初中数学教资考试2022年下半年教资数学主观题必背知识点汇总.pdf

全国教资考试初中数学主观题必背知识点汇总第一模块初中基础知识第一章数与代数第一节数与式一、有理数1 .有理数的加法法则：(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加和为0；(3)一个数同0 相加，仍得这个数。2 .有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a b=a+(b)。3 .有理数的乘法法则(1)两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；(2)任何数与0 相乘都得0。4 .有理数的除法法则(1)除以一个不等于0 的数,等于乘这个数的倒数。即a+b=a(b H 0)o(2)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。除以任何一个不等于0的数，都得0。5 .有理数的混合运算顺序(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。二、实数1.相关概念（1）算术平方根：如果一个正数的平方等于a,即/那么这个正数%叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为正，a叫做被开方数，a 2 0。（2）平方根：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根。注意-3 是 9 的平方根；9 的平方根是3和-3。正数有两个平方根，他们互为相反数；0的平方根是0,负数没有平方根。（3）立方根：如果一个数a的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根。（4）乘方：九个a相乘的积称为a的n 次幕，在中，相同的乘数a叫做底数，a的个数n 叫做指数，乘方运算的结果即叫做累。即读作。的 葭 次方。（5）开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。（6）开立方：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。（7）无理数：无限不循环小数又叫无理数。（8）实数：有理数和无理数统称实数，实数和数轴上的点一一对应。（9）二次根式：一般地，形如2 0）的代数式叫做二次根式。当a 0时，表示a的算术平方根，其中V U=0。（1 0）最简二次根式：满足被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，符合这两个条件的二次根式叫做最简二次根式。2.二次根式运算法则（1）二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。（2）二次根式的乘法法则：V a-V b=V ab（a 0,b 0）o（3）二次根式的除法法则:.=J|（a 0,b 0）o三、整式与分式1.整式相关概念（1）单项式：式子中只含数或字母的积，叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式。2（2）单项式的系数与次数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。（3）多项式：几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫常数项。（4）多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。（5）整式：单项式与多项式统称为整式。（6）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。（7）合并同类项：把多项式中的同类项合并成同一项，叫做合并同类项。2.运算法则（1）合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项系数的和，且字母连同它的指数不变。（2）去括号法则如果括号外面的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外面的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反（3）整式加减的运算法则一般的，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。（4）积的乘方法则：（立 产=晓 1（为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的累相乘。（5）整式的乘法法则单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数累分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。同底数幕的除法法则：同底数募相除，底数不变，指数相减，即a+a=amn（a 0,TH、7 1 都是正整数，且m n）。3单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数累分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。3.因式分解（1）相关概念分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这.个多项.式分解因式。注意：因式分解与整式乘法是方向相反的变形。