2023届高中数学大题二轮复习第45讲极值点偏移-解析版.pdf

第45讲极值点偏移前面所学内容可以归结为一元等式或者不等式问题，从本节开始要进入双元问题，也可以概括为双元等式或者双元不等式问题，其中极值点偏移是比较简单的，处理方法也相对容易，但其中体现的整体换元思想是需要认真体会的，这也是本书一贯强调的思想，难题就是把简单题整体代换一下，这是出题套路，也是解题之法.在学习极值点偏移的时候，同样要从概念、题型、解法的逻辑来学习.下面讲解极值点偏移的一些概念和定理，相对比较抽象，如果开始不太看得明白，可以先做几个题目，再反复理解！极值点偏移的相关推导一、极值点偏移的含义极值点不偏移：函数/(x)满足定义域内任意自变量x都有/(x)=2 x o-x),则函数/(x)关于直线X =X 0对称，X =X 必为/(X)的极值点.若人X)=。的两根的中点为气包，则 刚 好 有 当 强=与，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.简单来说，如果图像关于极值点处对称，则不偏移,否则偏移.极值点偏移：若气三二与则为极值点偏移，单峰函数/(X)定义域内任意不同的实数再，与满足/(X 1)=/(x2),则后迤与极值点与必有确定的大小关系：若 演 七 乜，则称为极值点右偏，即极值点在两根中点的右边.二、极值点偏移的判定定理求证:对于可导函数y =/(x),在 伍，)上只有一个极大值点与，方程/(x)=c的解分别为X 1,无2，S.a xxQx2b.若/(2)-芍)，则/(2通-巧)，则耳:士/,即函数 =/(%)在(龙1,)上极小值点与左偏.证明：(D 对于可导函数y =/(x),在m，份上只有一个极大值点与，则 函 数 的 单 调 递 增 区 间为(a ,玉)，单调递减区间为(殉，b).由于 玉 匕，有否/,且2%一 工2 工0.又/(司)/(2 x 0-龙2)，/2/一.小；瓦,即函数极大值点曲右偏.极小值可自行推导.三、对数平均不等式的介绍与证明两个正数和人的对数平均定义：L(a,/?)=na-nb.a(a=b)对数平均不等式为：/区4 a )4土也.取等条件：当且仅当。二人时，等号成立.只证：当a w Z?时，-jab L(a,b)a +,不失一般性，可设2证明：先 证：In b式 na-inb 21 n x 1).x V b构造函数：/(x)=21 n x (x ，(尤 1),则/(x)=1 L-=f 1 .X)x x X)当 x 1 时,ff(x)0,函数/(x)在(1 ,+8)上单调递减.故f(x)a+bta b)l n 7-0 In x 箭(其 中、=bJ构造函数 g(x)=lnx-&(x 1)，则 g (x)=(x +1)4(x-1)2X(x +l)2 M x+1)2当%1时,g(x)0,.,.函数g(x)在(1 ,+8)上单调递增，故g(x)g(l)=0,从而不等式成立.综合 知，对V a,/?e R+,都 有 对 数 平 均 不 等 式4 L(4,6)4竺2成立,2当且仅当a =6时，等号成立.无参极值点偏移的方法总结关于极值点偏移常考的题型如下：题型一:若函数/(X)存在两个零点玉，*2且求证：内+超 2与，质为函数/(X)的极值点.题型二：若函数/(X)中存在X,2且X二*2满足/(为)=/(当)，求证：X1 2%，勺为函数/(X)的极值点.对于极谓点偏移来说，所有方法的核心都是为了把双元问题转化为一元问题，那么在转换过程中常用如下方法：证法一:单调性放缩转化法，一般有两种构造函数的方式构造方式一：非对称构造(1)构造函数(x)=/(x)-f(2x o-x).(2)判断函数人(x)的单调性.(3)证明(x)0 或 h(x)2与-x)或 f(x)f(2 xo-x).