初中数学圆形训练50题-含参考答案.pdf

初中数学圆形专题训练50题含参考答案一、单选题1.如图，四边形ABC。内接于:。，若 N A:N C=5:7,则N C=()A.210 B.150 C.105 D.75【答案】C7【分析】根据圆内接四边形对角互补可得/C=1 8(T x A =105。.5+7【详解】V Z A+Z C=180,ZA：Z C=5：7,7Z C=180 x=105.5+7故选：C.【点睛】此题主要考查了圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形对角互补.2.如图，P 是。外一点，外 是。O 的切线，A 为切点，尸。与。相交于8 点，已知/BCA=34。，C 为。上一点，连接。，C B,则/P 的度数为()【分析】根据切线的性质可得：/。4尸=90。，利用圆周角定理可得：Z O =2Z ACB,从而可求出结果.【详解】解：以 是。的切线，A 为切点，:.NO4P=90。，又,.NBCA=34,ZO=2ZACB=68,:.ZP=90-ZAOB=90-68=22.故选：c.【点睛】本题考查的是切线的性质定理，圆周角定理，掌握利用圆周角定理与切线的性质定理求解角的大小是解题的关键.3.如图，AB 为。0 直径，CD 为弦，AB_LCD 于 E,连接 CO,AD,ZBAD=25,下列结论中正确的有（）CE=OE；NC=40；A S =ADC；AD=2OEA.B.C.D.【答案】B【分析】根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及直角三角形边的关系进行判断即可.【详解】解：A B为O O 直径，CD 为弦，ABLCD于 E,CE=DE,BC=BD，ACB=ADB,./BOC=2/A=40,ACB+BC=ADB+B C，即AOC=ADC，故正确;V ZOEC=90,ZBOC=40,A Z C=50,故正确；ZCZBOC,.CEK)E,故错误；作 OPC D,交 AD 于 P,V A B I CD,.,.AEAD,ZAOP=90,.OAPA,OEOA+OEVOE 2O E,故错误；故选：B.【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握性质定理是解题的关键.4.下列命题正确的是（）A.相等的圆心角所对的弧是等弧 B.等圆周角对等弧C.任何一个三角形只有一个外接圆 D.过任意三点可以确定一个圆【答案】C【分析】根据圆周角与弧的关系可判断出各选项，注意在等圆中这个条件.【详解】A、缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等；故本选项错误；B、缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等；故本选项错误；C、任何一个三角形只有一个外接圆，故本选项正确；D、缺少条件，过任意不共线的三点才可以确定一个圆，故本选项错误.故选：C.【点睛】本题考查命题与定理的知识，属于基础题，掌握相关的性质定理是解题的关键.5.如图，四边形ABCD为。0 的内接四边形，己知/B O D=110。，则NBCD的度数为（）A.55 B.70 C.110 D.125【答案】D【分析】根据圆周角定理求出N A,根据圆内接四边形的性质计算即可.【详解】由圆周角定理得,N A=5/BOD=55。，；四边形ABCD为。0 的内接四边形，.,.ZBCD=1800-ZA=125,故选D【点睛】此题考查圆周角定理及其推论，解题关键在于掌握圆内接四边形的性质.6.如图，点 A,B,C 均在圆O 上，当NBOC=120。时，NBAC的度数是（）&CA.65 B.60 C.55 D.50【答案】B【分析】直接利用圆周角定理求解.（详解】：ZBAC和/B O C 都对弧BC,：.ZB A C=|ZBOC=1xl20=60.故选：B.【点睛】此题主要考查圆周角定理的运用，熟练掌握，即可解题.7.如图，在：。中，AB所对的圆周角N4C8=50。，D 为 AB上的点.若35。，则的大小为（）【答案】D【分析】在同圆中，由同弧所对的圆周角等于其圆心角的一半解答.【详解】解：NACB=50。，ZAOB=2x50=100ZBOD=ZAOB-ZAOD=100-35=65故选：D.【点睛】本题考查圆周角与圆心角的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.8.如图，四边形ABCO内接于。，ND48=140。，连接。C,点 P 是半径0 C 上一A.40 B.60 C.80 D.90【答案】D【分析】连接OD、O B,根据圆内接四边形的性质求出N D C B,根据圆周角定理求出Z B O D,求出NBPD的范围，即可解答.