提公因式法：将多项式写成公因式与另一个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。公式法：平方差公式：（a +b）（a-b）=a2-/。即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。完全平方公式：（a 炉=a2 2ab+b 即两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加 上（或减去）它们的积的2倍。（2）分解因式的步骤先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；再看能否使用公式法；用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解；因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止。4.分式相关概念及运算法则（1）相关概念分式：一般地，如果4 B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子1叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。4通分：把几个异分母的公式分别化成与原来的分母相等的同分母的分式,叫做分式的通分。最简公分母：为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次基的积作为公分母，叫做最简公分母。分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方。用字母表示为：6尸=M（n为正整数）。（2）分式的乘法法则分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。分式的乘除混合运算，先统一成乘法运算，能约分的要随时约分，以减少运算量。另外，分式的乘方运算要把分式加上括号，同时不要忽略分子、分母系数的乘方，同时要注意符号问题。同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。（3）分式方程及解法分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。分式方程的解法：A.去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程）;B.按解整式方程的步骤求出未知数的值；C.验 根：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。5.等式的性质（1）等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即如果。=b,那么a c =b 士c。5（2）等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数,结果仍相等。即如果a =b,那么a c =b c；如果a =b（c =O）,那么 =g。第二节方程与不等式一、方程与方程组1.解一元一次方程的一般步骤（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）系数化为12.解一元一次方程组的方法（1）消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。（2）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。（3）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法,简称加减法。即二元一次方程组一 消 元 一一元一次方程。3.解一元二次方程的方法（1）配方法概念：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成（+九）2 =p的形式，那么就有：当p 0时，方程有两个不等的实数根：%i =-n -y/p,x2=-n+yp-,当p =0时，方程有两个相等的实数根：%1=小=九；当p )时，方程a/+bx+c=0(a 0)有两个不等的实数根；当21=0时，方程a/+bx+c=0(a。0)有两个相等的实数根；当 0 时，y随工的增大而增大；当k 0 时，直线 丫 =-经 过 第一、三象限，y随工的增大而增大，当k 0 时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随工值的增大而减小；（2）当A 0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a 0 时，开口向上；当a 0时，对称轴左边，y 随K 增大而减小；对称轴右边，y 随久 增大而增大；当a r；(2)点P 在圆上一d=r；(3)点P 在圆内一 d r02 .不在同一条直线上的三个点确定一个圆。3 .外接圆：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。4 .三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。(-)直线和圆的位置关系1 .直线与圆有3 种位置关系：以直线/与圆。的为例(设。的半径为r,圆心到直线的距离为d),则有：(1)直线，与。相交r,直线和圆没有公共点。2 .切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。3 .