初中数学线段的长短比较-题型练习.pdf

专题4.3线段的长短比较-重难点题型【人 教 版】?亦*一 史 三【知 识 点 线 段 的 长 短 比 较】（1）两点的所有连线中，线段最短。简称：两点之间，线段最短。连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。（2）线段的中点：线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点.【题 型1线 段 的 和 差】【例1】（2021鼓楼区校级模拟）如 图，C是 线 段AB的中点，。是CB上一点，下列说法中错误 的是（）I 111A C D RA.C D=A C -B D B.C D=*B C C.C D=-B D D.C D=A D -B C【解题思路】根 据C D=B C -B D和CD=A-AC两 种 情 况 和AC=8C对各选项分析后即不难选出答案.【解答过程】解：是 线 段 的 中 点，：.A C B C=A、C D=B C-B D=A C-B D，故本选项正确；B、。不 一 定 是8C的中点，故C 0=C不一定成立；C、C D=B C -B D=AB-B D,故本选项正确.。、CD=A-A C=A D -B C,故本选项正确;故选：B.【变 式1-1 （2021秋荔湾区期末）延长线段AB到C,使反向延长AC到。，使A=基C,若 AB=8c，则 CD=18 cm.【解题思路】根据题中线段的长度关系，即能求出CQ的长度.【解答过程】解：如图，BC=AB=4,AC=AB+BC=S+4=2cm,1AD=AC=6,CD=AD+AC=12+6=Scm.故答案为18.nA R c【变 式1-2（2021春长兴县月考）如图，在线段A8上 有C、。两点，CD长度为1cm,A8长为整数，则以A,B,C,。为端点的所有线段长度和不可能为（）_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ A C D BA.16cm B.21cm C.22cm D.31cm【解题思路】根据数轴和题意可知，所有线段的长度之和是AC+CD+D3+AO+C8+AB,然后根据8=1,线段A8的长度是一个正整数，可以解答本题.【解答过程】解：由题意可得，图 中 以A,B,C,D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：AC+CD+DB+AD+CB+AB=CAC+CD+DB）+（AD+CB）+ABAB+AB+CD+AB 3AB+CD,.以A、B、C、。为端点的所有线段长度和为长度为3的倍数多1,.以A、B、C、。为端点的所有线段长度和不可能为21.故选：B.【变 式1-3（2021秋天津期末）如图，B,C两 点 把 线 段 分 成2：5：3三部分，M为4。的中点，BM=6cm.求CM和AC的长.A B M C D【解题思路】设A8=2XC 7,BC=5xcm,CD=3xcm,求出AO=IOxcm,根据m为4。的中点求出AM=DM=5xcm,列出方程，求出X,即可求出答案.【解答过程】解：设 AB=2xcw,BC=5xcm,CD=3xcm,则 AD=AB+BC+CD lOxcm,为AQ的中点，2：.A M=D M=AD=5xcm9：B M=A M-A B=6cm,5x-2x=6,解得：x=2,即 A D=l(kc2=20cm,D M=5xcm=1 Ocm,CD=3xcm=6cm,CM=DM -CD=10cm-6cm=4cm.【题型2线段中点的有关计算】【例2】(2021春松北区期末)如图，点G是A 8的中点，点M是A C的中点，点N是B C的中点，则下列式子不成立的是()AM G C N B1A.M N=GB B.CN (A G -G C)11C.GN=(B G +GC)D.MN=*Q4C+GC)【解题思路】由中点的定义综合讨论，验证得出结论.【解答过程】解：A、I,点G是A 8的中点，点M是A C的中点，点N是8 C的中点，：.GB=AB,MC=AC,NC=1C,：.MN=MC+NC=-A C+/iC=AB,:.M N=G B,故A选项不符合题意；B、.点G是A B的中点，.G=B G,：.AG-GC=BG-GC=BC,1:N C=”C,.,.7 VC=1(AG-G O ,故B选项不符合题意；C、：BG+GC=BN+NC+CG+GC=2CN+2CG=2GN,:.G N=3(B G+G C),故C选项不符合题意；。、,:MN=B,ABAC+CB,3:.M N=3(A C+C 8),.题中没有信息说明G C=B C,：.MN=i (AC+G C)不一定成立，故。