(4)结合函数/(x)的单调性，通过整体代换即可证为+巧 2%.构造方式二：对称构造(1)求出函数/(x)的极值点为)，及单调区间.作差比较:构造一元差函数F(X)=/(x0+x)-/(A-0-X).(3)确定函数F(x)的单调性.(4)结合F(0)=0,判断F(x)的符号，从而确定与+力，x o-x)的大小关系，结 合 函 数 的 单调性，通过整体代换即可证药+当2玄，或办+专2.%.证法二：引参消元法，一般有两种引参方式引参方式一：差式引参一般步骤如下：第一步:根据用和乙的关系式，一般为了(为)=巧)，通过变形，构造出为-占.第二步:通过整体代换，令 再-=心引入参数乙 如果可以直接构造一元函数就直接计算，如果不行再进入第三步.第三步:用参数，表示出变量H =，进而构造一元函数.民=g 第四步:按照一元函数处理方式处理.引参方式二：齐次引参消元一般步骤如下：第一步:先根据已知条件确定出变量,超满足的等式，并变形出工，然后令%=/.x2 X2第二步:用参数，表 示 出 变 量 进 而 构 造 一 元 函 数，将关于内，马待求的问题转化为关于7的函数问题.第三步:构造关于t的一元函数g(r)求解.证法三：齐次分式整体代换消元法一般步骤如下：第一步:先根据已知条件确定出变量占，占满足的条件.第二步:通过将所有涉及不，工 2的式子转化为关于2 的式子，将问题转化为关于自变量三(豆亦可)x2 X2 x的函数问题.第三步:整体代换五=r，构造关于t的一元函数g(t)求解.x2证法四:对数平均不等式法一般步骤如下：第一步:通过等式两边同取自然对数或相减等配凑出 In X -In/”及“玉-超”.第二步:通过等式两边同除以“l n x|-l n x,”构建对数平均数 百 一 .In -In X j第三步:利用对数平均不等式将 转化为士也后再证明国+2 夙，或为+2%.In 再-l n x2 2【例 1】已知函数/。)=疣-(无ER),如果百工，且/.(%1)=/(巧)，证明：M+x2 2.【解 析】证 明 法 一：对称构造法r(x)=a-x)e-*易得/1(X)在(Y 0 ,1)上单调递增，在(1 ,+8)上单调递减.x -0 0 时，f(x)-G O ,/(0)=0.x-+oo时，f(x)-0.函数/(x)在x=l 时取得极大值：/(1)=-.e由/(Xj)=/(2),百工巧不妨设无1 2-则必有百1 0.F(x)在 x e(0,1上单调递增,F(x)F(0)=0,即/(I+X)/(I-X)对 W (0,1恒成立.由 0X /(1-(1-办)=/(内)=/(切,即/(2-须)/(巧).又-2-石，2 (1 ,+8),且/(X)在(1 ,+8)上单调递减，：.2-X 2.法二:非对称构造法欲证百+工2 2,即证 2 七.由法一可知 0X 1工2，故 2-%，%2 G(1 ,4-0 0).又 /(%)在(1,+00)上单调递减，故只需证明/(x2)/(2-xJ.又/(Xj)=/(x2),%1 巧，证明)(x j v f(2-为)即可.构造函数(%)=/(力一f(2 x),x e(0,l).等价于证明”(无)o.,.H(x)在x e(0,1)上单调递增.H(x)(l)=0,即以证明 H(x)2成立.法三：差式引参换元法由f(Xi=f(x2,得再e f=e&，化简得=迎.百不妨设巧 为，由“法一知，0 X 1 1 0,=，+再，代入式，得e =B,反【解析】出=-石e-12/?/则%+超=2%-4-r,故要证X +冗2 2,即证-j-+r2.又e-l 0,等价于证明为+(/-2 (d-l)0 构造函数 G(f)=2f+Q-2)(e-l),(r 0),贝 ij G)=(f-l)e+1 ,G(f)=re 0,故 G(t)在 f e(0,+8)上单调递增，G(t)G(0)=0.