2021-2022学年辽宁省沈阳市高二年级上册学期期末数学试题及答案.pdf

2021-2022学年辽宁省沈阳市高二上学期期末数学试题一、单选题1.已知向量a=（U）,则与Z 同向共线的单位向量工=（）A1 2 2 J B（04,0）也 迎 olC,1 2 2 J D.（-1-1,0）【答案】C【分析】先求得2 的模，再根据与Z 同向共线的单位向量求解.【详解】因为向量a=a/，）,所以同=+1+02=4,-a/叵 叵 z所以与。同向共线的单位向量为：e=H情 =T-F，故选：C.X 2.设随机变量 13九则D（3X）=（）A.10B.30C.15D.5【答案】A【分析】根据二项分布的方差公式进行计算即可.X-B 59-【详解】由随机变量满足二项分布 I 3）,所以D(X)=np(-p)=5109)10D(3X)=32D(%)=9x=10所以 9故选：A.3.过点P（2）作圆：/+/=1 的切线工 则切线 的方程为（）A.y=l B.4X-3 -5 =0 C.y=l 或3 x-4 y-5 =D j=1 或 4x 3y 5=0【答案】D【分析】设切线/的方程为y T =k（x-2）,利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，即可求得结论.【详解】解：由题意可设切线/的方程为V-l=A（x-2）,即日-y-2%+l=,d_-2k+，圆心到直线 的距离,.3公-44=0,=0 或 3,二切线/的方程为尸1或4 x-3 y-5 =0.故选：D4.某学校社会实践小组共有5 名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务.若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往同一基地，丙，丁两名成员前往不同基地，则不同的分配方案总数（）A.86 种 B.64 种 C.42 种 D.30 种【答案】D【分析】考虑3,1,1和 2,2,1 两种情况，计算甲乙同去一个基地共有36种结果，再排除丙丁在同一组的情况，得到答案.【详解】3,1,1 阵型：C；A；=18；2,2,1 阵型：团=18甲乙同去一个基地共有36种结果，丙丁在同一组共有人；=6 个结果，36-6=30.故选：D.5.已 知 空 间 四 边 形 的 每 条 边 和 对 角 线 的 长 都 为 a,E,F,G 分别是AD,D C 的中点，则 赤 而 等 于（）2a2 a2 s/2a2 a2A.8 B.8 C.4 D.4【答案】D【分析】根据给定条件探求出MF G,再借助向量积计算作答.【详解】因 空 间 四 边 形 的 每 条 边 和 对 角 线 的 长 都 为 a,则NC48=NC4O=6（r,AC-BD=AC-（AD-AB）=AC-AD-A C-AB=a2 cos 60-a cos 600=0,即 JC J.,因E,F,G分别是。的中点，则有即有F_LFG,E F L F G,而 E F =F G =-2,则/EG尸=45。，G E-G F GEGFCOS 450=1 GF|2=H 4,a2所 以 近 不 等 于4.故选：D6.如图，在三棱柱/B C-4 4 G中，侧棱垂直于底面，A B 1 B C ,AB=BC,A C =2五,CP-L jgQ4 =&,点 为4 G的中点，点尸在8 c的延长线上且-4,则异面直线8E与G F所成角的余弦值为（）【答案】D【分析】以B为坐标原点，BC,BA,8A所在直线分别为x轴，F轴，z轴建立空间直角坐标系,.os BE,G 同利用向量法，根据BE-CF即可求出答案.【详解】在三棱柱 8 0-/圈G中，因为侧棱垂直于底面，且4 B/B C,所以以8为坐标原点，BC,BA,所在直线分别为*轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由 Z8=8C,AC=2 五,四=亚,得 AB=BC=2,所以8(0,0,0),C(2,0,0),4(0,2,&),G(2,0及)，而4反由CF=l(2,0,0)=f l 0,01，得 4 12),所 以 印=京+炉 J。“一向酢由一夜）所以异面直线BE与G 尸所成角的余弦值为屁 二 （1,1,扬3=1 =13 2故选：D.7.若某地区一种疾病的患病率是0.0 2,现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为9 9%,即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有 99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为 5%,即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有 5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（）A.0.0688 B.0.0198 C.0.049 D.0.05【答案】A【分析】根据分患者患病和不患病的前提下分别计算概率，两类概率求和即可.