选项符合题意.故选：D.【变式2-1(2021秋邵阳县期末)如图，点C、力是线段4 B上任意两点，点 例 是4 c的中点，点N是0 8的中点，若AB=a,M N=b,则线段C的 长 是()111 III/MC D N B1A.2 b-a B.2(a-h)C.a-h D.(a+6)2【解题思路】先由A B -M N=a -b,得A M+B N=a -b,再根据中点的性质得AC+8O=2a-2 b,最后由C D=A B -(A C+B D)即可求出结果.【解答过程】解：MN=b,：.A B -M N=a -h,:A M+B N=a-b,.点M是A C的中点，点N是。8的中点，：.A M=MC,B N=D N,：.AC+B D A M+M C+B N+D N 2 (A M+B N)=2 C a-b)=2 a-2 b.：.C D=A B -(A C+B D)=-(2 a-2 b)=26-a.故选：A.【变 式2-2(2021秋奉化区校级期末)两根木条，一 根 长Qcrn,另一根长1 2 ,将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为()A.cm B.Wem C.cm 或 Ila n D.2CM J 或 Ila n【解题思路】设较长的木条为A 3,较短的木条为8 C,根据中点定义求出8M、8 N的长度，然后分两种情况：BC不在A 8匕时，M N=B M+B N,2C在4?上时，M N=BM -B N,分别代入数据进行计算即可得解.【解答过程】解：如图，设较长的木条为AB=12C/M,较短的木条为BC=10cm,N分别为4 8、8 c的中点，B M6cm,B N 5cm,如图 1,BC 不在 AB 上时，M N=B M+B N=6+5=Hem,4如图 2,8 c 在 A8 上时，M N=BM -B N=6-5=lcm,综上所述，两根木条的中点间的距离是1。“或 11a”，故选：C.I I-1 I IA M B N C图1I I a ，4 c M N B图2【变式2-3 (2021秋江岸区校级月考)如图，点 M 在线段AN的延长线上，且线段M N=20,第一次操作：分别取线段AM和 AN的中点ML M；第二次操作：分别取线段AM1和 4 M 的中点M2,M；第三次操作：分别取线段AM2和 4V2的中点M3,N 3;连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和M1M+M2N2+M ioM o=()K也芯M 飞 3 M111 1 in io 10A.20(-+)B.20+与 C.20-3D.20+32 22 23 210 29 210 210【解题思路】根据线段中点定义先求出MM的长度，再 由 M iM 的长度求出M 2 N 2的长度，从而找到的规律，即可求出结果.【解答过程】解：线段M N=2O,线段AM和 4 N 的中点Mi,M,：.MiN=A M-A N=A M-A N=2 (A M-A N)1=*MN1=x20=10.线段AMi和 A M 的中点M2,N2；:.M?N?=A M2 -A N?=A Mi-A Ni=5 (A M-A Ni)5=|A/I NI=1 x 1 x20=y x2022=5.发现规律：1MnN=/X20/.Mi N+M2N2+,+Mi 0N10111 1=2 x 20+-2 x20+x20+jo x20111 1=20(1+-7 +7 +TT)2 22 23 210故选：A.【题型3线段n等分点的有关计算】【例3】(2021春东平县期末)如图，已知AB和C。的公共部分B O=%B=/C D,线段AB,CO的中点E,尸之间的距离是10。“，则A 8的长是 12cm.1 ni l I 1A E D B F C【解题思路】设8 D=x,则AB=3x,C Z)=4x,由中点的定义可得EF=9(3x+4x)=1 0,即可求解x值，进而可求得A B的长.【解答过程】解：设 :BD=！AB=1CD,8=3 x,CD=4xf 线段A8,CD的中点E,尸之间的距离是10o，EF=BE+BF=/8+-CD-BD=g(AB+CD)-BD=1(3.r+4.r)-x=10cm,解得x=4,.A B=3x=l2(c m).故答案为12cM.【变式3-1(2021春奉贤区期末)如图，已知8。=16c机，8。=|4 8,点C是线段8。的中点，那么AC6=32 cm.A DCB【解题思路】先由B D=16cm,B D=铲 8 知A B=|B D=4 0 cw,再由点C是线段BD的中点知B C=B D=8的，根据AC=48-8 c 求解可得答案.