2022-2023学年江苏省南通市高二（下）期末数学试卷（含答案）.pdf

2022.2023学 年 江 苏 省 南 通 市 高 二（下）期 末 数 学 试 卷 一、选 择 题：本 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 40分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.(5 分)已 知 集 合 A=划 一 啜 k 2,B=x x2 a c B.c b a C.a c b4.(5 分)已 知 等 比 数 列,的 前 6 项 和 为 詈，公 比 为，则=()73 3 3A.B.-C.-D.248 4 85.(5 分)英 国 数 学 家 泰 勒(8.Taylor,1 6 8 5-1731)发 现 了 如 下 公 式：sinx=x-土+乙-土+.根 据 该 公 式 可 知，与-1+_1一 _1+_ 1 _ 的 值 最 接 近 的 是(3!5!7!3!5!7!)A.cos57.3 B.cos 147.3 C.sin57.3 D.sin（-32.7）2 26.（5 分）设 居 为 椭 圆 C:=+=l（a 6 0）的 两 个 焦 点.点 P 在 C 上，且 耳，F、F,a b尸 鸟 成 等 比 数 列，则 C 的 离 心 率 的 最 大 值 为（）1 2 3A.-B.-C.-D.12 3 47.（5 分）为 贯 彻 落 实 中 共 中 央 国 务 院 关 于 全 面 加 强 新 时 代 大 中 小 学 劳 动 教 育 的 意 见 的 文 件 精 神，某 学 校 推 出 了 植 物 栽 培 手 工 编 织 实 用 木 工 实 用 电 工 4 门 校 本 劳 动 选 修 课 程，要 求 每 个 学 生 从 中 任 选 2 门 进 行 学 习，则 甲、乙 两 名 同 学 的 选 课 中 恰 有 一 门 课 程 相 同 的 概 率 为（）8.（5 分）若 也,%,(0,),则“不 x s i n/”成 立 的(）A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 二、选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5分，共 20分。在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有 多 项 符 合 题 目 要 求。全 部 选 对 的 得 5分，部 分 选 对 的 得 2分，有 选 错 的 得 0分。9.（5 分）如 图 是 函 数 f（x）=cos（0 x+g）的 部 分 图 象，则（）B.图 象 关 于（_ 二，0）对 称 37TC./（-）=112D./.（X）的 图 象 向 右 平 移 三 个 单 位，可 以 得 到 丁=8$2 的 图 象 610.（5 分）已 知 四 棱 锥 P-A fiC D的 底 面 是 矩 形，P）_L平 面 则（）A.ZPCD是 PC与 他 所 成 的 角 B.4 4。是 小 与 平 面/WCD所 成 的 角 C.NP8A是 二 面 角 P 8C A的 平 面 角 D.作 于 E,连 结 E C,则 NAEC是 二 面 角 A-P B C的 平 面 角 11.（5 分）过 抛 物 线 C：V=2px（p 0）的 焦 点 下 的 直 线 与 C相 交 于 产 区，y）,Q（X2,%）两 点.若|P。I的 最 小 值 为 6,则（）A.抛 物 线 C 的 方 程 为 y2=6xB.PQ的 中 点 到 准 线 的 距 离 的 最 小 值 为 3C.y,y2=-36D.当 直 线 P。的 倾 斜 角 为 60。时，尸 为 PQ的 一 个 四 等 分 点 12.（5 分）在 AABC中，设 与=?,BC=a,CA=b,则 下 列 命 题 正 确 的 是（）A.若 无 5 0,则 AABC为 钝 角 三 角 形 B.a b+b-c+c a0C.a hb c 则 团 V|D.a-bAc-b,则|叫=石 三、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分。13.（5 分）若（x+&y 的 展 开 式 中 x 的 系 数 为 30,则。=.14.