从而G(/)也在fe(0,+8)上单调递增，G(/)G(0)=0,即式成立，故原不等式占+2成立.法四：齐次分式整体消元法由“法三 中式，两边同时取自然对数，可得X1-X2=ln%=ln x/ln .%+1即】nxlnx2=,从而为+=(为+电).屿 二3=廿&小 =上 InX,X2 xl X2 Xj-X2 X2 i _ X2令，=1),欲证再+2,等价于证明上、l n f 2.%2f 1构造M(f)=jl +3 l n r,。1),则 W Q)=厂二 1 二21b H.t-t-)t(t-1)又令(p(t)=t2-l-2 r l n t(t 1),则=2,一 2(l n r +1)=2(z-1 -In r).由于，一1 l n f对V，(l ,+8)恒成立，故0 (，)0 ,(pit)在，(1 ,+8)上单调递增.,.凶)例1)=0,从而A T 0,故M Q)在，E(1,+8)上单调递增.由洛必达法则知，l i m M(Z)=l i m 叱皿=l i m(?+1)l n f)，=l i m O n,+上1 =2,(下一章会讲)XT1(-XTl(f-l j I t J可得M (r)2，即证式成立，即原不等式X,+X2 2成立.法五:对数平均不等式法由“法三”中式，两边同时取自然对数，可得%=In =Ir u q l n x2.迎即=1 .把 =1代入不等式即可得=2.l n x(l n x2 In x,-l n x2 l o r,-In x,2【例2】已知函数/(x)=2 x-e 上存在两个不相等的数占,满足x j=/(%),求证:玉+2 1 1 1 2.【解析】证 明 广 =2 _，令r(X)=0得X =l n 2 .当 x 0 J(x)在(-o c,l n 2)上单调递增.当 x In 2 时,/(x)0,/(x)在(l n 2,+8)上单调递减.,.x =l n 2为/(%)的 极 大 值 点，不 妨 设x,x2，由 题 意 可 知x,l n 2 F(x)=/(l n 2 +x)-/(l n 2-x)=4 x-2 e*+2 e T,F(x)=4-2 eA-2 e-.e*厘,.尸(x)0,/.F(x)单调递减.又 F(0)=0,.-.F(x)0 在(0,+o o)上恒成立，即/(l n 2 +x)f(l n 2 -x)在(),+8)上 恒 成 立./(再)=/(%)=/(l n 2 +(X?-In x)/(l n 2 -(X?-l n 2)=/(2 1 n 2 -x2).l n 2,2 1 n 2-/l n 2,又/()在(-o o,l n 2)上单调递增，:.xx 2 1 n 2-x2.,.x1+x2 2 a-x J,然后构造函数尸(x)=x)-/(2 a-x),利用函数的单调性可得/(x J-2 a-x J 0,从而得出结论.含参型一:函数含参极值点偏移问题 例 1 已知函数，(=(犬-2)/+“工-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围.(2)设为,刍是/(x)的两个零点，证明:芭+马 0时，由/(无)=0得x=l,由,f(x)0得x l,由/()0得x l.:.x =l是/(x)的极小值点，也是x)的最小值点./(X)=/(l)=-e 0,.在(1,2)上存在一个零点吃,即1 赴 x又 心-1片 0,./(%)在 上 存 在 唯 一 零 点%,即看 0时(X)存在两个零点.ii.当 a l,即时，易证/(X)11m=1)=-6 0,故外在/?上只有一个零点.若ln(-2a)1,即一|a 0时，易证./(x)3 =/(in(-2 a)=(in?(-2a)-41n(-2a)+5)0.