【解答过程】解：BO=16C3 B D=|AZJ,.A B=|5 D=|x l6=4 0 (c w),又：点 C 是线段BD的中点，1：.B C=B D=Scm,则 4C=A B-8C=40-8=32(c m),故答案为：32.【变式3-2 (2021秋宝鸡期末)如图，P 是线段4 8 上一点，A B=n c m,M、N 两点分别从P、8 出发以lcm/s.3cvn/s的速度同时向左运动(M 在线段4 P 上，N 在线段BP上)，运动时间为fs.I I I I IA M P.V B(1)若 M、N 运 动 I s 时，且 P N=34M,求 A P的长；(2)若 M、N 运动到任一时刻时，总有PN=3AM,4 P 的长度是否变化？若不变，请求出A P的长；若变化，请说明理由；(3)在(2)的条件下，。是直线AB上一点，且 A Q=PQ+8Q,求尸。的长.【解题思路】(1)由AM+MP+PN+8N=A8,列出方程可求4W 的长，即可求解；(2)由线段的和差关系可求解；(3)由题设画出图示，根据A。-8Q=PQ 求得AQ=PQ+3Q；然后求得A P=8 Q,从而求得尸。与 AB的关系.【解答过程】解：根 据 M、N 的运动速度可知：B N=3cm,PM=cm,；A M+M P+P N+B N=A B,且 PN=3A M,.AM+1+3AM+3=12,*.A P=3cmx(2)长度不发生变化,7理由如下：根据M、N的运动速度可知：BN=3PM,;AM+MP+PN+BN=AB,且 PN=3AM,4AA/+4PM=12,.AP=3ctn,(3)如图：_ _ i_lA P Q B9：AQ=PQ+BQ,AQ=APPQ,：.AP=BQf：.PQ=AB-AP-BQ=6cm；当点0在A8的延长线上时，AQ1-AP=PQf,所以 AQ-BQ1=PQ=AB=2cm.综上所述，PQ=6cin或12cm.【变式3-3(2021秋甘井子区期末)已知，点。是射线AB上的点，线段A8=4m BD=nAB(0 n 的 长2”-2”“或2+24.(用含a和 的式子表示)A CD B A C_ B D 图1图2【解题思路】(1)根题意求得A8与8。的长，利 用 线 段 间 数 量 关 系 求 得 的 长，然后根据线段中点定义求CO的长；(2)解题思路同第(1)问；(3)利 用(1)(2)间的解题思路，分点。在线段AB和4 8延长线上两种情况分类解答.【解答过程】解：(1)：a=l,n=,，4B=4a=4,8BD=nAB=夕 8=2,.*.A=AB-8 0=4-2=2,点C 是 线 段 的 中 点，：.CD=AD=1.(2)：n=I，AB=4a,1：.BD=nAB=AB=2afAD=ABJfBD=4+2=6a,1：.CD=AD=3a.(3)当点。在线段AB上时，*：AB=4af BD=nAB=4ncb：.AD=AB-BD=4a-4M，CD=AD=*(4a-4na)=2a Ina.当点D 在线段AB延长线上时，AB=4at BD=nAB=4na1：.AD=AB+BD=4a+4naf：.CD=AD=1(4a+4na)=2a+2na.综上，线段CO的长为：2a-或 24+2”a.故答案为：2a-2na或 2a+2na.【题型4线段的数量关系】【例 4】(2021秋江门期末)如图，点 B 在线段4C 上，。是 AC的中点.若B C=b,则 B D=()1-2D.Q1-2-bcbc1-2Q-1-2B.BD-a21-2-b1-24【解题思路】根据已知条件可得AC=A8+8C=+b,由。是 A C 的中点，可 得 C D=y C,由题意可知B D=B C-C D,代入计算即可得出答案.【解答过程】解：；AB=a,BC=b,：.AC=AB+BC=a+b,9.。是 AC的中点，1 1 1CD =2。+3 6，：BC=b,：.BD=BC-CD=b-（|cz+!b）=b-|a.故选：A.【变式4-1（2021秋沙湾区期末）如图，已知A,B,C,。是同一直线上的四点，看图填空：AC=4B+BC,BD=AD-AB,AC AD.4 R C 5【解题思路】从图上可以直观的看出各线段的关系及大小.【解答过程】解：由图可知各线段的关系为AC=AB+BC,BDAD-AB,AC的长为 12 cm.【解题思路】根据已知分别得出8C,的长，即可得出线段CD的长.【解答过程】解：线段A 8=2 tro,延长AB到 C,使 A C=3 4 8,再延长BA至 Q,使 8D=28C,I _ I I _ ID AB CBC=2AB=4C3 BD=4AB=8cni,：.AD=BD-AB3AB=6cm：.CD=AD+AB+BC=6+2+4=2（cm）,故答案为：12.【变式4-3（2021秋成都期末）已知点C 在线段AB上，A C=2B C,点。