（5 分）某 公 司 于 2021年 1月 推 出 了 一 款 产 品 A,现 对 产 品 上 市 时 间 x（单 位：月）和 市 场 占 有 率 y 进 行 统 计 分 析，得 到 如 表 数 据：X1 2 3 4 5y 0.002 0.005 0.010 0.015 0.018由 表 中 数 据 求 得 线 性 回 归 方 程 为？=0.0042x+4,则 当 x=10时，市 场 占 有 率 y 约 为.15.（5 分）已 知/（x）是 奇 函 数，当 x _1（4+a+&+或）的 正 整 数 N 的 集 瓦 打 4%4合.18.（12 分）在 asin B=-sin.Q；（2）A B-AC=S；/5asinC+acosC=b+c这 2 3三 个 条 件 中 任 选 一 个，补 充 在 下 面 的 问 题 中，并 回 答 问 题.问 题：在 A4BC中，A,5,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,S 为 AA8C的 面 积，。是 8 c 的 中 点.若 1=用，b=2,且,求 A 及 4）的 长.19.（12分）某 中 学 高 三 年 级 组 为 了 解 学 生 主 动 预 习 与 学 习 兴 趣 是 否 有 关，随 机 抽 取 一 个 容 量 为 的 样 本 进 行 调 查.调 查 结 果 表 明，主 动 预 习 的 学 生 占 样 本 容 量 的 只，学 习 兴 趣 高 的 15学 生 占 样 本 容 量 的 2,主 动 预 习 且 学 习 兴 趣 高 的 学 生 占 样 本 容 量 的 3.3 5（1）完 成 下 面 2x2列 联 表.若 有 97.5%的 把 握 认 为 主 动 预 习 与 学 习 兴 趣 有 关，求 样 本 容 量n 的 最 小 值;学 习 兴 趣 高 学 习 兴 趣 一 般 合 计 主 动 预 习 3 n513一 n15不 太 主 动 预 习 合 计 2 n3n（2）该 校 为 了 提 高 学 生 的 数 学 学 习 兴 趣，用 分 层 抽 样 的 方 法 从“学 习 兴 趣 一 般”的 学 生 中 抽 取 10人，组 成 数 学 学 习 小 组，现 从 该 小 组 中 随 机 抽 取 3 人 进 行 摸 底 测 试，记 3 人 中“不 太 主 动 预 习”的 人 数 为 X,求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望 E（X）.附：+其 中“=p g.k。）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k。2.076 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82820.（12 分）如 图，在 四 棱 锥 P ABCZ）中，PD_L 平 面 43cr,AB/CD,NBA=60。,AB=AD=-C D=2,E 为 棱 PZ）上 的 一 点，且 止=2P=2.2（1）证 明：尸 8/平 面 A C；（2）求 二 面 角 A-E C-O 的 余 弦 值.=1（。0力 0）的 左、右 焦 点 分 别 为 百，F2,双 曲 线。的 左、右 准 线 与 其 一 条 渐 近 线 y=2x的 交 点 分 别 为 A,B,四 边 形 A片 8鸟 的 面 积 为 4.（1）求 双 曲 线 C 的 方 程；4 _ _（2）已 知/为 圆 O:f+y2=的 切 线，且 与。相 交 于 P,。两 点，求 OP.OQ.22.（12分）设 函 数/*）=0-1+，已 知 x=0 是 函 数 g（x）=/（x）-2x的 极 值 点.(1)求 4；(2)当 9 时 若/(x).?sin2x,求 实 数？的 取 值 范 围.2022-2023学 年 江 苏 省 南 通 市 高 二（下）期 末 数 学 试 卷 参 考 答 案 与 试 题 解 析 一、选 择 题：本 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 4 0分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.（5 分）已 知 集 合 4=幻-掇 k 2,B=x|x1 2 3 4 4x,x e N 9 则 1 1 口 log25 c b 故 选：C.4.