2022-2023学年北京市海淀区高二年级上册学期期末数学试题及答案.pdf

2022-2023学年北京市海淀区高二上学期期末数学试题一、单选题1.已 知 集 合/=-2，T，L2 ,5 =x|-l x 2；则4nB=()A.MDB.T，0c 0,1,2 D.-1.0 4,2【答 案】A【分析】根据交集的定义直接求解即可.【详解】因 为=一2，-1，1，2 ,B=x|-l x 2 所 以/ns=o,故选：A.2.在复平面内,A.第一象限复 数1-i对应的点位于B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答 案】BL i 一 i(l +i)1-z (l-z)(l+z)【详 解】试题分析:-1+Z21 1 .-F /2 2对应的点为在第二象限【解 析】复数运算点评：复数运算中分子分母同乘以分母的共规复数,复 数。+从 对 应 的 点 为(”涉)3.双 曲 线1 6 9,3=1A.y-x4的 渐 近 线 方 程 为(4y =-XB.3yc.TxD.1 6)5【答 案】A【分 析】根 据 双 曲 线 的 方 程 求 出 的 值,y=x代入渐近线方程。即可.【详解】因为双曲线 1 6 9 ,所 以aJ.3y=-x=xa 4=4/=3所以双曲线的渐近线方程为故选：A/(X)=x3,4.设函数 x ,则/(X)(A.是奇函数，且在(0,+8)单调递增)B.是奇函数，且在(0,+oo)单调递减C.是偶函数，且在(0,+8)单调递增D.是偶函数，且在(0,+oo)单调递减【答案】A【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为 卜,利用定义可得出函数,（X）为奇函数,再根据函数的单调性法则，即可解出.【详解】因为函数）一、7定义域为 小*0 ,其关于原点对称，而f）=-/（x）,所以函数/G）为奇函数.又因为函数y=在（0,年）上单调递增，在（-上单调递增，而 一 3一、在（，年）上单调递减，在（-，）上单调递减，所以函数，）一 一 7在（，*）上单调递增,在（-，）上单调递增.故选：A.【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题.5.已知外尸是两个不同的平面，直线/u a,那么“a 6，是/口口夕，的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据面面平行的判断和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：已知。，是两个不同的平面，直线,u a,若a /，则/若 口口/，则。，尸相交或平行,所以“a 尸，是“/口 尸”的充分而不必要条件.故选：A.，(x)=,一,x 0 x2 a,x 2 06.己知函数的值域为R,则实数。的取值范围是（)A.（一.）B.（,+0 C.（一 刈 D.口,+8）【答案】D-0【分析】由于当x 0 时，x,所以当xN 0时，求出2*-。的最小值，使其最小值小于等于零即可./(x)=-0【详解】当x 2-a=-a t因为函数 1 2 一。/2（）的值域为区，所以 1-。40,得所以实数。的取值范围是口 包），故选：D.7.点尸在抛物线V =叙 上，则P到直线x=-l 的距离与到直线3 x-4 y +1 2 =0 的距离之和的最小值为（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【分析】由抛物线定义可知最小值就是焦点到直线-4），+1 2=的距离，由点到直线距离公式得解【详解】由抛物线定义?到直线x=T的距离等于尸到抛物线焦点距离，所以尸到直线-1的距离与到直线3 x-4 y+1 2 =0 的距离之和的最小值，_|3 x l-4 x 0 +1 2|_即焦点（L）到直线3 x-4 y+i2 =的距离：J 3 2 +4 2故选:B.8.如图，半径为1 的半球内有一内接正六棱锥P-NBCDM,则异面直线P 8 与/尸所成的角为()【答案】C【分析】取球心,直线5 E 过点,/尸8 即为所求，在 中 求 解 即 可.