【详解】连接OD、OB,；四边形ABCD内接于。O,./DCB=180。-/D A B=40。，由圆周角定理得，ZBOD=2ZDCB=80,/.40oZBPD80,./B P D 不可能为90。，故选D.【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.9.如图，已知四边形A B C D内接于。，A B是。O 的直径，E C与。相切于点C,ZECB=35,则 的 度 数 是（）A.145B.125C.90D.80【答案】B【详解】解：连接0C:EC 与。相切,NECB=35,ZOCB=55,OB=OC,;.NOBC=NOCB=55,ZD=180-NOBC=180-55=125.故选：B.1 0.如图，AC是汽车挡风玻璃前的刮雨刷.如果AO=65cm,CO=l5 a n,当刮雨刷AC绕点。旋转9 0 时，则刮雨刷4 c 扫过的面积为()A.257rc/n2B.1000C/M2C.25cm2D.1(X)()CTC2【答案】B【分析】易证三角形AOC与三角形A，OC全等，故刮雨刷AC扫过的面积等于扇形AOA，的面积-扇形COC的面积.【详解】解：VOA=OA,OC=OC AC=AC.*.A A O C A A,OC,故刮雨刷AC扫过的面积=扇形AOA，的面积-扇形COC的面积=兀=41000兀 cm2,故选B.【点睛】考查根据扇形面积公式计算扇形面积的能力.同是应注意利用面积相等将图形转化为熟悉的面积计算.11.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米,最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）【答案】BB.1C.2D.4【详解】解：设半径为r,过 O 作 OE_LAB交 A B于点D,连接OA、OB,则 AD=|AB=1x0.8=0.4 米，设 O A=r,则 OD=r-DE=i-0.2,在 RtA OAD 中，OA2=AD2+OD2,即 r=0.42+(r-0.2)2,解得r=0.5米，故此输水管道的直径=2r=2xO.5=l米.故选B.1 2.如图，圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为90。的扇形，则该圆锥的底面周长为（）D.C-432【答案】B【详解】试题分析：根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，可以求出底面圆的半径，从而求得圆锥的底面周长.解：设底面圆的半径为r,则:2nr=9071X3 3-=7 t180 2圆锥的底面周长为微兀,故选B.考点：圆锥的计算.13.如图，AB为半圆。的直径，C 为半圆上一点，且弧AC为半圆的弓，设扇形AOC,A C O B,弓形BmC的面积分别为Si,S2,S 3,则下列结论正确的是（）A.SiV S2V s3 B.S2V siV S3 C.S2V s3V si D.SiV S2V s3【答案】B【详解】试题分析：首先根据 AOC的面积=BOC的面积，得 S 2 S i.再根据题意，知$占 半 圆 面 积 的 所 以 S3大于半圆面积的=解：根据 AOC的面积=BOC的面积，得 S2Si,再根据题意，知 S,占半圆面积的当所以S3大于半圆面积的2因此 S S|6,:./E B C+/E C B=(180-66)+2=57,.,.ZBEC=180-57=123.故选C.【点睛】考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得至 IJNEBC+NECB的度数.19.如图，四边形A8C 为正方形，。为 AC、8。的交点，4D C E为Rt4,【答案】BD.8)【分析】过点O 作 OM LCE于 M,作 ONLDE交 ED 的延长线于N,因为ZCOD=ZCED=90,可得出 0、C、E、D 四点共圆，所以NCEO=NCDO=45。，已知OE=2收，可求出 ON=NE=2,可得四边形OMEN是正方形，ZM ON=90,再求出NCOM=NDON,根据正方形的性质可得OOOD：然后利用AAS证明ZkCOM和aDON全等，从而得到CM二 D N,所以 DE+CE=NE-ND+ME+CM=NE+ME=4,设 DE=a,C E=b,得出 a+b=4,已知 ab=5,可求得CO。进而求得正方形ABCD的面积.