2021-2022学年上海市静安区高二年级上册期末数学试题含答案.pdf
2021-2022学年上海市静安区高二上期末数学试题一、填 空 题(本大题满分3 0 分，本大题共有1 0 题)1 .直线x +2y+1 =0的 倾 斜 角 为.【解析】直线无+2y+l =0的斜率左=-；,则倾斜角为万-ar c tan；.2.设直线/的一个方向向量7=(6,2,3),平面a的一个法向量n=(-1,3,0)则直线/与平面a 的位置关系为.【解析】因为2 同=-6 +2x 3 +0 =0,所以I，万.所以直线/与平面。的位置关系是直线I在平面a 内或平行于平面a .3 .正方体-2 4GA，棱长为a，则棱44所 在 直 线 与 直 线 间 的 距 离 为.【解析】取中点O,则耳。是异面直线耳片 和 Bq的公垂线，B.O =-a.4 .正方体Z 8 C。481GA中，E、F为 A B、8 与 中点，则 同 、所成的角为.【解析】以。为原点，D4为x轴，0c为十轴，为 z 轴，建立空间直角坐标系,设正方体 中棱长为2，则 4(2,0,2),(2/,0),(0,2,2),/(2,2,1),奉=(0,1,-2),*=(2,0,-1),设异面直线AE与CF所成角为6,则c os6=零=2,所以所成的角为ar c c osZ.AE-CF 5 55.在三棱锥A-B C D中A B C和B C D都是边长为a的正三角形，二面角A-B C-D的大小为6,当。=时，该三棱锥的全面积最大.【解析】取 8C中 点 连 接 4,。加，则A48C和 BCD都是正三角形，乙4 。是二面角N-8C-。的平面角，Z.AMD =0 ,又 M B D=C D,且当 N 4 l )=9 0 时，A 4 C。和 A A 8。面积最大,此时在中，由余弦定理得/2 回。=一!3当6 =万-ar c c os时，该三棱锥的全面积最大.36 .一个四面体的顶点在空间直角坐标系。-初 z中的坐标分别是(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0),则该四面体的体积为.【解析】满足条件的四面体为正方体的内接正四面体O-48C.所以该四面体的体积匕=1 3-4 x J x L x F x l =-.3 2 37.某校从高二年级期中考试的学生中抽取6 0 名学生，其 成 绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示，现从成绩70 分以上的学生中任选两人，则他们的分数在同一分数段的概率为.【解析】由频率分布直方图得，分数在 70,8 0）上的有6 0 x 0.0 3 x 1 0 =1 8,分数在 8 0,9 0)上的有6 0 x 0.0 25x 1 0 =1 5,分数在 9 0,1 0 0)上的有 6 0 x 0.0 0 5 x 1 0 =3 ,分数在 70,1 0 0)上的有1 8 +1 5+3 =3 6 人,则他们的分数在同一分数段的概率P =G；+G；+C=2 96 708 .如图，在棱长为2 的正方体N 5 C D -4qGA中，点？是平面NCG4上一动点，且 满 足 印 丽=0,则满足条件的所有点尸所围成的平面区域的面积是.【解析】法一：如图，以8 0,ZC的交点。为原点，。3,。为X轴，了轴,垂直平面A B C D于O的直线为Z轴建立坐标系，此时 4(一血,0,2),。(0,夜,0),设 P(0,y,z),DP =(2,y,z-T),CP =(0,y-y/2,z),_ _ (/yVD、P.C P =y 2f y +z2 _ 2 z=Q=y-+(z-l)2、2 ,所以。点运动轨迹为圆，所以S =;r/=3A7.r2法二：在平面中，满 足 印 5=0的轨迹为一个圆，在空间中自然是一个球;又规定点P是平面ZCG4上一动点，所以p 的轨迹为平面zee/与该球的截面即小圆,5设球心为M,球的半径为R=C M =4 2,在平面Z C C 1 4 中，小圆的圆心为N,半径为尸，V则AWJ.ZCG4,得MN=与,则L=卜）=乎，3所以S =万 厂 2=.2法三：印丽=0,在空间中，其 轨 迹 是 以 为 直 径 的 一 个 球。，而在平面NCG4上的截面为圆，我们可以抽象出这个球如下右图所示，很显然，球的半径&=c o =血，历球心到平面“CG4的距离为。的中点到平面“CG4的距离”=学，（丫所以截面圆 的 半 径 满 足/=管 2=（行）2 芳、2 J 2所以 S =nr=.29.