切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。4 .切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。5 .切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。6 .内切圆：和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，称为三角形的内心。237.两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r,且R r,圆心距为P：外离PR+r；外切P =R +r；相交R rPR+r；内切P =Rr；内含PR r。四、弧长和扇形面积1 .扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。2.扇形弧长：1=鬻。1803.扇形面积：5=嚅=9/?。360 24 .圆锥:是由一个底面和一个侧面围成的几何体。5 .圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。6 .圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高。7.圆锥侧面积：S御=1 -2兀r I =nrl9.圆锥的全面积：S全=5侧+S底=兀包+兀 八.第五节图形的变化一、图形的轴对称如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。二、图形的旋转L概念把一个平面图形绕着平面内某一点。转动一个角度，叫做图形的旋转。点。叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。2.性质24对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等。3.中心对称(1)概念如果把一个图形绕着某一点旋转180。后能与另一个图形重合，那么我们就说,这两个图形成中心对称。这个点叫做对称中心，这两个图形在旋转后能够重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。(2)性质中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；中心对称的两个图形是全等图形。三、图形的平移1.平移在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。2.对应点平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。3.平移特点平移不改变图形的形状和大小；对应点连线平行且相等。第三章统计与概率第一节抽样与数据分析一、统计名称1.个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。2.样本：被抽取的所有个体组成一个样本。3.样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。254.简单随机抽样：总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，像这样的抽样方法是一种简单随机抽样。5.平均数加权平均数：一般地，若n 个 数 孙 孙,丁的权分别是W i，W 2,wn,则X-X 2 W2 +,叫做这个数的加权平均数。w1+w2+-+wn6 .中位数将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。7 .众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。8,方差：S2=(%1 -%)2+(%2-)2+.+(Xn-%)2 o 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。二、直方图1 .频数：一般地，我们称落在各个小组内的数据个数为该组的频数。2 .频率：频数与数据总数的比为频率。3 .组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每个小组的两个端点之间的距离(组内数据的取值范围)称为组距。4.直方图与条形图区别相同之处：条形图与直方图都是在坐标系中用矩形的高来表示频数的图形。不同之处：直方图组距是相等的，而条形图不一定。直方图各矩形间无空隙，而条形图则有空隙。直方图可以显示各组频数分布的情况，而条形图不能明确反映这点。5.扇形统计图圆心角的度数=百分比X 3 6 0。第二节事件的概率26一、随机事件1.必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件，称为必然事件；2.不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件，称为不可能事件；3.必然事件和不可能事件统称为确定事件。4.随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。二、概率1.概率：把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件/发生的概率，记为P Q 4）。一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件4包含其中的m种结果，那么事件/发生的概率P（A）=-n-，2 .0 P（7 1）1,特别地，当/为必然事件时，P（/）=1；当/为不可能事件时，P（/）=0 o3.