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2022年上海市青浦区高考数学二模试卷试题数：21,总分：1 501 .（填空题，4 分）已知i 为虚数单位，复数z=i （1+3D ,则|z|=2.（填空题，4 分）已知集合人=（-1,2）,B=l,+oo）,则集合A n B=3.（填空题，4 分）已知角a的终边过点P （-1,2）,贝 h a n a 的值为4.（填空题，4 分）已知函数y=f （x）的反函数为y=2x,则 f （3）=_.2x-y 2 ,则目标函数z=x+2y的最小值为.y-x 26.（填空题，4 分）已知F 为抛物线C：y2=4x 的焦点，过点F 的直线1 交抛物线C于 A,B两点，若|A B|=1 0,则线段AB 的中点M到直线x+l=0 的距离为_.7.（填空题，5 分）已知数列 a j 的前n项和S n=n 2-7n,且满足1 6 a k+a k+i 22,则正整数k=_.8.（填空题，5 分）一块边长为1 0 c m 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点p为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器.当x=6c m 时，该容器的容积为_ c m 3.9 .（填空题，5 分）受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是_.（结果用最简分数表示）1 0 .（填空题，5 分）若命题：存在整数x使不等式（kx-k2-l）（x-2）0成立是假命题，则实数k 的取值范围是1 1 .（填空题，5 分）已知数列 a j 的通项公式为即=2汽，数列 L 是首项为1,公比为q 的等比数列，若 b k a kb k+i，其中k=l,2,1 0,则公比q 的取值范围是1 2.（填空题，5 分）已知集合4=卜，s +i U t,t +1 ,其 中 I g A 且 s+1 0C.-l x 0D.x b 0）的“倒曲线”，给出以下三个结论：曲 线 有对称轴，曲 线r有对称中心，曲 线 与椭圆c有公共点.其中正确的结论个数为（）A.0B.1C.2D.31 5 .（单选题，5分）已知函数f （x）=s i n x+c o s x的定义域为 a,b ,值域为-1,V 2 ,则b-a的取值范围是（）A底,?!B H，?C.,L 2 2 JD.,L 4 2 11 6.（单选题，5分）设各项均为正整数的无穷等差数列 a。,满足a 3 3 8=2 0 2 2,且存在正整数k,使a i，a 3 3 8,a k成等比数列，则公差d的所有可能取值的个数为（）A.1B.4C.5D.无穷多1 7.（问答题，1 4分）如图，已知圆柱的轴截面A B C D是边长为2的正方形，E是弧而的中点.（1）求该圆柱的表面积和体积；（2）求异面直线B E与AD所成角的大小.1 8.(问答题，1 4 分)在A A B C 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若 a c o s C+y/3asinC b c=0.(1)求角A的大小；(2)若 a=2,4 A B C 的面积为遮，求 b,c 的值.1 9.(问答题，1 4 分)治理垃圾是改善环境的重要举措.A地在未进行垃圾分类前每年需要焚烧垃圾量为2 0 0 万吨，当地政府从2 0 2 0 年开始推进垃圾分类工作，通过对分类垃圾进行环保处理等一系列措施，预计从2 0 2 0 年开始的连续5年，每年需要焚烧垃圾量比上一年减少2 0万吨，从第6年开始，每年需要焚烧垃圾量为上一年的75%(记2 0 2 0 年为第1年).(1)写出A地每年需要焚烧垃圾量与治理年数n (n e N*)的表达式；(2)设 心 为从2 0 2 0 年开始n年内需要焚烧垃圾量的年平均值，证明数列 A J 为递减数列.2 0 .(问答题，1 6 分)已知椭圆A 竽+。=1 的右焦点为F,过 F 的直线1 交 于A,B 两4 3点.(1)若直线1 垂直于x轴，求线段AB 的长；(2)若直线1 与x轴不重合，0为坐标原点，求 A O B 面积的最大值；(3)若椭圆上存在点C 使得|A C|=|BC|,且A A B C 的重心G在 y轴上，求此时直线1 的方程.2 1 .(问答题，1 8 分)设函数 f (x)=x2+px+q (p,q e R),定义集合 Df=x|f (f (x)=x,x e R),集合Ef=x|f (f (x)=0,x G R.(1)若 p=q=O，写出相应的集合Df 和 Ef；(2)若集合Df=0 ,求出所有满足条件的p,q；(3)若集合Ef 只含有一个元素，求证：p0,q 0.2022年上海市青浦区高考数学二模试卷参考答案与试题解析试题数：2 1,总分：1 5()1.(填空题，4分)已 知i为虚数单位，复 数z=i (l+3 i),则|z|=_.【正确答案】：【解析】：根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解.【解答】：解：；z=i (l+3 i)=-3+i,|z|=7(-3)2+l2=V1 0 .故答案为：V1 0 .【点评】：本题主要考查复数的运算法则，以及复数模的公式，属于基础题.2 .(填空题，4分)已 知 集 合 人=(-1,2),B=l,+8),则集合A C B=_.