2022年上海市金山区中考二模数学试题（含答案与解析）.pdf

2022年上海市金山区第二学期“自适应”自测试卷初三数学（时间：100分钟 满分：150分）注意事项:1.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上。2.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答。3.作答前认真阅读答题卡上的注意事项。4.考试结束，由监考人员将试卷和答题卡一并收回。一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）I.在下列二次根式中，最简二次根式的是（）A.VOJ B.V12 C.V10 D.V27b2.不 等 式 匕 可 变 形 为 x 一，那么a取值范围是（）.a6.在直角坐标系中，点尸的坐标是（2,6）,圆 P 的半径为2,下列说法正确的是（）A.“WO B.a0正确的是（）B.有两个相等实数根D.没有实数根2021年 利 润（千万元）11321子公司个数1242那么各子公司2021年利润的众数是（A.11千万元 B.4 千万元5.下列命题中，真命题是（）A.平行四边形是轴对称图形C.相等的弦所对的弧相等)C.2 千万元 D.1千万元B.互为补角两个角都是锐角D.等腰梯形的对角线相等A.圆产与x 轴有一个公共点，与 轴有两个公共点B圆 P 与X轴有两个公共点，与 y 轴有一个公共点c.圆p 与x 轴、y 轴都有两个公共点D.圆尸与x 轴、y 轴都没有公共点二、填空题（本大题共12题，每题4 分，满分48分）7.因式分解：2/-4 =.Y 48.函数y=的 定 义 域 是.2 x9.反比例函数y=（k 是实数，的图象在每个象限内y 随着X的增大而增大，那么这个反比例x函数的图象的两个分支分别在第 象限.10.方程1一J x-3=0 的解是.11.一个布袋中有8 个红球和16个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，从布袋中任取1个球是 黑 球 的 概 率 是.12.北京冬奥会上中国队获得奖牌情况如图所示，其中金牌为9 块，那么中国队获得奖牌总数是13.沿一斜坡向上走13米，高度上升5 米，这个斜坡的坡度，=1:.14.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如图的弦图中大正方形边长为4,每个直角三角形较小的锐角为30,那 么 小 正 方 形 面 积 为.15.已知在AABC中，A O 是中线，设 丽=，A C =b）那 么 向 量而用向量、B 表示为.16.己知在AABC中，点。、E 分别在边A 3、A C 上，D E/B C,如果AADE和四边形BCEZ）的面积分别为4 和 5,D E =4,那么=.17.如图，如果AB、AC分别是圆。的内接正三角形和内接正方形的一条边，BC 一定是圆。的内接正边形的一条边，那么片.A18.如图，菱形ABC。中，A8=5,A C=8,把菱形A8C绕A点逆时针旋转得到菱形A S O,其中点8正好在AC上，那么点C和点。之间 的 距 离 等 于.三、解答题(本大题共7题，满分78分)19.计算:2 0.解方程:3x-l_2x-l_%2 1 X 12如图，梯形 ABCO 中，AD/BC,E是 AB 的中点，NCDE=90,CD=6,tan/DCE=.321.(1)求CE的长；(2)求NADE的余弦.2 2.弹簧在一定限度内，它的长度y(c m)与所挂重物的重量x(k g)是一次函数关系，下表中记录的是所挂重物的重量和其对应的弹簧长度.重物的重量x(kg)2 10 弹簧的长度y(cm)1317(1)求y关于x的函数关系式(不需要写出函数的定义域)；(2)弹簧在一定限度内挂上重物后长度不超过2 5 c m,那么所挂重物的重量最多为多少？2 3 .如图，已知：AABC和AADE都是等边三角形，其中点。在 边 上，点尸是A8边上一点，且B F =C D.(1)求证：DE/CF,(2)连接。E，设A。、CF的交点为，如果。/2 =月0.尸。，求证：。F AC.2 4.