【详解】如图，过点O 作 OM LCE于 M,作 ONJ_DE交 ED 的延长线NZCOD=ZCED=90 0、C、E、D 四点共圆，ZCEO=ZCDO=45,.ZDEO=45VOE=2V2:.2NE2=OE2=(20)2=8AON=NE=2 四边形OMEN是正方形，ZMON=90ZCOM+ZDOM=ZDON+ZDOM,ZCOM=ZDON 四边形ABCD是正方形，AOC=ODVIACOM IADON 中/COM=NOONF=NAE；由垂径定理证得OG=CG；Z E=Z A D G,在放AAOG 中，tanZADG；先 S A D F,由 A Af 3 s 4。后,求得 SADE-,详解：是0 0 的直径，弦 C C 4 8,.G=CG,.弧 AZ)=M AC,ZADF=ZAED,：ZFAD=ZDAE,：.AOFs/AED；CF 1:=,C F=2,:FD=6,FD 3：.CD=DF+CF=Sf:CG=DG=4,：.FG=C G-C F=2；放AR7中，A尸=3,F G=2,由勾股定理得A G=J,Rt4 ADG 中,ta n Z A D G=-=-DG4,:N E=N A D G,所以4用AAOG中，A G=亚,O G=4,由勾股定理得A）=0 T，SAADF=；DF AG=y x6x 非=3下.：ZADF=ZE,ZDAF=ZEAD,：./AFD/ADE,:薨=（凝即 芸=岛），则s皿=76SADEF=SAADES*FD,：.SADEF=7后-3下=4后,所以正确的结论是.故选C.点睛：当不能直接求一个三角形的面积时，可求另一个与它相似的三角形的面积，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解.二、填空题2 1.如图，有4 个圆IA,B,C,D,且圆A 与圆B的半径之和等于圆C 的半径，圆8 与圆C 的半径之和等于圆。的半径，现将圆A,B,C摆放如图甲，圆8,C,D摆放如图乙.若图甲和图乙的阴影部分面积分别为4T和12乃.则圆D 面积为.【答案】28万【分析】根据题意得到圆A 的半径为2,设圆B 的半径为b,则圆C 的半径为b+2,故圆D 的半径为2b+2,根据乙图得到方程求出b 的关系，再根据圆D 的面积与b 的关系即可求解.【详解】：图甲阴影部分面积分别为4乃，即圆A 的面积为4万，.圆A 的半径为2,设圆B 的半径为b,则圆C 的半径为b+2,故圆D 的半径为2b+2,根据乙图可得开（2%+2尸=12 +左从+万（6+2）。化 简 得+2i=6 二圆D 的面积为（20+2）2 =4乃（6+%）+4乃=28%，故填：28万.【点睛】此题主要考查圆的面积求解，解题的关键是根据图形找到等量关系进行列方程求解.2 2.圆的有关概念：（1）圆两种定义方式：）在一个平面内线段0 4 绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点。叫做_ 线段。4 叫做（b）圆是所有点到定点。的距离一定长r 的点的集合.（2）弦：连接圆上任意两点的一叫做弦.（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）；（3）弧：圆上任意两点间的部分叫_（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）（4）等弧：在同圆与等圆中，能够的弧叫等弧.（5）等圆：能够_的两个圆叫等圆，半径一的两个圆也叫等圆.【答案】圆 心 半 径 等 于 线 段 弧 完 全 重 合 完 全 重 合 相 等【分析】根据圆、弦、弧、等弧、等圆的定义即可作答.【详解】（1）圆两种定义方式：（）在一个平面内线段O A 绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点。叫做圆心.线段O A 叫做半径.）圆是所有点到定点。的距离等于定长厂的点的集合.（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）；（3）弧：圆上任意两点间的部分叫弧（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）（4）等弧：在同圆与等圆中，能够完全重合的弧叫等弧.（5）等圆：能够完全重合的两个圆叫等圆，半径相等的两个圆也叫等圆.故答案为：圆心，半径；等于；线段；弧；完全重合；完全重合；相等.【点睛】本题主要考查了圆、弦、弧的定义，牢记相关定义是解答本题的关键.2 3.如图，在矩形43C。中，A8=8,AD=6,以顶点。为圆心作半径为广的圆，若要求另外三个顶点A、B、C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点不在圆内，则，【分析】先根据矩形性质和勾股定理求出B。，再根据点与圆的位置关系结合图形即可得出结论.