气象意义上从春季进入夏季的标志为:连续5天的日平均温度均不低于2 2 度，现有甲，乙，丙三地的连续5 天日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）甲:5 个数据的中位数为2 4,众数为2 2;乙：5个数据的中位数为2 7,平均值为2 4;丙:5 个数据中有一个数据是3 2,平均值为2 6,方差为1 0.8;则肯定能进入夏季的地区是【解析】甲地：5个数据的中位数为2 4,众数为2 2,甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为2 2,2 2,2 4,2 5,2 6,其连续5天的日平均温度均不低于2 2,故甲地进入夏季，乙地：5 个数据的中位数为2 7,总体均值为2 7,比如这5个数据从小到大排列为2 0,2 1,2 7,3 3,3 4 满足条件,但是有低于2 2 的数，故不确定.丙地：5 个数据中有一个数据是3 2,总体均值为2 6,若有低于2 2,则取2 1,此时方差就超出了 1 0.8,得其连续5天的日平均温度均不低于2 2.则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地，1 0.已知实数玉,%2，%,为满足X：+K=l,x；+y=；则 比 赳+安 心 的 最 大 值 为【解析】作出圆。:/+/=1,与直线/:x +y-1 =0 ,由题意得A/（X ,乂），N J 2,%）都在圆/+/=1 上，|M N|=（-8 2）2+（乂-%）2 =1，则 4 M 0N=6 0 ,区+X-”6M+%一”叵+表 示 和 N到直线/:x +y-1 =0的距离和|M M|+1|,由图形得只有当M、N都在直线/的左侧距离之和才会取得最大值.取 A/、N的中点G,过 G作 GG，_U,垂足为G 则|W|+1 NV|=21 GG1,因为AMON为等边三角形，G为 的 中 点，所以。G=*,2则 G在圆=：上运动，故G到直线x +y 1=0 距离的最大值为等+,所以|肠 1，|+|刈 1=2|6 3|的最大值为2 卷-+3）=6+血.二、选 择 题（本大题满分1 2 分，本大题共有4题）1 1 .给定空间中的直线I及平面a,条件“直线I与平面a 内无数条直线都垂直”是“直线/与平面a 垂直”的（）条件.A.充要 B.充分非必要C.必要非充分 D.既非充分又非必要【解析】直线与平面a 内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面a 垂直;即“直线/与平面a内无数条直线都垂直”n“直线/与平面a垂直”为假命题；但直线/与平面a垂直时，/与平面a内的每一条直线都垂直,即“直线/与平面a垂直”n“直线/与平面a内无数条直线都垂直”为真命题；故为必要非充分条件，故选C.1 2.已知平面a/平面/，直线/ua点P e/,平面e,万间的距离为4,则在内到点P的距离9为5且到直线/的距离是:的点M的轨迹是()A.一个圆B.两条平行直线 C.四个点D.两个点【解析】设满足条件的点为。,过点P做平面Z的垂线PO，则。=4.平面夕内一点D到点P的距离为P 0 =5,P D2=P O2+0 D2,所以0。=3,即。为平面/上以垂足。为圆心，半径R =3的圆上,在 内到直线/的距离是彳9的点的轨迹是两条平行线，点O到它们的距离为)2-4 2=孚 =1，表示以N(f,W-2)为圆心,半径为1的圆，且其圆心N在直线ax-y-2=0上，如图.如果命题“于GR,”n8w0”是真命题，即两圆有公共点，则圆心M到直线a x-y-2 =0的距离不大于2,即 华 刍42,解得4所以实数。的 取 值 范 围 是 故 选 夙14.设4、B、C、。是半径为1的球面上的四个不同点，且 满 足 方 就=0,A C-A D =0fAD-AB=0t用 W、S 2、S 3分别表示A 4 8 C、A C D .A 4 8。的面积，则S 1+S 2+邑的最大值是（）1A.一2B.2C.4 D.8【解析】设 4B =a ,A C -b,A D =c,因为4 B、A C./O两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径,所以/+。2 +c2 =4R?=4所以 SM B C+SM C D+SM DB=(a b+a c+bc)(a2+b2+C2)=2即最大值为2,故选5.三、解 答 题（本大题满分5 8分，本大题共有5题）15.已知直线 4 :（3 +m）x+4 y =5 -3加和 4 ：2x +（5 +m）y=8，（i）若/1与4平行，求2的值；（2）若4与，2垂直，求2的值.【解析】（1）当（3 +次）2+4（5 +机）=0时，即6 m+26 =0时，人与人垂直，B P m =-1时，4与4垂直当耍士当时，4与，2平行,即加=一7时，4与，2平行.16.在正方体Z6CD-44GA中，E是棱。的中点.（1）求直线8 E和 平 面 瓦4所成角的正弦值；(2)在棱G4上是否存在一点/使 用E/平面48E,证明你的结论.【解析】(1)如图(a),取 的 中 点V,连接EM,B M ,因为是棱。，的中点，四 边 形 为 正 方 形，所以E M/A D.在正方体Z 8 C。44CQi中，工。