已知：直角坐标系中直线y=-x +4与x轴、y轴相交于点A、B,抛物线y=g/+笈经过点A和点B.654321 111111A-1 o 1 2 3 4 5 6 X-1 -(1)求抛物线的解析式;(2)如果直线A8与抛物线的对称轴相交于点C,求0C的长;(3)P是线段Q 4上一点，过点P作直线A3的平行线，与 轴相交于点。，把 0 P。沿直线P Q翻折，点0的对应点是点。，如果点。在抛物线上，求点尸的坐标.32 5.如图，已知：中,N A C B =90，A B =10,s i nZBAC=,。是边AC上一点，以点。为圆心，Q 4为半径的圆。与边4。的另一个交点是点。，与边A3的另一个交点是点,过点。作A 8的平行线与圆。相交于点P,与6c相交于点。，。产的 延 长 线 交 于 点 尸，连接F Q.CCDAr 7E F B A（1）求 证：D P=E P；（2）设。4=x,FPQ 面 积 为y,求y关 于x的函数关系式，并写出定义域;（3）如 果 F P Q是 以 尸。为腰的等腰三角形，求A。的长.参考答案一、选择题：（本大题共6 题，每题4 分，满分24分）1 .在下列二次根式中，最 简 二 次 根 式 的 是（）A.V O J B.V 1 2c.MD.V 2 7【答 案】C【解 析】【详 解】解：A、分母中含有分式，不是最简二次根式，不符合题意;B、氏1 =2有，被开方数中含有可开方的因数，不是最简二次根式，不符合题意;C、回,被开方数中没有可开方的因数且分母中没有分式，是最简二次根式，符合题意；D、扃=，旃=3石，被开方数中含有可开方的因数，不是最简二次根式，不符合题意.故 答 案 选C.【点 睛】本题主要考查了，最 简 二 次 根 式 的 定 义.即：被开方数中不含可开方的因数且分母中不含根式的二次根式，称 为 最 简 二 次 根 式.掌 握 最 简 二 次 根式的定义，是解决本题的关键.b2 .不 等 式a x b可 变 形 为x 0,可知方程应有两个不相等的实数根.【详解】解：.f _ 3 =0.*a=A 人=0、c=-3A=&2-4 a c=0-4 x 1 x（-3）=1 2 0 方程有两个不相等的实数根故选A.【点睛】本题主要考查知识点为，一元二次方程中根的判别式.当=4ac 0,一元二次方程有两个不相等的实数根；当=_ 4枇=0,一元二次方程有两个相等的实数根；当=一4 a c 0,一元二次方程没有实数根.掌握根的判别式是解决此题的关键.4 .某集团下属子公司20 21年利润如下表所示，那么各子公司20 21年利润的众数是（）A.11千万元 B.4 千万元 C.2千万元 D.1千万元20 21年 利 润（千万元）11321子公司个数1242【答案】C【解析】【详解】解：A、表格中此数据对应个数为1个，不是数据中个数最多的数据，不符合题意；B、表格中没有此数据，不符合题意；C、表格中此数据对应个数为4 个，是数据中个数最多的数据，符合题意；D、表格中此数据对应个数为2 个，不是数据中个数最多的数据，不符合题意.故选C.【点睛】本题主要考查知识点为众数的定义，即在一组数据中，出现次数最多的数据.掌握众数的定义,是解决本题的关键.5 .下列命题中，真命题是（）A.平行四边形是轴对称图形 B.互为补角的两个角都是锐角C.相等的弦所对的弧相等 D.等腰梯形的对角线相等【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质，补角的性质，圆内弧、弦、圆周角的关系，等腰梯形的性质，逐项判断即可求解.【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，故原命题是假命题，不合题意；B、互为补角的两个角不一定是锐角，例 如10 0。和8 0 ,故原命题是假命题，不合题意；C、同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，故原命题是假命题，不合题意；D、等腰梯形的对角线相等，故原命题是真命题，符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，补角的性质，圆内弧、弦、圆周角的关系，等腰梯形的性质，判断命题的真假，熟练掌握相关知识点是解题的关键.6.