2022-2023学年安徽省皖江名校联盟数学高三上期末统考模拟试题含解析.pdf

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知焦点为E的抛物线。：丁=4式的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当器皆取得最大值时，直线M4的方程为（）A.y=x+y =-x-l B.y =-x +-y=-x-C.y =2x +2或y =-21一22 2 2 2D.y=-2x+22.已知函数/（x）=-a x l,以下结论正确的个数为（）当。=0时，函数A x）的图象的对称中心为（0,-1）；当a 2 3时，函数/（x）在（一1,1）上为单调递减函数；若函数f（x）在（一1,1）上不单调，则0 a 0）的右焦点为元。为坐标原点，以。产为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点。及点A ,则双曲线。的方程为（）D.6 25 .已知 a,bGR,3+c i i =b (2a l)z,则()A.h=3a B.b=6a C.b=9aD.b=l2a2x-y-62目标函数z=c+历，（a0力0）的最大值为4 0,则*+的最小值是（a b)7452D.27.已知人为两条不重合直线，/月为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件是（）A.m n、m u a,n u，B.m/n,m a,n ftC.m n,m/0 ,则 AC|8=（）A.-1,0 B.0,1 C.-1,0,1 D.-2,-1,0,1,211.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”产礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，贝！1“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）种.A.408 B.120C.156 D.24012.平行四边形ABCD中，已知A5=4,AO=3,点 ；、尸分别满足AE=2EO，。尸=而，且 衣 南=一6,则 向 量 而 在 而 上 的 投 影 为（）3 3A.2 B.2 C.D.-2 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1 3.已知函数/(x)=2、5x（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程产（另一34 刈+2=0恰有 5 个相异的实根，则实数a的 取 值 范 围 为.q1 4 .记 S“为数列%的前项和，若 见=m-1,贝！$7 =.1 5 .已知集合4 =|=2%+1,%2,B =|x|x(x-5)0 j,则 4口5 =.1 6 .己知函数/(x)=x(/-l),若关于x的不等式f，-2x-2a)+/-3),0 对任意的x c l,3 恒成立，则实数a的取 值 范 围 是.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7 .(1 2分)以平面直角坐标系宜为的原点。为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，已知曲线C“s i n。+:卜-夜，曲线G：,八(。为参数)，求曲线G，C,交点的直角坐标.k 4；y =s i n。1 8 .(1 2分)已知奇函数/(x)的定义域为R,且当x 0,+，。)时，f(x)=x2-x+l.(1)求函数/(x)的解析式；(2)记函数g(x)=/()-小+1,若函数g(x)有 3 个零点，求实数?的取值范围.1 9 .(1 2分)第 7届世界军人运动会于20 1 9 年 1 0 月 1 8 日至2 7 日在湖北武汉举行，赛 期 1 0 天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27 个大项，329 个小项.共有来自1 0()多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开,武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取20 0 名幸运参与者，他们得分(满分1 0 0 分)数 据，统计结果如下：组别 30,4 0)4 0,5 0)5 0,6 0)6 0,7 0)7 0,8 0)8 0,9 0)9 0,1 0 0)频数5304 05 04 5201 0(1)若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，b分别为这20 0 人得分的平均值和标准差(同一组数据用该区间中点值作为代表)，求，b的 值(，b的值四舍五入取整数)，并计算P(5 1 X 9 3)；(2)在(1)的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1 次抽奖机会，得分不低于的可获得2 次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为1 5 元的纪念品A2 1的概率为一，抽中价值为30 元的纪念品8的概率为；.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记 y3 3为他参加活动获得纪念品的总价值，求丫的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额.(参考数据：尸(一 +5)标0.6 8 27；P(-2 6X +26)a 0.9 5 4 5；P(-38 X l|7 B|,若存在，求出X的值；若不存在，说明理由.21.