用列举法求概率（1）在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率。（2）列举法常用的表现形式有：直接列举法：适用于涉及的对象比较单一且出现的等可能结果较少的情况。列表法：当一次设计两个因素时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。画树状图法：当一次试验涉及3个因素或3个以上的因素时，列表法就不方便了，为不重不遗漏地列出所有可能的结果，通常用画树状图法。4.用频率估计概率（1）适用条件：当试验的所有结果不是有限个，或者各种可能结果发生的可能性不相等时常用频率估计概率。（2）归纳：利用多次重复试验，通过统计试验结果估计概率的方法叫做用频率估计概率。当试验的次数九足够大，频率上越接近真实值。n27注意：概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反应的规律并非在每一次试验中都发生。第 二 部 分 义务教育数学课程标准（2 0 1 1 年版）简答和论述题整理1.请简述义务教育阶段数学课程性质。【参考答案】义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。（1）首先，义务教育阶段数学课程具有基础性。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，是学生全面发展的重要基础，能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础；（2）其次，义务教育阶段数学课程具有普及性。即义务教育阶段的教育是国家统一实施的所有适龄儿童、少年必须接受的教育，是国家必须予以保障的,属于义务教育。（3）最后，义务教育阶段数学课程具有发展性。通过义务教育阶段的数学学习可以培养学生的抽象思维和推理能力，提升创新意识和实践能力，促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展，为即将结束义务教育阶段的初中学生的可持续发展而设置的。2.请简述义务教育阶段数学课程内容的设置要注意哪些方面。【参考答案】数学课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。第一，课程内容的选择要反映社会的需要，即社会需要什么样的人才，学校就需要培养什么样的人才并设置对应的课程内容，比如，现在社会需要创新型和应用型人才，那么数学课程的设置也要考虑到提升学生的创新意识和应用意识;第二，课程内容的组织要符合数学的特点。数学知识的学习注重严谨性和科学性，因此在课程设时要重视知识的生成过程和推理论证的过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观教学，处理好直观与抽象的关系；要重视数学课程直接经验的获得，处理好直接经验与间接经验的关系；28第 三，课 程 内 容 的 选 择 要 要 符 合 学 生 的 认 知 规 律，即 贴 近 学 生 的 生 活 实 际、思 维 现 实 和 认 知 经 验，要 有 利 于 学 生 体 验 与 理 解、思 考 与 探 索，同时课程内容的呈 现 应 注 意 层 次 性 和 多 样 性。3.义 务 教 育 数 学 课 程 标 准（2011年 版）有 两 类 行 为 动 词，其中一类是描述 结 果 目 标 的 行 为 动 词，包 括“了解”“理解”“掌 握”“运 用”，其中另一类是描述过 程 目 标 的 行 为 动 词，包 括“经 历”“体 验”“感 悟”“探 索”，请通过举例说明各含 义。【答 题 模 板】（1）了解：从 具 体 实 例 中 知 道 或举例说明对象的有关特 征；根据对象的特征，从具 体 情 境 中 辨 认 或 举 例 说 明 对 象。例1：“了解分式的概念”具 体 含 义 为：能 够 举 例 说 出 分 式 的 的 形 式，即形如 今A,B均 为 整 式，且B中 含 有 字 母 的 式 子 就 叫 分 式，能在具体实例中初步认识 分 式。（结 合 动 词 介 绍 并 分 析 具 体 知 识 点）例2：“了解等腰三角形的概念”的具体含义 为：一个三角形中如果有两条边 相 等，那 么 这 个 三 角 形 称 为 等 腰 三 角 形；相 等 的 两 边 称 为 等 腰 三 角 形 的 腰，另 一 条 边 称 为 底 边；两 腰 的 夹 角 称 为 顶 角，两 腰 与 底 边 的 夹 角 称 为 底 角。（结合 动 词 介 绍 并 分 析 具 体 知 识 点）（2）理 解：描 述 对 象 的 由来、内 涵 和 特 征，阐述此对象与相关对象之间的区别和联 系。例1：以“平 行 四 边 形 概 念”为 例，教学目标中“理解”平行四边形的概念和平行 四 边 形 对 边、对 角 相 等 的 性 质。这些都属于“理解”的 目 标 层 次。学生在学习过程 中，能 够 把 握 平 行 四 边 形 的 概 念，通 过 内 在 逻 辑 联 系，以此为前提进行推导,得 到 平 行 四 边 形 的 对 边、对 角 相 等 的 性 质。例2：以“三角形相似的概念”为例，“理解”的具体含义 为：能说出相似三角29形的具体概念，会用符号表示两个三角形相似边和角的相关性质，并能区分全等与相似。(3)掌握：多角度理解和表征数学对象的本质，把对象用于新的情境。例1：以“认识万以内的数”，教学目标中学生能认、读、写万以内的数，能用数表示实际生活中物体的个数或事物的顺序和位置。例2：以“常见图形的面积公式”为例，“掌握”的具体含义指，能在组合图形中运用常见图形，如三角形、平行四边形、圆形、梯形等的面积公式求解阴影部分图形的面积。