(2)证明法一:非对称构造法(x-l)(e2(v-l)-1)由(1)题知,a ()且X 1 Xy l,.x-1 0,e2(x-1 -l 0 ./?r(x)0,/./?(x)在(l,+8)上 单 调 递增././z(x)/z(l)=0,/(x)/(2-x)./(-)/(2-X2)./()/(2-%2).x,l,2-x2 l,/(x)在(-oo,l)单调递减,.,.百 2-即毛+毛2.法二:参变分离，再对称构造由已知得X)=/(*2)=0,不难发现内工1，工2工1，故 可 整 理 得 _ =(2耳=(户2)；设g(“=4二半,则g(x j=g(x2).那 么&-1)-优-1)-(x-i)-，/、(I)?+1、.g(力=工一言xe.(1)当尤1时,g(x)O,g(x)单调递增.设机 0,构造代数式.g(1+?)-g(1-，)=X-卫 X e 2=匕r x e-(S X e2m+11 nr nr m +J设力(/?)=一-x e2,w+l,/n0./n+1则/=(+；尸x e”0,故(团)单调递增，有/2(附 (0)=。.因此，对于任意的 7%O,g(l+7)g(l-7).由g(X)=g(工 2 )可知丙，不可能在g(%)的同一个单调区间上，不妨设弓 工2,则必有西1 0 M!g l+(l-X )g l-(l-x J o g(2-X 1)g(xJ=g(X2).而 2-占 l,x2 l,g(x)在(1,+8)上单调递增，因此 g(2-x J g(x J o 2-X|x2.整理得x,+%2a.【解 析 (1)/(x)=-ln x,定义域为(0,+oo),/(x)=，-，=.当 a 0 时,x隔,/(x)0;0 x a,a a x axr(x)o.当 aOJ(x)()时,/(x)的单调递减区间是(0,a),单调递增区间是(a,+oo).当a 0 时,/(x)的单调递减区间是(0,+8),无单调递增区间.证明由题知当。0,此时/(%)在(0,)上单调递减，在(a,+8)上单调递增.若存在两个不相等的正数士,工2,满足/(尤|)=/(当)，不妨设X 2a,即证 2a-xt.而 9 a,2a-%a.由(1)题知,f(x)在(a,+8)上单调递增，故只需证/(x2)f (2a-x,).又/(司)=/(x?),即要证/(玉)/(2。-x,)(其中0 为 0.当xe(a,2a)时，尸(x)=/(x)-2a-x)0 x,+x2 2a【例 2】已知f(x)=xlnx-g,nr2 R.若/(A)有两个极值点士,，且再，求证：痞e2(e为自然对数的底数).【解析】证明法一:零点等式相减相加消参换元法欲证 xtx2/,需证 Inx,+lnx2 2.若/(x)有两个极值点“，则 函 数:(x)有两个零点.又/(x)=nx-mx,.和是方程广(=。的两个不同实根则 有 卜-讨=0,解得%叫+glnx2-mx2=0 xl+x2另一方面，由四?得Inx,-1叫=7(为-%),lnx2-W JC,=0 7从 而 可 得 叫 T gJ叫+如2.X2-X 芭 +%2,、,、(1+旦1 6.叫+山，=(岫-3)优+士)人 冗2 一 百 寇一1%又,0 王 1.无 t-要 证 皿+皿 2,即 证 叱 皿 2/1.即当 1时，有lm 止D.t-r+1、九7 3 /、2“1)m z、1 2(f+1)2(f 1)(t 1)设函数=则/、)=；I)=f+1 t U+i)r(r+l).2)为(1,+8)上的增函数.,曲)=0,2)加1)=。于是，当/1时，有lm 亚 R.E +1Inx,+lnx2 2.:.xix2 e2.法二:含参非对称构造欲证龙肉 eZ,需证1 3+lnx2 2.若/(x)有两个极值点3,占，即函数/(x)有两个零点.又(力=1四-g,.石,马是方程门力=0的两个不同实根.