（5 分）已 知 等 比 数 列 4 的 前 6 项 和 为 詈，公 比 为 g,则 必=（）3 3B.-C.-D.244 8)A.0,2 B.(0,2 C.0,1,2)D.(1-2)【解 答】解：.集 合 A=x|-掇*2，B=xx2 4x,xw N=x 0 x a c B.c h a C.a c b D.a b c【解 答】解：2=r,.0 v a v 1,7T:1 b=-lo g2 5=lo g/,c-log2-,1 1一 一,5 3A.8【解 答】解：根 据 题 意，等 比 数 列 他“的 前 6 项 和 为 詈，公 比 为 g,则 有 S6=q“0)的 两 个 焦 点.点 尸 在 C 上，且 出，耳 居，a bP且 成 等 比 数 列，则 C 的 离 心 率 的 最 大 值 为()1 2 3A.-B.-C.-D.12 3 4【解 答】解：因 为 P 在 椭 圆 上，由 椭 圆 的 定 义 得 2与+尸 乙=2”；由 不 FtF2,空 成 等 比 数 列，所 以(2c)2=P/P 6；由 均 值 不 等 式”.历 乐 及，得 a.2 c；所 以 e=,，当 且 仅 当 尸 片=P 8 时，等 号 成 立.a 2故 选：A.7.(5 分)为 贯 彻 落 实 中 共 中 央 国 务 院 关 于 全 面 加 强 新 时 代 大 中 小 学 劳 动 教 育 的 意 见 的文 件 精 神，某 学 校 推 出 了 植 物 栽 培 手 工 编 织 实 用 木 工 实 用 电 工 4 门 校 本 劳 动 选 修 课 程，要 求 每 个 学 生 从 中 任 选 2 门 进 行 学 习，则 甲、乙 两 名 同 学 的 选 课 中 恰 有 一 门 课 程 相 同 的 概 率 为（）A.-B.-C.-D.3 3 6 12【解 答】解：某 学 校 推 出 了 植 物 栽 培 手 工 编 织 实 用 木 工 实 用 电 工 4 门 校 本 劳 动 选 修 课 程，要 求 每 个 学 生 从 中 任 选 2 门 进 行 学 习，甲、乙 两 名 同 学 的 选 课 包 含 的 基 本 事 件 个 数=C：C：=36,甲、乙 两 名 同 学 的 选 课 中 恰 有 一 门 课 程 相 同 包 含 的 基 本 事 件 个 数 m=C：C；C；=24,则 甲、乙 两 名 同 学 的 选 课 中 恰 有 一 门 课 程 相 同 的 概 率 为 尸=丝=2.n 36 3故 选：A.8.（5 分）若 玉，%（0,）,则“王 马 是 x2 s i n 玉 sinx2 成 立 的（A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【解 答】解：.W，x2 要 使 电 sinX 玉 sinx2即 使 网 皿 区,A 工,、sinx 小 冗、x c o sx-sin x令/(%)=，X G(0,-),f(x)=-%-，x 2 x令(x)=x c o sx-sin x,/z(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x 0,故（x）=x cosx-s in x在（0,工）上 为 减 函 数，且（0）=0,2故 r o,故/（X）=包 丝 在（0,）上 为 减 函 数，x 2故“百 皿”的 充 要 条 件，X x2即 xl x（sinx,n成 立 的 充 要 条 件,故 选：C.二、选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分。在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有 多 项 符 合 题 目 要 求。全 部 选 对 的 得 5 分，部 分 选 对 的 得 2 分，有 选 错 的 得 0 分。9.(5 分)如 图 是 函 数/(x)=COS(GX+0)的 部 分 图 象，则()B.图 象 关 于(三，0)对 称 C./(-)=112D.f(x)的 图 象 向 右 平 移 工 个 单 位，可 以 得 到 y=cos2x的 图 象 6【解 答】解：由 图 象 可 知，2 3 6 2所 以/(的 最 小 正 周 期 为 万，故 选 项 A 正 确；因 为 T=可 得 G=2,O)又 仁,0)为“五 点 法”中 的 第 二 个 点，则 2 x工+=匹,解 得 0=工，6 2 6JT所 以/(%)=cos(2x+),6因 为/(-)=cos2 x(-)+-0,3 3 6则(-与，0)不 是/(X)的 对 称 中 心，故 选 项 5 错 误；JL JL JL/(-)=c o s 2 x(-)+-=l12 12 6故 选 项 C 正 确；/(x)=cos(2x+-)的 图 象 向 右 平 移 三 个 单 位,6 6可 得 函 数 y=cos2(x-)+=cos(2x-),6 6 6故 选 项 O 错 误.