【正确答案】：1 口，2)【解析】：直接利用交集运算的概念得答案.【解答】：解：-必=(-1,2),B=l,+o o),；.A CB=(-1,2)Cl l,+o o)=1,2).故答案为：1,2).【点评】：本题考查交集及其运算，是基础题.3 .(填空题，4分)已 知 角a的终边过点P (-1,2),则t a na的值为【正确答案】：口-2【解析】：由题意，利用任意角的三角函数的定义，可得结论.【解答】：解：角a的终边过点P (-1,2),.3=5=2故答案为：-2.【点评】：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.4.(填空题，4分)已知函数y=f (x)的反函数为y=2 x,则 f (3)=_.【正确答案】：l lo g23【解析】：根据反函数的定义求出f (x)的解析式，求出f(3)的值即可.【解答】：解：.函数y=f (x)的反函数为y=2 x,f(X)=1 0 g 2 X,f (3)=lo g 2 3,故答案为:lo g23.【点评】：本题考查了反函数的定义，考查函数求值问题，是基础题.(2x-y 15 .(填空题，4分)若实数x,y 满足约束条件x +y Z 2 ,则目标函数z=x+2 y的最小值为y-x 2【正确答案】：口 3【解析】：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.联立匕工,3,解得A(1，1)，(x +y=z由z=x+2 y,得y=-：+g ,由图可知，当直线y=-1 +彳 过A时,直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为l+2 x l=3.故答案为：3.【点评】：本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题.6 .(填空题，4分)已 知 F 为抛物线C：y2=4 x 的焦点，过点F 的直线1 交抛物线C 于 A,B两点，若|A B|=1 0,则线段AB 的中点M到直线x+l=O 的距离为【正确答案】：15【解析】：根据题意，作出抛物线的简图，求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，分析可得MN为直角梯形ABDC中位线，由抛物线的定义分析可得答案.【解答】：解：如图，抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线为x=-l,即x+l=0.分别过A,B 作准线的垂线，垂足为C,D,则有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=10.过AB的中点M 作准线的垂线，垂足为N,则 MN为直角梯形ABDC中位线，则|MN|=T(|AC|+|BD|)=5,即 M 到准线x=-l的距离为5.故答案为：5.【点窕】：本题考查抛物线的几何性质以及抛物线的定义，注意利用抛物线的定义进行转化分析，属中档题.7.(填空题,5 分)已知数列 a j 的前n 项和Sn=n2-7n,且满足16ak+ak+i22,则正整数k=.【正确答案】：18【解析】：由于 ai=Si=-6,当 n“时，an=Sn-sn-i=2n-8,故，an=2n-8,ak+ak+i=4k-14,由164k-1422求得正整数k 的值.【解答】：解：.,数列 an 的前n 项和Sn=n27n,.ai=si=-6,当 心 2 时，an=Sn-sn-i=2n-8,综上,an=2n-8.ak+ak+i=4k14,.*.164k-1422,.-.y k 9,故正整数 k=8,故答案为8.【点评】：本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，前 n 项和公式的应用，得到ak+ak+1=4k-14,是解题的关键.8.（填空题，5 分）一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点p 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器.当x=6cm时，该容器的容积为_cm 3.【正确答案】：148【解析】：根据图形，在等腰APAB中算出高P E=5,再由勾股定理得出四棱锥的高PO=4,最后根据锥体体积公式，算出四棱锥P-ABCD的体积，即为该容器的容积.【解答】：解：等腰APAB中，A B=x=6,高 PE=5 四棱锥的高 PO=ylPE2-E O2=V52-32=4由此可得，四棱锥P-ABCD的体积为V=XS后 方 彩ABCDXPO=g X62x4=48即得该容器的容积为48cm3故答案为：48【点评】：本题给出平面图形，求翻折成的正四棱锥的体积，着重考查了正四棱锥的性质和锥体体积公式等知识，属于基础题.9.（填空题，5 分）受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是_.（结果用最简分数表示）【正确答案】：1【解析】：根据分组分配方法及分步计数原理求解即可.【解答】：解：四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务共有3 4=8 1种情况,要求三个核酸检测点都有志愿者到位，则4人选出2人一组，另两人各一人一组，有Cl=6种分组方法，再将3组分配到3个检测点，有 心=6种分配方法，故共有3 6种情况.