2023年中考数学压轴题26以旋转为载体的几何综合问题（教师版含解析）.pdf

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)_专题2 6以旋转为载体的几何综合问题典例剖析.【例 1】(2 0 2 2 山东济南 中考真题)如图1,A B C 是等边三角形，点。在 A 2 C 的内部,连接A D，将线段4。绕点A按逆时针方向旋转60。，得到线段A E,连接8。，D E,CE.A图3(1)判断线段8。与 C E 的数量关系并给出证明；(2)延长ED交直线BC 于点、F.如图2,当点尸与点B重合时，直接用等式表示线段A E,8 E 和 CE的数量关系为.如图3,当点尸为线段BC中点，且 ED=E C 时，猜想N B A。的度数，并说明理由.【答案】(l)B D =C E,理由见解析(2)B E =A E +CE；/.B A D=4 5,理由见解析【分析】(1)利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到 A B C 三 4 C E(S 4 S),再由全等三角形的性质求解：(2)根 据 线 段 绕 点 A按逆时针方向旋转60。得到A E 得到 4 D E 是等边三角形，由等边三角形的性质和(1)的结论来求解；过点4作4 G 1 E F 于点G,连接A F,根据等边三角形的性质和锐角三角函数求值得到N B 4 F =4/M G,黑=与 进而得到4 B A DA D A BF A G,进而求出4 4 0 8 =90。，结合=EO=EC得到8。=4。，再用等腰直角三角形的性质求解.(1)解：B D =CE.证明：,4 8 C 是等边三角形，：.A B =A Cf Z-B A C=60 .线段4。绕点4按逆时针方向旋转60。得到A E,：.A D =A E,L D A E=60 ,：.Z-B A C=乙 D A E,：.L B A C 一 乙 D A C=/.D A E -Z.D A C,即 NBA。=Z-CAE.在ABO和ACE中AB=AC乙BAD=Z.CAE,AD=AE：ABD 三ACE(SAS),：.BD=CE；(2)解：BE=AE+CE理由：线段4。绕点A按逆时针方向旋转60。得到4E,A 4DE是等边三角形，：.AD=DE=AE,由（1）得BD=CE,：.BE=DE+BD=AE+CE；过点A 作4G J.EF于点G,连接4 F,如下图.；AOE是等边三角形，AG 1 DE,.ADAG=-Z.DAE=30,2*.=COSADAG=.AD 2 4 8。是等边三角形，点尸为线段8 c 中点，BF=CF,AF LB Cf.BAF AC=30%2.AF=cosZ-BDAAFL =V3，AB 2A.BAF=Z.DAG,AD ABZ-BAF+Z.DAF=4 DAG+乙 DAF,/LBAD=Z-FAG,BAD FAGA D B =/-AGF=90.:BD=CE,ED=EC,B D=A D,即ABD是等腰直角三角形,：.BAD=45.【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键.【例 2】(2022.山东荷泽中考真题)如图1,在AABC中，NA8C=45。,40 1 BC于点 ,在D A上取点E,使。E=D C,连接BE、CE.图 1图 2 图 3(I)直接写出CE与 AB的位置关系；如图2,将A BED绕点。旋转，得到B E。(点 分 别 与 点 B E 对应)，连接C E AB,在BEC旋转的过程中CE与AB的位置关系与(1)中的CE与 AB的位置关系是否一致?请说明理由；(3)如图3,当4 BED绕点。顺时针旋转30。时，射线CE与AD.4 8 分别交于点G、F,若CG=FG,DC=V 3,求4 D 的长.【答案】C E L A 8,理由见解析(2)一致，理由见解析(3)573【分析X 1)由等腰直角三角形的性质可得/A8C=ND4B=45。，N D C E=N D E C=NAEH=45。,可得结论；(2)通过证明CDE：可得=N O ，由余角的性质可得结论；(3)由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得=百4。，即可求解.【详解】(1)如图，延长CE交 A 8于”，ZABC=45,ADBC,A ZADC=ZADB=90,ZABC=ZDAB=45 f：DE=CD,：.ZDCE=ZDEC=ZAEH=450,N BHC=N BAD+NAEH=9。