显然心(),否则,函数广为单调函数，不符合题意.由于/(、)=-=上台,故广在，：)上单调递增，在(J +8)上单调递减.lnxx-tnx1=0、由 1叫+lar,=mixx+电)，(/畛一如？=()需证明机(5+x,)2即可.即只需证明 +x2 .m设8(力=/(0-广(2 7 ./0,_ 1),/(司=等 二1 1 0,故8(“在。上单调递增,即m )m)x2-iwc)(m)g a)g，故/(X)：-d 由于广(X)2r*=故/(x)在(0 上单调递增，在 已,+00上单调递减.x x V mJ m J设王 ,/(，)又二x,2一X /_L,+oo，r(尤)在仕,+)上单调递减，故 有x2 2-%，即%+%2 2.原命题得m m )m )m m证.法三:单调性放缩转换法由%,%是 方 程r(x)=0的 两 个 不 同 实 根 得 根=叱X令 g(x)=当,g(x j=g(w)，由于 g(x)=，因此,g(x)在(O,e)上单调递增，在(e,+00)上单调递减.2设0%e 已2,只需 证明%e(0,e),“2/2 /2 /2 只需 证 明%)/J，即/(%)/J 0,B P/(X2)-/-0.X2 7 X2 7 X2 )即/7(x)=/(x)-/+,x e(l,e),“(x)=1nx-在(l,e)上单 e2 1调递增，故M x)(e)=(),即 x)/-.令x=%，则/(w)=x j，即 石 马 合.xx法四:差式引参消元法设/=1g (0,1),=lnx9 e(1,+0 0)，则由得卜-*=,、-7 lnx2-m x2=0 t2=me，2 t2k设2=4 e2,需证 1%+lnx2 2,即 只 需 证M：+e)2=M l+e)2(e J)2设g(Z)=M l+e*)-2(e-1)(氏 O),g)=Ze，e+I,g伏)=雇 0,故g(k)在i f,。)上单调递减，故g g二:得!；：；：=1 =八设:=%e(O,l)，贝U乙=管，弓=气.欲证再吃 e2,需 证1叫+1叱 2,即 只 需 证 明4+q 2，即+2（攵 一 1）2（女 一 1）k-1 k+Z+l设g的-芈空（k e（O）,g ）=W二%0,故g 在（0,1）上单调递增，因此gg=0,命题得证.极值点偏移变形一般题型1.若函数/（X）存在两个零点和当且X产 工2，求证:/（2.若函数/（x）中 存 在 且 不 w%,满足/（*）=/（当）,求证:2rl；/）0.3.若函数/（“存在两个零点3,冗2且X1工X2,求证:/（|五2）0.4.若函数/（X）中存在用,冗2且工产工2,满足玉）=/（%2 ），求证:/“西 W ）。方法核心:要证明/（号H 0,即比较工言与极值点看的大小，得出二产所在的单调区间,从而得出该处函数导数值的正负,从而结论得证.对于/（国）0问题，要结合基本不等式，盾 也言,转换为比较土产与极值点毛的大小的问题.【例1】已知函数/（犬）=f 一（a-2）x-alnx（1）求函数的单调区间.（2）若方程/（X）有两个不相等的实数根与泡,求证:尸（土 萨）0【解析】/（x）=（2 x-）（x+l）U0）.当用o时,/（X）,函数/（X）在（，+8）上单调递增，.（X）的单调递增区间为（0,+8）.当a0时，由尸（x）0得由.（x）0得0 c x e色,”（x）的单调递增区间为（宗+00）,单调递减区间为（2）证明 为,七是方程/（x）的两个不等实根,/0.不妨设0占 出，则 工；_ （a 2）X 一 anx=（a 2）x2-axvc2=c,两式相减得才 _（_2）玉 _ 1叫 一 考 一（一2）W-（Anx2=0,即q=4+2 石-石-2、2 .芯 +Inxj-x2-1nx2又?