在直角坐标系中，点 尸 的 坐 标 是 圆 尸 的 半 径 为2,下列说法正确的是（）A.圆产与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点B.圆p与*轴有两个公共点，与y轴有一个公共点c.圆尸与x轴、y轴都有两个公共点D,圆p与x轴、y轴都没有公共点【答案】B【解析】【分析】根据圆心到x轴和y轴的距离判断圆尸与坐标轴的位置关系即可；【详解】解：.点尸的坐标是（2,6）,.点P到x轴的距离为石，点P到y轴的距离为2,.圆P的半径为2,&2,.点P到x轴的距离小于圆P的半径，点P到y轴的距离等于圆P的半径，.圆P与x轴相交，圆尸与x轴有两个公共点，.圆p与y轴相切，圆p与y轴有一个公共点，故选：B.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，掌握相交、相切、相离的判定方法是解题关键.二、填空题（本大题共12题，每题4 分，满分48分）7.因式分解：2 -4=.【答案】2a（a-2）【解析】【详解】2cr-4a=2a（a-2）x 48.函数y =的 定 义 域 是.2 x【答案】【解析】【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0,即可求解.详解】解：由题意得：2-/0,即考2.故答案为:在2.【点睛】本题考查了使函数有意义的自变量的取值范围的确定.函数是整式型，自变量为全体实数；函数是分式型，自变量为使分母不为0的实数；二次根式型的函数的自变量为根号下的式子大于或等于。的实数；当函数关系式表示实际问题时，自变量不仅要使函数关系式有意义，还要使实际问题有意义.9 .反比例函数丁 =幺（女是实数，攵。0）的图象在每个象限内y随着工的增大而增大，那么这个反比例X函数的图象的两个分支分别在第 象限.【答案】二、四【解析】【分析】直接利用反比例函数的图象和性质即可得出答案.【详解】解：.反比例函数y=&（左W 0）图象在每个象限内y随着X的增大而增大x：.k=3,利用三角函数24 32的定义求得C E=g,AE=,再利用勾股定理即可求解.【详解】解：连接B。，交 4 c 于点O,过点C 作 CELAC于点E,BADB.菱形 ABC。中，AB=5,AC=8,：.AO1.BD,AO=OC=4,AD=AB=5,由勾股定理得0。=3,由旋转的性质得4C=AC=8,ODsinZOAZ)=ADCEACAOcos ZOAE=-ADAEAC3CE4 AE58八 24.CE=i5324E=5故答案为:8/105【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.计算：I22_cot30。-0 _仙 _扬 2.【答案】-1【解析】【分析】原式第一项利用分数指数嘉运算法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值化简，第三项运用负整数指数基法则计算，最后一项利用二次根式的性质进行化简，即可得到结果.【详解】解：12?cot30一 J(l 6)2=26-百-2-(0-1)=2 0 一 百-2-0+1=-1【点睛】此题考查了实数的运算，涉及的知识有：分数指数累、负整数指数塞，特殊角的三角函数值以及二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键.?x 3x 1 2 x 12 0.解方程：-=1.x -1 x-1【答案】x=-3【解析】【分析】方程两边同乘以(x+1)U-1),得到整式方程，解整式方程，把得到的根代入最简公分母检验即可.【详解】解：方程两边同乘以(x+l)(X-1),得3r-l 2 x-l-y (X+D U-1)-u+l)(x-l)=(x+l)(x-l),X -1 x-1即 3x 1(2 x?+X-1)=%?1,整理得 3/2%-1 =0，解得：=1 ,X2=9经检验：玉=1 是原方程的增根，=-;是原方程的根.