所以，三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是翁=1故答案为：|.【点评】：本题主要考查古典概型的问题和分步计数原理，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.1 0.(填空题，5分)若命题：存在整数x使不等式(k x-k 2-l)(x-2)0,即x0时且k H l时，原不等式化简为卜一(k+)(%-2)2 0,所以k +/2,所以k0且k H l,则不等式的解集 x|x Z k+器或X W 2 ,要使在整数集上恒成立，只需2 0显然成立，当kVO,则k+/-2,所以不等式的解集为 x k+三x 2 ,显然不是恒成立，所以舍去，综上所述，k的取值范围为：k|竽 W k W 竽.故答案为：k|守 W k W 呼.【点评】：本题考查存在量词的否定的写法及分类讨论思想的应用，属于中档题.1 1.(填空题，5分)已知数列 a。的通项公式为&=2。，数列 L是首项为1,公比为q的等比数列，若b k V a k V b k+i，其中k=l,2,1 0,则公比q的取值范围是10【正确答案】：1 (2,2 V )【解析】：根据ak 2,由bkVak，结合指数运算可得（羡）1 2,利用指数函数单调性求出（*）km ax，由此能求出公比q 的取值范围.【解答】：解：k=l,2,.10,vak2,bkqk-i,（i）k-i 2,.彳 1,1）92,.-.q2T,10：2 q2V .10 公比q 的取值范围为（2,2V）.10故答案为：（2,2V）.【点评】：本题考查等比数列的运算，考查等比数列、指数函数的运算法则、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.1 2.（填空题，5 分）已知集合4=s,s+1 U t,t+1,其 中 1CA且 s+i l,再分析s+；V I 时，定义域与值域的关系，根据函数的单调性可确定定义域与值域的区间端点的不等式，进而求得S 与 t,确定定义域与值域的关系，能求出t 的值.【解答】：解：先判断区间 t，t+1 与 X=1的关系，IgA,.t+lV l 或 t l,当即t 0 A,不成立，故 t l；t-1再分析区间 s,s+：与X=1的关系，6 IWA,.s+l,6 当 s+*V l,即s Ls+二5 S 隹 S sH-1,s-s-1L 6J6&SS6-s +-s-16.5vs SS 6 6S+，2 5-s6 6:士 得，=中6 67 5vs 1，二 t=,当 S 1 时，f(x)=1+二 在区间xes,s+；ut,t+1上单调递减,L 1 6.f(x)日i+/i+占 M 1+W，1+*,61+1S1+i+Ats-i+t +is-li且S +6t is-l-l,t=3.综上，t 的 值 为 等 或 3.故答案为：早 或 3.【点评】：本题考查函数的定义域与值域的关系、函数的单调性、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.1 3.（单选题，5 分）log2（x+1）0”成立的一个必要而不充分条件是（）A.-l x 0C.-lx0D.x 0【正确答案】：D【解析】：先求解1 0 g 2（X+1）0,再根据必要不充分条件的意义对比选项判断即可.【解答】：解：由 l o g 2（X+1）0,有 0 x+l l,解得故 l o g 2 （x+1）0,成立的一个必要而不充分条件是“x b 0）的 倒曲线，给出以下三个结论：曲 线 有对称轴，曲 线 r有对称中心，曲 线 r与椭圆c有公共点.其中正确的结论个数为（）A.0B.1C.2D.3【正确答案】：C【解析】：曲线：9+*=1上取点（x,y）,利用点的坐标证得对称性，从而判断出，利用x 的范围可以判断出，从而得出结论.【解答】：解：曲线 a,而椭圆C：+l（a b 0）中，|x|W a,故曲线与椭圆C 无公共点，错误；综上，正确的有2个，故选：C.【点评】：本题考查了椭圆的性质，属于中档题.1 5 .（单选题，5分）已知函数f （x）=si n x+c o sx的定义域为 a,b ,值域为-1,V 2 ,则b-a的取值范围是（）a r 37r TC -A.,二 L 4 2 JB K，牛/，y D.,L 4 2 J【正确答案】：D【解析】：由题意，-?sin (x+)1,求得b-a的最小值和最大值，可得结论.2 4【解答】：解：，函数f(x)=sinx+cosx=V2 sin(x+9 的定义域为a,b ,值域为 1,V2,BP-sin(x+-)Z.EBC=arccos，6,异面直线BE与AD所成角的大小为arccos萼.6【点评】：本题考查圆柱的表面积和体积、异面直线所成角、圆柱的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.18.(问答题，14分)在4ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosC+/3asinC b c=0.(1)求 角A的大小；(2)若a=2,AABC的面积为求b,c的值.【正确答案】：【解析】：(1)由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinAcosC+VsinAsinC=sinB+sinC=sin(A+C)+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC,整理可求 A.