【详解】由题意可知，当被检验者患病的前提下用该试剂检测，结果呈现阳性的概率为02x99%=0.0198,当被检验者未患病的前提下用该试剂检测，结果呈现阳性的概率为0 98X5%=0.049,随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为0.0198+0.049=0.0688,故选:A.8.己知抛物线0：/=2 K 0 0）的焦点为尸，准线为/,过点尸斜率为石的直线/与抛物线C 交于点（/在 x 轴的上方），过/作 用 N 1/于点汽,连接所 交抛物线C 于点0,则NQQF()A.百 B.及 C.3 D.2【答案】D【分析】设出直线河尸，与抛物线联立，可求出点坐标，在利用抛物线的定义可得阿M=W 尸|=1 炳=%+万，再利用抛物线的对称性求 出 同,则 3|可求.【详解】如图：相关交点如图所示,由抛物线C：/=2 p x(p 0),得 F(2,0)则M F:y =y/3(x-)与抛物线V=2Px联立得12x2-20px+3/=0,即(6 x-p)(2 x-3 p)=0 x=迎 x=B解 得 2 6-：A4N l,Z M Fx=60 N N M F=6 0 ,又 MN =M F则AMWF为等边三角形.河=网=必=%+-=2p2,N N F O =NOF4=60 ,xn=x.=由抛物线的对称性可得。6,二 例=(+卷=多.加。卜 MH。尸 卜 当3=23 1故选：D.二、多选题719.已知双曲线两渐近线的夹角为3,则双曲线的离心率为（）A.2B.百C.325/3D.3【答案】AD-、工-匕=1【分析】设双曲线的方程为。2 b2得渐近线方程为 ,根据双曲线的对称性可得hy=xa71 几b的倾斜角为6 或 3,即可得。的值，由公式即可求解.Xy2【详解】设双曲线的方程为力 by=x根据双曲线的对称性可知：a I=1,渐近线方程为:71 71的倾斜角为或3y=xaby=x当 aht a T =正6 3,兀的倾斜角为6 时，可得。的倾斜角为3,273亍e=所以b,y=-当 b*加 区=tan=43可得Q 3所以2百所以离心率为2 或3,故选：AD.1 0.在二项式（l-4 x）的展开式中，下列结论正确的是（）A.第 5 项的二项式系数最大 B.所有项的系数和为38C.所有奇数项的二项式系数和为-2，D.所有偶数项的二项式系数和为27【答案】ABD【分析】由二项式系数的性质可判断A；令x=l,可得所有项的系数和，可判断B；所有奇数项的二项式系数和、所有偶数项的二项式系数和都为28T=27，可判断C,D【详解】选项A：二项式0-4 x),展开式式共有9项，有二项式系数的性质可知第5项的二项式系数最大，故A正确；选项B：令=1,可得所有项的系数和为0 -4户=3、可知B正确；选项C：所有奇数项的二项式系数和为2 8 T=2、C错误；选项D：所有偶数项的二项式系数和为2叼=2 ,D正确.故选：A B D1 1.若圆C|：(x+1)2+V=2与圆G：(x-l)2+(y-l f=l相交于N ,则下列说法正确的是()A.N所在直线的方程为2 x+v T =B.加的中垂线的方程为x-2 y+l =C.I|=V 2 D.过N两点的所有圆中面积最小的圆是G【答案】A B【分析】两圆方程相减得直线仰的方程判断A,两圆连心线为弦仰中垂线，求出其方程，判断B,由圆的性质求出弦MN的长判断CD.【详解】由题意两圆方程相减得2 x+V-l =,此为直线MN的方程，A正确;k 1-0 1 _ _5-1,0),c,G _(_ )2(方程是 了一5(),即 x_ 2 y+l =0,此为 M N 的中垂线的方程，B正确；八a一=小-也G到直线N的距离为 V 22+l2 J 5,所以 V 3)5,C错；四 =4距离的最小值为一口【答案】AB D【分析】对于选项A,作出曲线E的图象与曲线l、/5x|+L H =2的图象即可判断；对于选项B结合中心对称的概念即可判断；对于选项C,设曲线E上任意一点为（X V）,结合两点间的距离公式化简整理即可判断；对于选项D,结合点到直线的距离公式即可判断.【详解】对于选项A,作出曲线E的图象，即可判断为封闭图形，再作出|V2x|+|y|=2的图象,由图可知曲线E围成的面积大于I&N +3=2曲线围成的面积，且曲线+3=2与X轴正半轴的交点坐标为2）,与y轴正半轴的交点坐标为（2）,4 x x /2 x 2 =4五所以围成的面积为 2所以选项A正确;对于选项B,因为点（TJ）,点（%一切均满足方程，则可得到曲线 关于原点中心对称，所以选项B正确；对于选项C,设曲线E上任意一点为J）,则其到原点的距离的平方为+/，且/+/=2-3+/=2-3+32=仙-；I 2 J 4 4,即曲线E上的点到原点距离的最小值为2 ,故选项C错误;对于选项D,曲线E上任意一点为G M,则其到直线x +V =4距离为d=|x +y 4|=x +x：-2 +4 =卜-J +彳 7V 2丘 6 五 -8 ,故选项D正确;故选：A B D三、填空题1 3.