,：.CEAB；(2)在BED旋转的过程中CE与力夕的位置关系与(1)中的CE与AB的位置关系是致的，理由如下：如图2,延长CE，交4*于H,图2由旋转可得：CD=DE BrD=ADfZADC=ZADB=90,：.CDEr=ADBrf.CD _ AD_ _DF 一词一：.XADB-A CDE,/.DAB=/.DCE,；)CE+NDGC=9Q。,ZDGC=ZAGH,：.ND4B+N4GH=90。，/AHC=90。，CE 1 AB；(3)如图3,过点。作D H 148于点H,c Z)W B图3B,/XBED绕点D 顺时针旋转30,:.乙BDB，=30,BD=BD=AD,ZADB=120,/.DAB=/JIBD=30,v DH lA B.AD =BD,：.AD=2DH,AH=V3DH=BH,AB=V3AD,由(2)可知：&ADB4CDE Z.DAB=/.DCE=30,JADA.BC,C=V3,A DG=1,CG=2DG=2,:.CG=FG=2,DAB=30,DH 1.AB,：.AG=2GF=4,，AZ)=AG+)G=4+1=5,：.AB=3AD=5V3.【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键.【例 3】(2022内蒙古通辽中考真题)已知点E在正方形ABCD的对角线4C上，正方形AFEG(2)将正方形4尸 EG绕4点逆时针方向旋转a(0 a 9 0。)，如图2,求：念的值为多少；D G(3)48=8A/2,AG=-A D,将正方形4FEG绕4逆时针方向旋转a(0。a 360),当C,G,E三点共线时，请直接写出DG的长度.【答案】(1)2 企(3)476-4位或4 n +472【分析】（1）根据题意可得G E I I D C,根据平行线分线段成比例即可求解；根 据（1）的结论，可 得 第=笫=*，根据旋转的性质可得W 四=4SE,进而证明 GA D E A C,根据相似三角形的性质即可求解；（3）分两种情况画出图形，证明 A Q G s/XA C E,根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案.（1）解：.正方形4 F E G 与正方形4 B C D 有公共点4 点G 在4 D 上，尸在A B 上,GE W D CA G A E-=-D G E CE C_ _ A E _,丽=前 四边形4 F E G 是正方形 A E =V 2A G.,正方形A F E G 绕4 点逆时针方向旋转a(0。a/2=8,AC=V2AB=16,v G,E,C三点共线,Rt AGC中，GC=yjAC2-A G2=V162-82=8/3,CE=GC-G E=8V 3-8,由（2）可知GAD-EZC,CE AC 不=V2DG DA.QG=繁=86（产8）=4（逐 一 鱼）=4历-4企.如图：由（2）知ADGs/VlCE,.DG _ AD _ 五*CE AC 2 DG=CE,2:四 边 形 A2CZ）是正方形，：.AD=BC=S/2,AC=JAB2+BC2=16,VAG=AD,2：.AG=-AD=S,2:四 边 形 AFEG是正方形，.NAGE=90。，GE=AG=8,VC,G,E三点共线.，Z A GC=90CG=lA C2-A G2=V1 62-82=8 V3,.,.C =C G+E G=8 V3+8,.D G=C =4 V6+4 V2.2综上，当 C,G,E三点共线时，DG的长度为4 乃一 4 位或4n+4 或.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键.【例 4】（2 0 2 2.山东潍坊.中考真题）【情境再现】甲、乙两个含4 5。角的直角三角尺如图放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足。处，将甲绕点。顺时针旋转一个锐角到图位置.小莹用作图软件G e o g e b r a 按图作出示意图,并 连 接 如 图 所 示，4 B 交“。于 E,A C O G F,通过证明A O B E 三。4 尸，可得0 E =O F.请你证明：A G=B H.【迁移应用】延长G 4 分别交H0/B所在直线于点尸，D,如图，猜想并证明C G 与 的 便 罩 关 系.【拓展延伸】小亮将图中的甲、乙换成含3 0。角的直角三角尺如图，按图作出示意图，并连接如图所示，其他条件不变，请你猜想并证明力G 与8 H 的藜掌关系.【答案】证明见解析；垂直；B H=V 3A G【分析】证明 B O H mAA O G,即可得出结论；通过4BHO=NAG。