故 选：AC.10.（5 分）已 知 四 棱 锥 尸-A B C D的 底 面 是 矩 形，PD_L平 面 ABCZ）,则（）A.NPCD是 尸 C 与 四 所 成 的 角 B.4 4）是 以 与 平 面 A8CD所 成 的 角 C.N PB4是 二 面 角 P-B C-A 的 平 面 角 D.作 A E_LP3于,连 结 E C,则 NAEC是 二 面 角 A-P 3-C 的 平 面 角【解 答】解：作 出 图 象 如 图 所 示，因 为 A8C。是 矩 形，则 A 8 C D，所 以 NPCD是 P C与 AB所 成 的 角，故 选 项 4 正 确；因 为 J_平 面 A B C D，则 P A 在 平 面 A B C D 内 的 射 影 为 A D，所 以 4 4。是 R 4与 平 面 ABCD所 成 的 角，故 选 项 B 正 确；因 为 P）_L平 面 4 3 8,B C u平 面 ABCD,则 3 C _ L P,又 B C L C D,CDPD=D,CD,Pu 平 面 PC）,所 以 3C_L平 面 P C D,尸 C u 平 面 PCD,则 P C J.8 C,又 C D 工 BC,故 N P 8 为 二 面 角 尸 一 3 C-A 的 平 面 角，故 选 项 C 错 误；作 A E L P 3于,连 结 E C,因 为 没 有 条 件 可 以 判 断 E C是 否 垂 直 PB,所 以 不 能 确 定 NAEC是 二 面 角 A-P 8-C 的 平 面 角，故 选 项。错 误.故 选：AB.11.（5 分）过 抛 物 线 C:y 2=2 p x（p 0）的 焦 点 尸 的 直 线 与 C 相 交 于 P（X1,y j,Q（x2,必）两 点.若|尸。|的 最 小 值 为 6,则（）A.抛 物 线 C 的 方 程 为 y?=6xB.P Q的 中 点 到 准 线 的 距 离 的 最 小 值 为 3C-=-3 6D.当 直 线 P。的 倾 斜 角 为 60。时，尸 为 P。的 一 个 四 等 分 点【解 答】解：当 斜 率 不 存 在 时，即 尸。过 抛 物 线 的 焦 点，且 垂 直 x 轴，/=2 p.g：PQ=2P,当 斜 率 存 在 时，设 直 线 尸。的 方 程 为 y=A(x-),设 P(X，y),P(x2,y2),联 立 直 线 P Q 与 抛 物 线 方 程 卜=/一 9,可 得 k2x2-(k2p+2p)x+土=0，2 C 4y=2px由 韦 达 定 理，可 得 玉+/=鸟 3=2+资，由 抛 物 线 的 定 义，可 得|P Q|=N+R+x2+Z=2p+”2p,2 2 k综 合 以 上 两 种 情 况 可 得，当 斜 率 不 存 在 时，即 P Q过 抛 物 线 的 焦 点，且 垂 直 x 轴，|P Q|取 得 最 小 值，.1PQ I的 最 小 值 为 6,:.2p=6,即 p=3,.抛 物 线 的 方 程 为 y 2=6 x,故 A 选 项 正 确，,;PQ的 中 点 到 准 线 的 距 离 最 小 值 为+j=p=3,故 5 选 项 正 确，.当 斜 率 不 存 在 时，两 交 点 坐 标 为(多 p),(_ p),y y2-p2=-9,故 C 选 项 错 误，当 直 线 P Q 的 倾 斜 角 为 60。时，可 得 左=6,|P Q|=2 p+F=6,解 得 p=,将 4=行，代 入 中，可 得 1 2/-2 0 a+3P2=0,解 得 两 根 为 空,K,不 妨 设，%!=，b=E,1 2-6由 抛 物 线 得 的 定 义 可 得，|尸 用=2+4=2，FQ=Lp+Lp=l P,即 2 2 6 2 3P Q H P F+FQ A,F Q-P Q,即 F 为 尸 Q 的 一 个 四 等 分 点，故。选 项 正 确 4故 选：ABD.12.(5 分)在 AABC中，T AB=C,BC=a,CA=b,则 下 列 命 题 正 确 的 是()A.