2022-2023学年北京市丰台区高二上学期数学期末试题（解析版）.pdf

2022-2023学年北京市丰台区高二上学期数学期末试题一、单选题1.已知经过A(0,2),8(1,0)两点的直线的一个方向向量为(1，那 么 心()A.2 B.1 C.D.22【答案】A【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系求解.【详解】由题意：k=泊2-(=)一 2,解得：k=-2.故选：A.2.圆C:(x-2)2+(y-2 =4 的圆心坐标和半径分别为()A.(-2,-2),2 B.(2,2),2 C.(-2,-2),4 D.(2,2),4【答案】B【分析】根据圆的标准方程求得.【详解】根据圆的标准方程得圆心为(2,2),半径为2故选：B3.有 一 组 样 本 数 据，斗的方差为0.1,则 数 据*+2,*2+2,+2 的方差为()A.0.1 B.0.2 C.1.1 D.2.1【答案】A【分析】由方差的定义直接求解即可._ _ 1【详解】设4，七的平均数为1即X=(芭+匹+当)，贝 I Jn数据X+2,尤 2 +2,+2的平均数=九+2，一(%1-x)2+(x2-x)2 H-F(xn x)2=0.1,n所以数据X+2,+2,4+2 的方差为：1 _ _ _s=(玉 +2%2)+(%2+2 x 2)+(x/t+2 x 2)n=一(玉 -x)2+(x2 x)2 4-F(xn x)2=0.1,n故选：A.4.已知，小 是实数，若a =（2,2加一3,2）,石=（4,2,3-2）,且3分，则 加+=（）A.-4 B.0 C.2 D.4【答案】D【分析】根据空间向量共线，即可代入坐标运算求解.【详解】由 得 存 在 实 数4，使 得 心 加，故（4,2,3/-2）=处2,2加一3,2）,4=2 2进而，2=彳（2加3）,解得,=2,所以机+=4,3-2 =2 2故选：D5 .记录并整理某车间1 0名工人一天生产的产品数量（单位：个）如下表所示：那么这1 0名工人一天生产的产品数量的第3 0百分位数为（）A.4 9.5 B.5 1 C.5 2 D.5 3【答案】C工人赵甲钱乙孙丙李丁周戊吴己郑庚王辛冯王陈癸产品数量/个4 64 85 15 35 35 65 65 65 87 1【分析】根据百分位数的计算即可求解.【详解】1 0名工人一天生产的产品数量按从小到大排列为：4 6,4 8,5 1,5 3,5 3,5 6,5 6,5 6,5 8,7 1,贝 心0 3 0%=3,故第3 0百分位数为第3个数据与第4个数据的平均数，即2爰=5 2,故选：C6 .某工厂对一批产品进行了抽样检测，下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是6,2 6 ,样本数据分组为6,1 0）,1 0,1 4）,1 4,1 8）,1 8,2 2）,2 2,2 6 ,已知样本中产品净重小于1 4克的个数是3 6,则样本中净重大于或等于1 0克并且小于2 2克的产品的个数是（）频率/组距0.0 7 50.0 6 2 50 0 5 -H0.0 3 7 5 1.1.I._0025 bnl in,6 1 0 1 4 1 8 2 2 2 6 克A.9 0 B.7 5 C.6 0 D.4 5【答案】A【分析】根据频率分布直方图进行求解即可.【详解】设样本容量为，因为样本中产品净重小于1 4 克的个数是3 6,所以有史=（0.0 2 5 +0.0 5）x4n =1 2 0,n所以样本中净重大于或等于1 0 克并且小于2 2 克的产品的个数是（0.0 5 +0.0 7 5 +0.0 6 2 5）x 4 x 1 2 0 =9 0,故选：A7 .