=0,当时，尸(x)0 当 0 cxem 时,f(x)即可,即证占+占 片+2内 一 三 一2&,2 2%+InX -x2-lnr22 x -2即证inA 当 二 生，即m%土 ,马 斗+*2 Z 五+1当设”五(0 r 0,则 g(/)=l n-U在(0,1)上为增函数，又g =0,(0,1)时,g 0 总成立，得证.【例 2】已知函数x)=2x+(l-2a)lnr+q.讨论/(x)的单调性.(2)如果方程/(x)=m有两个不相等的解占,修,且玉 0.【解析】/(x)=2+必 二户+(1 -2)=(x一 坐2尤+1)a 0).X JT X X当凡,0 时,工(0,+8)/(工)0,工)单调递增.当 Q 0 时,X (),),/(X)()J(X)单调递增.综上，当/o 时,/(X)在(0,+00)上单调递增.当a 0时,/(x)在(0,。)上单调递减，在(兄+00)上单调递增.(2)证明由(1)题知，当%0 时,/(x)在(0,+oo)上单调递增,“X)=加至多有一个根,不符合题意.当Q 0 时,“X)在(0,6/)上单调递减，在(,+oo)上单调递增，则/()=0.不妨设0VAi 要 证 广?苧)0,即 证 七 乜 4,即证王+赴 2，即证X,2a-X,.”X)在(氏+)上单调递增，即证 2“-x j,又，(%)=)，即证 f (3)f Q x J,即证+f(a-x)，其中芭=-x,x w(0,).g(x)=f(a+x)-f(a-x)=2(a+x)+(l-2Q)ln(a+x)+-2(a-x)+(l-2a)ln(a-x)+a+x|_ c i x_=4x4-(l-2tz)ln(a+x)-(l-26f)ln(6z-x)+-,a+x a-x,/.1 2。1 2.(14+不+力a a _4+2a(l-2)(a+x)2(a-x)2 ci2-x22(/+x?)4x2(x2-a2-a j(a+(q-4 (a+x)2(a-x)2当x(O,a)时,gx)vO,g(x)单调递减,又 g(0)=4+0)-/(0)=0,.，.当 x (0,a)时,g(x)f (2-1)0 )【例 3】设函数/(x)=e*-ax +a(ae R)淇图像与x轴交于A(x,0),B(x2,0)两点，且再 马.(1)求实数a的取值范围.证明:r(嘉K)0在A上恒成立，不合题意.当a()时，易知,x=lna为函数x)的极值点，且是唯一极值点.故/(力而“=/(ln)=a(2-lna).当血.0,即0 4,e?时,“X)至多有一个零点，不合题意，故舍去.当/(x)/时,由/=e 0,且“X)在(a,lna)上单调递减,故“X)在(1,Ina)上有且只有一个零，点.由/(lna2)=a2-IcAna+a-a a +-21no).2令 y=4+1 21na,a /,则 yf=1 0,故 a+l-21n e2+l-4 =e2-3 0.fna2)0,即在(lna,21na)上有且只有一个零点.，4 e?.(2)由(1)题知J(x)在(-oo,lnf/)上单调递减，在(ln,+8)上单调递增，且/(l)=e 0.1 v 石 v Ina v x2 V 21n，要证(J 1/)0,只需证 ，即证 yjx1x2 Intz.又 国 专1,故只需证孑+%21na.令(x)-f (x)-f(2na-x)=ex-ax-i-a-e2hwx+a(21na-x)-a=ex-a2ex-2ax+2alna,1 x In .则 (x)=，+(r ex-2a.2 c r ex _ 2 =0,/.h(x)在(l,lna)上单调递增.7?(x)elna-a2ehu,-2ana+241nq=0,即 f(x)f(21n 一x),/./(Xj)f(21ntz-x().又/(芭)=/(电),A/(x2)lM,2kiQ-X|Ina,且 在(lna,+oo)上单调递增，x2 21na-%,BJ x+x2 2na.)0