，可以求出4 0 G H +乙B HO +乙O HG=90,得出结论A G J.B H；证明ABOHSA A O G,得 出 瞿=丝=，得出BH OB 3结论；【详解】证明：;AB=AC.AO 1 BC,0A=OB/AOB=90,v 乙BOH+UOH=90。，4/0。+Z.AOH=90,乙BOH=Z-AOG,OH=OG,BOH=AOG 9 AG=BH；迁移应用：DG 1 BH,证明：；X BOH 三4 AOG,Z.BHO=乙4GO,乙DGH+乙AGO=45,乙DGH+乙BHO=45,乙OHG=45,:.乙DGH+Z-BHO+乙OHG=90,:.乙HDG=90,DG 1 BH；拓展延伸：BH=3AG,证明：在中，tan3（r =在，O B 3在RtzkHOG 中，tan30=O H 3.O A _ O G O B -O H由上一问题可知，乙BOH=AOG,:.BOH AOG,.A G _ O A _ y/3 B H-O B 3 BH=V3AG.【点睛】本题考查旋转变换，涉及知识点：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、等角的余角相等，解题关键结合图形灵活应用相关的判定与性质.【例 5】（2022辽宁锦州中考真题）如图，在ABC中，AB=AC=25,BC=4,D,E,尸分别为AC,48,BC的中点，连接。E,OF.AA图1P-JGEQ，N FBQAM图3c图2(1)如图 1,求证：O F =掾 0 E；(2)如图2,将N E DF 绕点。顺时针旋转一定角度，得到N P D Q,当射线D P 交4 8 于点G,射线0 Q 交B C 于点N时，连接F E 并延长交射线D P 于点M,判断F N 与EM的数量关系，并说明理由;(3)如图3,在(2)的条件下，当。P1 4B时，求D N 的长.【答案】(1)见解析 FN 若 EM,理由见解析？【分析】(1)连接4F,可得4 F _ L B C,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得D F=1A C=V 5,根据中位线定理可得DE =1B C=2,即可得证；(2)证明根据(1)的结论即可得F N =苧 EM：(3)连接4F,过点C作CH 1 A B 于H,证明 4 G。一 4 H C,可得GD=：HC=竿，勾股定理求得G E,4G,根据t a n乙4 DG =丝=z f M G =Z.A D G,可得t a n/E M G =变=三，进GD 4 M G 4而求得MG,根据M D =M G +G。求得MD,根据 的 结 论=即可求解.(1)证明：如图，连接A F,BC图1V AB=AC=2V5,BC=4,D,E,尸分别为AC,AB,BC的中点,DE=-BC=2,AF 1 BC,2DF=-AC=V5,2DF=DE,2(2)FN=-E M,理由如下，连接A F,如图，AB=AC=25,BC=4,D,E,尸分别为4C,4B,BC的中点,A EF=AC=CD.EFWDC,四边形CDEF是平行四边形，:.乙DEF=Z.CV DF=-AC=DC,2:.乙DFC=ZC,:.乙DEF=乙DFC,:.180-乙DEF=180-乙DFC,：4 DEM=乙 DFN,图2 ,将”D尸绕点。顺时针旋转一定角度，得 至IJ/PDQ,乙EDF=乙PDQ,乙FDN+(NDE=乙EDM+乙NDE,乙FDN=乙EDM,DNF DMF.NF _ DF _ yfS*EM DE 2 FN=EM,2(3)如图，连接4 F,过点。作CH _L48于H,AF=y/AC2-FC2=4,SA B C=B C A F =ABCH,BCAF 4X4 8 Vs:,H C =-=-F =AB 2V5 5 DP LAB,AGD s&AHCGD _ AD _ 1HC AC 2GD=-HC=25Rt GE。中,GE=y/ED2-G D2=（）T.R tU G D中，AG=-JAD2-GD2=j（可 一（W）T375 ta M W G/=克v EFWAD,乙EMG=Z.ADG,.tanzEMG=1.MG=GE-x 独*33 5 15A/fn A 46./-n 8V 5 ,4 5 4/5.MD=MG+GD=-1-=15 53v DNF DME,DN DF 4S=，DM DE 2DN=VS DnM.=V5 x 4V5=1022 3 3【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质定理，相似三角形的性质与判定，求角的正确，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.