*CD=AB=8,NA=9 0，在 Rf 4?。中，AD=6,由勾股定理得：BD=IALP+AB2=/62+82=10.点A、B、C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点不在圆内，且AD CD BD,/.6 r 10,故答案为：6 r r时，点在圆外.224.如图.A3C内接于（。，半径为6,sinZA=-,则BC的长为【答案】8【分析】通过作辅助线构成直角三角形，再利用三角函数知识进行求解.【详解】解：作。的直径8,连接8 0,则C=2x6=12./.BC=CD sinD=CD siM=12x-=8,3故答案为：8.【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，作出直径构建直角三角形是解本题的关键.25.如图，PA、PB分别切O O于A、B,并与。O的另一条切线分别相交于D、C两点，己知P A=6,则 PCD的周长=.【答案】12【详解】试题分析：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角.设 D C与。的切点为EPA、PB分别是。的切线，且切点为A、B，PA=PB=6同理可得DE=DA,CE=CB则 PCD 的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=12.考点：切线长定理26.如图，若 BC是 的 弦，ODLBC于 D,且/BOD=50。，点 A 在。O 上（不与B、C 重合），贝 l NBAC=.【答案】50。或 130.【详解】试题解析：连接O C,则NBOC=2NBOD=100。,当 ABC是锐角三角形时，ZA=y ZBOC=50；当 ABC是钝角三角形时，ZA=180o-50=130.因此/B A C 的度数为50。或 130.考点：1.圆周角定理；2.垂径定理.27.若圆锥的底面积为16兀c n?,母线长为“c m,则它的侧面展开图的圆心角为【答案】120【分析】根据圆锥的母线长等于展开图扇形的半径，求出圆锥底面圆的周长，也即是展开图扇形的弧长，然后根据弧长公式可求出圆心角的度数.【详解】由题意得，圆锥的底面积为1671cm2,故可得圆锥的底面圆半径为：J?=4,底面圆周长为2兀 x4=8兀,设侧面展开图的圆心角是n。,根据题意得：粤=8万,1 o()解得:n=120.故答案为120.【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.2 8.如图，在等腰直角三角形ABC中，A8=BC=4,点 是 A 8的中点，将绕点M 旋 转 至 A8C的位置，使A 3,A C,其中点C 的运动路径为弧CC,连接C M,则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为.【答案】于+3.【分析】连接M C,由可证得A A，M H为等腰直角三角形，进而可求得A,H,CH,M H的长，再利用旋转角相等求得NCMC的度数，最后利用扇形的面积公式计算即可.【详解】解：如图，连接MC,;在等腰直角三角形A 6 c中，AB=3C=4,点M 是A 8的中点,ZA=45,AM=BM=2,AC=4近，;旋转,：.ZA=ZA=45,AC=AC=4&,AM=AM=2,又:ABA.A!C,.,.AMH为等腰直角三角形，AH=M H=*AM=及，ZAMH=45,.CH=AC-AH=4-7 2=3 7 2.SAMHC=x 叵 x 32=32在 RtA MHC中，MC=yjMH2+HC,2=互+（3五）2=2逐，又；ZCMC=ZAMH=45O,.0 45犷（2府 5 、扇 彩CMC=-7T,360 2,阴影部分面积为54MHe+S国/CMCU3+K .【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及判定，勾股定理以及扇形的面积公式,连接MC是解决本题的关键.29.如图，ABC内接于 O,若/O A B =30,贝 l J/C=.【答案】60【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出Z A O B,根据圆周角定理解答.【详解】OA=OB,ZOBA=ZOAB=30,ZAOB=180-30-30=120,由圆周角定理得，NC=；NAO8=60,故答案为60.【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键.30.如图，BC为。的直径，弦8 c 于点E,直线/切。于点C,延长0。交/于点F,若 AE=2,/4BC=22.5。