_1_面工844，所以近0_ 1面4844,从 而 为 直 线8 E在 平 面 上 的 射 影，N EB M 是直线B E和平面A B B 4所成角，设正方体的棱长为2,则EM=4 D =2,B E =d*+*=3,于是在R/A 5 E A/中，s i n N E B M =%=上,B E 32则直线B E和平面4 8四4所成角的正弦值为 ：(2)在棱G4上存在点R,使用产平面4 8 E,事实上，如图(b)所示，分别取G和C。的中点E,G,连接 E G,B G,C D”F G ,因为 ZQ/8 0/5。,且 4 =5 C,所以四边形48CR为平行四边形，因此又 瓦G分 别 为 和CQ的中点，所以EG/田，这说明4,8,G,共面，所以BGu平面4 B E,因为四边形C C Q D1与B B C G皆为正方形，F,G分别为G 和CD的中点，所以F G/C C J/B B、且F G =C =5 5,.因此四边形片8GE为平行四边形，所以B/B G ,而B.F(Z平面A,BE ,B G u平面&B E,故8/平面A.BE .17.如图所示为、N两点间的电路，在时间T内不同元件发生故障的事件是相互独立的，他们发生故障的概率如下表所示:元件KK?AL?4概率0.60.50.40.50.7(1)求在时间内，&与A：2同时发生故障的概率；(2)求在时间7内，K1,K2至少一个发生故障的概率；(3)求在时间T内，电路不通的概率.【解析】(1)设4表示K,C =1,2)发生故障,则尸(4)=0.6,尸(4)=0.5,在时间T内K 与K 2同时发生故障的概率=尸(4 )P(4)=0.6 x 0.5 =0.3 ；(2)在时间T内，(与 长2至少一个发生故障的概率P2=尸(4 *(%)+尸 尸 +尸 尸 =0.8 ；(3)设瓦表示卬1,2,3)发生故障,则尸(4)=0.4,尸(8 2)=0.5,尸(8 3)=0.7,在时间T内，电路不通的概率-=1 一 尸(3 JP(灰)x (1 P(B1)P )P(鸟)=0.8 28.18.由曲线丁 =；2/=-；/0=4/=一4围成的封闭图形绕；轴旋转一周所得的旋转体的体积为 匕;满足x2+y2 4,x2+(y+2)2 2 4的点(x,y)所组成的封闭图形绕夕轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2(1)当丁 =/,/0,4 时，分别求出两旋转体的水平截面的面积岳,邑;(2)求匕与匕的关系，并说明理由.【解析】(1)5=乃(4 2-4|川)，S=%d一V)一矶4-(2-1/*=一4 3)；(2)因 为 岳=$2，由祖恒原理得两个几何体体积相等.1 9.如图，已知定圆C:/+(y-3)2 =4 ,定直线?：x +3 y+6 =0 ,过2(-1,0)的一条动直线/与直线相交于N,与圆C相交于。，0两点，M是P。中点.(1)当0 时，求直线/的方程；(2)设，=万 7方，试问f 是否为定值，若为定值，请求出f 的值；若不为定值，请说明理由.【解析】(1)当直线/与x轴垂直时，易得x =-l 符合题意；当直线与x轴不垂直时，设直线/的方程为y =4(x +l),由于|尸。|=2 百，所以|C/|=1.由|C M|J 解得左=.J k?+1 3故直线/的方程为x =l 或 4 x 3 y +4 =0.(3)法一：当/与x轴垂直时，易得M(1,3),(-1,-又 4一 1,0),则 砺=(0,3),W =(0,-1),故 旃 丽=-5.即/=一 5.当/的斜率存在时，设直线/的方程为y =%(x +l),由/+0-3)2=4得(+4 2濡+(2 左 2 _ 6机 +左2 _ 6 4+5 =0.y=左(x +1)则巧/X|+x,k+3 k21 +42“八3 公+左，加=%(X”+1)=,21 I rl口“.,k+3 k 3 k+左、.,7 .3 k+1 3 k+%、即 M(-,-x-),A M =(-).l +k2 +kz +k2 X +k1又由4y A：(x +1)得,.(一 3 k 6，二 5k)，则.4N=(二-5一,5k).x +3 y +6 =0 1 +3%1 +3%l +3 k l +3 k故 t=A M -A N =S k +k)-5(l +3 A)(l +r)_H-；-=-；-(1 +公)(1 +3 左)(1 +-)(1 +3 人)(1 +3 4)(1 +公)一 1 5 4 5=-5综上，的值为定值，且 f =-5.法二：连接C4,延 长 交 于 点 火，易得,又C N _ L/于 ，故 M N R s M M C.于是有 A M -A N A C -A R .由|工。卜 布,|工 区|=需，得|Z A/|-|Z N|=5 .故=赤I万 7卜|利=-5.法三：连接C4并延长交直线加于点3,连接CM、C N ,易得/C_L%,又所以四点“、C、N、8都在以C N为直径的圆上，由相交弦定理得 t=A M-A N-A M-A N -AC-A B-5.