满分训练.一、解 答 题【共 2 0 题】1.（2 0 2 2 辽 宁阜新中考真题）己知，四边形4 B C D 是正方形，D E F绕点D 旋转（D E JA E2-A B2=V 2,在 R t A B C 中，A B =4,B C=3,则 4 c =y/A B2+B C2=5,由(1)可得，M F=B E =V 2,在 R t A C M 尸中，M F=2,CM =A C-A M =5-4=1,则 C F =V M F2+C M2=V 3,当点E在C D上时，如图，过点E作EG J _ 4 8于点G,F H _ L A C于点”，同(1)可得 A G Em A A HF,FH=E G=B C=3,A H=A G=3,HC=2,由勾股定理得C F =V 32+22=V 1 3；故C F的长为8或J R.(3)如 图1所示，当点E在8 c边上时，过点。作Q H 1 F M于点”,由（1）知，&M F=9 0 ,故点”在射线M/上运动，且点尸与点”重合时，。的值最小.在与 C 7 M 中,乙 CMJ=Z.ADC=乙 ACD Rt CMJ Rt CD A,C M M J cjC D AD A C即.=Z4 3 53 5MJ-C J.5 i iDJJ=CD-CJ=4-=-1 4 4在小CMJ与4 D H/中，Z.CMJ=4DHJl 乙 CJM=皿 HRt CMJRt DHJ,9C M _ C J 而一而即2=i,DH TDH=募,故D F的最小值装；图1如图2所示，当点E在线段CO上时，将线段AQ绕点A顺时针旋转N B A C的度数，得到线段AR,连接网，过点。作D Q _ L 4 R,DK 1 FR,由题意可知，DAE=/.RAF,在A4 R F与ATW E中，AD=AR/.DAE=4 RAF,AE=AFADE=ARF,Z.ARF=Z.ADE=9 0 ,故点F在RF上运动，当点F与点K重合时，。尸的值最小;由于CQ 14R,DK 1 FR,AARF=90,故四边形。QKK是矩形；DK=QR,4 12 .AQ=AD-cosZ-BAC=3 x-=v AR=AD=312 3.DK=QR=A R-A Q =3-=,故此时。F的最小值为I；由于|蓝，故。尸的最小值为|.图2【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理、解直角三角形，解决本题的关键是各性质定理的综合应用.3.(2022辽宁盘锦 中考真题)如图，四边形A8CC是正方形，ECF为等腰直角三角形,Z E C F=W,点E在BC上，点F在C上，P为E F中 点,连接AF,G为A F中点，连接图1图2(1)如 图1,当a=0。时，0 G与PG的 关 系 为；(2)如图2,当a=90。时求证：(1)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.【答案】(1)DG=PG且CG 1 GP(2)见解析；成立，理由见解析【分析】（1）先判断出 ABE三4 D F,得出4E=4 F,乙DAF=4B A E,再用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和三角形中位线定理、三角形外角和定理，即可得出结论：（2）先判断出4CAG=NM FG,再判断出AF=F G,即可得出结论；由知，AGD 三A FGM,得DG=MG,AD=FM=BC得出CM=CF,根据题（1 ME=CE,得出CM=D E,得ADEWACCM,得AE=D M.又根据点G是。M的中点，PG是A4E 尸 的中位线，等量代换得DG=PG.根据 ADE=DCMZ.DAE=乙CDM,且NEZZ4=乙EDN+4ADN=90,推出乙4ND=90,又根据PG|A尸,同旁内角互补，得NNGP=90,即DG 1 GP.（1）解：.四边形A8CQ是正方形:.乙B=/.ADC=90,AB=BC=AD=CDECF为等腰直角三角形CE=CF：.CE=CF,BE=DF：.LABE=ADF：.AE=A F,4DAF=4BAE:点 G是4F的中点：.DG=-AF2：.DG=-AE2I P 为E尸中点,G为4尸中点.26是441尸的中位线：.PG=AE,PGWAE:,DG=PG,Z.FAE=Z.FGP又 在Zi/O/中DG=AG=GFC.LDAF=Z.ADGUDAF+Z.ADG=乙 DGF：,2乙DAF=乙DGF,：/LDAF+乙 FAE+/-EAB=90：.2DAF Z.FAE=90：.Z.DGF+Z-FAE=90:乙 DGF+乙 FGP=90：.DG 1 GP故 OG=PGS.DG 1 GP.