已知生产某种产品需要两道工序，设事件A =第一道工序加工合格”，事件8 =第二道工序加工合格“，只有第一道工序加工合格才进行第二道工序加工，那么事件“产品不合格”可以表示为（）A.7 B.AB C.AB D.【答案】D【分析】由题意可知“产品不合格”包括第一道工序加工不合格和第一道工序加工合格而第二道工序加工不合格，从而可求得结果.【详解】因为只有第一道工序加工合格才进行第二道工序加工，所以事件“产品不合格”包括第一道工序加工不合格和第一道工序加工合格而第二道工序加工不合格，所以事件，产品不合格，可以表示为XU A豆，故选：D）28 .已知双曲线，-卓=1（。0,6 0）的 右 支 与 圆 产+炉/+廿 交 于A,B 两 点,O为坐标原点.若O A B 为正三角形，则该双曲线的离心率为（）A.|B.巫 C.V2 D.2【答案】C【分析】由题意可求出A1辛因为卜双曲线,=1（“0/0）上，代入双曲线的方程化简即可求出双曲线的离心率.2,【详解】因 为 双 曲 线 -卓=1（。0/0）的右支与圆*2+），2=/+6交于A,B两点,且AO A B为正三角形，所以设A在一象限，则A1半,9，因为 FI T在双曲线上，3 c 2?所 以4 4 又 因 为/=。2+从，a2 b2化简得：-8 2C2+3C4+4 4=0,同时除以a。化简得：34+4-8/=0,即（3/-2）（/-2）=0,解得：?=|（舍去）或/=2,所以e=/2-故选：C.9.在平面直角坐标系x O y中，方程+3?+产J（x-3）2+.=13对应的曲线记为C,给出下列结论：（0,0）是曲线C上的点；曲线C是中心对称图形；记A（-3,0）,6（3,0）,P为曲线C上任意一点，则AW 面积的最大值为6.其中正确结论的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【分析】把点（0,0）代入验证等式是否成立判断；点（-x,-y）代入方程化简验证是否等式不变判断；等式两边平方化简整理成y=（x）,取值计算判断作答.【详解】把点（0,0）代入 7（X+3）2+/-7（x-3）2+y2=A/32+02.7（-3）2+O2=9*13所以点（0,0）不是曲线c上的点，故不正确；把点(-X,-y)代入得 J(T+3)2+)2.J(r _ 3)2+)2=13变为 J(x +3)2+y，.J(x-3)2+y 2=13,所以曲线C 是中心对称图形，故正确；将方程两边平方：(X+3)2+/.(X-3)2+/=16 9n /*+2任 +9)；/+卜2 -9,=169=.y2+(x2+9)=16 9-(X2-9)2+(/+9 7=169+3 6/y2=7169+367-(%2+9),当 x=l 时，此时点尸。,),由 丁=/169+36x2-(x2+9)=/205-10/200-10=10(-1)4 ,得|谒 2,则%=:|A M|4 g x 6 x 2 6,故不正确故选：B【点睛】当证明一个曲线是否关于原点对称则需把点(-x,-y)代入验证是否与原来曲线相同;当证明一个曲线是否关于y 轴对称则需把点(-X,y)代入验证是否与原来曲线相同；当证明一个曲线是否关于X轴对称则需把点(x,-y)代入验证是否与原来曲线相同；当证明一个曲线是否关于y=x 轴对称则需把点(y,x)代入验证是否与原来曲线相同；求一个二元曲线，可以把其中一个元，用另一个元来表示，看成函数求最值.二、多选题1 0.已知圆M:X?+丁=1和 N:(X-2亚+(y_ 2&=小(m 0)存在公共点，则m的值不可能为()A.3 B.372 C.5 D.472【答案】ABC【分析】根据圆与圆的位置关系进行求解即可.【详解】因为圆M:/+)，2 =1和N：(X-2 0)+(y-2 夜)=/(，*0)存在公共点，所以两圆相交或者相内切或者相外切，-l|AW|/?7 1|5/8+8|w?l|4 y?