，E 在直线AB上，点。在点E的左侧.若 AB=15,D E=6,线段O E在线段AB上移动.如图1,当 E 为 2 c 中点时，求 AO的长；点 尸（异于A,B,C 点）在线段A 3上，AF=3AD,C F=3,求 AO的长；-0-1-A D CEB A C B图1备用图【解题思路】根据已知条件得到8 c=5,AC=0,10由线段中点的定义得到CE=2.5,求得 8=3.5,由线段的和差得到AD=AC-8=1 0-3.5=65如图1,当点尸在点。的右侧时，当点尸在点C的左侧时，由线段的和差即可得到结论；【解答过程】解：,4C=28C A3=15,：.BC=5,AC=10,Y E为BC中点，：.CE=2.5,:DE=6,，CD=3.5,：.AD=AC-CD=10-3.5=6.5；如图1,-A D C E F B图1当点尸在点C的右侧时，CF=3,BC=5,：.AF=AC+CF=3,1 13：.AD=AF=当点尸在点。的左侧时，A D p E C B图2.AC=10,CF=3,:AF=AC-CF=1,：.AF=3AD=7f7 AO=（；13 7综上所述，AD的长为二或不【题型5两点之间线段最短】【例5】（2021春莱州市期末）如图，A,。两村相距6km B,。两村相距5Am.现要建一个自来水厂,使得该厂到四个村的距离之和最小.下列说法正确的是（）11,CB.DA.自来水厂应建在AC的中点B.自来水厂应建在8。的延长线上C.自来水厂到四个村的距离之和最小为WkmD.自来水厂到四个村的距离之和可能小于【解题思路】根据线段的性质：两点之间，线段最短；结合题意，要使自来水厂与四个村的距离之和最小，就要使它在AC与8。的交点处.【解答过程】解：如图所示，连接AC,8。交于点E,在平面内任取一点E,连接AE1,BE,CE,DE,：AE+CEAC,BE+DEBD,J.AE+CE+BE+DEBD+AC Ukm,当自来水厂建在点E处时，来水厂到四个村的距离之和最小为Uh”,【变式5-1（2021秋丛台区校级期末）下列生活，生产现象：用两个钉子就可以把木条固定在墙上；植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着直线A B架设；把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有（）A.B.C.D.【解题思路】根据“两点确定一条直线”解释，根据两点之间线段最短解释.【解答过程】解：用两个钉子就可以把木条固定在墙上，植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线根据“两点确定一条直线”，故选：A.12【变式5-2 （2 0 2 1 秋兴义市期末）如图，一只蚂蚁从长方体的一个顶点4沿表面爬行到顶点C处，有多条爬行线路，其中沿AC爬行一定是最短路线，其依据的数学道理是两点之间，线 段 最 短.【解题思路】根据连接两点的所有线中，线段最短的公理解答.【解答过程】解：蚂蚁从长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C处有多条爬行线路，只有4c是直线段，.沿4C爬行一定是最短路线，其科学道理是：两点之间，线段最短.故答案为：两点之间，线段最短.【变式5-3 （2 0 2 1 秋渠县期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面.下面就两个情景请你作出评判.情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题.情景二：A、B是河流/两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，间抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点尸的位置，并说明你的理由：R 你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？【解题思路】因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间线段最短；连接A 8,使 48两点同在一条直线上，与河流的交点既是最佳位置.【解答过程】解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条宜线上，两点之间的所有连线中，线段最短;情景二：（需画出图形，并标明P点位置）13/p理由：两点之间的所有连线中，线段最短.