若&不 0,则 AABC为 钝 角 三 角 形 B.a-b+b-c+c-d b-c 则|C|即 D.a-h=c-h,则 旧 R 行【解 答】解：对 于 A,a-b 0 B C-CA 0 C B-C4 0|CB 11cAi co sC 0 o c o s C 0,又 C e(O z),所 以 C e(0,工)，故 不 能 判 断 A A 8 C是 钝 角 三 角 形，故 A错 误；2对 于 8,a-b+b-c+C d 0 d b|-cos(-C)+1/?|c|.cos(乃-A)+|c|-|a|c o s(-B)0,|a|-|Z?|-cosC+b c-c o sA+|-|a|-c o sB 0,o d V b VI肝+1必-|C：F2|d g b|+函|修 卜 i W+l c T-1 肝 2 b-c|c+|肝-而 2 c-a 0+|c|l|-=|a|2+|/；|2+|c|2 0,显 然 成 立，故 5 正 确；对 于 C,a-b b-c d b-cos(-C)|b|可.cos(万 一 4)|a|c o sC|c-cos A,由 正 弦 定 理 可 得 sin Acos C sin Ceos A o sin Acos C-sin Ceos A v 0 o sin(A-C)0,所 以 A C v O o A v C,由 大 角 对 大 边 可 得 c,即|利 R|,故 C 正 确.对 于。,a-b=c-b BC+AC=AB+ACCB+CA=AB+A C,设 他 的 中 点 为 M,8 c 的 中 点 为 N,CB+CA=2CM,AB+AC=2 A N,于 是|两|=|丽 I,在 中，由 余 弦 定 理 可 得 BM2+BC2-MC-1 8+B c 2-M C?cos B=-=-2BM BC BA-BC在 岫 N A 中，由 余 弦 定 理 可 得 cosB=BN2+BA2-A N22BN-BA1 BC2+BAr-AN24B C B A所 以-BA2+BC2-MC24BA-BC-B C2+BA2-A N24BC-BA又 M C=A N,所 以 B4=3C,B P|a|=|c|.故。正 确.13.(5 分)若(x+6)6 的 展 开 式 中 x 的 系 数 为 3 0,则 a=_/【解 答】解：因 为(x+&)“的 展 开 式 的 通 项 公 式 为(&),、令 6 厂=1,贝 壮=5,所 以 7；=C；(3px,因 为 x 的 系 数 为 30,则 C；(夜 了=3 0,解 得 a=侬.故 答 案 为：V25.14.(5分)某 公 司 于 2021年 1月 推 出 了 一 款 产 品 A,现 对 产 品 上 市 时 间 x(单 位：月)和 市 场 占 有 率 y 进 行 统 计 分 析，得 到 如 表 数 据：X1 2 3 4 5y 0.002 0.005 0.010 0.015 0.018由 表 中 数 据 求 得 线 性 回 归 方 程 为？=Q0042x+A,则 当 x=10时，市 场 占 有 率 y 约 为 0.0394.【解 答】解：由 题 意，元=2+3+4+5=3,5_ 0.002+0.005+0.010+0.015+0.018，、y=-=0.01,-5因 为 线 性 回 归 方 程 为？=0.0042x+G,则 a=0.01-0.0042 x 3=-0.0026,所 以？=0.0042x-0.0026,将 x=10代 入，可 得？=0.0042xlO-0.0026=0.0394.故 答 案 为：0.0394.15.(5 分)已 知/(x)是 奇 函 数，当 x0 时，/(x)=In.若/侬 2)=1,则 0=_-e_.x【解 答】解：根 据 题 意,/(x)是 奇 函 数，若 f(e2)=l,则/(-e2)=-l,当 x0 时，f(x)=ln,则/(-/)=/(二)=一 1,则“=-e,x-e故 答 案 为：e.16.(5 分)一 个 正 四 棱 台 的 侧 面 与 底 面 所 成 的 角 为 60。，且 下 底 面 边 长 是 上 底 面 边 长 的 2倍.若 该 棱 台 的 体 积 为 拽，则 其 下 底 面 边 长 为 2,外 接 球 的 表 面 积 为 一.6【解 答】解：设 正 四 棱 台 下 底 面 边 长 为 2x,依 题 意 可 得，正 四 棱 台 的 高=立 工，2.棱 台 的 体 积 为 逆，.