(4)运用：基于数学对象和对象之间的关系，选择或创造适当的方法解决问题。例1：证明 角角边”定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等。例2：运用线段垂直平分线的性质定理解决最短路径问题。(5)经历：有意识地参加特定的数学活动，感受数学知识的发生发展过程，获得一些感性认识。例如：经历观察、对比的活动，认识平行四边形，初步得到平行四边形边、角、对角线对印关系。(6)体验：有目的地参与特定的数学活动，验证对象的特征，获得一些具体经验。例1：通过直尺、量角器等进行测量，验证平行四边形的相关性质，并尝试运用“全等”进行证明。例2：以“整数四则运算”为例，学生结合具体情境，根据教师提出的问题,列出式子进行计算的过程中，体会整数四则运算的意义。(7)感悟：在数学活动中，通过独立思考或合作交流，获得初步的理性认识。例如：经过利用赵爽弦图探究勾股定理的过程，感受数形结合思想在数学中的行用。(8)探索：在特定的问题情境下，独立或合作参与数学活动，理解或提出数学问题，寻求解决问题的思路，获得确定结论。30例如，小组合作，尝试运用“全等”证明平行四边形的相关性质。4.义务教育数学课程标准(2011年版)中每个核心理念的含义是什么？【每一个核心可以单独出题】(1)数感：主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。例如：教师在教学有理数加减时，应加强估算教学，引导学生培养估算意识，发展猜想估算能力。进一步增强学生的数感意识。(2)几何直观：主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。例如：研究一次函数时，借助画图象的方法研究其性质。(3)运算能力：主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理；寻求合理简捷的运算途径解决问题。例如：在计算992-1时，学生不仅可以迅速运用平方差公式快速简捷地得到计算结果，也能在计算的过程中感受运算的技巧并更好地理解平方差公式。(4)模型思想：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。例如，在解决现实生活中的相遇和追及的问题时，可以建立方程的模型，寻找路程、时间和速度之间的等量关系，列方程并进行求解，最终验证实际含义解决问题。31（5）数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法。（6）符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。例如，研究现实生活中路程、时间和速度三者的关系进而得出表达式；理解符号，”的含义；运用数学符号进行证明线段相等或者平行关系。（7）空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。例如：初中学习的三视图和投影。5 .如何培养数感？【参考答案】（1）应结合每一学段的具体教学内容，逐步提升和发展学生的数感.随着对数的认识领域的扩大以及数的认识经验的积累，可以引导学生在较复杂的数量关系和运算问题中提升数感，发展更为良好的数感品质.（2）紧密结合现实生活情境和实例，培养学生的数感.现实生活情境和实例，与学生的实际生活经验密切相连，为学生提供真实自然的数的感悟环境，让学生在数的认知上经历由具体到抽象的过程，逐步发展学生关于数的思维.（3）让学生多经历有关数的活动过程，逐步积累数感经验.在具体的数学活动中，学生能动脑、动手、动口，多种感官协调活动，加之能相互交流，这对强化感知和思维，积累数感经验非常有益.6 .如何培养学生的符合意识？【参考答案】首先，应该让学生在实际的问题情景中理解符号以及表达式、关系式的意义.其次，要培养学生的自然语言和数学语言的转换能力.因为数学是一种语言,32其实是强调数学的符号也是一种语言，因此.例如方程就是把文字表达的一些条件，改用了数学符号，其实这是利用数学知识来解决实际问题所必需的一个程序.另外，就是数学当中除了字母表示数之外，还有一些其他的符号，如、_ L、.、乌等等.我们在引入这些符号的时候可以联系一些数学史，给学生增加一些数学文化方面的知识，使学生感到数学既有价值又非常有意思，愿意学。7 .如何培养学生的空间观念？【参考答案】（1）重视促进空间观念发展的课程内容.图形的运动，图形与位置等都是重视学生空间观念很好的素材，尤 其 是“图形的投影”内容的安排，其核心目标也是发展学生的空间观念.（2）促进空间观念发展的教学策略.现实情境和学生经验是发展空间观念的基础，教师可以通过多种途径发展学生的空间观念，如生活经验的回忆与再现、实物观察与描述、拼接与画图、折纸与展开、分析与推理等.（3）教学中应该为学生提供足够的时间与空间去观察和想象、操作与分析.8 .如何帮助学生建立几何直观？【参考答案】（1）要充分的发挥图形带来的好处，鼓励用图形表达问题.（2）要让学生养成一个画图的好习惯.（3）重视变换，让图形动起来，把握图形与图形之间的关系.（4）学会从数与形两个角度认识数学；（5）掌握、运用一些基本图形解决问题.9.如何培养学生的运算能力？【参考答案】（1）在学生的态度上，首先要让学生重视数学运算，让他们意识到数学运算是非常重要的，不要认为这个运算可有可无，或者丢一个数或者错一个数.所以第一点就是强调态度，必须重视运算.（2）要抓住运算能力的主要特征，即运算的正确、灵活、合理和简洁.首先保证运算的正确，然后在反复操练、相互交流的过程中，不仅要形成运算技能，还要引发对“怎样算”“怎样算的好”“为什么这样算”等一系列的思考.同时33引导学生不断总结正反两方面的经验和教训，逐步减少在实施运算中思考概念、法则、公式等的时间和精力，提高运算的熟练程度，以求运算顺畅，力求避免失误.