原方程的根是8=-.3【点睛】本题考查的是可化为一元二次方程的分式方程的解法，解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论.22 1.如图，梯形 A 8CQ 中，AD/BC,E是 A B 的中点，Z CD =90,CD=6,t a n Z CE=-.3(1)求 C E 的长；(2)求/AC E的余弦.【答案】（I）CE=2其4（2）NADE的余弦为二【解析】【分析】（1）利用正切函数求得OE=4,再利用勾股定理即可求解；（2）取CO的中点凡 利用梯形中位线定理得到4D/EF,NADE=NDEF,在心/）尸中，利用勾股定理和余弦函数的定义即可求解.【小 问1详解】e2解：；NCE=90,CD=6,tan ZDCE=,3DE=2-,即nn 一DE=一2,CD 3 6 3：.DE=4,由勾股定理得CE=V42+62=2/；解：取C。的中点F,连接EF,【小问2详解】是AB的中点，尸是梯形ABCO 中位线，：.AD/EF,：.ZADE=ZDEF,在用OEF中，/ED F=90,DE=4,=！C=3,2由勾股定理得EF=5,.DE 4 cos/D E F =-=,EF 54:.cos Z.ADE=,54即NAPE的余弦为二.【点睛】本题考查了梯形 中位线，解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键.2 2.弹簧在一定限度内，它的长度y(c m)与所挂重物的重量x(kg)是一次函数关系，下表中记录的是所挂重物的重量和其对应的弹簧长度.重物的重量x(kg)2 1 0 弹簧的长度y(c m)1 3 1 7(1)求 关于x的函数关系式(不需要写出函数的定义域)；(2)弹簧在一定限度内挂上重物后长度不超过2 5 c m,那么所挂重物的重量最多为多少？【答案】(1)y =gx+1 2(2)所挂重物的重量最多为2 6 kg【解析】【分析】(1)运用待定系数法求解即可;(2)根据题意列出不等式求解即可.【小 问1详解】设y关于x的解析式是y =&+/?(%。0),由题意得:2 k+b =31 0%+。=1 7解得：k=L h=n.2.了关于X的解析式是丁=；%+1 2.【小问2详解】由题意得：y 2 5,.-x+1 2 2 5,2解得：x,即可求证；（2）根据，可得ADFMsACFD,从而得到ZFDM=ZFCD，进而得到/FDM=NCAD,即可求证.【小 问1详解】证 明：A5C是等边三角形，A ACBC,ZACB=NB=60。，CD=BF,；AACDACBF./.ZCAD=ZBCF.,/AAO E是等边三角形，ZADE=ZACB=60,/ZADE+ZBDE=ZACB+ZCAD,/.NBDE=NCAD,ABDE=/BCF,J.DE/CF-,【小问2详解】证 明：如图，DF2=FM-FC，.DF FCZDFM=ZCFD,/.丛DFMS/CFD,：./F D M =/F C D,/ZCAD=ZBCF,:./F D M =/C A D,：.DF/AC.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键.1 ,2 4.已知：在直角坐标系中直线y =-x+4与X轴、y轴相交于点A、B,抛物线y =5%+6 X +C经过点A和点B.九6 -5-4-3-2-1 -To-1 -II1 23 4 5 6 x（1）求抛物线的解析式;（2）如果直线与抛物线的对称轴相交于点C,求0C的长;（3）p是线段。4上一点，过点p作直线A8的平行线，与y轴相交于点。，把aop。沿直线尸。翻折，点0的对应点是点。，如果点。在抛物线上，求点尸的坐标.【答案】（1）y=-x2+x+4 o c =V io（3）点P是坐标是（2夜,0）【解析】【分析】（1）先根据直线y =-X +4求出点A和点8的坐标，再运用待定系数法求解即可：（2）求出抛物线的对称轴为直线41,代入尸-x+4,可求出点C坐标，再运用勾股定理求解即可;（3）设点P的坐标为,（），证明四边形。P OQ为正方形，得点。