，+4Y+&.4 炉).3 工=述,6 3 2 6解 得 x=l,则 正 四 棱 台 的 下 底 面 边 长 为 2；正 四 棱 台 上 底 面 对 角 线 长 为 虚，下 底 面 对 角 线 长 为 2应，设 上 底 面 中 心 为 G，下 底 面 中 心 为。2,四 棱 台 外 接 球 半 径 为 K,若 外 接 球 球 心 o 在 线 段 上，由 卜-净 M R S=当，此 方 程 无 解；若 外 接 球 球 心 O 在 线 段 的 延 长 线 上，由 J i 争-正 _(四)2=*，解 得：解 得：R2=,外 接 球 的 表 面 积 为 4%x316 16 4故 答 案 为：2；至 万.4四、解 答 题：本 题 共 6 小 题，共 7 0分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。17.(10分)设 等 差 数 列 仅“的 前”项 和 为 S“，且 4=0,S6=3(7-l).(1)求 数 列”“的 通 项 公 式；(2)设 2=2%，求 满 足 不 等 式 上+(+广+齐 也+4+么+%的 正 整 数”的 集 合.【解 答】解：(1)设 等 差 数 列 4 的 公 差 为 d,因 为 q=0,S6=3(a7 1),所 以 15d=3(6d 1),解 得 d=l,所 以 数 列 4 的 通 项 公 式 为 a,=n-；(2)因 为 2=2=2T,1所 以 4+由+么+.+=2”-1,1 1所 以 一+.1.H-=bn=21-(；),4 b2 4El+-01+/?,+/?3+.+Z?,),b1 a&bn 4-所 以 2l_(g)；(2_1),即 22 n-9x2),+80,解 得 1 2 8,所 以 0 4 2c=2 S；(3)asin C+acosC=b+c&2 3三 个 条 件 中 任 选 一 个，补 充 在 下 面 的 问 题 中，并 回 答 问 题.问 题：在 A A B C 中，A,B,。所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,S 为 A A B C 的 面 积，。是 3 C 的 中 点.若。=用,b=2,且,求 A 及 4)的 长.【解 答】解：asinB=bsin B+C,由 正 弦 定 理 可 得：sin Asin B=sin sin+,又 因 为 2 28w(0,4),rr _ A A所 以 sinB w O,所 以 sin A=sin-=cos,2 2BP 2sincos=cos,在 三 角 形 中，A G(0,TT),则 4 金,工)，2 2 2 2 2所 以 cosA片 o,所 以 可 得 sin2=_L,2 2 2所 以 4=工 或 3 万，2 6 6可 得 A=生 或(舍)3 3由 正 弦 定 理 可 得 一 巴 一=一 2 _,而 a=币,h=2,sin A sin B所 以 sinB=2sin A=,a V7 2 V7x/3 73 _ 1为 中=而 C O S B=-，x/72 1cos C=-cos(B+A)=-cos B cos A+sin Asin 8=j=+在 AADC 中，DC=-=,2 2由 余 弦 定 理 可 得 A=、AC2+C)2 2AC)C.cosC=j2 2+N 2 x 2 x x 4=延；V 4 2 2/3sin Asin C+sin Acos C=sin B+sin C,在 三 角 形 中，sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cos A sin C,所 以 Gsin/Asin C=cos Asin C+sin C,sinCVO,所 以 G sin A-cosA=l,即 2 sin(A-)=1,6所 以 sin(A一 令=g,所 以 A-2=工 或 A 2=9 万，6 6 6 6可 得 A=2 或 A=;r(舍)，后 面 计 算 同，综 上 所 述：A=,AD=.3 219.(1 2分)某 中 学 高 三 年 级 组 为 了 解 学 生 主 动 预 习 与 学 习 兴 趣 是 否 有 关，随 机 抽 取 一 个 容 量 为 的 样 本 进 行 调 查.调 查 结 果 表 明，主 动 预 习 的 学 生 占 样 本 容 量 的 u,学 习 兴 趣 高 的 15学 生 占 样 本 容 量 的-主 动 预 习 且 学 习 兴 趣 高 的 学 生 占 样 本 容 量 的 3 5(1)完 成 下 面 2 x 2列 联 表.