，则 C F的长度为【答案】2 0【分析】根据垂径定理求得AC=C。，A E=DE=2,即可得到NCOO=2NABC=45。，则。即 是等腰直角三角形，得出。=存0=2 及，根据切线的性质得到BCLCF,得到AOCF是等腰直角三角形，进而即可求得CF=OC=OD=2y 2.【详解】解：:B C 为。0 的直径，弦 AQ_L8 c 于点E,*AC=CD，AE=DE=2,/N 48G 22.5。，Z COD=2Z ABC=45 f .4 O E D是等腰直角三角形，：.OE=ED=2,:,00=庐3=2丘，.直线/切。于点C,：.BCLCF,二OCF是等腰直角三角形，A CF=OC,：OC=OD=2 a，:.C F=2 6 ,故答案为：272.【点睛】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得b=OC=O是解题的关键.3 1.用一张圆形的纸剪一个边长为4 cm 的正六边形，则这个圆形纸片的半径最小应为_cm.【答案】4【分析】要剪一张圆形纸片完全盖住这个正六边形，这个圆形纸片的边缘即为其外接圆，根据正六边形的边长与外接圆半径的关系即可求出.【详解】正六边形的边长是4cm,.正六边形的半径是4cm,.这个圆形纸片的最小半径是4 c m,故答案为4cm.【点睛】此题主要考查了正多边形与圆的知识，注意正六边形的外接圆半径与边长相等，这是一个需要谨记的内容.32.如图，A 8与。相切于点A,8。与。相交于点C,点。是。上一点，NB=38。.则/。的度数是_ _ _ _ _.B”-【答案】26。【分析】根据圆周角定理求出N C O A,根据切线性质求出/O A 8=90。，所以由“直角三角形的两个锐角互余”的性质可以求得N4OB=52。；然后利用圆周角定理来求的度数.【详解】解：与O O 相切于点A,：.O A A B,即 NO48=90.又；NB=38,NAOB=90-38=52,：.Z D=ZAOB=26.故答案是：26.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理等知识点，关键是求出/A O B 的度数.33.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CQ-1 2 c m,则球的半径为 cm.AD【答案】7.5【分析】首先找到E F的中点M,作 M NLAD于点M,取 M N上的球心0,连接0 F,设 O F=x,则 0 M 是(12-x)cm,M F=6 cm,然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得O F的长即可.【详解】解：EF的中点M,作 MNJ_AD于点M,取 MN上的球心0,连接OF,ADI;/I Q /B V C.四边形ABCD是矩形，.,.Z C=Z D=90,四边形CDMN是矩形，；.M N=CD=12cm设 O F=x c m,则 ON=OF,/.0M =MN-ON=(12-x)cm,MF=6 cm,在直角三角形OMF中，ON+MPMOF2,即：(12-x)2+62=x2,解得：x=7.5,故答案为：7.5.【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形.3 4.已知 Rt ABC 中，Z A C B =90,AC=6cm,BC=8 c m,以 C 为圆心，4.8cm 长度为半径画圆，则直线AB与：O 的位置关系是.【答案】相切【分析】过 点 C 作 CDL4B于 ,在 R 3A B C 中，根据勾股定理A8=VA C2+B C1=io c m,利用面积得出 CZMB=ACBC,BP 10CZ)=6X8,求出CD=4.8cm,根据C)=L 4.8cm,得出直线AB与。的位置关系是相切.【详解】解：过点C 作 COJ_A8于，在 RtA48C中，根据勾股定理A B=ylA C2+B C2=历*=10皿，A SABC=C D AB=A C B C,即 10CD=6x8,解得 CD=4.8cm,C7)=尸=4.8cm,直线A 3与。的位置关系是相切.故答案为：相切.【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形面积，圆的切判定，掌握勾股定理，直角三角形面积，圆的切判定是解题关键.3 5.如图，一次函数y=-G x+道的图像与x轴、y轴交于A、B 两点,P为一次函数y=x的图像上一点，以尸为圆心能够画出圆与直线AB和y轴同时相切，则ZBPO=【答案】30。或120【分析】分两种情况，分成点尸在A B的左侧和右侧两种情况进行讨论，利用切线的判定和性质，角平分线的性质及三角形的内角和定理即可求解【详解】分两种情况:（1）当N A 8 0的平分线与y=x相交时，点p即为圆心.