二次函数的图像与性质-中考数学函数考点全突破.pdf
专题六二次函数的图像与性质锁定鹿 蚂 叱Toni N o H f u/it I i 考纲要求命题趋势1.理解二次函数的有关概念.2.会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质.3.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题.4.熟练掌握二次函数的上下左右平移5.熟练掌握二次函数解析式的求法.二次函数是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题.中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查.p导 学 密 氤 轴 厥 J F R i R f I/ii i s H i知识梳理一、二次函数的概念一般地，形 如 尸 一(a,b,c 是常数，a#0)的函数，叫做二次函数.二次函数的两种形式：(1)一般形式：；(2)顶点式：y=a(xA)2+A(aW 0),其中二次函数的顶点坐标是_ _ _ _ _ _ _ _.二、二次函数的图象及性质三、二次函数图象的特征与a,b,。及4 a c的符号之间的关系增减性当x 一:时，y随天的乙a增大而增大当X 一 比 时，夕随X的增大而减小最值当入=一擀时,了有最La_ _ _ _ _ _ 值/4 a当 时，y有最乙a,J a c-4_ _ _ _ _ _ 值/4a项目字母字母的符号图象的特征aa0开口向上a 0（与a同 号）对 称 轴 在3轴_ _ _ _ _ _侧u t r 0（b与a异 号）对 称 轴 在、轴_ _ _ _ _ _侧cr=0经过原点与y轴正半轴相交c 0与a轴布两个交点If 4 a(V O与工轴没交点四、二次函数图象的平移抛物线yax与 尸a（x 力尸,尸a?+A，尸a（x 方 尸+A中|a|相同，则图象的.和大小都相同，只是位置不同.它们之间的平移关系如下:yox2y=a(x-h)2向右MV。)、左(穴。)平移三个单位左加右减上加下减左加右减yax2+k向右*V。)、左(ZKO)平移三个单位y=a(x-h)2+k卜 加下减五、二次函数关系式的确定1 .设一般式：尸 a f+x+c(a W O).若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式尸a/+c(a#O),将已知条件代入，求出a,b,c的值.2 .设交点式:尸a(x 汨)(x-及)(a W O).若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式:y=a(x 为)(x 加(a W O),将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a,最后将关系式化为一般式.3.设顶点式：y=a(x/i)2+k(a0).若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y=a(x一+4(a/0),将已知条件代入，求出待定系数化为一般式.六、二次函数与一元二次方程的关系1 .二次函 数 尸a V+H+c S W O),当 尸:0 时，就变成了 ax+bx+c-O(aO).2 .a1+6x+c=0(a 0)的解是抛物线与x轴交点的.3.当4=Z 2 4ac 0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当4=Z/4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；当/=-4ac 0)的对称轴为直线x=l,且经过点(一1,%)，(2,，试比较必和的大小：y,度.(填或“=”)【解析】(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求.一=-=-1,2X-3 4 ac If_ 4X _ 3 X 5 -6 _4X-3 =8,.二次函数y=-3京-6#+5 的图象的顶点坐标是(一 1,8).故 选 A.(2)点(-1,),(2,x)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增瀛性来判断，元的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可.设抛物线经过点(0,V),二.抛物线对称轴为直线k1,二点(0,尸)与点(2,_)关于直线产=1对称.V a0,.当z =0 +以+式 4视)的图象如图，则下列结论中正确的是()A.4 0C.c 0,当 x l 时，y 随 x的增大而减小，所以选D考点二、利用二次函数图象判断a,b,c 的符号【例 2】如图，是二次函数y=a f+A r+c(a 力0)的图象的一部分，给出下列命题：a+b+c=0；。2 a；菠+以+k。的两根分别为一3 和 1；a2 6+c 0.其中正确的命题是.（只要求填写正确命题的序号）【解析】由图象可知过（1,0）,代入得到a+b+c=O 根据一g=-l,推 出 b=2 a;根据图象关于对称轴对称，得 出 与 x轴的交点是（-3,0）,（1,0）由a-2b+c=a-2b-a-b=-3 Y 0,根据结论判断即可.答案：方 法 总 结 根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性.解题时应注意a 决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴由a,b 共同决定，b2-4ac 决定抛物线与x 轴的交点情况.