2022-2023学年江苏省宿迁高二年级下册学期入学检测数学试题含答案.pdf

2022-2023学年江苏省宿迁市高二下学期入学检测数学试题一、单选题1 .已知，过4（1,1）、B（i,一3）两点的直线与过q3,机）、。（,2）两点的直线互相垂直，则点（机，”）有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个【答案】D【详解】由条件知过力（1,1）,5（1,一3）两点的直线的斜率不存在，而.次0=0,即2-m +3 =0,得加=2,3,点（加,）有无数个.2 .古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作 圆锥曲线论中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A、B距离之比是常数4（2 0 *1）的点M的轨迹是圆.若两定点A、8的距离为3,动点 满 足|2 M B|,则加 点的轨迹围成区域的面积为.A.n B.2万 C.3 n D.而【答案】D【分析】以为原点，直 线 为x轴建立平面直角坐标系，首先确定圆的方程，然后确定其面积即可.【详解】以4为原点，直 线 为x轴建立平面直角坐标系，则8（3,0）设 （三丁），依题意有，J d f ,化简整理得，x2+y2-Sx+l2 =0）即（X-4）2+/=4,则圆的面积为4万.故选D【点睛】本题考查轨迹方程求解、圆的面积的求解等知识，属于中等题.3 .设尸是椭圆C：/+石=1 ）上任意一点，尸为C的右焦点，归川的最小值为收，则椭圆C的离心率为（）也 正 交A.2 B.2 C.2 D.3【答案】A【分析】依据题意得到。-。=血，然后根据=。2-。2得到。+C =3近，最后简单计算即可.【详解】由题意可得=伉/=/_ c 2=(a+c)(a-c)=(a +c)=6,c=1所以a +c =3后，所以。=2及，c =所以离心率 2五2故选:44.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点与，鸟均在X轴上，C的面积为2石兀，且短轴长为2石，则C的标准方程为()+/=1 +匚1 二+匚1 二+匚1A.1 2 -B.4 3 C.3 4 D.1 6 3【答案】B【分析】根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及短轴长为26，即可求得0，6的值，进而由焦点在x轴上可得C的标准方程.八2扃an=-,.兀【详解】由题意可得 2 =解得 2,b=E,-1因为椭圆C的焦点在X轴上，所以C的标准方程为4 3 .故选：B.【点睛】本题考查了数学文化，椭圆的几何性质及标准方程求法，属于基础题.5.已知数列 为等差数列，则下列数列一定为等比数列的是()A.&B.他 C.端 D.I/【答案】A【分析】根据等比数列的定义判断.【详解】设 /的公差是“，即为+%=”,显然2 r0,且 2%=2d一 是常数，2 是等比数列,若凡中一个为1,则 他 与 二 ,则 不 是 等 比 数 列,1只要dwO,。,d 0：则也，中只存在有限负数项，即存在M eN*,当N 时，a,0,则 当 时,也 中均为正项，而另一方面，由上可知例 中公差 忆时，色，中均为负项，取=m a x M，M ,可知此时矛盾，故d 舍去；若 +2=9+2,故答案为：而+2.15 .已知等比数列SJ的前“项和为S“，%=2 4,4=96,且 0,则满足不等式W 9 3成立的最小正整数为.【答案】6【解析】由包=24,%=96,且 0,得 叱。，求出公比夕,进而求出SJ通项公式和前项和工，然后解S 9 3不等式，即可得结论【详解】设数列“的公比为4,由%=2 4,6=9 6,尸=4得 如，所以4=2 或q =-2,又因为%0,所以4=2,从而 q=24=q x 2,=24 n 4=3,s,=吗立所以 q-i 7.令 S“9 3=3 X（2 -1）9 3=2 32 n 5又因为 C N ,所以“m in =6故答案为：6【点睛】本题考查等比数列通项公式和前 项和S”基本量的计算，考查解指数不等式，属于中档题.16 .若。1,不等式我-x+（a-2）l n x-x 在（M）上恒成立,则实数。的取值范围是【答案】（1,2+e）【分析】首先设函数小）=，_ 0）,转化为/（-）/（|），利用单调性得XxX+i nX a ，参变分离后膜,转化为求函数批1）一出 2）的最小值，从而求得”的取值范围.