如图,令产0,贝令 x=0,则B P AO=f BO=6.加。=型3 0 G 3 ZABO=30 3尸为4 48。的平分线：.ZOBP=15又 NBOP=45，NBPO=180-45-15=l 20（2）当NA8O的外角平分线与y=x 相交时，点 尸即为圆心.如图，同理可求 NOBP=30+75=105ZBPO=180-45-105=30故答案为:30。或 120。【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，角平分线的性质及三角形的内角和的应用，正确的对点P 的位置进行分类是解题的关键.3 6.如图，四边形ABCD内接于。0,点 E 在 A B的延长线上，BFAC,AB=BC,ZADC=130,则/FBE=,【答案】65【详解】连接B D,如图所示:ZADB和/A C B 是弧AB所对的圆周角，ZBDC和ZBAC是弧BC所对的圆周角，；.N A D B=/A C B,ZBDC=ZBAC,又；NBDC+NADB=NADC,ZADC=I3O,A ZBAC+ZACB=130,又：AB=BC,；.NBAC=NACB=65,又；BFAC,.,.ZFBE=ZBAC=65；故答案是：65.3 7.如图，点4 在数轴上对应的数为2 6,以原点。为圆心，为半径作优弧4使点B在。右下方，且 tanZA08=.在优弧AB上任取一点尸，且能过P 作直线/0 3 交数轴于点Q,设。在数轴上对应的数为x,连接。P.(1)若优弧AB上一段AP的长为137，则NAOP的度数为，x 的值为(2)x 的最小值为,此时直线/与弧AB所在圆的位置关系为【答案】90。#90度 y -y 相切【分析】(1)由=万，解得”=90。，即ZPOQ=90。，在RtZPOQ中，根据1 804 OPtan ZPQO=tan QOB=-=,即可得出 x 的值；(2)当直线/与弧AB所在圆相切时，x 的值最小，根据/0 3,可得乙OQP=4AOB、在 R taO PQ 中，根据锐角三角函数，即可求解.【详解】解：(1)如 图 1,图1由x26180=13万，解 得：7 2 =90,ZPOQ=90,:PQ/O B,.NPQO=/BO Q,4 OP.tan ZPQO=tan ZQOB=-=,Bn 4 26即 旷 后39OQ=-.39 x=;2故答案为：90;y(2)如图，当直线/与弧AB所在圆相切时，x 的值最小,：1/O B,：.NOPQ=NPOB=90,：.ZOQP=ZAOB,在 RtOPQ 中，OP 4tan/-OQP=tan ZAOB=,PQ 3设 OP=4a,PQ=3a,：.OQ=5af4J sinZOQP=-f65T即X的最小值为-号.故答案为：-5，相切【点睛】本题考查弧长计算，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握弧长公式，锐角三角函数.3 8.如图，在RtAABC中，ZC=90,AC=3cm,BC=4 c m,以BC边所在的直线为轴，将二A5C旋转一周得到的圆锥侧面积是_；此圆锥展开的侧面扇形的圆心角为【答案】15万cm?216【分析】先利用勾股定理求出AB的长，然后根据圆锥侧面积公式和弧长公式求解即可.【详解】解：，在 RtAABC 中，ZC=90,4 c =3cm,3 c =4cm,*-AB=AC2+BC2=5cm，边所在的直线为轴，将.ABC旋转一周得到的圆锥侧面积是万x3x5=15万cn?,；此圆锥展开的侧面扇形的扇形弧长是底面圆周长，2万-3=216。二此 圆 锥 展 开 的 侧 面 扇 形 的 圆 心 角 度 数 为 一 ，180故答案为：15cm216o.【点睛】本题考查了勾股定理，圆锥的计算：得到几何体的组成是解决本题的突破点；圆锥的侧面积=木底面半径X母线长.3 9.如图，在平面直角坐标系宜制中，一次函数y=-乎*+4的图象与x轴、y轴交于A、8点，点C在线段0 A上，点。在直线A 8上，且C=2,AOEC是直角三角形（/M C=9 0。），D E=D C,连接A E,则4 E的最大值为.【答案】2夕+2【分析】以 CD为边作等边三角形。C G,以 G 点为圆心，OG为半径作。G,利用圆周角定理说明点A 在O G 上，W A G=D G=D C=2,再在AE/ZG中，求 E G,当A、G、E三点共线时，AE最大，即可求解.【详解】解：如图，以 C 为边作等边三角形。