _4 菁&=拒 x 4 义 4 4=-M,而点尸到直线/的距离为d=H.至 因此，A 3 Q 的面积 S -1 1 AB-d=YX-m2 x=-1-J5m2-m4=-1)2+0）上一点（；,到焦点的距离为1（1）求抛物线的方程；（2）若直线/与抛物线交于AB两点，且满足O A _ L 0 8（。为坐标原点），证明：直线/与x 轴的交点为定点.【答案】（l）V=2x；（2）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件利用抛物线定义求出?值即可作答.（2）直线/不垂直于y 轴，设出其方程，再与抛物线方程联立，借助向量数量积即可计算作答.【详解】依 题 意，抛物线V=2px 的准线为：K=/,由抛物线定义得：g +勺1，解得P=l，所以抛物线的方程为：/=2 x.（2）显然，直线/不垂直于y轴，设直线/的方程为x=+并设A（x”x）,B（w，%）,由 卜=2 消去x并整理得，y2-2 my-2 t=0,贝0必=一力，中=日 因=/，x=my+12 2因。4 L O B,则。4。8均为非零向量，即2 0,由。4.03=%&+乂H=*-2，=（），解得f=2此时直线/方程为：x=my+2,直线/与x轴交于点（2,0）,所以直线/与x轴的交点为定点.