抛物线=-4 y的准线方程为【答案】y=【解析】根据抛物线的性质得结论.【详解】由抛物线方程得P=2,焦点为（0,-1）,准线方程为y =i.故答案为：y=l.1 4 .设随机变量X 3,2）,则p（X=l）=（结果写成分数形式）.1 2【答案】3 5【分析】根据超几何分布的分布列计算公式求解.C1 C2尸（X=l）=【详解】因为XH（1 5,3,2）,所以1 2故答案为：3 5.1 3 x 1 22 x-2 x 11 5x 1 4 x 1 33 x 2 x 11 23 51 5.杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其 著 作 详解九章算术中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形 早了 3 00多年，若用（M 表示三角形数阵中的第m行第n个数，则&0）=（结果用数字作答）.左 右积隅廖*旁d)(D桑台巢露S o(DOG)左爵蒙m【答案】4 9 50【分析】由二项式展开系数可知，第 a行第6个 数 为 从 而 求 解 即 可.【详解】由二项式展开系数可知，第。行第6个数为c：,A故 3p 3-l 一J o i 一1 0 0 x 9 92 x 1=4 9 50故答案为：4 9 50.1 6.圆锥曲线(英语：conic section),又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，大数学家欧几里得阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有 圆锥曲线，对圆锥曲线的性质已做了系统性的研究.之所以称为圆锥曲线，是因为他们是由一个平面截一个正圆锥面得到的一些曲线.其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一个椭圆.如图，一个底面半径为2、高 为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别相切于斗入，该平面与圆柱侧面的交线即为椭圆，则这 个 椭 圆 的 离 心 率 等 于.【答案】2【解析】作出轴截面图，利用图形的几何性质，直线与圆相切的性质，以及三角函数的定义，求得椭圆的半焦距，长半轴，即可求得离心率.【详解】作出几何体的轴截面图，如图所示，点 是 圆 柱 内 两 个 内 切 球 的 球 心，片，A是椭圆的两个焦点，其中。是。1。2与 的 交 点，P Q L O 0 2 ,根据圆的切线的性质，可 得 M F2L AB,NF,1AB,由题意可知：=02=6,M F 2=M O=N()2=NFI=2,所以 0历=o v =4,所以 OF、=O F 2=d O M 2 -M F；=2 百，即 c=2/所以在中，sinZWF-4 _ 2 ,显然 N M O g=3 0，所以 400=6 0OA=OQ=J =4cos Z AOQ 1所以 2 ,即a =4,_ c _ 2 7 3 _ 7 3所以椭圆的离心率为一 a 4 2 .故答案为：2 .【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得，c得值，根据离心率的定义求解离心率e；2、齐次式法：由已知条件得出关于0，c的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解;3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.四、解答题1 7.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回求:(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；(2)在 第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.【答案】(1)1 0；(2)2.【分析】(1)设事件A表示“第1次抽到代数题”，事件8表示“第2次抽到几何题”，然后利用古典概型公式代入求解出尸（）与尸（8）；（2）由（1）的条件，代入条件概率公式即可求解.【详解】解：（1）设事件A 表示“第 1 次抽到代数题”，事件8 表示“第 2 次抽到几何题”，r 3CC 3尸 =鼻 P（/B）=串=上则 J 5,所以第1 次抽到代数题且第2 次抽到几何题的概率为。