当x=1时，决定a+b+c 的符号，当 x=-1 时，决定ab+c 的符号.在此基础上，还可推出其他代数式的符号.运用数形结合的思想更直观、更简捷.触类旁通2 小明从如图的二次函数y a +b x+c的图象中，观察得出了下面五个结论：c V O；而c 0；ai+c0；2“-3 6=0；c 4 Q0,你认为其中正确的结论有（）A.2个 B.3个 C.4 个 D.5个【解析】.抛物线开口向上，.:抛物线与y轴交于负半轴，.,.c 0.由题图知当x=-I 时，y 0,即 a +c 0.对称轴是直线x=g,b 1五=?即2 a+3 g 0;6+c 0,5又.C O,；.c 4 0.正确的结论有4个.考点三、二次函数图象的平移【例3】二次函数 尸 一2 f+4x+l的图象怎样平移得到 尸 一2宗的图象（）A.向左平移1个单位，再向上平移3个单位B.向右平移1个单位，再向上平移3个单位C.向左平移1个单位，再向下平移3个单位D.向右平移1个单位，再向下平移3个单位【解析】首先将二次函数的解析式配方化为顶点、式，然后确定如何平移，即 尸-2+4才+1=-2（才-1）；+3,将该函数图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位就得到广一 2京的图象.答案：C方 法 总 结 二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作.触类旁通3将 二 次 函 数 的 图 象 向 右 平 移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是（）A.y=（x-l）2+2 B.y=（x+i y+2 C.y=（xl）22 D.y=（x+l）2 2【解析】因为将二次函数尸V向右平移1个单位，得 尸（了一1）2,再向上平移2个单位后，得 尸（X-1）2+2,故选A.考点四、确定二次函数的解析式【例4】如图，四边形力比。是菱形，点的坐标是（0,小）,以点。为顶点的抛物线y=a x 2+Z?x+c恰好经过x轴上4,8两点.A E B x（1）求4 B,C三点的坐标;（2）求经过4,B,，三点的抛物线的解析式.【解析】(1)由抛物线的对称性可知但8瓦助C.：.OA=BB=BA.设菱形的边长为2孙在中，+(白 尸=(2时,解得a=L：.DC=2,OA=1,0B=3.：.A,B,C三点的坐标分别为(1,0),(3,0),(2,曲.(2)解法一：设抛物线的解析式为尸a(-2)2+4,代入/的坐标(1,0),得a=-/.抛物线的解析式为y=-V 3(x-2)2+V3.解法二：设这个抛物线的解析式为y=a f+x+c,由已知抛物线经过1(1,0),6(3,0),C(2,/)三点，a+6+c=0,a9a+36+c=0,解这个方程组，得 b=44,4 a+26+c=#,lc=-3/.抛物线的解析式为尸一小丁+4 m L 3镉.方 法 总 结 用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式.学&触类旁通4已知抛物 线 尸 一；V+(6-林)矛+)27-3与“轴有4,8两个交点，且4 8两点关于y轴对称.(1)求加的值;(2)写出抛物线的关系式及顶点坐标.【解析】(1厂.抛物线与x轴的两个交点关于y轴对称，.抛物线的对称轴即为y轴.2X又二.抛物线开口向下,30,即面3.诟6.(2).5=6,抛物线的关系式为广：京+3,顶点坐标为9,3).1.二次函数 产 加+加;+1（分0）的图象的顶点在第一象限，且过点（一1,0）.设t=a+b+1，则/值的变化范围是（）A.0 r l B.0 r 2 C.l r 2 D.-l r =/+向下平移2个单位，所 得 新 抛 物 线 的 表 达 式 是.4 .二次 函 数y x2-2 x-3的 图 象 如 图 所 示.当 y+l=0,a0.由a=b-lV 0得 到b 0,0i 0得 到a 1,结合上面a0,-l a 00.由 O 0得一 la+6V l，且 c=l，得到 0 a+d+l 2,.0/2.2.C .二次函数图象开口向下，,.a0.:对称轴 x=?0,.,.b=，位于第二、四象限，故 选C.3.y=x2+x 2 因为抛物线向下平移2个单位，则y值在原来的基础上减2,所以新抛物线的表达式是y=/+x 2.4.-l x 3因为二次函数的图象与x轴两个交点的坐标分别是(一1,0),(3,0),由图象可知，当y 0时，自变量x的取值范围是一lx3.5.解：(1)由题意，得(1-2)2+?=0,解得洲=-1,y=(x-2)2-l.当 x=0 时，y=(0-2)-l=3,.C(0,3).:点5与C关于直线,x=2对称，3(4,3).于是 有 忆 震；解得 仁、3=4叶瓦 1力=-1.y=x-1.(2)x的取值范围是1左三I.6.由图表可知当x=0时，y=6;当x=l时，)?=6,抛物线的对称轴是直线x=g,正确；,抛物线与x轴的一个交点为(一2,0),对称轴是直线x=；,抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),正确；由图表可知，在对称轴左侧，y随x增大而增大，正确；当x=5寸，y取得最大值，错误.7.y=-x22x 由题中图象可知，对称轴为直线x=l,1所以一二=1,即。=2.把点(3,0)代 入 y=/+2 x+c,得 c=3.故原图象的解析式为y=-x2+2 x+3f即)，=一。-1)2+4,然后向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位，得 y=(x-1 +2)2+4-3,即 y=/2x.