故答案是：DG=PG _a DG.LGP；（2）证明：四边形ABCD是正方形，NMG=4MFG：.ADBC .点G是4F的中点：.AG=FG.在4G。和 AFGM 中ADAG=/-MFG AG=FG/.AGD=乙 FGM：.AGD=FGM(ASA)解：(1)中的结论。G=PG且。G _ L GP成立证明：由知，2AG D三XFGM：.DG=MG,AD=MF=BG：.BM=CF=-BC2：.CM=CF；DE=CF：.CM=DE又 AD=CD,Z.ADE=4DMC=90 ADE=DCM：.AE=D M.乙DAE=CCDM .点G是DM的中点：.DG=MG=-D M =-A E2 2又YP为EF中点，G为4F中点.06是4 4EF的中位线：.PG=AF,PGWAF：.DG=PG又：NEDA=NEON+乙 ADN=90：.DAE+ADN=90：.Z.AND=90.E N G =90又；PG|AF:.乙 ENG+乙 NGP=180:.乙 NGP=90：.DG 1 GP故 DG=PGS.DG 1 GP.【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的中位线定理，解题的关键是全等三角形性质，三角形中位线定理，等量代换的转换运用.4.(2022 山东青岛 中考真题)如图，在中，乙4cB=90。,48=5cm,BC=3cm,将 ABC绕点A 按逆时针方向旋转90。得到 A D E,连接C C.点 P 从点B 出发，沿 方 向匀速运动，速度为lcm/s；同时，点。从点A 出发，沿4D方向匀速运动，速度为lcm/s.PQ交AC于点凡 连接C P,E Q.设运动时间为t(s)(0 tABC f C A M AB BC AC.=CA AM CM,5 3 4.=4 AM CM.A1M 2=,mCM =165 5 :乙B=乙B,乙BNP=Z.BCA=90/.BPN F B A C BP PN,.=-BA AC.t _ PN 44 .PN=?SABC=1-F C/lC =1 x 3 x 4 =6,S.CD=1-CM=i x 5 x=8“11 4 6 1 1SPBC=-BC-PN=-x 3 x-t =-t,SAXP(3=-A Q-A P =-t(5-t)S=S四 边 形PCDQ=S&ABC+SCD-SAPQ 一 S&BPC1/、6=6 +8 2 1(5 t)-11 9 37=t2 t 4-14(3)解：假设存在某一时刻3 使P Q IIC D9A D=5,4M =(12 13：.D M =AD-AM=5-=-5 5:PQ I I CD，乙4Q P =DC又上 PA Q=乙 C M D=9 0：.A PQ f MC D.AP _ AQ9*MC MD 5 t t.4 65 t=29.存在B 寸亥肚=|s,使P Q IIC D.【点睛】本题考查了旋转与相似，利用勾股定理求线段长，平行线的性质，根据旋转的性质，找到相似图形是解决问题的关键，是中考中的常考题.5.(2 02 2 辽宁 本溪市教师进修学院中考真题)在AABC中，/.B A C=90,A B =A C,线段4B绕点A逆时针旋转至4。(4。不与4 c 重合)，旋转角记为a,4。4 c 的平分线A E 与射线8。相交于点E,连接EC.图 图 备用图(1)如图，当a=2 0。时，乙4EB 的度数是；(2)如图，当0。9 0。时，求证：B D +2CE =2A E；(3)当0。a 180,A E=2 C E时，请直接写出瞿的值.E D【答案】(1)45。(2)见解析(3)2 位+2 或2&-2【分析】(1)根据旋转的性质可知AB=A D,当a=20。时可根据等腰三角形的性质计算44。8 的角度，再由/B4C=90。，4E是NZMC的平分线可知4ME=35。，由三角形外角的性质，通过乙4EB=乙4cB-4ZME即可得出答案；(2)延 长 至 IJ尸，使8F=C E,连接A F,先证明 40 E 三 4C E,可推导4DE4=ZCE4、乙4DE=乙4CE、4DE=CE,再由已知条件及等腰三角形的性质推导4CEA=/.CEA=45,然后证明4 ABF SA ACE,推导 4 E =90,在Rt AFEV，由三角函数可计算EF=近AE,即可证明 BD+2CE=y/2AE；(3)分两种情况讨论：当0。90。时，借 助 可 知 BC=(2/-2)C E,再求瞿的E D值即可；当90。