=2=y=0，而 y e(),1 ,不成立；若=4 y 2+4=j2 2+(2-2 y)2 n y =g,所以本结论成立；：当 x=0,y=l 时，P(0,2,2z),设 平 面 的 法 向 量 为 正=3,a c),而=(2,2,0),8。；=(2,2,2),丽=(0,2,2z),因此有rnrBDm BQm-BD=0 _ =m-BDx=02。+26=02 +2Z?+2c=0=m=(l,-l,0)_ 阶 明 2cos/n,BP)=.,MH 如 V2-|BP|所以点尸到平面BDD、的距离为：网 cos 加 丽 =鬲研.麻 卜 加 ,显然 S,B皿=1-D,.BD=|X2XV22+22=2 2,三棱锥P-BDDt的体积恒为g x&x 2夜=g,所以本结论正确；当z=l,且x+y=l 时，P(2x,2y,2),BP=4x2+4y2+4,BDt=722+22+22=2后,DtP=yj(2-2 x)2+(2-2y)2,由余弦定理可知：cosNPBR=4x2+4/+4+12-4+8X-4*2-4 +8)，-4y222.74%2+4/+4-2 7 3yj3-yx2+y2+于是有sinNPBD、=-cos2 Z PBD,=沙二v3 +y-+1S的*=；x 2+4丁+4 2 K=2d3x2+3 7=2也+3(1-12 l3-yx+y=2,l+r当x=:时，BP。的面积的最小值为2、口=&,所以本结论正确；2 V 2：当 z=l,且 x+y=t时,PB=(-2x,-2y,-2),PDt=(2-2x,2-2y,O),假设 NBPD、为直角，所以方 _L PD；=P PD；=0=-2x(2-2x)-2y(2 2y)=0(1),由 x+y n y -x,代入(1)中，化简得：8x2-4.r-l=0,解得 x=当*=_ 11且 时，y=上 叵 0,不符合题意，而x=E 更 0,不符合题意，所以假设不成，因此4-4 4本结论不正确，故答案为：【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式是解题的关键.四、解答题1 6.已知A04B的三个顶点分别是0(0,0),4(2,0),6(4,2).求AOAB的外接圆C 的方程；求直线/：4x+3y-8=0被圆C 截得的弦的长.【答案】(l)f +y2_2x-6y=0(2)6【分析】(1)设圆C 的方程为产+/+5+&+F=0,则根据圆C 经过三点0(0,0),A(2,0),B(4,2),联立方程组，求得。、E、F 的值，可得圆C 的方程.(2)根据点到直线的距离公式求出圆心C 到直线/的距离为1,进而根据圆的弦长公式即可求解.【详解】(1)设圆C 的方程为丁+产+瓜+现+尸=0,则由圆C 经过三点0(0,0)A(2,0),8(4,2)F=0 D=-2可得 4+2。+尸=0,求得,E =-6,可得圆C 的方程为f +y2-2x-6y=0.20+40+2E+F=0 F=0（2）将圆 2 +/_ 2 乂-6丫 =0 化成标准式得（-1）2+（丫-3）2=1 0,所以圆心为C（L3）,半径为r-w,圆心、至 U 直线/：4x+3y-8=0 的总巨离为=l4+98l=1 ,5故直线/：4x+3y-8=0被圆C 截得的弦的长2户示=2麻7=61 7.如图，在正四棱柱A B C Q-A 8C R 中，AAi=2AB=2BC=2,M 是棱CC,上任意一点.（2）若 M 是棱CC,的中点，求异面直线AM 与 BC所成角的余弦值.【答案】（1）证明过程见解析 且3【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直；（2）在第一问的基础上，利用空间向量求解异面直角的夹角余弦值.