【详解】设/（x）=e-（x。），M（x）=e l,所 以 小）在（，+切上单调递增,由已知得 x d-x-l n x x T_（a _ i）in x,因为x e,=e M*,（a-l）l n x =l n x T,=所以/(x +l n x)/(l n x T),f(x)=x +l n x(x l)/(x)-l +1 0,所以(x)在(E)上单调递增，(x)，(l)=l,由/(x)在(1，单 调 递 增，得到x +出x (1 )l n x ,所以x(-2)l n x,因为l n x l n l,-a-2 1)所以I n x ，令 I n x、。,/l n x-1贝l n2x ,令。(*)。，得x e,所以9(x)在3+8)上单调递增，在0，e)上单调递减，所以。(x L=S(e)=e,所以a-2 e,所以 l a 0),不等式转化为/(x+l n x)/(l n x )利用函数的单调性，解抽象不等式后，后面的问题迎刃而解.四、解答题317.(I)己知直线4的方程为x+2y-4=,若直线4在X轴上的截距为2,且求直线4的方程；包(2)已知P(2，T),若直线/过点尸，且原点到直线/的距离为7,求直线/的方程.【答案】(1)2 x-y-3=0(2)、号-1=0 或x+7 5=0【分析】(1)根据两直线垂直关系，求出4的斜率，代入点斜式方程；(2)讨论直线/的斜率是否存在，分别设出直线方程，若斜率存在，根据距离求出斜率.【详解】(1)由已知得，直线4的斜率为一万，所以直线4的斜率为2.Ro y =又直线经过点1 2 ),所以直线4的点斜式方程为：12人即女少凸巾.(2)当直线/斜率不存在时，/方程为：x=2.原点到/的距离为2,与已知矛盾，舍去:所以，直线/斜率存在，设为k,则直线的点斜式方程为：y+l=%（x-2）,可化为 kx-y-2 k-1 =0.V2|-2-1 _ V2 k=_1又原点到直线 的 距 离 为 亍，即 炉 力 2,解得4-1 或 一，.代入直线方程整理可得，直线/的方程为x+y-l=0 或 x+7y+5=0.1 8.在平面直角坐标系中，圆 M 是以“（1，G）,旗3,-6）两点为直径的圆，且圆与圆M 关于直线y二 对称.（1）求圆N的标准方程；设。（0,1）,0（0,4）,过点c 作直线4,交圆N于尸、0两点，尸、0不在y轴上.（i）过点C作与直线4垂直的直线4,交圆N于 E、尸两点，记四边形E P尸。的面积为S,求 S 的最大值：（i i）设直线。尸，。相交于点G,试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是,说明理由.【答案】/+3-2 f =47；（i i）是，片-2【分析】（1）先求出圆M 的方程，再根据对称性求出圆N的方程即可得解；（2）（i）设出直线（4 的方程，利用几何方法求出弦长I P S 和1 跖 1，再求出面积，然后根据基本不等式求出最大值可得结果；（i i）联立直线人与圆N的方程，设尸（不，乂），0（X 2，%）,得到%+W 和玉X 2 联立直线O P和D Q的方程求出交点G的横坐标，代入直线O P的方程，利用%+2 和%/变形可得交点G的纵坐标为定值，从而可得结果.I _ +（6 6）2 _ 2【详解】（1）由题意得：圆 M 的 半 径 为 2 2 一 ，圆 心 即 的 中 点 为（2，）,圆M 的方程为：a）?+）=4,因为圆N与 圆/关 于 直 线 对 称，所以圆N的圆心N（0,2）,半径为2,所以圆N的标准方程为：*2+3-2 =4；(2)依题意可知，直线4 的斜率存在,设直线4 的方程为y=+i,即 去-?+1=0d J-2 +1 1 1则圆心N(O,2)到直线4 的 距 离,7T 7 F+T|尸 0|=2,4 一 焉=2 庠斗所以 7 卜+i N k+1,(i)若左=,则直线1 2 斜率不存在，则|PI=2 6，EF=4tS=-EF-PQ|=4 G则 2 ,y=-x+若R0,则直线,2 的方程为.k,即X +如T =O,则圆心N(0,2)到直线4 的距离 收+1 ,S=EF-PQ2则2(4M+3)(3/+4)(r+1)2I12(k2+l)2+k2N 倘+以2Ji 2+(Wk2+lk24班，所以S 的最大值为7；(i i)设P(X I，M),。区,力)，/+&-2)2 =4联立b=丘+1 ,消去y得(2+1)_ _ 2 丘 _ 3 =0,4=4左 2 +1 2(公+1)0 恒成立,2k _ 3则X)+x2=7女12+-1-,玉 工 2 -k7 T+T1T,y A x.