赞同情景二中运用知识的做法.应用数学知识为人类服务时应注意应用数学不能以破坏环境为代价.【题型6两点间的距离】【例6】（2 0 2 1秋罗湖区校级期末）如果在数轴上的A、8两点所表示的有理数分别是x,y,且|x|=3,|y|=1,则4,B两点间的距离是（）A.4 B.2 C.4或2 D.以上都不对【解题思路】先根据绝对值的性质求出x,y的值，再分两种情况讨论，当x与），是同号时和x与y是异号时，然后根据距离公式即可求出答案.【解答过程】解：；凶=3,.x=3.1=1，-*.y =L 当x与y是同号时，A、8两点间的距离是2；当x与y是异号时，A、8两点间的距离是4：；.A、B两点间的距离是2或4；故选：C.【变式6-1 （2 0 2 1秋奉化区校级期末）如图，已知点4、点8是直线上的两点，点C在线段A B上，且B C=4厘 米.点P、点。是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点。的速度为2厘米/秒.点P、。分别从点C、点8同时出发在直线上运动，则经过多少时间线段P。的长为5厘米.A C B 1【解题思路】由于8 c=4厘米，点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，当线段尸。的长为5厘米时，可分三种情况进行讨论：点P向左、点Q向右运动；点P、Q都向右运动：点P、Q都向左运动；点P向右、点。向左运动；都可以根据线段P Q的长为5厘米列出方程，解方程即可.【解答过程】解：设运动时间为/秒.如果点尸向左、点。向右运动，由题意，得：f+2f=5-4,解得t =最点尸、Q都向右运动，由题意，得：2/-t=5-4,解得7=1；14 点 P、。都向左运动，由题意，得：2/=5+4,解得f=9.点 P向右、点。向左运动，由题意，得：2 t-4+t-5,解得r=3.综上所述，经过1或 1或 3 秒 9秒时线段P Q的长为5厘米.A C B 1【变式6-2（2021秋秦淮区期末）直线/上的三个点A、B、C,若满足B C=则称点C是点A关于点 8的“半距点”.如 图 1,B C=A B,此时点C就是点4 关于点B的一个“半距点”.若 M、N、P三个点在同一条直线加上，且点P是点M 关于点N的“半距点”，MN=6cm.（1）M P=3cm 或 9 c m；（2）若点G也是直线团上一点，且点G是线段MP的中点，求线段GN的长度.A B C 1（图 1）（备用图）【解题思路】（1）根据点P是点M关于点N的“半距点”，可得PN=分两种情况画图求解;（2）根据点G是线段MP的中点，结 合（1）分两种情况即可求线段GN的长度.【解答过程】解：（1）如图所示：,/点 P是点M 关于点N的“半距点”，：.PN=MN,：MN=6cm.PiN=3MN=3cm,：.M P =M N-PN=3cm；,?M N=6 c m.P2 N=M N=3cm,MP2=MN+P2 N=9 cm；.MP=3cm 或 9 cm；故答案为：3CT7?或 9；15-1 -mG2-P2(2)如图所示：点G 是线段M Pi的中点，1 3/.MG=2 MP=卧 TH,:.G N=M N M G =6*(c m)；点 G2是线段M P 2的中点，1 9 MG 2=2Mp2=卧：2,9 3G2N=MN-MG2=6-2=Gm).9 3线段GN的长度为一 cm或；cm.2 2【变式63】(2021秋姜堰区期末)如图，点。在 线 段 上，A C=6cni,CB=4c z,点 M 以 lc?/s的速度从点A 沿线段A C向点C 运动；同时点N 以2ca/s从点C 出发，在线段CB上做来回往返运动(即沿C-C-8运 动)，当点M 运动到点。时，点 M、N 都停止运动，设点M 运动的时间为fs.(1)当 1=1时，求 MN的长；(2)当为何值时，点。为线段MN的中点？(3)若点尸是线段CN的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使 PM 的长度保持不变？如果存在，求出PM 的长度；如果不存在，请说明理由.A M C NBA C B备用图【解题思路】(1)当 f=l 时，A M=cm,C N=2 cm,M N=7 c m；(2)由题意，得：A M=tcm,M C=(6-r)c m,根据点M 运动到点C 时，点 M、N 都停止运动，可得0W/W 6,分三种情况：当0W/W2时，点 N 从 C 向 8 运动，可求得1=2；当2V/W 4时，点 N 从 3向 C 运动，求出，=2 不合题意；当4V/W 6时，点 N 从 C向 B运 动,可求得f=竽；(3)存在某个时间段，使 PM 的长度保持不变，与(2)一样分三种情况分别探究即可.