（12分）在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛.（1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；（2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，求X的概率分布和数学期望.22.（10分）已知椭圆。：鸟+2=1 （a b 0）的 离 心 率 为 坐，且经过点（一1,亭）（1）求椭圆C的方程；（2）过点（百,0）作直线/与椭圆C交于不同的两点A,B,试问在x轴上是否存在定点。使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点。的坐标；若不存在，说明理由.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】过M作 与 准 线 垂 直，垂足为尸，利用抛物线的定义可得MAMFMAMP_ 1 _ 1cos/AM P cos ZMAF要 使 黑I MF|最大，则NM4厂应最大，此时AM与抛物线C相切，再用判别式或导数计算即可.【详解】过M作M P与准线垂直，垂足为P,MAMFMA 11MP cos ZAMP cos ZMAFI M A|则当汽研取得最大值时，N M 4/最大，此时AM与抛物线C相切,MF易知此时直线AM的斜率存在，设切线方程为y =k(x+l),(y =Z(x+l),则 2 4 .则 A =1 6 1 6 K =0,k=1,女=1，y =4 x则直线AM的方程为y=?(x 1).故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.2、C【解析】逐一分析选项，根据函数y 的对称中心判断；利用导数判断函数的单调性；先求函数的导数，若满足条件,则极值点必在区间(T，1)；利用导数求函数在给定区间的最值.【详解】y =V为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，函数f(x)的图象的对称中心为(0,-1),正确.由题意知/(=3/一。.因 为 当 1 x 1 时，3x2 3，又“23,所以尸(幻0在(-1,1)上恒成立，所以函数/W在(T/)上为单调递减函数，正确.由题意知/8)=3/一。，当时，f(x)0,此时f(x)在(8,+c o)上为增函数，不合题意，故。0.令r(x)=0,解得=叵.因 为 幻 在(一1,1)上不单调，所 以/(幻=0在(一 1,1)上有解，3需0叵1，解得0。3,正确.3令(幻=3/-1 2 =0,得x =2.根据函数的单调性，/(X)在 4,5 上的最大值只可能为了(2)或/(5).因为/(-2)=1 5,/(5)=6 4,所以最大值为6 4,结论错误.故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值，意在考查基本的判断方法，属于基础题型.3、B【解析】解：因为 8|?2 集合中的元素表示的是被1 2整除的正整数，那么可得为1,2,3,4,6,1 2故选B4、C【解析】根据双曲线方程求出渐近线方程：y=x,再 将 点 代 入 可 得/,=连接 4,根据圆的性质可得a 1 2 2 yl 3*二3 二 旦,从而可求出c,再由0 2=储+/即可求解.6 3【详解】由双曲线。：彳J?一V去2=1(。0力0)，b则渐近线方程：y =x,a.b-a,3连接m贝相=京=日解得所以C 2=+=4,解 得/36=1.r2故双曲线方程为二一 y 2=i.3故选：C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.5、C【解析】两复数相等，实部与虚部对应相等.【详解】由 3 +出=一(2 a -l)z,3=b i得，日，即 a =二，6=1.a=-2a 3：.b=9a.故选：C.【点睛】本题考查复数的概念，属于基础题.6、B【解析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知：当 x =8,y =i o时，z =8 a +1 0 Z?有最大值为4(),即 z =8 a +1 0 Z?=4 0,故4 a +5人=2 0.-+-=f-+-4 a +5 M =f 2 5 +|(2 5 +2 71 0 0)=-.a b 2 0 1 a b)，2 0 1 a b J 20y 1 4中2 5 0 a 1 0 41螫旦卡一当-=,即。=二力=不时等号成H.a b 3 3故选：B.本题考查了线性规划中根据最值求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.7、D【解析】根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.【详解】对 于A,当加，m u a,时，则平面a与平面月可能相交，a A.(3,al I p,故不能作为a J夕的充分条件，故A错误；对 于B,当相，m_ L a,时，则a/，故不能作为a，A 的充分条件，故B错误；对 于C,当m _ L，加/。，/4时，则平面。与平面尸相交，a L p,a1 1/3,故不能作为a!/?的充分条件,故C错误；对于D,当m a,n 工B，则一定能得到e J万，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查了面面垂直的判断问题，属于基础题.8、A【解析】依题意，基本事件的总数有3 x 3 =9种，两个人参加同一个小组，方法数有3种，故概率为39 39、A【解析】先利用复数代数形式的四则运算法则求出z ,即可根据复数的模计算公式求出I z|.【详解】2,_ _ _ _ _V z =-+（1+Z）2=1-Z+2Z=1+Z,.|Z|=J F+I2=母.故选：A.