2022-2023学年山东省临沂市郯城县郯城高二年级上册学期期末数学试题含答案.pdf

2022-2023学年山东省临沂市御城县部城高二上学期期末数学试题【分析】由分母构成等差数列即可求出.一、单选题-1 -1-111.数 列5,7 ,9 ,11,.的 通 项 公 式 可 能 是（)(-1)(-I)-1(-1)”(-严A.3 +2B.2/1+3C.2+3D.3 +2【答案】C【详解】数列的分母5,7,9,形成首项为5,公差为2的等差数列，则通项公式为5+(-1)x2=2+3所以“-2+3.故选：C.2.已知空间向量 =且Z%=3,则向量，与B的夹角为（）兀 兀 2兀 5兀A.6 B.3 c.3 D.6【答案】A【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示求出，再利用向量夹角公式求出夹角.【详解】小行=1 +0+=3,解得=2,则（L I Z,同=J1+0+1 =应1=+1 +4=逐a-b 3 GCOS 0=iirr=I-r=-设向量。与B的夹角为。，则 W 2 x 6 2,1 10 ,1 -6,即。与 B 的夹角为 7.故选：A.3.直 线、-如+%=与 圆/+丁=1的位置关系是（）A.相交 B.相离 C.相交或相切 D.相切【答案】A【分析】易得直线过定点（），而定点在圆上，根据直线与圆的位置关系进而得结果.【详解】直线x-0 +%=,即x +%（lr）=,直线过定点（），而点（）在圆上,所以直线与圆相交或者相切，而过点（,1）且与一+丁=1相切的直线斜率为0,但直线x-+%=的斜率不可能为0,所以直线、一处+a 二与圆x2+V=1 的位置关系是相交，故选：A.4.已知等差数列J 的前，项之和为3 0,前2 m 项和为100,则它的前3”?项的和为（）A.130 B.17 0 C.210 D.26 0【答案】C 分析等差数列 中S ，$2,-$2”,也成等差数列，据此可解答口【详解】由于等差数列“中黑，邑,“一黑耳,”一%,也成等差数列，即30,7 0,%-100成等差数列,.-100=110,;.S 痴=210 口故选：C.5.如图，在 空 间 四 边 形 中，点E在0/上，满 足 应=2项，点F为8c 的中点，则EF=()A.2 3 2-O A-O B+-O CC.2 2 2【答案】D2 OE=-O A【分析】由 =2打 得 3-O A-O B-O CB.3 2 2-O A+-O B+-O CD.3 2 2OF=-O B+-O C结合中点公式可得 2 2,由线性运算丽=丽 一 丽 即 可 求 解.2 1 1 OE=-OA OF=-OB+-OC【详解】由E =2E4得 3.由 点 产 为 线 段 的 中 点 得 2 2,EF=OF-OE=-OB+-O C-O A=-O A+-OB+-OC.2 2 3 3 2 2,故选：D6.己知点P 在圆x2-2x+/=上运动，点在直线x-y +l=上运动，则归。1的最小值为()A.2-1 B.C.亚+1 D.2a【答案】A【分析】将1 尸。的最小值问题，转化为圆心到直线距离的最小值减去圆的半径，利用点到直线的距离公式即可求得结果.【详解】点P 在圆上，点。在直线x-y +l=上,故归的最小值可以转化为圆心到直线x-y +i=的距离减去半径,又圆X2-2X+/=的圆心为(1,0),半径为1,同 L则=忆 +”1=收 _ 1+（一 1）故选：A.7.已知尸是抛物线=4x上的一动点，尸是抛物线的焦点，点(3)，则I尸川+1尸尸I的最小值为()A.3 B.2为 C.4 D.4亚【答案】C【分析】过 P 作尸收垂直准线，M 为垂足，则有1尸”目尸尸，则可转化PAPFPA+PMt 分析即得解过 P作尸“垂直准线，M 为垂足，1尸加目尸川，所以|P*+|P 尸因/（当且仅当M，N，/纵坐标相等时取等号）故选：C,小23C H-=l（Q b 0）T-f 口 X （1 1 7 1 7 08.