+1 z.1、y=-x =!-x =(攵 +一)x直线。尸的方程为 占 王 玉，y=直线DQ的方程为y2-4 x +4.=-kx2-3x +4=(&-3)x +4%y=k+一 xI Xx)*y =人 斗+4 x =联 立 I I J ，解得 3 项+w,2 k一 +-2 =F+l_ 2 k x x 3 x.x2-3因 为 耳X2-F T T,公+i,所以 一 k2+2 k k=3(.+工)3 ,所以 2 xi%-=(%+1 4X,X一2?一则 x 3 芭+x24(A X j +l)x2 _ 4AXJX2+4X2 _ -6($+x2)+4x23 x+x2 3 X +x2 3 X j +x2 6X 1 一 2/3&+工 2 =_2G(-4-2-,-2)所 以 3*+w所以点G在定直线y=-2 上.1 9.在平面直角坐标系中x。，椭圆C:.+4 =l(a /0)1a 匕 的离心率为2，点I 2 J 在椭圆。上.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为Z,B,点、P,。为椭圆上异于/,8 的两动点，记直线H P 的斜率为占，直线Q8 的斜率为4 2,已知占=7&.求证：直线尸。恒过x轴上一定点.X2 2 1+y-=1【答案】(1)4 -(2)证明见解析【分析】(1)由题意列方程组求解：(2)设尸。直线方程，与椭圆方程联立，由题意列方程通过韦达定理化简求解，注意分类讨论直线a 的斜率是否为0.【详解】(1)由题意可得a 2a2=b2+c2Aa2+_L=14b2,解得/=4b 1C2=3y=1所以椭圆C的方程为4 .(2)依题意，点4-2,0),8(2,0),设(再,必)，。(2，%),因 为 若 直 线 的 斜 率 为0,则点尸，。关于夕轴对称，必有“=一 怎,不合题意.所以直线P。斜率必不为0,设其方程为x =沙+(*2),X2 2 1丁、二i与椭圆C联立卜=沙+,整理得：C+4)y2+2w+2-4 =o所以A =4/八4(?+4刖-4)0,且2 tnM+%=K，w2-4%为=K/、X I V2=1因为点尸(不,必)是椭圆上一点，即4 J -2 1,左=一了=7蜃 2 8 k-k-1所以 4kBp,即/次档KHQ-12 8 k k=_ _ _ 2 8 凹力因为-(X,-2)(X2-2)28yM _ _ _ _ _ _=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 28yly2(fyx+n-2)(%+-2)t2yty2+tn-2)(必 +=)+(-2)228(n2-4)/2 +4 28(/?+2)2-4)(-2).2 t2(n+2)-2 t2n+(n-2)(t2+4)/-+-4-r-+-4-2)28(+2)_ 7 +144(-2)n-23r r i,=-T A =16 62+4-n2)=4(4/2+7)0所以 2,此时 V )，故直线P：3x=ty+-2恒过x轴上一定点。争20.在$3=6,S$=15；公差为,且，6成等比数列：4=1,%+%+%+%=16,三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知等差数列%的前“项 和 为 且 满 足(1)求数列%的通项公式：令c,=lg q,其中仅|表示不超过x的最大整数，求G+C 2+，2叫注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】见=(2)4 95 9J 3q +3d =6【分析】(1)选 ，设等差数列 中，公差为“，进 而 得+10”=,解方程得q=l,再求通项公式即可；选 ，由题知必=只，进而解得=1 ,再求通项公式即可；选，由题知4+12”=1 6,即4 +12d =1 6,解得=1,再求通项公式即可；(2)由题知cL,再结合。=忖=,%=lg lO=l,clo o=lg lO O=2C i o o o =lg 1000=3 求解即可.【详解】(1)解:选 设 等 差 数 列 中，公差为，因为S3=6,Ss =15,J 3q +3d =6所以(5 4+104 =1 5,解得=1,所以。“=q+(_ i)d=，选因为等差数列 中，公差为1,且心，知，4成等比数列，所以。