Wa 180。时，在 线 段 上 取 点 凡 使得BF=C E,结 合(2)中4DE三 4 C E,可知。E=CE、/ADE=/.A C E,易证明 ABF 三 A C E,可推导NBAF=Z/ME、AE=AF.Z.EAF=90,/-AEF=Z.AFE=4 5,在Rtz4FE中，由三角函数可计算EF=y2AE,即可推导BD=(2或+2)C E,再求黑的值即可.(1)解：由旋转可知，AB=A D,当a=20。时，,：/.BAC=90,AE是 皿 1C的平分线,加八牛=y=3 5。，:乙AEB=Z.ADB-.DAE=80-35=45.故答案为：45；(2)证明：延长。8 到 F,使BF=C E,连接4F.VAB=AC,AD=AB,：.AD=AC,AE平分乙。4C,：.Z.DAE=ZC4E,9：AE=AEf ADE=ACEy/.Z.DEA LCEAJ Z.ADE Z.ACE,LDE CE,：AB=m:乙ABD=乙4DB,Z D E +乙4DB=180,.ACE+=180,yBAC=90,，乙BEC=360-ACE+乙ABD)一 乙BAC=360-180-90=90,9：Z.DEA=Z.CEA：.Z.DEA=/.CEA=1x90=45,2Vz/IFF+Z-ABD=180,Z.ACE+乙ABD=180,，乙4BF=乙4CE,U：AB=AC,BF=CE,ABF=ACE t：.AF=AE,LAFB=Z.AEC=45,：.FAE=180 一 乙AFB-Z.DEA=180-45-45=90,在/?/*中，Z.FAE=90,AFVcosz/IEF=,EF/.EF=AE=42AE,C Q S Z.AEF cos450：EF=BF+BD+DE=CE+BD+CE=BD+2CE,：.BD+2CE=V2XE；(3)当(T a 9 0。时，由(2)可知，DE=CE,BD+2CE=y/2AE,：.BD=y12AE-2CE,当ZE=2CE时，可知B。=V2 x 2CF-2CE=(2或-2)CE,BD _(2企-2)CE _ (2V7-2)CE _?a .当90。W a 180。时，如下图，在线段8 0上 取 点 儿 使 得BF=CE,由（2）可知，AADE 三Zk/ICE,：.DE=CE,/.ADE=/.ACE,9：AB=AC,:,乙ABF=AADE,乙 4B F =乙ACE,:BF=CE,：,ABF 三 A C E(S A S),：.BAF=Z.CAE,AE=AF,：.Z.EAF=Z.CAF+ACAE=ACAF+乙 BAF=BAC=9 0,：.AEF=ZAFE=180-“AF-2-=45 ,在R t A A F E 中，cos/-AEF=：.EFAEcosAEFAEcos45扬 IE,：.BD=BF+EF+DE=CE+2AE+CE=AE+2CE,当HE=2 C E时，可知B D=V 2 x 2 C F +2CE=（2 夜 +2）C E,.BD_ _ （2逅+2）CE _ （2在+2）CE _?七?综上所述，当0。a 1 8 0。,4E=2 C E时，署=2&+2 或 器=2&-2.【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角函数解直角三角形的知识，解题关键是熟练掌握相关性质，并通过作辅助线构建全等三角形.6.（2 0 2 2 广西梧州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线、=一 3%4 分 别 与 方 y轴交于点A,B,抛物线y=怖/+bx +c恰好经过这两点.18（1）求此抛物线的解析式；若 点 C的坐标是（0,6）,将4 4 C。绕着点C逆时针旋转9 0。得到 EC F,点 4的对应点是点E.写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；若点P 是y 轴上的任一点，求|B P+E P取最小值时，点尸的坐标.【答案】（l）y=5x2-；x-4l o Z（2）点E在抛物线上：P（0,-|）【分析】（1）先求出A、8 坐标，然后根据待定系数法求解即可；（2）根据旋转的性质求出EF=4O=3,CF=C0=6,从而可求E 的坐标，然后把E 的坐标代 入（1）的函数解析式中，从而判断出点E 是否在抛物线上；过点E 作 E H L 4 B,交 y 轴于P,垂足为H,sinUBO=慧=笠=:则 H P=：B P,得|B P+E P=H P+P E,可知HP+PE的最小值为EH的长，从而解决问题.