椭圆 -b2,耳 鸟分别是左右焦点，尸是直线 2上的一点，且是顶角为120 的等腰三角形，则椭圆离心率为（）A.4 B.3 C.2 D.2【答案】A【分析】利用/耳名尸=120,耳 尸 2 1=归 2 P|=2 c 可求得|谒=&,利用t a n N 尸 耳 g=t a n 3 0。可得关于0，c 的齐次方程，由此可推导得到离心率.【详解】时 是顶角为1 2 0”的等腰三角形，由题意可知：N 耳名尸=1 2 0 0,山尸2 卜|玛P|=2 c,/.tan 30=y/3c y/3,.|丹|=|P闻 s in 6(F=&,又NP耳玛=30整理可得：4c=3a,a 4故选：A.二、多选题9.已知抛物线c：i=4 y 的焦点为尸，。为坐标原点，点（”。）在抛物线c 上，若 幽=5,则A.厂的坐标为（L）C OM=442D.以旅为直径的圆与x 轴相切【答案】BCD【分析】由抛物线的方程求出焦点厂的坐标，可判断A 选项；利用抛物线的定义可求得儿的值，可判断B 选项；先根据抛物线的方程求Z 的值，再利用平面内两点间的距离公式可判断C 选项；求出战的中点坐标，进而可得该点到歹轴的距离，结合直线与圆的位置关系判断D 选项.【详解】对于抛物线C：x?=4 y,可 得 一 2 一，且焦点在y 轴正半轴上，则点尸（1 1 A 错误；由 抛 物 线 的 定 义 可 得=%+1=5,可得%=4 B正确；由%=4 可知，x：=1 6,可得为=4,|0叫=业+*=4夜,c 正确;（2，。（2目d=/的中点坐标为 l=LMF12人 则 点 I 2 J到y 轴的距离 2 21 I,二以“为直径的圆与x 轴相切，D 正确.故选：BCD.1 0.如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其 中 四 边 形 和8CFG为直角梯形，4 ,C,8 为直角顶点，其他四个面均为矩形，8 =8G=3,R7=4,8C=1,下列说法正确的是（）A.该几何体是四棱台B.A C-A F =1 0C.E G L H CD.平面E F G”与平面Z 8 C O 的夹角为4 5【答案】B D【分析】四边形/OE和8 c F G 为直角梯形，其他四个面均为矩形，可知：HG I I E F I I D CI I AB ,且四直线相等，故这是一个以平面4 DE和平面8 C F G 是底面的直四棱柱，又过。的三条棱两两垂直，可以建立空间直角坐标系易得答案.【详解】因为四边形N Q E”和8 C F G 为直角梯形，4DC 8为直角顶点，其他四个面均为矩形可知：HG I I E F I I D CI I AB ,且四直线相等，所以这个六面体是四棱柱，平面4 O E 和平面8 C r G 是底面，故A错误；由题意可知N，D C,O E 两两垂直，如图，以点。为坐标原点建立空间直角坐标系，则/(1,0,0),网 0,0,4)&(1,3,3),。(0,3,0),，(1,0,3),尸(0,3,4)屈=(1,3,-1)，丽=(1,-3,3),就=(7,3,0),万=(-1,3,4),故 抚.万=1 0.故B正确；E G C W =l-9-3 =-1 1 0,所以E G,H C 不垂直，故 c 错误；根据题意可知D E 1平面A B C D ,所以=(。4)为平面A B C D的一个法向量,7/=(1,0,-1),7 7 G =(0,3,0)nEH =x-z =O,2,所以平面E F G”与 平 面 的 夹 角 为4 5,故D正确.故选：B D.1 1.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3,6，1 0,称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4,9 1 6,称为正方形数，记 三 角 形 数 构 成 数 列 正 方 形 数 构 成 数 列 也 ,则下列说法正确的是()A.6=2 1B.1 2 2 5既是三角形数，又是正方形数一+L.J乜C.i a2%4 n +1D.9。