5 c 4 1 0（2）由（1）可得，在 第 1 次抽到代数题的条件下，第 2 次抽到几何题的概率为21 8.如图，在正四棱柱中，4B=1,E为CG的中点，,4=2.（1）证明：平面8 O E，平面4 4；（2）求 4 到平面B D E的距离.【答案】（1）证明见解析（2芦【分析】（1）证明以及/18 E即可得到面面垂直；（2）先计算平面B D E的法向量，再结合空间中点到面的距离的向量求法求解即可.【详解】当 4=2 时，B E=0 ,BE=g ,所以 B E +B E=B B；,所以q E J.8E.又4 与，平面8 C C e,8 Eu平面8C C 由，则因为 4 8 1 c 8|E =8|,面 4 4 E,所以 _L 平面 也田，又8 u平面B O E,所以平面8OE J.平面4 4 E.（2）以。为原点，DA,DC,O R所在直线分别为x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则。（0,0,0）,5（1,1,0）,40,0,2）,（0,1,1）,所以 1）耳=（1,1,0）D E=（0,1,1）DA=（1,0,2）万-DB-0,J x+y=0设平面8 O E 的法向量为 =（、/）,则 力 gE=0,即 y+z=0不妨令x=l,则y=-1,z=l,得 =（L7）.A n A/3故 4 到 平 面 的 距 离 1 9.相距6千米的两个观察站A,8 先后听到远处传来的爆炸声，已知A 站听到的时间比B 站早4秒，该爆炸声速是1 千米/秒，现以A,B 所在直线为x 轴，A,8 中点为原点（如图）建立直角坐标系.VAA O B x（1）判断爆炸点分布在何曲线上，并求出该曲线c的方程：G 7A/3V=X+-（2）求直线3 3与曲线C的交点坐标.=l（x 2）6 5 百）【答案】（1）双曲线的右支，4 5，；（2）V*V Z【分析】设 爆 炸 点 为 尸，由 已 知 得 陷 一 闸=%又|阳=64,利用双曲线定义可得解;（2）联立直线与双曲线方程，化简整理得：H x2-5 6 x-25 6 =0,求解即可.【详解】（1）设爆炸点为尸，由己知得归却一口1=4,又|阳=6 4所以P在以A,8 为焦点的双曲线的靠近B 的那一支上，即尸点在双曲线的右支上,由 2 =4,2c =6,得 Q=2,C=3,h2=c2 a2=52?二一匕=1（x 2 2）故双曲线C的方程为：4 5 /；rx2 丫2x/3 7 x/3y=x H-_（2）联 立 3 3，化简整理得：l b r-5 6 x-25 6 =0_32解得：=8 或1 1 （舍去），当x=8时，丫 =5也,故直线与曲线的交点坐标为G 5）【点睛】方法点睛：本题考查求动点的轨迹方程，求曲线的轨迹方程常用的方法：（1）直接法：如果题目中有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法；（2）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程；2 0.如图所示，四面体/8C Z）中，已知平面S C O ,平面/8C,B D LD C ,BC=6,AB=4逝,Z ABC=3 0（1）求证：A C上BD .（2）若二面角8-/C-D为4 5,求 直 线 与 平 面 4co所成的角的正弦值.【答案】证明过程见解析7 64【分析】（1）利用余弦定理求出“C =26,由勾股定理得逆定理证明出/C 1 8 C,进而利用面面垂直得到线面垂直，线线垂直；（2）先利用题干中条件得到N 5 C O 即为二面角8-ZC-O 的平面角,进而得到8CZ)为等腰直角三角形，80=3应，再得到乙胡。为 直 线 与 平 面 力8所成的角,利用求出的线段长度，求出直线力8与平面/C O所成的角的正弦值.【详解】(1)因为8C=6,AB=4拒，乙48c=30。，所以由余弦定理得：4 c 7 AB2 +BC?-2ABBC cos NABC=J48+36-72=2 6,因为 CB?+ZC?=,所以AC VBC,因为平面88,平面/8 C,交线为BC,c z平面4 8 C,所以/C L平面B C D,因为8。u平面s c。，所以4 C上BD,证毕.(2)由(1)知，NC1平面8 c D,因为C O u平面B Q),所以“C_LC7),y AC1.BC,故即为二面角5-4 C-O的平面角，所以4 8 8=4 5。，又因为所以BC。为等腰直角三角形,BD=B C-sin-=3s/2 八因为8c=6,所以 4,因为8O LO C,A C 1B D,DCnAC=Ct所以8 0 2平面4 c。，为48在平面4CO上的投影，所以4 8/0即为直线48与平面Z 8所成的角，设为。，呜2里卓正则 4B 4V3 42 1.新疆棉以绒长、品质好、产量高著称于世.