【详解】（1）证明：以A 为原点，AB,AD,A 4所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，因为 AA=2AB=2BC=2,所以A（0,0,0）,8（1,0,0）,3（0,1,0）,M（l,1,6），0 m ”也.1 9.已知抛物线C:丁=2px(p 0)过点 A(l,2).(1)求抛物线C 的方程及其焦点坐标；(2)过点A 的直线/与抛物线C 的另一个交点为8,若A。2 的面积为2,其中。为坐标原点，求点8的坐标.【答案】(l)C：V=4 x；(1,0)(2)见解析【分析】(1)把点4(1,2)代入抛物线方程求解.(2)直线/的方程设出来联立韦达定理，求出点8 用斜率表示，根据面积等于2 找到关于斜率的表达式求解.【详解】(1)因为抛物线C:y2=2px(p 0)过点A(l,2),所以4=2小”=2所以抛物线C:)*=4 x,焦点坐标为(1,0)(2)由题意得直线/的斜率一定不等于零，设/的方程为x 2)+1与抛物线联立，二 1 I 得 丁-4)+8/-4=0,A=(4r)2-4(8r-4)0,故设 8(4,)，根据韦达定理得：yB+2=4t.-.yB=4 t-2,直线/与x 轴的交点为(1-2，,0)所以 的面积为 3|1 2小|(4-2 卜 2|=2|2 产 3f+l|=2,3 1所以：=0 或/=或f=-：或f=22 2当f=0 时 为=小-2=-2,/=1,所以点8(1,-2)当/时 为=4 2=4,xAf=-x(4-2)+l=4,所以点 8(4,4)当,=一；时为=4/-2 =-4,4 =-；x(-4-2)+l=4,所以点 5(4,-4)当 f=2 时=4 f-2 =6,xfl=2 x(6-2)+l =9,所以点 8(9,6)2 0.如图，在四棱锥 P-A B C D 中，P O J _平面 A B C。，A B/C D,Z A Z)C =9 0,且A D =C D =P D =2AB.(2)求平面2 4。与平面P8C夹角的余弦值;7(3)在棱尸8上是否存在点G (G与P,B不重合)，使得0G与平面P8C所成角的正弦值为:？若存在，求 黑 的值，若不存在，说明理由.PB【答案】(1)证明过程见解析；|;存在，喂89【分析】(1)利用线面垂直的判定定理进行证明即可；(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；(3)利用空间向量夹角公式进行求解判断即可.【详解】(1)因为A 8 C Z),Z A D C =90 ,所以 N 3 A D =9 0。n 5 4 _L AD,因为P。，平面A B C。，5 4u平面A B C。，所以P Q J L 8 4,因为4。口 叨=。,人。,包)匚平面皿,所以AB1平面P A。；(2)因为尸O _L平面 A B C。，ZADC=90 ,所以可以建立如图所示的空间直角坐标系，设4 3 =1,P(0,0,2),A(2,0,0),B(2,l,0),C(0,2,0),D(0,0,0),由(1)可知ABI平面B4Q,所以平面PAD的法向量为A月=(0,1,0),设平面 P B C 的法向量为4=(x,y,z),=(2,1,-2),P C =(0,2,-2),所以有n-P B =On-PC=O2x+y-2 z=02 y-2 z=0=(1,2,2)设平面PAD与平面PBC夹角为0,c n-AB 2 2c s丽=育7。=5，所以平面尸4)与平面PBC夹角的余弦值为二(3)设 而=义 方(H e(0,1),可得点G的坐标为(2 4九2-2团,所以方6=(2 4,；1,2-2；1),由(2)可知平面PBC的法向量为5 =(1,2,2),7假设。G与平面P8C所成角的正弦值为;,所以有:2 _|Z)G-/z|23 =|D G|.