*,此2,总存在，4 E，使 得 超=%，+4成立【答案】A B D【分析】利用等差数列求和，分别求出 4,进而结合裂项求和法逐个选项进行判断即可得到答案.7 1(/7 4-1)【详解】三角形数构成数列 ”卜1 1+2,1 +2 +3,1 +2 +3 +4,.,易得 -1 +2 +-一；/?(1 4-2 7-1)2正方形数构成数列色卜L 1 +3,1 +3 +5,1 +3 +5 +7,.易得2 -；对于A：4=21,故A正确；n2+na=-=1 2 2 5对 于B：令2,解得“二 4 9；令b =/=i 2 2 5,解得=3 5.故B正确;1 2 0=-=2对于C：.%(+1)5 2；加(+1)/(加一|)对于D：取P=叽4 =，1,且拒2,则 2 2 ,即耙=+,故Vw eN”,壮 2,总存在PMWN ,使得鬣=4+%成立，故 口正确.故选：A B D.0 b a e +l +2 bA.e e C.asinb+b aeh-eaD.si n b c os。si n。【答案】B Cf(x)=ex-2 x“、.,八 /(幻=上1【分析】分别构造 e*、/(x)=x-ln(x +l)、x ，利用导数研究它们在“5 上的单调性比较/S)，/S)大小即可，应用特殊值法判断D.f(x)=e-2x 0 x 2.ex-2=0 n【详解】A：令 e 且 2,则 e V e ，仅当x =0 时等号成立，故导函数恒大于0,eb-2 h/3),即 芭 e ,eh+2 a e+-+2 b所以 e e ,错误；I T 1 i/i 0 X 0B：令/(x)=x T n(x +l)且 2 ,则/x +1,故/在定义域上递增，则即 TnS+l)-ln 3 +l),所 以 历+则 3+1)芭(+1),即加“一 e ae-e“，正确;/、si n x-1 兀 、x c osx-si n x +1 八/(%)=-0 x 0C：令 x 且 2,则 x2,si n a-l si n f t-1故 X)在定义域上递增，则/伍)/(6),即 4 6 ,所以力(si n a-1)a(si n b l),贝|jsi n b+6 v b si n a+a,正确；,兀 兀 .j 1 J3b=一,a=sin P cos a=-sin a=D：当 6 3 时，4 2,错误.故选：BC【点睛】关键点点睛：根据不等式构造函数，应用导数研究单调性，进而比较大小关系.三、填空题1 3.已知”=（2 1-3）,=（-1,2,3）,己=（7,6,2）,若G,B,m三向量共面，则4 等于【答案】-9【分析】由,工共面，设2=加 +茄，列方程组即可求出4 的值.【详解】B,共面，:.Tc=ma+nb（加，”为实数）,即（7,6,/）=加（2,1,-3）+（-1,2,3）,2m-n=7 m+277=6.-3m+3n=A 解得机=人=,彳=为故答案为：-9.1 4.若圆：/+/-2 了-4“2-4”二 与圆8 2+/-4、-/-4=有且只有一条公切线，则实数a 的值是.【答案】*6或 3【分析】根据题意知两圆内切，得1 a=区一，分类讨论求解即可.【详解】圆/：/+/-2 卜-4/-4 a =0,即1+3-1）2=（2。+1）2,则圆心”（0,1）,半 径 尺=%+1|,1a*2.B:x2+y2-4 x-a2-4a=0；即（x-2）+/=（。+2）,则圆心8（2,0）,半径厂=|。+2|,a-2由于两圆有且只有一条公切线，所以两圆内切，所以AB =Rr,即6=t2 a+*la+2I|,当。-2 时,有 二 十（2。+1）+（。+2*即|-+1|=石，解得a=l 土 色 不 合 题 意；当一2 一；时，有 道 斗 伽+】）-（。+2 1,即卜3 3|=5 解得 i*或舍）;当 一，时，有 百=修。+】）-（“+2（,即|1|=逐，解得。