【解答过程】解：(1)当，=1 时，A M=crnf C N=2 cm,：.M C=A C-A M=6-1=5(c m),:M N=M C+C N=5+2=7 C em）；16(2)由题意，得：A M=tan,M C=(6-f)cm,点M运动到点C时，点M、N都停止运动，当0Wf W2时，点N从C向8运动，C N=2 tcm,点C为线段MN的中点，:.M C=C N,即 6-f=2f,解 得:t2；当 2 7 W4 时，点 N 从 8 向 C运动，B N=(2/-4)cm,C N=4-(2/-4)=(8 -2 t)cm,点C为线段MN的中点，：.MC=C N,B P 6 -r=8 -2 t,解得：f=2(舍 去)；当4 7 W6时，点N从C向B运动，C N=(2r-8)cm,:点C为线段MN的中点，：.M C=C N,即6-r=2f-8,解得：仁 竽；综上所述，当f=2或m时，点C为线段MN的中点.(3)如图2,当0Wf W2时，点N从C向B运动，C N=2 tcm,二点P是线段C N的中点，:.C P=C Ntcm,：.PM=MC+C P=6-t+t=6cm,此时，PM的长度保持不变；当2 O N O Q O M,18故选：c.【变 式 7-2（2021秋南海区期末）我们知道，比较两条线段的长短有两种方法：一种是度量法，是用刻度尺量出它们的长度，再进行比较；另一种方法是叠合法，就是把其中的一条线段移到另一条线段上去，将其中的一个端点重合在一起加以比较.I_I_ I I 1 111A C BA D CEB图 国（I）已知线段AB,C 是线段AB上 一 点（如图）.请你应用叠合法，用尺规作图的方法，比较线段AC与 BC的长短，并简单说明理由（要求保留作图痕迹）；（2）如图，小明用刻度尺量得AC=4cm,8 c=3 c w,若。是 AC的中点，E 是 2 C 的中点，求。E 的长.【解题思路】（1）先以点A 为圆心，以 8 c 的长为半径画圆，此圆与直线A 8相交于点8,则线段A8的即为线段8 c 的长：（2）先根据是AC的中点，E 是 8 C 的中点求出C。及 C E的长，故可得出结论.【解答过程】解：（1）如图所示：AI j*C B.（2）.AC=4cro,B C 3 cm,。是 AC 的中点，E 是 8 c 的中点，CD=C=x4=2cin,CE=8C=X3=1.5CVM,DE=CD+CE 2+1.5=3.5 a”.【变式7-3（2021秋宁波期末）已知数轴上的三点A、B、C 所对应的数a、b、c 满足a b c、abcBC B.AB=BC C.ABBC D.不确定的【解题思路】先根据a b c、岫cVO和“+b+c=0判断出a、b、c的符号及关系，再根据数轴上两点间的距离比较出线段A B 与 BC 的大小即可.【解答过程】解：abc,abc0,a+b+c=O,：.a0,c0,|a|=6+c,.AB=a-b=b-aa,BC=b-c=c-hBC.19故 选:A.【题型8 与线段的长短比较有关的应用】【例 8】（2 0 2 1 秋南沙区期末）如图，某工厂有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工1 5 人、2 0 人、4 5 A,且这三个区在一条大道上（4、B、C三点共线），已知A B=1 5 0 0 机，B C=10 0 0 m,为了方便职工上下班，该工厂打算从以下四处中选一处设置接送车停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）D A B C住宅区 住宅区 住宅区A.A住宅区 B.B住宅区C.C住宅区 D.B、C住宅区中间。处【解题思路】根据题意分别计算停靠点分别在各点时员工步行的路程和，选择最小的即可解答【解答过程】解：当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：2 0 X 1 5 0 0+4 5 X 2 5 0 0=1 4 2 5 0 0 m；当停靠点在8区时，所有员工步行到停靠点路程和是：1 5 X 1 5 0 0+4 5 X 1 0 0 0=6 7 5 0 0?；当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：1 5 X 2 5 0 0+2 0 X 1 0 0 0=5 7 5 0 0?；当停靠点在。区时，设距离8区x米，所有员工步行到停靠点路程和是：1 5 X （1 5 0 0+x）+2 0 X+4 5 （1 0 0 0-x）=-1 0 x+6 7 5 0 0,由于k=70,所以，x越大，路程之和越小，/.