现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，4类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.8类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完.(1)设/类服装单件销售价格为4元，8类服装单件销售价格为元，分别写出两类服装单件销售价格的分布列，并通过计算比较这两类服装单件收益的期望(收益=售价-成本)的大小；(2)某服装专卖店店庆当天，全场48两类服装均以会员价销售，假设每位来店购买4 5两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买/类服装的概率均为3.已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X为该店当天所售服装中2类服装的件数，若P(X 4)4 0.5(N),求 的所有可能取值.【答案】(1)分布列见解析，8类服装单件收益的期望大；(2)可取的值为0,1,2.【分析】(1)根据给定的信息，求出3 的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望作答.(2)求出购买了服装的顾客中购买8类服装的概率，借助二项分布求出的各个值对应的概率,再比较判断作答.【详解】（1）依题意，4的可能值为2 0 0,17 0,12 0,P 隹=2 0 0）=0.3,尸 =17 0）=0.5,P 也=12 0）=0.2 ,J的分布列为：42 0 017 012 0P0.30.50.2片的期望 E q)=2 0 0 x 0.3+1 7 0 x 0.5+1 2 0 x 0.2 =1 69的可能值为300,2 55,1 8 0,P(rj=300)=0.2,=255)=0.4,P(j=1 8 0)=0.4；的分布列为：n3002 551 8 0P0.20.40.47 的期望 E(1)=300 x 0.2 +2 55x 0.4+1 8 0 x 0.4=2 34设4类服装、8类服装的单件收益分别为工元，3元，则X=JT 20,工=-1 60,E（X）=E-120 =49 （元），E（XJ=ES）-1 60=7 4（元），（%）式工），所以5类服装单件收益的期望大.（2）依题意，X的可能值为0,1,2,3,4,5,显然 I 3人P(X=0)=p(X =l)=C；”3）=呜8卷,Y（|闾湍P(X =5)=需P(X 2)=1+10 +4 0=0.5 P(X 0.52 432 43嗤所以当2（*4）4 0.5（2时，可取的值为0,1,2.22.已知点尸是椭圆C：7 V=1 (A 0)的右焦点，过点尸的直线/交椭圆于，N两点.当3直 线/过C的下顶点时，/的 斜 率 为 当 直 线/垂 直 于C的长轴时，M N的面积为5.（1）求椭圆C的标准方程；当|加尸|=2|晒|时，求直线/的方程；（3）若直线/上存在点尸满足归根 归时=仍尸，且点p在椭圆外，证明：点尸在定直线上，并求出该直线的方程.兰+片=1【答案】4 3.V 5x 2 y -yf5=0.5x（3）证明见解析，点尸在定直线 2上.【分析】（1）根据给定条件，利用直线斜率及三角形面积列出方程组，求解作答.（2）验证直线垂直于y轴的情况，当直线不垂直于y轴时，设出直线方程，与椭圆方程联立求解作答.（3）按直线是否垂直于y轴探讨，利 用（2）中信息结合已知等式求解作答.卜=。_b2【详解】令 点 年 期，当直线/垂直于x轴时，由 讪 泊+/=.干 得1止 了，弦N长为2b13 1 J-=3 b=由AOMN的面积为5得：2C a 2,又。一，解得a=2,b=6 ,-x-21-1所以椭圆C的方程为4 3.（2）当直线/与x轴重合时，1A不合题意，即直线/与x轴不重合，设直线/的方程为k卬+1,加（不乂），N（x”y）,jx=ty+l_9由 以2+4j，-2消去x整理得：+4 2+6吐9 =0,则药，.二 药，-7=二 _ 之 逐由 此|=2|尸N,得必=-2凡 消 去 加 乃 得（3产+4）3t+4,解 得 土 工，所以直线/的方程为道 2夕-后=.（3）设P Q。，比）,当直线/与x轴重合时，点尸在椭圆外，即%+2,%-2同号，由 隗|网=阳;得 6+2)(%-2)=(%-1)2,解得玉=5,_ 6t _9当直线/与x轴不重合时，由(2)知+=记 二，=3+4,而 归 闾=7 1 方|%-为|,|尸 叫=7 1 7 刁力一刃，|尸尸|=4?尻|,由点P在椭圆外，得凹%同号，由“H N 卜 阳 2,得(%-%)(%-%)=双-9 _ _ 6,_ 0整理得必为 一 。(%+%)=,即 3*+4 )3*+4 ,35Vn=X()=解得 2/,代入直线/方程小+1,得 2,5x=所以点。在定直线 2上.