=1+有或=1_ 6（舍）,一_ 且综上，,=+石或3 .T 立故答案为：1 +逐 或 3 .1 5 .已知数列T,4,牝，%,-4成等差数列，数列-1,4,瓦,4，-4成等比数列，则b2 .3【答案】#0.3 7 5【分析】根据题意，求出数列的公差d,得 到 利 用 等 比 中 项 公 式 和 等 比 数 列 的 性 质，求得A,从而得解.【详解】由T,6,电，生,Y 成等差数列，可得公差一 5 一 1 1,所以生一 一一*,又由T,牝牝4,-4成等比数列，可得以 二-1 义（-4）=4,设等比数列的公比为4,可得仇=T x q 2 0,所以仇=-2,a2-ax _ 3所 以 a w.3故答案为：京.1 6 .已 知 抛 物 线 的 弦 的 中 点 的 纵 坐 标 为 4,则M回的最大值为.【答案】1 1【分析】设凹），8 6 2,为），由A 8中点的纵坐标为 知%+%=8,结合抛物线定义及三点共线，可得弦力8过焦点时，”却取最大值，结合1/=必+%+3 即可得到答案.【详解】抛物线方程为x=6y,焦点 2 ,准 线 为-2,设“看,必），8（x2，%）,N 8中点的纵坐标为4,，+必=8,作 4 _ U,BB 11 垂足为 4,九 连接.，BF,3 3AF=AA=y+BF=BBt=y2+-则,，N，而ABAF+阿 1,当 弦 过 焦 点尸时取等号,即 14814 M尸|+忸可=必+3+3=8+3=11故 当 弦 过 焦 点 时，取最大值H.故答案为：11.四、解答题1 7.设函数/(x)=a +法+1在x=1处取得极值(1)求。、的值；求/(X)的单调区间.【答案】a=l，6=-3/的单调递增区间为(0 0,-1 )，&内)，单调递减区间为(T，1).【分析】(1)根据极值和极值点列出方程组，求出=1 1=-3；(2)结合第一问得到单调区间.详解】(1)/(幻=3加+6,由题意得：/=3a+b=0,/(l)=a+b+l=-l,解得：a=l,b=-3t此时/(X)=3X2-3 =3(X+1)(X-1)；当一 1VXV1 时，/(x)1 时，故x=l 为极值点，满足题意,所以 l,b =-3.（2）由（1）可知：当时，八 幻 0,当 x l 时，/（x）0,故“X）的单调递增区间为（-8，-1），（1，+0 0）,单调递减区间为（T）2 sG 册 1 -+=2 4n +11 8.记.为数列力的前项和.已知.（1）证明：%是等差数列；（2）若%，%，%成等比数列，求S”的最小值.【答案】（1）证明见解析；一 7 8.=174 =j【分析】（D 依题意可得2 S”+-=2 a,+，根据 一九,22,作 差 即 可 得 到 一 明=1 ,从而得证；（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出生,即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得.2 5,-H =2Q+1 O C I 2 o【详解】（1）因 为n,即2 S +=2 na+,当“2 2 时，2 S,i+（_ l）2 =2（_ l）%+（-l），-得，2 5“+，/-2 5“_ 1 -1 =2 叫 +-2 （-1-1）,即 2 a“+2 -1 =2 nan-2 （-1 ）一 +1,即2（-1）氏-2（-1）/_ =2（-1）,所 以%-3 =1,2 2 且N CN*,所以“是以1 为公差的等差数列.（2）方法一:二次函数的性质由（1）可得4=4+3,%=q+6,旬=%+8,又4,%,%成等比数列，所以2=，%,即(+6)2 =(4+3 +8),解得 =T 2所以4=13,S.所以=-1 2 +n11 2所以，当”=1 2 或=1 3时，（S ）m m=-7 8.方法二:【最优解】邻项变号法由（1）可得知=4+3,。7=6+6,“9=6+8,又知,%,的成等比数列，所以即（4+6）=（+3 3+8）,解得q=-1 2,所以%=T3,即有42。