C G,以 G 点为圆心，OG为半径作OG,在直线=x+4 中，当工=0 时，y=4,3当 y=0 时，x=4 3,A点坐标为（4 6，0）,8 点坐标为（0,4）,在 RAAOB 中，OA=4V3,OB=4,77.ta nZ DAC=3AZDAC=30,点A 在O G 上，:A G=D G=D C=2,DEC是直角三角形（NEQC=90。），D E=D C,：.ZD E C =30,D E=2+,在/?/D G H 中，Z H D H=30 f:D E=+，GH=1,在 R tx E H G 中，E G=yjEH2+G H2=J（2 6 +厨=2 币,当A、G、E 三点共线时，AE最大，最大值为2近+2.【点睛】本题考查了定边对定角模型的建立，圆周角定理，勾股定理，一次函数图象上点的特征，解题关键是线段最值问题时看三角形，己知两边，第三边的最大值就是三点共线时.4 0.在边长为1的正十二边形中放置了四个正方形（如图所示），则图中N l+N2=度，阴 影 四 边 形 的 面 积 为.【答案】1050#105 度 A/3-1#-1+/3【分析】作出如图的辅助线，证明4 8印 是 等边三角形，8 4是等腰直角三角形，可求得Nl+N2=105。；求得48=应，继而求得A C u 3。，BC=DE=-,利用分割法，分别求得矩形8GE7的面积和其空白部分的面积，即可求解.【详解】解：过点A、。作直线8 G的垂线，垂足分别为C、E,连接尸G、B I,正十二边形每个内角为=180。*（12-2）+12=150。，Z2=150o-9 0o=60,是等边三角形，A ZBM=150-60=90,B1=IA,5 4/是等腰直角三角形，二 Z l=45,Z l+Z2=45o+60=105；?ABD 90?,AB=BD,ZABC+ABAC=90=ZABC+NDBE,：.ZBAC=ZDBE,：.Afi4CA B（A A S）,/.AC=BE,BC=DE,：臣 是等腰直角三角形，A B=4+2=夜,N/BK=30,BK=2 IK,由勾股定理得/K=,AK=1-且，3 3同理AC=匚，则 8E=正二i,2 2由勾股定理得BC=E=恒，2由图形的对称性质知FG=1 +2AC=1 +K-1 =G，；矩形B G F J的面积为F G x B G =g ,点D到直线B J的距离就是BE的长，即在 口，2点。到直线的距离就是FG-E=AC的长，即且二1,2矩形8G E/中 的 空 白 部 分 的 面 积 为 与l +；x lx()x 2 =1,.阴影四边形的面积为6-1.故答案为：105。；V3-1.【点睛】本题考查了正多边形和圆的性质，含 30度角的直角三角形的性质，勾股定理，利用图形的对称性质，以及把图形分割成可计算面积的四个三角形是解题的关键.三、解答题41.如图，在。0 中，直径A 3与弦8 相交于点E,连接A C、BD.B（1）求证：/A E C D E B；（2）连接A。，若A Q =3,N C =3 0。，求。的半径.【答案】（1）证明见解析（2）。的半径为3【分析】（1）利用A =A Z），同弧所对的圆周角相等，得到N C =N8,再结合对顶角相等，即可证明；利 用 N C =/B,得至U N B =3 0,根据直径所对的圆周角是直角得到Z A D B =90,再利用直角三角形中3 0。角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得。的半径.【详解】（1）证明：在。中，A D =A D 二 N C =N B,又：Z A E C =Z DEB,：.A E C D E B.（2）解：V ZC=3 0 ,由（1）可知，Z B =ZC=3 0 ,直径A B,：.Z ADB=90,:.在 R f A D B 中，A D =3,Z B =30,二 A B 2 A D =6,：.OA=-A B =3,2即。的半径为3.【点睛】本题考查圆的基本知识，相似三角形的判定，以及含3 0。角的直角三角形.主要涉及的知识点有同弧所对的圆周角相等；两个角对应相等的两个三角形相似；直径所对的圆周角是直角；直角三角形中3 0。角所对的直角边等于斜边的一半.4 2.如图，在O中，A B 为直径，A C 为 弦.过 BC延长线上一点G,作G D _ L A O 于点D,交A C于点E,交。于点F,M 是GE的中点，连接C F,C M.（1）判断CM与（O的位置关系，并说明理由；（2）若 N E C F =2/A,CM=6,C F =4,求 MF的长.【答案】（D CM与（1 0相切；理由见解析；（2）y;【分析】（1）连接0 C,如图，利用圆周角定理得到N4CB=90。，再根据斜边上的中线性质得MC=VG=ME,所以N G=/1,接着证明/1+/2=9 0。，从而得到NOC M=90。，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为。