【详解】取球心,直线8 E 过点,由正六边形的性质知故Z P 8 O 即为异面直线心与/!尸所成的角（或补角）,Z P B O =-易知AP 8 为等腰直角三角形，即 4 ,7 1即异面直线尸8与力尸所成的角为不，故选：C.P9 .己 知 直 线=尸为圆C:x 2+/-4 x -2 y +l =上一动点，设尸到直线/距离的最大值为4（机），当”（M 最大时，加的值为（）_ 1 _ 3 2A.2 B.2 C.3 D.2【答案】A【分析】先得出直线/过定点（LT）,再求出圆心坐标，由圆的对称性以及斜率公式得出机的值.【详解】因为所以直线/过定点 1）,圆C：x2+y 2-4 x-2 y +l =可化为（x-2）2+（y-l）:=4）则圆心C（2，D,厂=2,由圆的对称性可知，当 1/时，P到直线/距离的k _ J（T）_ 2 m=最口 大1，则nl A C O2-11 -,Kk A C 72.故选：A1 0.如图，在正方体 8C D-4AGA中，E 为棱8c的中点.动点尸沿着棱OC 从点。向点C 移动,对于下列四个结论：存在点P,使得P4=PE：存在点p ,使 得 平 面P 4 E .P 4E 的面积越来越小；四面体4PAE 的体积不变.其中，所有正确的结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】设正方体棱长为2,。尸=加，求出尸屋，尸炉，由*解得皿04旌2),确定正确,考虑到P到平面4 A 的距离不变，从而易判断，以 ，DC,DD,为x,%z轴建立空间直角坐标系,可 证 明 两 不 可 能 与 垂 直，故不正确：设P(0,机,0),(04，4 2),由空间向量法求得尸到4 的距离，由距离的变化规律判断正确.【详解】设正方体棱长为2,=机，由A A 1平面A BCD,A P u平面A B C D得力4，力尸，同理PC 1 EC,所 以 尸=/彳 +/。2+。产=8+w2,P E2=P C2+C C f+CtE2=4+(2-m)2+=5 +(2-m)2由8+加2=5+(2T)2得机一W,存在P使得尸4=尸石，正确，正方体中，C。平面481GA，P e C D,所以P到平面4 4 G A的距离不变，即尸到平面4 4 E的距离不变，而面积不变，因此三棱雉尸-4 ,即四面体4尸8也的体积不变，正确；以为X j,z轴建立空间直角坐标系，如下图，X正方体棱长为 2,则 4 (2,0,2),凤1,2,2),8(2,2,0),R (0,0,2),4 E =(-1,2,0),8 鼻=(-2,-2,2),BD4 E =-2*0,所以8。,不可能与4后垂直，故加(1 平面尸4也不可能成立,故错误;设尸(0,7,0),(0机 4 2)P E =(l,2-M,2),P E =A/l+(m-2)2+4 =J m?-4m+9,从目=J?,c os(P E,A)=叱 一 产(-1,2,0)所以 V 5-V w2-4 7 w +93-2/H5 -yjm2-4 w +9d=P E si n(函 码=7W2-4W+9-设尸到直线 E 的距离为“，则 3-2m、_ J 加 2 8 加+3 6 _ J(加-4)2+2 0、V 5 J?，-4 加+9，亚 石由二次函数性质知加2 时，=(加-4)2+2 0递减，所以d递减，又石不变，所以4 所的面积为万用”递减，正确，综上：正确故选:c.【点睛】立体几何中存在性或探究性问题涉及到的点具有运动性和不确定性属于动态几何问题，用纯几何的方法来解决对空间想像能力、作图能力和逻辑推理能力的要求很高，若用向量方法处理，尤其是通过建立空间直角坐标系求解问题则思路简洁明了，本题中用向量法解决点P到直线4 的距离问题避免了抽象复杂找距离过程，而且将距离的变化情况转化为函数的单调性问题解决更简单明7.二、填空题yjx+1y=-1 1.函数 e 1-l 的 定 义 域 是.