若 有 97.5%的 把 握 认 为 主 动 预 习 与 学 习 兴 趣 有 关，求 样 本 容 量 n 的 最 小 值；学 习 兴 趣 高 学 习 兴 趣 一 般 合 计(2)该 校 为 了 提 高 学 生 的 数 学 学 习 兴 趣，用 分 层 抽 样 的 方 法 从“学 习 兴 趣 一 般”的 学 生 中 主 动 预 习 3 n513一 n15不 太 主 动 预 习 合 计 2 n3n抽 取 10人，组 成 数 学 学 习 小 组，现 从 该 小 组 中 随 机 抽 取 3 人 进 行 摸 底 测 试，记 3 人 中“不 太 主 动 预 习”的 人 数 为 X,求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望 E(X).附：=(a+6)(c+d)(a+c)(d)其 中=P(K2.，)0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001即 2.076 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【解 答】解：(1)2*2列 联 表 如 下：学 习 兴 趣 高 学 习 兴 趣 一 般 合 计 主 动 预 习 3 n54一 n1513一 n15不 太 主 动 预 习 一 1n151一 n152一 n15合 计 2 n31 n3n,3 1 4 1 2n(n n-n n)Kij K2=/=A,13 2 2 1 52-n n-n-n15 15 3 3因 为 有 97.5%的 把 握 认 为 主 动 预 习 与 学 习 兴 趣 有 关,所 以 2.5 0 2 4,解 得.251.248,52结 合 题 意，正 整 数 是 15的 倍 数,所 以 的 最 小 值 为 270；(2)由(1)可 知，“学 习 兴 趣 一 般”的 学 生 中,“主 动 预 习”与“不 太 主 动 预 习”的 学 生 人 数 之 比 为 4:1,因 此 用 分 层 抽 样 的 方 法，从“学 习 兴 趣 一 般”的 学 生 中 抽 取 10人 中，“不 太 主 动 预 习”的 人 数 为 2,所 以 XH(3,2,10),所 以 P(X=0)=g=2do I)P(x=1)71 5c2cl IP(X=2)=p-=%15所 以 X 的 分 布 列 为:X 0 1 2P7 7 115 15 15则 反*）=壁=3.10 520.（12分）如 图，在 四 棱 锥 尸-A B C D 中，P_L平 面 ABC,AB/CD,AB=AD=-C D=2,E 为 棱 电 上 的 一 点，且 D E=2EP=2.2（1）证 明：PB/平 面 A E C；（2）求 二 面 角 A-E C-的 余 弦 值.ZBAD=60,【解 答】（1）证 明：连 结 交 A C 于 点 O,连 结 OE,在 底 面 A8C。中，因 为 A8/CD，AB=-CD,2由 A/W O s A C W,可 得 型=0=2,OB ABDF因 为 DE=2 E P,即 2=2,EP所 以 在 M D P 中，,OB EP故 EOHPB,因 为 E O u 平 面 A E C,依 U 平 面 AC,所 以 P8/平 面 AEC;(2)解：取 A B的 中 点 H,连 结 因 为 NS4Z)=60。，A B=A D,所 以 A49 为 等 边 三 角 形，则 D H L A 3,因 为 A B/C D,则 W J _ 8,因 为 PD_L平 面 ABC。，又 DH,Cu平 面 M C Z),所 以 P D L D H,P D 1 C D,以 点 3 为 坐 标 原 点，建 立 空 间 直 角 坐 标 如 图 所 示，因 为 D H L CD,P D D H,PDpCD=D,P D,Cu 平 面 PC,则 归，平 面 PC),因 为 A D=2,ZB4D=60,所 以 力=百，平 面 P 8 的 一 个 法 向 量 为 万=(6,0,0)，因 为 AB2 c)=2,DE=2E P=2,2故 A(A/3,-1,0),C(0,4,0),(0,0,2),所 以 而=(-6,5,0),荏=(-6,1,2),设 平 面 A CE的 法 向 量 为 血=(x,y,z),则,*=0,即 卜 后+5y=0,m-AE=0 y/3x+y+2z=0令 x=5,则 y=b,z=2 G,故 而=(5,G,26)，g、ii.n-m 5百 V10所 以|cos|=-=-T=-,=-,nm V3x2V10 4故 二 面 角 A-E C-D 的 余 弦 值 画.421.