当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和最小.故选：C.【变式8-1 （2 0 2 1 秋海淀区校级期中）如图，在公路MN两侧分别有A i,A 2 A 7,七个工厂，各工厂与公路（图中粗线）之间有小公路连接.现在需要在公路上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”.则下面结论中正确的是（）车站的位置设在C点好于B点；车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；车站位置的设置与各段小公路的长度无关.20AM2A iA.B.C.D.【解题思路】可结合题意及图，直接对三个选项本身进行分析，确定对错.【解答过程】解：通过测量发现车站的位置设在C点好于8点，故正确；车站设在B点与C点之间公路上，车站朝M方向始终有4个工厂，车站朝N方向始终有3 个工厂，所以在这一段任何一点，效果一样，故错误；工厂到车站的距离是线段的长，和各段的弯曲的小公路无关，故正确；故选：C.【变式8-2】一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5,第 6号楼恰好有左（=1、2、3、4、5）个 A厂的职工，相邻两楼之间的距离为5 0 米.A厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有A厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1 号 楼 150米处.【解题思路】假设车站距离1 号楼x 米，然后运用绝对值表示出总共的距离，继而分段讨论x 的取值去掉绝对值，根据数的大小即可得出答案.【解答过程】解：假设车站距离1 号楼x 米，则总距离 S=|x|+2 k -5 O|+3|x-1 0 0|+4|x-1 5 0|+5|x-2 0 0|,当 0 W xW 5 0 时,S=2 0 0 0-1 3x,最小值为 1 35 0；当 5 0 W xW 1 0 0 时，S=1 8 0 0-9 x,最小值为 9 0 0；当 1 0（）W xW 1 5 0 时，5=1 2 0 0 -3%,最小值为 75 0 （此时 x=l 5 0）；当 1 5 0 W xW 2 0 0 时，S=5 x,最小值为 75 0 （此时 x=1 5 0）.二综上，当车站距离1 号 楼 1 5 0 米时，总距离最小，为 75 0 米.故答案为：1 5 0.【变式8-3 （2 0 2 1 烟台）先阅读下面的材料，然后解答问题：在一条直线上有依次排列的（1）台机床工作，我们要设置一个零件供应站P,使这八台机床到供应站尸的距离总和最小，要解决这个问题先“退”到比较简单的情形.如 图（1）,如果直线上有2台机床时，很明显设在4 和 A 2 之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距21离之和等于A i到A 2的距离.Ai P A2 4 后（2）月3?：L z.二图 图如 图（2）,如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床，A 2处最合适，因为如果P不放在A 2处，甲和丙所走的距离之和恰好是4到A 3的距离，可是乙还得走从A 2到户的这一段，这是多出来的，因此P放在4 2处最佳选择.不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第二台与第3台之间的任何地方，有5台机床，P应设在第3台位置.问题：（1）有八台机床时，尸应设在何处？（2）根 据（1）的结论,求|尤-1|+|%-2|+|%-3卜 加-6 1 7|的最小值.【解题思路】（1）分为偶数时，为奇数时两种情况讨论P应设的位置.（2）根据绝对值的儿何意义，找 到1和6 1 7正中间的点，即可求出k-l|+|x-2|+|x-3|+|x-6 1 7|的最小值.n n【解答过程】解：（I）当为偶数时，P应设在第二台和（:+1）台之间的任何地方，2 2当”为奇数时，尸应设在第等台的位置.（2）根据绝对值的几何意义,求|x-1|+仇-2|+仅-3|+仅-6 1 7|的最小值就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1,6 1 7各点的距离之和最小，根据问题I的结论，当x=3 0 9时，原式的值最小,最小值是3 0 8+3 0 7+1 +1+2+3 0 8=9 5 1 7 2.2223