答案0)1 1(0,+o o)【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，即可求得结果.J x +l 0【详解】由题意得l e T w O,解得xN T且XHO,所以函数的定义域为【-L O)U Q*0),故答案为：T，）UQ+8）c-=11 2.已 知 双 曲 线,/b2（。0,6 0）的离心率为0，的焦点到其渐近线的距离为5,则a=.5【答案】2#2.5【分析】由离心率得“，c 关系，结合点到直线距离公式，由焦点到其渐近线的距离得6 =5,结合关系式，即可求解.e =4s y=-x【详解】由题可知，a，设双曲线一条渐近线为 a，即 及-=0,结合点到直线距离b c-h c-b fl=5公式，得 五2。,即b =5,又因为。2=02+，联立解得“-5.5故答案为：21 3.已知点P（2，）和圆：/+/=3 6 上两个不同的点河，N ,满足/M P N =9 0。，。是弦N 的中点，给出下列四个结论：也门的最小值是4；点。的轨迹是一个圆；若点”（5,3）,点例5,5）,则存在点。，使得4。8 =9 0。；AM P N 面积的最大值是1 8+2 J 万.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【答案】【分析】可以通过设出圆的参数方程，进行求解；设出（X/）,找到等量关系，建立方程，求出点。的轨迹方程，即可说明；转化为两圆是否有交点，说明是否存在点；当斜率分别为1 和-1 时，且点P,在夕轴左侧，此 时 面 积 最 大，求出最大值.详解点M 在圆0：/+产=3 6 上,设 M（6 c o s.6 s i n。）,则|=J（6C OS2）2 +（6 s i n*J 4 0-2 4 c o s。,当*=1 时，也 P 取得最小值，最小值为4,正确；设点。G M,则由题意得：P Q2 QM2 OM2-OQ则（x-2）+/=3642+力，整理得：(X-1)-+J2=1 7；所以点。的轨迹是一个圆，正确；为以X/1 7+1)两圆相离，故不存在点。，使得4。8=90。，错误；当尸A/,PN斜率分别为1和4时，且点尸，在y轴左侧，此 时 为 等 腰 直 角 三 角 形，面积最大，此时尸。=。凹=1 +炳，(S Q m5x2x(l+何=18+2如，正确故答案为：【点睛】轨迹方程问题，一般处理思路，直接法，定义法，相关点法以及交轨法，要能结合题目特征选择合适的方法进行求解.三、双空题1 4.若 4B.A C=A B=4,且丽 荏 的最大值为【答案】2-2【分析】由方凝 =4即可求以耳，结合已知条件可得C在过8点垂直于 3的直线上，而P在以A为圆心，I为半径的圆周上，应用数形结合法判断丽刀的最大时R C的位置，即可确定最大值.【详解】由 刀2斗 研=也 可 得 网=2,由题设，0在过8点 垂 直 于 的 直 线 上，而产在以A为圆心，1为半径的圆周上，若 丽=而，如下图示，.CP A B=CP C D,要使丽懑的最大，只需4 P,8共线，炉在而上的投影最短,由图知：4P,8共线时，丽 万的最大为-2.故答案为：2,-2.【点睛】关键点点睛：由已知条件将向量转化为图形形式，数形结合法分析丽布 的最大时动点的位置，即可求最大值.1 5.已知等比数列 的各项均为正数，其前 项和为S，前 项乘积为。，4+%=6,则公比4 =；满足S”T”的正整数 的 最 大 值 为.【答案】2 1 0【分析】设等比数 列 的 公 比 为(),然 后 由 题 意 列 方程组可求出生国，再由邑 北解不等式可求出的范围，从而可正整数”的最大值.【详解】设等比数列的公比为 (4 ),因为4=心，&+%=6,所以 i 2 =2 a 3 a M 4%,*+atq6=6 ,因为q“2 HO,所 以%。必 必%=4=1,所 以 牝=1,即”=1,所以代入闻 唯6,得+0-6=0,解得夕=2或g =-3 (舍去)，所以=a S=2 5,则 a=2-4,s2 y(1-2)2”-1所 以 =1一2 =丁,”(n-9)T _ 2 Y+(-3)+(-5)_ 2 2_ 1 n(n-9)z_?2所以由S 北，得24,2 +4所以2”一1 2 2 ,2一9 +8所以2 一2 -2 1,n2-9 +8n -9所以只要 2 ,即2-1 1 +8 0,1 1-V 8 9 1 1 +9-n 1的正整数的最大值为1 0,故答案为：2,1 0.