（1）解：当时，y=4,当 y=0 时，g%4=0,-.x=-3,（-3,0）,B（0,-4）,把 A、8 代入抛物线y=+人 工 +c,18得 信 x（3）2-3b+c=。,Ic=4.抛物线解析式为y=4.18 2(2)解：(-3,0),C(0,6),：.AO=3,CO=6,由旋转知：EF=A0=3,CF=CO=6,ZFC(9=90到 x 轴的距离为6-3=3,.点E 的坐标为(6,3),当 x=3 时，y=x 62ix 6 4=3,J 18 2 点E在抛物线上；过点E 作 E”,A B,交 y 轴于P,垂足为，：.OA=3f 08=4,：.AB=5,，ADC A 0 H P 3 sixiZ-ABO=AB BP 54,.HP=BP,争 产+-E,的最小值为E”的长,作轴于G,:4GEP=/AB0,*.t an Z GEP=tanZABO,.PG _ A0 EG B0.一PG=-36 49,PG=2.P(0,4).【点睛】本题是:次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之间、线段最短等知识，利用三角函数将|B P转化为HP 的长是解题的关键.7.(2 0 2 2 湖南岳阳 中考真题)如图，D B E 的顶点B 重合，乙4 B C =乙DBE=9 0 ,N B A C =N B D E =3 0 ,BC=3,BE=2.(1)特例发现：如 图 1,当点。，E 分别在A B,B C 上时，可以得出结论：笠=,直线A D与直线C E 的 位 置 关 系 是；(2)探究证明：如图2,将 图 1 中的A D B E 绕点B 顺时针旋转，使点。恰好落在线段A C 上，连接E C,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展运用：如图3,将 图 1 中的 D B E 绕点B 顺时针旋转a(1 9。a/15.m=-，i i 4“n 90-12代.AK=2m=-，i i izr AI A”9 90-12V15 24V15-81.KJI=AJ-AK=-=-,J 2 11 22.ta n(6 0 -a)=g =2.【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题.8.(2022湖北十堰中考真题)己知乙4BN=90。，在乙4BN内部作等腰 ABC,AB=AC,NB4C=a(0 o a S 9 0。).点。为射线BN上任意一点(与点B不重合)，连接A D,将线段4D绕点4 逆时针旋转a 得到线段4 E,连接EC并延长交射线BN于点F.(1)如 图 1,当a=90。时，线段BF与CF的数量关系是；(2)如图2,当0。a 90。时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)若a=60。，AB=4V3,BD=m,过点E作EP 1 B N,垂足为P,请直接写出PD的长(用含有的式子表示).【答案】(1)BF=CF(2)成立；理由见解析(3)PD=6-或 PD=Q 或 PD=y-6【分析】(1)连接A F,先根据“SAS”证明ZL4CE三M B D,得出乙4CE=4ABD=9 0,再证明RtAB尸三R t/kA C F,即可得出结论；(2)连接A F,先说明4E4c=4 B 4 D,然后根据“SAS”证明A4CEmA 4B C,得出乙1CE=ABD=9 0,再证明RtZkABF三Rt A 4 C F,即可得出结论；(3)先根据a=6(T,A8=AC,得出 A8C为等边三角形，再按照N84D 60。三种情况进行讨论，得出结果即可.(1)解：BF=CF；理由如下：连接A凡如图所示：图1根据旋转可知，/-DAE=a=90,AE=AD,：ZBAC=90,：.EAC+Z.CAD=90,/.BAD+Z.CAD=90,J.Z.EAC=/.BAD,：.LACE LABD(SAS),：.Z.ACE=Z.ABD=90,：.Z.ACF=180-90=90,在 RtA ABF 与 RtA AC尸中 :，：.Rt ABF R tACF(HL),：.BF=CF.故答案为：BF=CF.(2)成立；理由如下：连接A R如图所示：根据旋转可知，/-DAE=a,AE=ADfu：z.BAC=a,Z-EAC 乙CAD=a,4BAD Z.CAD=Q,：.EAC=乙 BAD,；AC=AB,：.ACE 三 LABD,，乙4CE=乙 ABD=90,.,.Zi4CF=180-90=90,在 RtA ABF 与 RtA ACF 中?