坐标是 J）,从而可得方程1 )t=一一r +r+4,求解方程即可得到答案.2【小问1详解】直线y=尤+4与元轴、轴相交于点A、B,当)=0,则-x+4=0,解得，x=4,当 x=0,则 y=4,4(4,0)、5(0,4).,1 9,代入y=3犬+z?x+c得，8+4 +c=0 ，c=4解得，b=l,c=4,/.抛物线的解析式为y=-x2+x +4.【小问2详解】V y=1 x 2+x+4,=-1 (/x 1八)2+9抛物线的对称轴为直线x=1,当 户1 时，y=-l+4=3.C(l,3),-OC=Vl2+32=V10-【小问3详解】如图，设点P的坐标为&(),:.Z O A B =Z OBA=45 ,PQ/AB,/.4 O P Q =Z.OQP=4 5 ,：.Z D P O =Z D Q O =90,又 N P O Q =90,.四边形。P OQ为矩形，O P =O Q ,.四边形。P OQ为正方形，D P =D Q -O P-t,点D是坐标是（/,，）,.1 2,.t=t+r +4,2解得：4=20,，2=2拒（不合题意，舍去），.点P是坐标是（2立,0）【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式，矩形的判定和正方形的判定等知识，解题的关键是抓住图形中某些特殊的数量关系和位置关系.32 5.如图，已知 1：中，Z A C B =90，A B =O,s in Z B A C =j,。是边AC上一点，以点。为圆心，为半径的圆。与边AC的另一个交点是点。，与边A3的另一个交点是点E，过点。作A 8的平行线与圆。相交于点P,与8C相交于点。，0P的 延 长 线 交 于 点 尸，连接F Q.（2）设。4=x,尸PQ的面积为y,求 关于x的函数关系式，并写出定义域;（3）如果 E P Q是以FQ为腰的等腰三角形，求A。的长.7 7【答案】Q）见解析（2）y =-X2+3X（0 X 4）4040 20 0（3）如果尸PQ是以尸。为腰的等腰三角形，A。的长为一，-【解析】【分析】(1)连接。，根据可得N Q O P =N A,ZPOE=Z O E A,从而得到ZDOP=Z P O E,即可求证；(2)作O M J _ A 8,FN A.P Q,垂足分别为M、N,则OM=F N,再由锐角三角函数可得3 5B C =6,A C =8,FN=-x,再证得 C O Qs a C A B,可得。=1 0-%,从而得到5 49PQ=OQ-OP=W一 一 x,即可求解；(3)分两种情况讨论：若FQ=P Q,若FQ=F P,即可求解.【小问1 详解】证明：连接0E，,/OP/AB,A ZDOPZA,ZPOEZOEA,OA=OE,：.ZA=ZOEA,/.ZDOPZPOE,DP=EP.【小问2 详解】解：作。0 L A B,FN工PQ,垂足分别为M、N,3.在 R/AABC 中，ZA C B =9 0 ,A B =1 0,s i n ZBAC=-,：OQ/AB,OM LA B,FNLPQ,/.OM=FN,:BC=6,AC=8，在 AAMO 中，ZAMO=90,3。河=QA sin ABAC=x,53FN=-x,5,/OQ/AB,.COQsaCAB,.OQ CO,瓦 一 西.OQ _ S-x.-=-910 8OQ=10-%5 9PQ=OQ-OP=0一一x-x =Q-x,4 4y=l fi1n()9 x 1 3%,，2(4)5根据题意得：2xW8,xW4,27y=-x2+3x(0 x/.OQ=2x,2x-10 x)440 x=13若 FQ=F P,作 F N 1 P Q,垂足分别为 M、N,则 PN=QM.OQ/AB,：.ZMOQ=ZONF=ZMFN=90,，四边形OMFN是矩形，3 4在,(?中，ZAMO=90,OM=|x,AM=-x,OQ/AB,：./OPD=NAFD,OD=OP,：.ZODP=ZOPDt ZADF=ZOPD=ZAFD，*AF=AD=2x,4 6MF=ON=2x x=x,5 5 PN=ON-OP=-x,5/.PQ=|x,“7/.OQ=x,x=10-x,5 4解 得:片等40 200综上所述，如果尸P Q是以尸Q为腰的等腰三角形，AO的长为一，13 53【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键.