四、解答题/（x）=4 s i n x c o s x1 6.已知函数.13 的最大值与最小值之和为0.（1）求狙的值以及/G）的最小正周期；若函数/（”）在区间他可上是增函数，求实数。的最大值.【答案】（1）机=-石，/（X）的最小正周期兀；5兀12.【分析】（1）先对函数化简变形，然后利用正弦函数的性质求出其最值，从而列方程可求出加的值,再利用周期公式可求出/（X）的最小正周期;rA1 2x 2a 2a (2)由得3 3 3,则由题意可得 3 2,求出。的范围，从而可求出其最大值.【详解】(1),/Yx)=4s i nx c o s I x-3)+w”.(兀 .兀、=4s i nx c o s x c o s 4-s i nx s i n +mI 3 3)d=4s.mxf l c o s x +百 si nx1 2 2 J=2s i nx c o s x +25/3s i n2 x +w=s i n 2x-3 c o s 2x +Ji +tn=2s i n|2x-|+/33所以/“）的最大值为2+百+m,最小值为-2+6 +?因为 x）的最大值与最小值之和为0,所以 2+JJ+7 7 2 -2+JJ+2 =0,得用=一百，所以/(x)=2s i nf 2 x-y所以/（X）的最小正周期为兀.（2）由.口。,得八 c c -2 x-2 a-0 2x 2a,所以 3 3 3,因为函数/G）在区间 0，上是增函数，c 花,兀 八 ，5兀2（7 V 0 。所以 3 2,解得 1 2.5 7 1所以实数。的最大值为五.1 7.在“8 C中，角4&C所对的边分别为a,b,c,现有下列四个条件：领+2）7%C 0 Sf =T；”色T2.（1）条件和条件可以同时成立吗？请说明理由：（2）请从上述四个条件中选择三个条件作为已知，使得8 C存在且唯一，并 求 的 面 积.【答案】（1）不可以，理由见详解.5 _2-V2若选时，8 C存在且唯一，此时面积为“B L 2；s-3若选时，8 C存在且唯一，此时面积为 C 2.2一 兀 B C OS 5因为 32一 兀 B/3x(/2-l)x J l-i =2一 亚故 2 2 V 3 25=2-V|所以若选时，S C 存在且唯一，此 时 面 积 为 一 2.选时，因 为 3,6，b =2所以由/=+62 一 2bc cos 4 可得 C?-2c+1 =0,c=1$1 ,.1 o,V3/3故5.=5 庆$皿/=5 为N C中点，A C=A A 2f求证：%平面4 叫(2)求证：平面B D 4-J-平面4G C ；(3)若 8 c =2应，求三棱柱8C-4 A G 的体积.【答案】证明过程见解析(2)证明过程见解析 而【分析】(1)作出辅助线，证明线线平行，从而得到线面平行；(2)由题干中的面面垂直得到线面垂直，进 而 得 到 平 面 平 面/4 G C；(3)求出S“8C,证 明 出 底 面/8 C,利用柱体体积公式进行求解.【详解】(1)连接“4，交出于点后,连接。E,因为四边形AABB为平行四边形，所以E为4 的中点，因为。为力C的中点，所以。为“4。的中位线，所以。E BC,因为用C(Z 平面4 叫qeu平面4 叫所以q c/平面同 吟(2)因为/8=8 C =m，。为/C的中点,所以5D L4C,因为侧面底面4 8 C,交线为A C,8 u 平面/5C,所 以 侧 面“4 G C,因为BO u平面84,所以平面BDA1平面Z 4 G C ；（3）因为/C =2,A B=B C =屈,D 为 4 c 中点,所以 A D =D C=1 ,B D=-6-1 =5/5因为 血 力 C,所以-T C .如“X回 石因为4 c=2 五,所产6 因为5 D L 侧面 4 G C,4 u 平面所以B D 1 4 D,故&B =2DE =2册,由勾股定理得：AD =A p-B D?=18-5 =百,又 A C=A AX=2所以4。2 +/。2 =/4 2,故Mo/。