2%=片，即3+1)3+7)=3+3)解得=1所以 a“=q+(_ l)d =选因为等差数列”中，q=1,%+4+牝+%=16,所以4 q+12d =1 6,即4+12/=1 6,解得4 =1所以 a“=q+(T)d =(2)解:由 知咽卜则因为C t=lg l=0,c,0-lg l0=1 cl00=lg l00=2 C|000=lg l000=3所以当1 W W 9 时，c,=0,当 10 K 99 时，q =1,当 100 4 W 999 时，cn=2,当 10004 W 2022时,0=3,所以 G+G+6 022=0+90 x 1+900 x 2+(2022 999)x 3=4 95 92 1.己 知 函 数/亍，g(x)=x +a l n x(”R).(1)讨论函数g(x)的单调性；(e2(2)证明：当I 2 时，/G)g(x)在(0,+)上恒成立.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导，根据导数判断单调性；2 e-2l n x 0（2）当 x 1 时，可 转 化 为 证 明x 成立，构造函数2 er2G（x）=-I n xX ,利用导数证明其单调性与最值情况，进而可得证.【详解】由 gG）=x +“l n x,六 x=T,（x0）,当时，g （x）恒成立，函数g（x）在（，+e）上单调递增；当 a0 时，令 g （x）=,解得 x =-a,0 x -a 时，g（x）-a 时,g （x）,函数g（“）单调递增，即函数8G）在（一“）上单调递减，在（一 十 ）上单调递增；要 证/G）gG）,即证e,ax I n x ,2 当 0 x 1,ax l n x 0,该不等式成立；或 d 1 ,彳 0 ax I n x l 时，x l n x 0,结合 I 2，得 2 ,ex e2x l n x即问题转化为证明：2 （x l）,2 e*-2-l n x 0即证 x （x l）,、2 广 2 ,、2 e -2（x-l）-xG（x）=-I n x G（x）=-令 x ,厂，令 Mx）=2 e-（x-l）T,则（x）=2 x e z _ i J（x）=（2 x +2）e-0 在（1,+8）上恒成立,即/（x）=2x1-1 在0,+00）上单调递增，又/工-10,所以存在无。1,2）,使得“（%）=0,即2XL=1,2 e%所以“（x）在0/。）上单调递减，在（与-00）上单调递增，/心。）=2。一（/1）7。=1-：-/0 *2）=0，所以当x c（1,2）时，G（x）0即函数G G）在0，2）上单调递减，在Q，+8）上单调递增，所以G（x）2G（2）=l-l n 2 0,所以问题得证，综上所述，当O2 一时，/G）g（x）在（O x）上恒成立【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分 相 联 系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求 参 数.（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问 题.（4）考查数形结合思想的应用.2 2.已知x）=-ev+ex3 为自然对数的底数）（I ）求函数x）的最大值；（n ）i Sg（X）-，nr+2A +a X,若对任意占 （，2 ,总存在 马 （0,2 .使得 g（X|）/（%）,求实数”的取值范围.|-00,-l n 2-l|【答案】（1）0;（口）I 2）【分析】（I ）求出函数导数，判断出单调性，即可求出最值；I n x 1（U）问题转化为gG J v/G L,即8（、）+2X,构（X）=1X,X （0,2 1造 函 数、“X 2 ，利用导数求出函数的最大值即可.【详解】(I)x)=-e*+ex,/(x A-e X+e,令/x)0,解得i l；令/)l,/(X)在(一处)单调递增，在(L+8)单调递减，(D)对任意芭 e(，2,总存在x?e(0,2.使得g(x,)f(x2)等价于g(演)/8)11m,由(I)/(X?)1 1 1 ax=/(l)=。，,1 2_-X +.X =1nx 1则问题转化为gG)%一+2X,1-2+n X2-1X则0,当xw(0,2 时,1 n x 0,得,(X)在(2 单调递增,:.h(x)=/z(2)=ln2+l-a In2+1 a -ln 2-l6 2，则 2，即 2故。的取值范围为-o o,-ln 2-l2【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是将问题转化为g(x J /G 2)g,即g(x)在9 2 恒成立.