【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用，属于容易题.1 0 D【解析】先求出集合8,再与集合A求交集即可.【详解】1 7由已知，X2-X+2=（X-）2+-0-故3 =氏，所以A C|8=-2,-1,0,1,2.故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.1 1、A【解析】利用间接法求解，首先对6门课程全排列，减去“乐”排在第一节的情况，再减去“射”和“御”两门课程相邻的情况，最后还需加上“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻的情况；【详解】解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有 0,则 以 当 单 调 递 增,当 掇k 2时，f M 2时，/。)=笠 上=4-白 单 调 递 减，且f(x)e O,-)JX 5 3X 5作 出 函 数/(X)的图象如图:(1)当。=0时，方程整理得尸)=0,只有2个根，不满足条件；(2)若。0,则当/(x)0时，方程整理得/2()+3 4(犬)+2相=(幻+2 0*)+0=0,贝|f(x)=2 a 0,f(x)=-a ()时，方程整理得尸(x)-3叭 )+2/=(x)-2af(x)-a=0 ,/(幻=2 4有1解 同 时/0)=。有2解，即需2 a =1,a=,因为/(2)=-,故此时满足题意；2 eel或/(x)=2”有2解同时/(x)=。有1解，则需a =0,由 可 知 不 成 立；或/(x)=2a有3解同时/(x)=有0解，根据图象不存在此种情况，2 12 4或/(x)=2a有()解同时/(x)=a有3解，贝 叶2 4.解得上,”:，a 0时，/(幻=24和/(=均 无 解，当/(x)2)代入即可得到Sn-2 =2(_,-2)(2),即 Sn-2是等比数列，再利用等比数列的通项公式计算即可.【详解】由已知得见=才 一1,即5“$=.-1,所以S“-2 =2T 2)(N 2)又 卬=会 一 1,即S1=2,S,-2 =-4,所以S,-2是以-4为首项，2为公比的等比数列，所以 S“2=4 x 2、即 S=2-2”+、所以 7=2 28=254。故答案为：-254【点睛】本题考查已知S“与凡的关系求S“，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.15、1,3【解析】由集合A和集合3求出交集即可.【详解】解：集合 A=x|x=2攵+1,左 GZ ,8=x|x(x-5)0时，函数/(x)=x(2-l),显然此时函数/(x)为增函数,函数,fM为定义在R上的增函数,不等式/(x2-2x-2a)+fax-3),。即为 x?-2x -2q,3-o x ,x +(a 2)x 2a 3 0在 x e 1,3上恒成立,1 +a 2 2a 3 09 +3(a 2)2a 3 0,解得Y强女0.故答案为 T,o .【点睛】本题考查函数单调性及奇偶性的综合运用，考查不等式的恒成立问题，属于常规题目.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(-1,-1)【解析】利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可.【详解】因为p s i n +=-V 2,所以/?s i n夕+p c o s 9=一2,所以曲线G的直角坐标方程为x+y+2 =o.x=co s 20y =si n。x-l-2 si n2 0y =si n 9所以曲线G的普通方程为x=l-2 y y e-l.l.由*x+y+2=0 x=-2y2得 2)，y 3 =0,3所以苗=-1,%=5 (舍)，所以X=-1 ,所以曲线G，。2的交点坐标为(一1,一1).【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程，参数方程与普通方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.2 1 cx-x+l,x 01 8、(1)/(x)=O,x=O；(2)(2逝-1,+o o)-x 一 x 1,x 0及两根之和大于0,即可求得m的取值范围.【详解】(1)因为函数/(%)为奇函数，且x eR,故/(0)=0；当xe(-o o,0)时，一xw(0,+o o),/(T)=(一力2-(-x)+l =x2+x+!=-/(%)x 2-x+1l,x 八0故/(x)=0,x=0.f x 1,x 0 H n k/n+l)2-8 0令 ()m -1解得 tn 2 /2 -1 ,所以实数?的取值范围为(2夜-1,+8).【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求解析式，分段函数图像画法，由函数零点个数求参数的取值范围应用，数形结合的应用,属于中档题.1 9、(1)=6 5,cra1 4,P=0.8 1 8 6；(2)详见解析.【解析】(1)根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而XN(65,1 4 2),计算尸(51V X V 93)即可；(2)列 出 V所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而可得需要的总金额.【详解】解：Q)由已知频数表得:、5 3 0-4 0 5 0 ru 4 5 僦 2 0 1 0 公E(X)=3 5 x-F 4 5 x-F 5 5 x-F 6 5 x-+7 5 x-F 8 5 x-1-9 5 x-=6 5 ,2 00 2 00 2 00 2 00 2 00 2 00 2 00D(X)=(3 5 -6 5)2 x 0.02 5 +(4 5 -6 5)2x0.1 5 +(5 5-6 5)2 x 0.2 +(6 5 -6 5)2 x 0.2 5 +(7 5 -6 5)2 x 0.2 2 5+(8 5-6 5)2 x0.1 +(9 5-6 5)2 x 0.05 =2 1 0,由 1 9 6。