，因为B D C 4 D =D,所以4 0 _ L 底面4B e,所以三棱柱 B C-%B 的体积为V=S c 4。=百=后小）=巫1 9.已知函数 K（1）求曲线=/（）在点（L/0）处的切线方程；（2）求曲线，=/（）与直线N =xT的公共点个数，并说明理由；（3）若对于任意（。，内），不等式/（）如+2 恒成立，直接写出实数 答案=0（2）曲线J =/（x）与直线 =x-l 的公共点只有一个，证明见解析的取值范围.（3）实数。的取值范围是+功【分析】（1）根据导数的几何意义，求切点坐标与切线斜率即可得曲线y=/a）在点a/。）处的切线方程；（2）构造函数x *,x e（0,+8）,确定函数（x）的单调性与取值情况，从而可得力。）=的根的个数，即 可 得 曲 线 与 直 线 卜=-1 的公共点个数；l n x 0（3）直线夕=依+2 定点（，2）作曲线y =/G）的切线，设切点为I ,/通过导数的几何意义结合函数单调性与取值情况无法解出为,则直线N =“X+2 不与曲线V =/G）相切，结合曲线V =/（x）的图象分析直线N =+2 与其交点情况即可求得实数。的取值范围.”）=叱 m、/）=匕 空【详解】（1）解：函数 X的定义域是9+8）,所以 X,则 1）=0,.r（i）=i,切线方程是：y-o=（xT）,故切线方程为：x-y-l =0；（2）解：曲线 =/（）与直线y =x-1 的公共点只有一个，理由如下:,/I n x .7，/、1-l n x ih(x)=-x+1 /n 、h(x)=-1设 X,x w(0,+8),则 I)X21-l n x-x22X令g（x）=l-l n x-x 1 则g G）-=2 x 0 恒成立，所以（X）在x e（0,+8）上单调递减，rA X 1-l n l-l2 _又“一 I2,所以x e（0,D,（x）,函数 G）单调递增，x w（l,+8）,（x）0,函数”（X）单调递减；n 14 皿（x）=（l）=j 1+1=。（工）=0 人 士 日 日 n/G）=xT后口 后 人则，故、，有且只有一个根工-1,即J、7 有且只有一个根 =1,故曲线y=/G）与直线y=x-i 的公共点只有一个.I n x（3）解：若对于任意“收），不等式/（）6 +2 恒成立，则:（*+又直线、=+2 过定点（，2）,1 叫 k=f（x）1l n v则过点（Z 作 曲 线 片/（X）的切线，设切点为I 与 A 则 斜 率 X；匕通上监。)则切线方程为 飞 而将(2)代入得:2-M/=-!1(一 工 0)=2 I n x0-2 x0-1 =02 2 2x设?(x)=2 1 n x-2 x-l,x e(0,+8),贝/(*)=。,得x =l,所以当x 0,l),m(x)0,加(x)单调递增，当x w(l,+8),M(x)0,(x)单调递减,所以?(x)m m(l)=2 1 n l-2 x l _ l =_ 3 0,/(x)单调递增，当x e(e,+o o),/)0,/单调递减，所以一 八-三 一，乂/3 =时，x =l,且x f+8 j(x)f ,则可得/(x)的大致图象如下：根 据 上 述 结 论 结 合 函 数 图 象 可 知 当 时，直线、=+2 与曲线y=/G)无交点，当。时，直线 好 办+2 与曲线y=/(x)总有交点，从而要使对于任意代(，+8),不等式/(X)b 0)e =2 0.已知椭圆力:。的离心率 2 ,短轴长为2.(1)求椭圆力的标准方程；(2)设A为椭圆少的右顶点，c,。是V轴上关于X 轴对称的两点，直线ZC与椭圆少的另一个交点为 8,点E为 中 点，点，在直线/。上且满足 C O E (0 为坐标原点)，记 4 8 的面积分别为E,邑，若$2 2 5,求 直 线 的 斜 率.X 2*y【答案】（1）4=1=1【分析】(1)列方程组解得人 氏C的值即可.(2)设出直线N 8的方程，可 得 直 线 的 方 程、点C的坐标、点。的坐标，联立直线N 8方程与椭圆方程可得点8的坐标、点E的坐标，由 可 得 直 线 的 方 程，联立直线C4的方程与直线4。