|n p 32A+2A+4-4AJ l +4 +4 x 4/1 +A +(2 2 A)8n2=G，或2=舍去，7因此假设成立，所以在棱网上存在点G(G与P,8不重合)，使得OG与平面PBC所成角的正弦值为4.21 7P GF 的1 V l收值.为“82 1.已知椭圆 E:+%=l(a 6 0)过点 A(2,0),3(0,1)两点.求椭圆E的方程；(2)过点尸的直线/与椭圆E交于C,。两点.(i)若点P坐标为(2,1),直线B C,8。分别与x轴交于M,N两点.求证：=(ii)若点尸坐标为直线g的方程为G x-6)-2退=(),椭圆E上存在定点Q,使直线Q C,Q。分别与直线g交于M,N两点，且|A M|=|A N|.请直接写出点。的坐标，结论不需证明.【答案】丁 E(2)(i)证明见详解；(ii)Q(2,0)【分析】(1)将点代入方程中求出“为即可；(2)(i)根据题意可知直线8 斜率一定存在且不为0,画出图形，设直线CD方程代入椭圆E中，写出韦达定理，然后写出直线8C,的方程，令 =0解出M,N两点，由图可知，M,N,A三点共线且在x轴上，所以要证明|AM|=|A N|,只需证明A为,N的中点，由M,M A的纵坐标均为0,故只需证明加+4=2 4即可；(i i)利用特殊情况可得。(-2,0),再证明此时对任意到直线/，总 有 卜|AN|.9 2【详解】(1)由椭圆点:+卓=1(。0)过点A(2,o),8(0,1)两点，所以。=2,6=1,2所以桶圆E的方程为：+/=1.4(2)(i)由题意如图所示:由题意结合图形可得直线CD斜率一定存在且不为0,设为k,则 直 线：y T =（x-2）=y=M x-2）+l,y=k(x-2)+联立院，消元整理得:（1 +4公卜2+8%（1-2少 +16以1）=0,设。%,芳）,。（,力）,则-诙（2 J）_ 1 6 -1）川玉+W-1 +4/1 +4/所以x =何-2 4+1,%=2-2 2+1,由 限=名 二”王（2 1k 1-I XJ,_ 必一1kfjD k 1-I%._2X则直线加：二攵1x+1,令、=,得 =砧%=（/J ）2同理直线*）：=%1x+1,I X2）令,得乐=卷1=）由图可知，M,M A三点共线且在x轴上，所以要证明AM=AN,只需证明A为,N的中点,由M,N,A的纵坐标均为0,故只需证明/+/=2 x 2 =4即可;因为i二后才送Q-$2-X21%（2-无2）+（2 -百）%（2f）（2-）1 2（%+%2）-2%2k 4-2（芭+）+士工22 8/21）2 1 6-1）1 1+4公 1+4公晨 8 k（2无_1）16%（2 _ 1）42 i T+74iT1 16%（2左-1）-32 A（A-1）I 4（1 +4 4 2）_ 16%（2左 一1）+16%（左-1）32k2-6k-32k2+32k一层4+16%2-32公+16%+16公-164=L4k=4k所以 4,+XN=2XA=4所以A为M,N的中点，故|AM|=|AN|.(ii)先取直线/的斜率为则/的方程为：y=(x-2)+3=3%,此时C,关于原点对称，因为A在直线g上，且|AM|=|4N|,M,N相异,故A为MN的中点，而。为CO的中点，故。，O,A三点共线，因。在椭圆上，故。的坐标为(-2,0).下面证明：当。(-2,0)时，|AM|=|AN|,设直线/:x=t(y-率+2,。(药,凶),。(孙),由 x=f()二7)+2可得(/+4)/+2/2-t y+；/_竽/=0,x2+4y2 =4 1J此时A=4产 2-日f)-4(*+4)故 f0 或 f,又 3,不 一 丁，y+M=-I-出=-y=y(X +2)y x+2 4 y又直线QC:y=(x+2),由 可 得 加=上。;6，士+2 6 6&+2-2/3同理景y j而 小”r+4 3 J 产+4(/+2-2 6%)(玉 +2-26 y)=4x0=0,所以A 为M”的中点，故|A|=|AN|,故。（-2,。）.