0的切线；（2）先证明/G=/A,再证明N E M C=/4,则可判定 E F Cs/sE CM,利用相似比先计算出C E,再计算出E F,然后计算例E-E尸即可.【详解】解：（1）CM与。0相切.理由如下：连接 0 C,如图，；G _LA O 于点 ,：.ZG+ZGBD=90.：A B 为直径，/.ZA C B=90.；例点为 GE 的中点，：.MC=MG=ME,.,.Z G=Z 1.：OB=OC,.ZB=Z2,.,.Zl+Z2=90,A ZOCM=90,：.OCVCM,:.CM 为。O的切线；（2）VZ1+Z3+Z4=9O,Z5+Z3+Z4=90,/.Z 1=Z 5,而N l=/G,Z5=ZA,.NG=NA.V Z4=2ZA,A Z 4=2 Z G,而NEMC=/G+N 1=2/G,A Z E M C=Z 4,而4FECM CEM,.E F C s M C M,：.嘉蕊=需,即:咛4Q Q I Q：.CE=4,E F=,:MF=ME-EF=6-=3 3 3【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设。的半径为广，圆心。到直线/的距离为d：直线/和（DO相交o d r,也考查了圆周角定理.4 3.已知：如图，线段BC与经过点C的直线/.求作：在直线/上求作点。，使 Na）8 =15 0。.作法：分别以点8,C为圆心，B C 长为半径画弧，两弧交于B C 上方的点A,连接A 3,A C；以点A为圆心，以4 B 长为半径画圆交直线/于点。（不同于点C）,连接BD.则点。即为所求.（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明.证明：分别以点2,C 为圆心，8 c 长为半烧画弧，两弧交于8 c 上方的点4.:.AB =B C =CA二 4 3 c 为等边三角形.Zfl4C=60.在:，A 中，在优弧8 c 上任取点E,连接B E,CE.二N CEB=3 0.（）（填推理依据）.点 B,D,C,E 在.A 上.二 N C D B +N C E B=1 80.（）（填推理依据）即 N C 8=1 50。.【答案】（1）见解析（2）圆周角定理；圆内接四边形对角互补【分析】（1）根据题意作出图形即可求解；（2）根据圆周角定理，以及圆内接四边形对角互补，即可求解.【详解】（1）解；如图所示，/.AB=BC=CA，.4 3 C 为等边三角形.N 84 G 6 0?.在C A 中，在优弧8 C 上任取点E,连接B E,CE.,:点、B,D,C,E 在：A 上.二ZCDB+NCEB=180。.（圆内接四边形对角互补）即 N C Q 3 =1 50.故答案为：圆周角定理；圆内接四边形对角互补.【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键.4 4.某市政府计划修建一处公共服务设施，使它到三所公寓A、8、C 的距离相等.（1）若三所公寓A、B、C 的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点 P表示）的 位 置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若N 8AC=56 ,则N 8P C=B【答案】（1）见解析；（2）112【分析】（1）连接AB、B C、A C,作线段AB和AC的垂直平分线，交点P即为所求;（2）利用三角形外心的性质结合圆周角定理得出答案.【详解】解：（1）如图所示：P点即为所求；（2）连接 PB、PC,点P是三角形ABC的外心，：.Z B P C=2 Z B A C m .【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，掌握线段垂直平分线的性质，得出尸点是三角形A B C的外心是解题关键.4 5.如图，ABC内接于，。，NB=60,C D 是。的直径，点P是CO延长线上一点，R A P =AC.（1）求证：也 是，：。的切线；【答案】（1）详见解析；（2），。的直径为26.【分析】（1）连接O A,根据圆周角定理求出/A O C,再根据同圆的半径相等从而可得AC O =rOAC=30,继而根据等腰三角形的性质可得出NP=30,继而由ZOAP=/A O C/P,可得出O A _L P A,从而得出结论；（2）利用含3 0的直角三角形的性质求出OP=2 O A,可得出OP-PD=O D,再由PD=V5,可得出，O 的直径.【详解】(1)连接O A,如图,/B =6 0，.NAOC=2 4 =12()，又OA=OC,.,./O A C=/O C A =3 0，又，AP=AC,.,./P =NACP=3()，.NOAP=ZA O C-N P=90,