的方程可得点，的坐标，由各点的坐标可求得以8|、|/|、M CI、1/0,代入面积之比方程中可得结果.c Ge=a 22b=2=a2=b2+c2a=2b=c =V 3【详解】(1)y 椭圆少的标准方程为4 -(2)如图所示，由题意知，直 线 的 斜 率 存 在 且 不 为0,所以设加：N=(x-2),则 几：y=-k(x-T)(设5(2，%)，令x=0,分别代入直线的方程与直线力。的方程可得：(0，-2g，D(0,2k),y=k(x-2)(4 A;2+l)x2-1 6A2x +1 6A:2-4 =0+y=14 -=（1 6左2 y _ 4（4左2 +i）（i 6-4）0c 16H2 =Ti 8 4 2 2-4k.y 2 4k2+12X2=1 6 -44k2+-4k 4尸+1)M|=V 1 7 F|2-X2|=V 1 7 F|2-|,4，1+公l=7 PTT一 8 k2-2 k、2*i-1：.A B的中点E的坐标为：4公+1 4公+1 ,k0E=-，E 4k又 C 1O E.k E x=-1.kH =4k.lCH.y+2k=4kx,_ 4j y +2k=4kx I X=sj y-2，=竺 4 6kI 5 即：5 5|Z|=J1 +(M)2 1 2 T l:.3 3s,j阻网s i s”I WI 义=-g|/C|/0 s i n/W -I，皿 一 天A BA H 6.MC|MB|=2 5又.|/C|=|A D=y/22+4k2=2sJ +k24 71 +A:2 6，1+公_ _ _ _ _ _ _x _ _ _ _ _ _ _ _呦+1_/6=62A/17F X 2 V 1 7 F _ 5(4/+1)-2 5.孑=1 ,.攵=12 1.已知无穷数列也 满足：=,电=1,且当“23时，总存在?1 2，T,使得(1)求知的所有可能值；(2)求的。2 3 的所有可能值中的最大值；1a a 之-求证：当 2 3 时，+,一 n.1 2 3【答案】(1)1,2 ,3 ,4 .(2)1(3)证明见解析【详解】(1)(1)由题意出=1,故3 T 或万，2当3 =1 时，出=1 或3；1 1 3%=一 =一当 2时，2或 4 .1 2 3所以为的所有可能值为1,2 ,3,4.(2)构造：当%=，%=%=。2 0 2 3 =1 时，符合题设条件，可以取到.下面证明：V 2 3,均有可4 1 恒成立.(反证法)假设存在。*3,使 得%，不妨设先是首个大于1 的项，则 对 于 任 意 的 都 有 I【注：用数学归纳法证明也可以】+小*所以+贝|j n0-i。，,=1,2,%-1,+卬+1+*.故对于任意*1 2 T,都有 这与已知条件矛盾，所以“2 02 3 的最大值 为 L(3)【所证结论需要将“向和勺放缩，所以要确定 的 上 下 界，通过枚举探究猜到.】q +4+%/%+%首先证明引理：3,均有 k-一 k-2 .【用归纳法】当=3 时,4=1或工，引理成立.k/=3o,4A ,?-1,-%=-+-+-ak-/a,(n-i)(al+a2+-+%)o O-1)(,+,+,+一)N (-i)(a,+a2+-+a,.t)=4+%+%n-i i-1 (*)a,%+生 +4-i根据归纳假设，对于左=3,4,-1,均 有 k-1a.%+生 +%所 以 -I ，C l,+CI-.q +生+卬 1-=-U.1 W 4+。2+%+(4 1 2 i-1 _-a-i-+-a-2-+-+-a-.-_-l所以 i i a,+a,+-+a.a.+a.+-+a.z +l6 Z 1 +%+,+qz-14 +4 2 H-4”1依此类推，可得，”，I 中每一项都大于等于 二i ,。】+4+%所以，源，的平均数也大于等于 二i ,故（*）式成立.4 +q+i +氏|.4+%+%再 证（*）式右边一半，同理只需证 n-i-2+%a2+a,+-+a,1即证 1 2（*）,根 据 归 纳 假 设 可 得 i-2,出+%+%+q所 以3 1+仇+F C li.4+/+.+%+_-L 2-i-1%+%i-2%+%+q +%+2 ：%+%+1+2-+-1+。3+.-+。”1 _ 曰.+%n n n 21 /x 1=-：一-(2 +%+%)2 一(一2)n最后一步放缩，利用“I.