(2)由(1)所求 A 及 S=TbcsinA 可求 b e,然后由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bccosA可 求b+c,进而可求b,c的值.【解答】：解：(1)vacosC+V3 asinC-b-c=O,sinAcosC+V3 sinAsinC-sinB-sinC=O,.*.sinAcosC4-V3 sinAsinC=sinB4-sinC=sin(A+C)4-sinC=sinAcosC4-sinCcosA+sinC,vsinCO,V3 sinA-cosA=l,sin(A-30)=2-,.-.A-30=30,A=60。.(2)由 S=gbcsirA=遍，可得 bc=4,由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bccosA,即 4=(b+c)2-3bc=(b+c)2-12,-b+c=4,解得：b=c=2.【点评】：本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式,属于中档题.19.(问答题，14分)治理垃圾是改善环境的重要举措.A地在未进行垃圾分类前每年需要焚烧垃圾量为200万吨，当地政府从2020年开始推进垃圾分类工作，通过对分类垃圾进行环保处理等一系列措施，预计从2020年开始的连续5年，每年需要焚烧垃圾量比上一年减少20万吨，从 第6年开始，每年需要焚烧垃圾量为上一年的75%(记2020年 为 第1年).(1)写 出A地每年需要焚烧垃圾量与治理年数n(nGN 9的表达式；(2)设An为 从2020年开始n年内需要焚烧垃圾量的年平均值，证明数列 A J为递减数列.【正确答案】：【解析】：(1)根据题意可知从2020年开始的连续5年，焚烧垃圾量成等差数列，从 第6年开始，成等比数列，根据等差等比的基本量即求，(2)根据年平均值的表达式，可 得4“=曰，然后根据Sn，a”的关系即可得到力n+i-4n=回红4）堆巴二个+（即+厂即）,结合等差等比的单调性，即可得到数列 A n 的单调性.【解答】：解：（1）设治理n年后，A地每年的需要焚烧垃圾量构成数列口由当n W 5 时，&是首项为a i=2 0 0-2 0=1 8 0,公差为-2 0 的等差数列，所以 a n=a i+（n-1）d=1 8 0-2 0 （n-1）=2 0 0-2 0 n；当n 2 5 时，数列 a j是以a s为首项，公比为 的等比数列，所以斯=a sqnT=1 0 0 x （3n，2 0 0 2 0 n,1 n 6.证明：（2）S n 为数列 a n 的前n项和，则事.由于 An+1 一 AnSn+1 _ _ nSn+LS+DSnn+1 n n(n+l)_ 九-九+1 5._ (-71+1-/1)+(。九+1-，2)+r+(门+1一。九)n(n+l)n(n+l)由（1）知，l Wn W5 时，an=2 0 0-2 0 n,所以 a j为递减数列,/o n-5n 6 时，an=1 0 0 x g）,所以 a j为递减数歹！I，且 a 6 a s,所以 a n 为递减数歹U，于是 a n+l-a i 0,a n+l-a 2 0,，a n+l-a n 0,因此 A n+l-A n l,则 S A OB=，3t2+l 3t+,y=3t+在 1,4-oo)上为增函数，SAA OB=0,q 0.【正确答案】：【解析】：(1)由x 4=x、x 4=0解得X,可得Df,Ef；(2)由 f(f(x)-x=0 得 x 2+(p+1)x+p+q+l=0 或 x 2+(p-1)x+q=0,然后由 A i=(p+1)2-4 (p+q+1),A2=(p-1)2-4 q A i,方程 f(f(x)-x=0 只有一个实数解 0,得2=0,AI 0,转化为X2+(p-1)x+q=0有唯一实数解0,可得答案；(3)由条件，f(f(x)=0有唯一解，得f(x)=0有解，分f(x)=0有唯一解x o、f(x)=0 有两个解 X i，X 2 (X 1 X 2),则 f(X)=(X-X 1)(X-X 2),且两个方程 f(X)=X p f(X)=X 2总共只有一个解，结合f(X)图像可知f(X)=X 2有唯一解，所以X 2 0,X i Ai,而方程f(f(x)-x=0只有一个实数解0,所以a=0，A iV 0，即只需x2+(pl)x+q=O有唯一实数解0,所以p=l,q=0.(3)由条件，f(f(x)=0有唯一解，所以f(x)=0有解，若 f(X)=0 有唯一解 X0，则 f(X)=(X-Xo)2,且 f(x)=Xo 有唯一解，结合f(x)图像可知xo=O,所以f(x)=x2,所以p=q=O.若 f(x)=0 有两个解 X1，X 2(X1X2)，则 f(x)=(X-X1)(XX2),且两个方程 f(X)=X1，f(x)=X2总共只有一个解，结合f(x)图像可知f(x)=X2有唯一解，所以X20,X 10,则f(X)=(X-X1)(X-X2),且两个方程f(x)=X1，f(x)=X2总共只有一个解，结合f(X)图像可知f(x)=X2有唯一解，所以X20,X 10,且f(X)的对称轴x=-0,所以p0,q0.综上，p0,q0.【点评】：本题主题考查了二次函数与二次方程之间的关系的相互转换，方程根与系数的应用,考查了系数对新定义的理解能力及计算能力.