=AC=AF：.Rt ABF=R t ACF(HL),J BF=CF.(3)Va=60,AB=AC,ABC为等边三角形，乙ABC=乙ACB=.BAC=60,AB=AC=BC=473,当，B4DV60。时，连接AR 如图所示：AB D F P N根据解析（2）可知，Rt 48尸三Rt 4CT,：.ABAF=ACAF=-ABAC=30,2：AB=4V3,D P tanZ-BAF=tan30=,AB即BF=A B x tan30=4V 3X y=4,CF=BF=4,根据解析（2）可知，A4CEm AABD,/.CE=BD=m,EF=CF 4-CE=4+m,乙FBC=Z.FCB=90-60=30。，乙EFP=乙FBC+乙FCB=60,VzFPF=90,产 EP=90。-60。=30。,.,.PF=EF=1（4+Tn）=2+pBP=BF+PF=4+2+-=6+-,2 2：.PD=BP-BD=6+-m =6-；2 2当NB4D=60。时，AD与 AC重合，如图所示:*：DAE=60,AE=ADf：.ADE为等边三角形，ZADE=60f9：Z-ADB=90-ABAC=30,.A D E =60。+30。=90。，J 此时点尸与点Q重合，PD=0；当484。60时，连接A F,如图所示:根据解析（2）可知，RtAABF三RtA/C F,：./.BAF=乙 CAF=-ABAC=30,2：AB=4V3,BF.%tanZ-BAF=tan30=一,AB即B尸=A B x tan30=473 X y =4,CF=BF=4,根据解析（2）可知，A4CE三A480,CE=BD=m,EF=CF+CE=4+m,:乙FBC=乙FCB=90-60=30,乙EFP=Z.FBC+Z.FCB=60,:乙 EPF=90,AzFEP=90-60=30,APF=|E F =|（4+m）=2+y,BP=BF+PF=4+2+-=6+-,2 2A PD=BD-BF=m-（6+y）=y -6；综上分析可知，P。=6-三或PD=0或PD=5 一6.9.（2022山西中考真题）综合与实践问题情境：在 R/A4BC中，ZBAC=90,AB=6,A C=8.直角三角板EO尸中NEDF=90。，将三角板的直角顶点。放 在 放 斜 边 8 c 的中点处，并将三角板绕点。旋转，三角板的两边D E,。F 分别与边AB,AC交于点M,N,猜想证明：E.EAAAB/Y、C B，%Ac J f、c图 图 图(1)如图，在三角板旋转过程中，当点M 为边AB的中点时，试判断四边形AMQN的形状，并说明理由；问题解决：(2)如图，在三角板旋转过程中，当=时，求线段CN的长；(3)如图，在三角板旋转过程中，当 4M=4N时，直接写出线段AN的长.【答案】(1)四边形AMON为矩形；理由见解析；(2)C N=g；(3)AN=【分析】(1)由三角形中位线定理得到MDII4C，证明/A=/AM D=/M OV=90。，即可证明结论；(2)证明NDC是等腰三角形，过点AH、NGJ_8C于点G,证明ACGNS AC A B,利用相似三角形的性质即可求解；(3)延长 ND,使 DH=W,证明AB。/丝CQN,推出 BH=CN,/OBH=NC,证明/用BH=90。,设AM=4V=X,在心8MH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解.【详解】解：(1)四边形AMW为矩形.理由如下：；点 M 为 A 8的中点，点。为 8 c 的中点，：.MDAC,：.ZAA/D+ZA=180,/ZA=90,ZAMD=90,：ZEDF=90,：.ZA=ZAMD=ZMDN=90,四边形AMDN为矩形；(2)在放 8 C 中，NA=90。，AB=6,AC=8,ZB+ZC=90,BC=/AB2+AC2=10.点D 是 BC的中点，CD=-BC=5.2ZDF=90,NMQB+N1=9O。./NB=NMDB,.Z 1=Z C：.ND=NC.过点N作NG上BC于点、G,则NCGN=90。.V ZC=ZC,/CGN=NCAB=92。,M CG NS RCAB.也=竺，即2=竺，C A C B 8 1025;.CN=-i8(3)延长 NO至“，使 DH=DN,连接 MH,NM,BH,:M gH N,：MN=MH,。是8 C中点，:BD=DC,又ZBDH=ZCDN,:BH=CN,/DBH=/C,：ZBAC=90,VZC+ZABC=90,NDBH+NA8C=90。，/.NMBH=90,ig AM=AN=xt 则 BM=6z,BH=CN=8-x,MN=MH=&x,在放中，BM2BH2=MH(6-X)