（12分）设 双 曲 线 C:3-4=1（。0/0）的 左、右 焦 点 分 别 为 人，F2,双 曲 线 C 的 CT b左、右 准 线 与 其 一 条 渐 近 线 y=2x的 交 点 分 别 为 A,B,四 边 形 4耳 8鸟 的 面 积 为 4.（1）求 双 曲 线 C 的 方 程;（2）已 知/为 圆 O:x?+y2=g的 切 线，且 与 C 相 交 于 P,。两 点，求。户【解 答】解：（1）设 耳 凡=2c,由 直 线 y=2x是 双 曲 线 C 的 一 条 渐 近 线，可 得 2=2,a2因 为 双 曲 线。的 准 线 方 程 为 x=,C则 白 2x=2/a1 2a2,c 可 得 y=-，所 以 B(,-),_ C C Cy=2x由 双 曲 线 的 对 称 性，可 得 鼠 边 畴 怩=叱=4x；cx子=4/,结 合 四 边 形 吊 的 面 积 为 4,可 得 4 6=4,解 得=1,结 合，可 得 b=2,所 以 双 曲 线 C 的 方 程 为 d-乙=1；4Q）当 直 线/的 斜 率 存 在 时 对 于 圆：f+y2=g不 妨 考 虑 竽 所 以 9 丽=0；当 直 线/的 斜 率 存 在 时，设/:y=fcv+m,因 为 这 些/与 C 相 交 于 P,Q 两 点，所 以 后*2,因 为 这 些 P Q 与 圆 O 相 切，所 以/L=2 叵，即 加 2=色(1+公)(*),dl+k*2 3 3=4 c c3x(l+fc2)-4(jt2+l)结 合(*),可 得 丽 丽=3-；-=0.K-4综 上 所 述，。户。4=0.22.(12分)设 函 数 f(x)=ox-1+e*,已 知 x=O 是 函 数 g(x)=/(x)-2x的 极 值 点.(1)求“；(2)当 xe0,1 时,若 f(x).msin2x,求 实 数 机 的 取 值 范 围.2【解 答】解:(1)因 为/(劝=-1+炉,所 以 g(x)=(a-2)x-l+/,则 g(x)=a-2+e”,因 为 x=O 是 函 数 g(x)的 极 值 点,则 g(O)=0，解 得 a=1,当 a=l 时，g(x)=e*-l,设 P G，)，Q(X2,y2),联 立 方 程 组 y kx+m.v2，可 得(4一 攵 2)/一 2切+4)=0伏。2),f-2_ 二 14结 合(*),可 得=(,2km)2+4(4-k2)(w2+4)=竺(r+16)0,则 X+W=2km/+4-,x.x?=-4-k2-4-k2所 以。户 O0=xtx2+y y2=xtx2+(Ax,+m)(kx2+m)=(1+k2)xxz+km(xt+x2)+m2(1+)(川+4)2k2m2，=-；-+-+m-4_42 4-k23m2-4(/+1)令 g(x)=0,解 得 x=0，当 x v 0 时,gx)0 时，g(x)0,则 g(x)单 调 递 增，所 以 x=0 是 函 数 g(x)的 极 值 点，故 a=1;(2)由(1)可 知，f(x)=x-+ex f 且/(0)=0,因 为 r(x)=l+，0,所 以 f(x)在 0,9 上 单 调 递 增，则 当 xeO，马 时，/(x)./(0),即 f(x).O,当 以,()时，机 sin2元,0,所 以/(x).msin2x恒 成 立；当 机 0 时、令 h(x)=f(x)-/nsin 2x=1+e,-机 sin 2x,X G 0,),2则 力(幻=1+，-27 cos 2x,X G 0,三),2若 0 1,则=ex+4msin 2x,所 以 当 e0,马 时，H(x)j0,则 以 防 单 调 递 增,2因 为“(0)=2 2机 0,“(X)在 0,)上 图 象 不 间 断，所 以 1。)在 0,马 上 存 在 唯 一 的 零 点，设 为 a,2因 为”(幻 在(0,a)上 是 增 函 数，则 当 E(0,a)时，hx)/(a),即 0)0,所 以(幻 在(0,a)上 减 增 函 数，则 当 e(0,a)时，h(x)h(O),即(元)vO,即 I(0,a)时，f(x)tnsin 2x,与 题 设 矛 盾.综 上 所 述，实 数 机 的 取 值 范 围 为（-0 0,