2 2 2 5，则 1 4 b 2 1 0,所以b 7 1 4,则 X 服从正态分布N(6 5,1 4),所以P(5 1 X 9 3)=P(b X +2 b)=尸(-2 a X +2a)+P(/.i-a X +cr)20.9 5 4 5 +0.6 8 2 72=0.8 1 8 6；(2)显然，尸(X )=P(X2 )=0.5,所以所有y 的取值为15,30,45,60,p（y=15）=L 2 =J_,2 3 3I 1 1 7 2 7P（y=30）=x +x x=，2 3 2 3 3 181 2 1 1 1 2 2p（y=45）=-x-x-+-x-x-=-,2 3 3 2 3 3 9p（y=60）=-x l x l =,2 3 3 18所以丫的分布列为：Y15304560P37182911817 2 1所以 E（Y）=15x-+30 x +45x +60 x =30,3 18 9 18需要的总金额为：200 x 30=6000.【点睛】本题考查了利用频率分布表计算平均数，方差，考查了正态分布，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望,主要考查数据分析能力和计算能力，属于中档题.20、(1)f =2y；(2)存在，2【解析】(1)根据抛物线的定义，容易知其轨迹为抛物线；结合已知点的坐标，即可求得方程；(2)由抛物线方程求得点P的坐标，设出直线/的方程，利用导数求得点T的坐标，联立直线/的方程和抛物线方程,结合韦达定理，求 得|啊 进 而 求 得|PT与 之 间 的 大 小 关 系，即可求得参数/I.【详解】(1)由题意得，点A7与 点 的 距 离 始 终 等 于 点M到直线y=-；的距离，由抛物线的定义知圆心M的 轨 迹 是 以 点 为 焦 点，直线y=-g为准线的抛物线，则=工，=1.圆心M的轨迹方程为x2=2y.2 2(2)因为P是轨迹E上横坐标为2的点，由(1)不妨取2,2),所以直线OP的斜率为1.因为/O P,所以设直线/的方程为=+加，机H0.由y=5%2,得 =彳，则E在点P处的切线斜率为2,所以E在点P处的切线方程为y=2x 2.y=x+m,fx=m+2,由c c得 c c所以丁(加+2,2机+2),y=2x-2,y-27n+2,所以|PT|2=(m+2)-22+(2m+2)-2=5m2.y=x+/几由)2 C 消 去,得d 一2%2加=，x=2y由Aud+gm。，得机一,且加wO.2设A(w，y),B(W，%)，则为+/=2,xxx2-2m.因为点T,A,8在直线/上，所以|犁|=及 年(w+2)|,|TB|=V2|-(m+2)|,所以|7XH 61=2|%-(m+2)|-|-(m+2)|=2,也 一(机+2)(巷 +x2)+(m+2)2|=2 1 -2m-2(/?+2)+(m+2)21=2m2,所以|P Ti=5以|7B|2故存在 =使得【点睛】本题考查抛物线轨迹方程的求解，以及抛物线中定值问题的求解，涉及导数的几何意义，属综合性中档题.721、(1)28种；(2)分布见解析，【解析】(1)分这名女教师分别来自党员学习组与非党员学习组，可得恰好有一名女教师的选派方法数；(2)X的可能取值为0,1,2,3,再求出X的每个取值的概率，可得X的概率分布和数学期望.【详解】解：(1)选出的4 名选手中恰好有一名女生的选派方法数为C：C；C；+C：C；C=28种.(2)X的可能取值为0,1,2,3.P(X=O)=里，10C5 c 4 1 3p(x_2 1 c；c；c；c；+c：c；_H“X3一酝-3 0*尸(X =3)=C：Q=J _ C；C：15,故 X的概率分布为：X0123p110715113 0115所以 E(x)=.【点睛】本题主要考查组合数与组合公式及离散型随机变量的期望和方差，相对不难，注意运算的准确性.22 2、(1)+/=1(2)见解析4【解析】(1)由题得a,b,c 的方程组求解即可(2)直线QA与直线QB恰关于x 轴对称，等价于AQ,BQ的斜率互为相反数，即 二+二 h =，整理(6-0(%+丫 2)-2111%丫，=0.设直线1的方程为*+0 1丫一6=()，与椭圆C联立，将x t x2 1 韦达定理代入整理即可.【详解】(1)由 题 意 可 得 走=g,3+=1,又 a 2-b 2=c 2,2 a a-4 b-解得a?=4,b2=l.x2所以，椭圆。的方程为二+y 2=l（2）存在定点Q1十,0J,满足直线QA与直线QB恰关于X轴对称.设直线1的方程为x+my-百=0,与椭圆C联立，整理得，（4+m2）y2-26m y-l=0.设B（X2，y2）,+y,y=l,定点Q（t,0）.（依题意tAXi/Hx?）则由韦达定理可得，%+y,=2妈，%丫2=:二二.4+nr 4+nr直线QA与直线QB恰关于x轴对称，等价于AQ,BQ的斜率互为相反数.所以，+=即得y（X2 t）+y2（xt）=0.A I A.2 I又 X I+my,-G =0,x2+my2 一6二。，所以，y（6 _ m y 2 _ t）+y2（V_my-1）=0,整理得，+丫2）201丫42=0,从而可得，3他_ 2m.上（=0,）4+m2 4+m2即 2m（4-G t）=0,所以，当1=逑，即Q（坐,（）时，直线QA与直线QB恰关于x轴对称成立.特别地，当直线 为x轴时，Q-y-,0也符合题意.综上所述，存在x轴上的定点Q|卷一,0,满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称./7【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，熟记椭圆方程简单性质，熟练转化题目条件，准确计算是关键，是中档题.