，3=0,则当”=1 2 或=1 3 时，（S ）m h）=-7 8.【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出S”的最小值，适用于可以求出S”的表达式;法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解.1 9.已知*是数列 的前项和，已知=1 目 5 川=（+2 应，eN*(1)求 数 列 的 通 项 公 式；(2)设“S)42，(eN),求数列 的前项和7”.【答案】=，eN*.1 -1 4-,n-2kTT-=2 1+1 1-9 n=2k 2-1 ,其中 eN*.I S p n 1【分析】对 于（1）.先由 S i=（+2）S“可得S”表达式，再 由 2 2,其中“eN.可 得 应 的通项公式；对 于（2）,由 可 得 ，=，“=（_ 1），=（_i yT-=（W+一 n 1则 4-1 4-1 U n-l 2 +1 人据此可得数列也 的前项和7；【详解】由 题 5=4=1,又由油田=（+2）S“，eN*.S“+i +2可得 S n（eN XH7W+2+-/7X2一XX4-X23-H=Xs-Ie一-2s1r2与邑一d=s故7+22s时e*=时=又(2)由 可 知 凡=，,11贝 尸(R&=s含=(T-1-2n-2 +1则当为偶数时，1=4+“2 +4+4-2+如+bn 11111-1+-+-+3 3 5 5 72+1-+.-+2n-5 2 -3 2/7-3 In-11In-11+-2n+111T T h=_14_=1当 为奇数时，2+3 2/7+1 2/7+3 2n+1-1H-，n 2k7 2 +1=1-1-,n=2k-综上：2/7-1,其中 N*.2 0.如图，四棱锥S-/8C。中，8 S是正三角形，四边形/8CO是菱形，点E是8 s的中点.(I)求证：S D/平面4CE；(H)若平面力8 s l平面48cO,/8 C =120。，求直线/C与平面/O S所成角的正弦值.【答案】(I)证明见解析；(II)行.【分析】(I)连接BD交AC于点F,再连接E F,利用EF是三角形DBS的中位线，判断出DS平行E F,再利用线面平行的判定得证；(II)取AB的中点为O,利用已知条件证明DO、SO、BO两两垂直，然后建立空间直角坐标系,求出平面ADC的法向量，再利用线面角的公式求出直线ZC与平面/D S所成角的正弦值.【详解】(I)证明：连接BD角AC于点F,再连接EF.因为四边形/8 8 是菱形，所以点F 是 B D 的中点，又因为点是 8 s 的中点，所以EF是三角形DBS的中位线，所以D S平行EF,又因为EFU平面ACE,SD/3z=0则 3 s,=()VIr+y=O取 x=i,则)=-白，z=i所以万=(i,-G,i)设直线A C与平面ADS所成角为sinM=|cos(NC,万)|=万 =-同 陷 同5【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理以及运用空间向量去解决立体几何的问题，如何建系和求法向量是解题的关键，属于中档题.2 1.已知（一 2,0）,N（-1,0）,动点。满足|例 ,动点。的轨迹为曲线C.（1）求曲线C 的方程；=（2）若点 lx_2P是直线一5 一 上的动点，过点尸作曲线C 的两条切线PC,尸。，切点为c,r ,则直线8 是否过定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.【答案】/+V=2过定点，定点12）【分析】（1）点点距离，列等量，化简即可求解轨迹方程，（2）根据四点共圆得方程，进而根据两圆方程得相交弦方程，进而可求定点.【详解】（1）设点Q（X J），依题意知方 程 为 厂+广=2（2）设为坐标原点，由题意可知：边形的四顶点共圆），设该圆为圆A,设I 2九 则 圆 心 2 4）,3 一品,-河、H T广 Zx+y2|_ 2 I y=0即 12尸，又 C，。在圆。十+/=2上，（直线c o 是两圆的公共弦所在直线，|gM|_ 7（x+2）W _|。叫J a+lf+V ,整理得/+/=2,.曲线C 的O,P,C,O四点共圆且在以。尸为直径的圆上（对角互补的四半径丫4 14）,于是圆A 的方程为：:+（1-2）y-2 =0（x+5）-2 y-2 =0故两圆方程相减便得其方程）.x+y=0A x=1 z、-2 2 仕由卜2y-2 =0 得 y=-l,所以直线C D过定点(2，JE：x2-r=(b0)r-2 2.已知双曲线 b-,其虚轴长为J2,两点4 2直线y=H+l 与曲线E 的左支相交于相异（1）求的取值范围;（2）。为坐标原点，若双曲线上存在点P,使=+（其中V3）,求“8 P的面积的取值范围.LM瓜【答案】【分析】（1）根据己知可得双曲线方程为X2-2/=1.联立直线与双曲线的方程可得（1-2-2 _4_3=0,根据题意可判断方程有两个不相等的负数根，由韦达定理以及两根的符号,即可求出”的取值范围：一 （、/4/U 2 2 （2）由。尸=+8）可 得 至|11-2公 1一2 6人代入双曲线即可得到人 的关系,然后表示出弦长以及P到直线力5的距离,可 表 示 出 尸 的 面 积令t=-2 S 初产也身为+4）f （）=Jt3（t+44换元可得 8 I ,对“8 7 I 求导即可得到/（/）=-Jr3（/+4）1,18、在2 2 上单调递增，即可求出最值.X2-4 =1 r b 2=-【详解】（1）因为双曲线 b-的虚轴长为J 2,所以 2 ,故双曲线方程为x、2/=1x2-2y2=1联立 y=H +l消去y整理得3=0,因为直线夕=米+1与曲线E的左支相交于相异两点4 8,所以该方程有两个不相等的负数根，设/（占，%），8&,%）1-2人0A =(-4 A)2-4 x(l-2 2)x(-3)04 k 八X.1+x7=-7 0 -2 k2旦k 国，解 得2 2 实数上的取值范围是(2)设尸G o/。),由 尸=/得：(%,凹)+M2)=GO，K)所以x。=2(X|+x?),”=/!(”+%)=彳(玉+X2)+2A,4 2 k _ 2/pf 4-2 2 故/=口,1 1一27二一2口,1 6 8 ,点尸在双曲线E上，(J 2的(1-2公)，整理得 侬j)=(2/7)；因为，2产-1 x 0,所以8储=2 -1,即2公=8万+1.一 V 二际1(3-4 X 三二 2 咨AB =y j+k2yj(xt+x2)-4 xtx2-2 k2)I-2 1c-2 k2又点P到直线-.y=kx+的距离为4就 之 2/1 ,1Z2F_IT2F+4加-2/1 +1-2灯卜2 H.卜2/|卜 2 Hd=7 7?J 1+n l-2 J 1+灯 1-2 扇 g k2.g “L2GM.钟 可|亨S,P=5,闷,=2|1-2A:2|y l +k2|1-2用由于 2=8万+1,_ k l-2Z)2.(2-822)_ V 2/(l-2/l)2.(l-4 Z2)_ V 2)(l-22)3-(1+2Z)/=y 行=T V I5=T V 1F-.134 4 4 t =-2 5,o n =-l t (t+4)4 3,2,令 2,则让口,2，“BP 8，).令 N)岑一(t+4),1,2且 设 2,则/1 )-巧.6+4)-氏&+4)_ 昱 心+今 一 色+4)=皂&-2)&：，2)(寸，2。)+4/玄 +的)8%+4)+际6+4)8 册&+4)+收&+4)因 为 砧w l,2,4气,所 以4T2 0,所以有/O/(2),&_ _ _ _ _ _ _所以/)/&),所以，)一1,在口，2上单调递增，f(t f(1)=J l3 x(l +4)=所以，当 1时，有最小值8 ，8；当 2时，小)有 最 大 值 A备 艰X2 +4)邛Vio V6S/BP 故B0