（3）运算能力的形成要遵循适度性、层次性和阶段性的原则.运算能力需要经过多次反复训练，螺旋上升逐步形成。（4）其实在学生运算过程中运算能力与推理能力有直接关系.因为学生在运算的时候需要一步一步地去进行，前一步是后一步的前提.因此在这个过程中一定要让学生理解运算的性质和公式，以提高他们进行推理的能力.1 0 .如何培养学生的推理能力？【参考答案】（1）推理能力的发展应贯穿在整个数学的学习过程中.首先，它应贯穿于整个数学课程的各个学习内容，即应包括数与代数、图形与几何、统计与概率及综合与实践等所有领域内容.其次，它应贯穿于数学课堂教学的各种活动过程.如在概念教学中，让学生经历从特定对象的本质属性入手,抽象、概括形成概念的过程，并引导学生有条理地表述概念定义;在命题教学中，引导学生分清条件、结论，把握条件、结论间的逻辑关系；在证明教学中，更要让学生遵循证明，通过数学推理、证明数学结论.再次，它贯穿于整个数学学习环节，如预习、复习、课堂教学、自我练习、测验考试等，在所有的这些学习环节中，逐步要求学生做到言必有据，合乎逻辑.（2）通过多样化的活动，培养学生的推理能力.（3）使学生多经历“猜想-证明”的问题探索途径.1 1 .如何培养学生的数据分析观念？【参考答案】（1）加强分类与比较能力的训练。分类与比较是确定事物之间异同关系的思维过程和方法，有利于促进学生形成数据分析观念。教师在教学中指导学生把所学的知识形成一定的标准或特点，进行系统化的梳理，分类，比较，整合，可以使学生的认知组成序列，形成一定的结构，结成一个系统化的整体，从而获得结构性知识，培养了学生数据分析观念。唯有通过比较方能更好的确定概念间的相同点和不同点，达到学生的思维由“模糊”走 向“清晰”的认知过程，同时也34培养了学生的数据分析观念。（2）重视分析与综合能力的培养。分析与综合是学生数据分析观念的两个面。是思维的基本过程，也是学生获取知识的基本途径和基本能力。分析与综合在初中数学学习中广泛的应用，通过分析可以理解某一数学知识的要素及新旧知识间的联系。通过综合又对数学知识有了全面和整体的理解。1 2.如何培养学生的模型思想？【参考答案】（1）模型思想需要教师在教学中逐步渗透和引导学生不断感悟.模型思想的感悟应该蕴涵于概念、命题、公式、法则的教学中，并与数感、符号意识、空间观念等的培养紧密结合.模型思想的建立是一个循序渐进的过程.（2）使学生经历“问题情境-建立模型-求解验证”的数学教学活动过程.“问题情境一一建立模型一一求解验证”的数学活动过程体现了 标准中模型思想的基本要求，也有利于学生在过程中理解、掌握有关知识、技能，积累数学活动经验，感悟模型思想的本质.这一过程更有利于学生去发现、提出、分析、解决问题，培养创新意识.（3）结合综合实践活动的开展，进一步发展学生的数学建模能力.（4）通过数学建模改善学习方式.1 3.如何培养学生的应用意识？【参考答案】（1）要注重知识的来龙去脉.其一，要让学生知道数学知识“从哪里来”.从两方面努力，一是提供数学知识产生的背景材料，二是呈现数学知识的形成过程.其 二，要让学生知道数学知识“到哪里去”。（2）在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识。应将培养学生的应用意识作为数学课程的重要目标，贯穿于数与代数、图形与几何、统计与概率及综合与实践等所有领域内容的数学课程中。在教学设计过程中，应联系学生实际和社会生活现实，合理地解读教材、拓展教材，积累素材，研制、开发、生成课程资源。课堂教学的过程中，应同时关注生活情境数学化和数学问题生活化。将定量评价与定性评价相结合，适当设计一定的具有现实生活背景的问题和35一些实际操作的内容，既要关注现实应用意识指向的广阔性，又要关注应用意识的主动性。1 4.如何培养学生的创新意识？【参考答案】（1）鼓 励“质疑一一发现问题和提出问题”.学会学习的一个重要环节就是质疑.鼓励学生提问应该贯穿在教学的各个环节中，问题可以是自己的疑惑,可以是自己的困难，也可以是自己的一些发现.（2）鼓 励“在做中积累经验”.创新意识不是靠教师教出来的，是学生在在教学的各个环节中不断亲身经历、不断锻炼，不断积累而形成的.（3）凡是要求学生做的，教师要带头做.教师在教学的各个环节中都应该要去自己发现问题，能够提出问题，并通过问题引导教学层层深入.如学习数学定义、概念，要引导学生思考为什么需要它，它与前面的什么有联系，它与实际生活有什么联系.在学习数学技能、方法、思想时，更需要引发思考.1 5.数学课程目标中“三会”指的是什么，请举例阐述。【参考答案】通过义务教育阶段的数学学习，学生逐步会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界（简 称 三会”）。学生能：（1）获得适应未来生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。（2）体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，在探索真实情境所蕴含的关系中，发现问题和提出问题，运用数学和其他学科的知识与方法分析问题和解决问题。（3）对数学具有好奇心和求知欲，了解数学的价值，欣赏数学美，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心，养成良好的学习习贯，形成质疑问难、自我反思和勇于探索的科学精神。第三部分教学知识部分简答和论述题整理1.常用教学方法有哪些？至少写出两种并举例。36(1)讲授法是教师通过语言，系统地、有重点地传授知识的一种教学方法。讲授法的优点：能保证教师传授知识的系统性、主动性与连贯性，易于控制课堂教学，充分利用时间。讲授法的缺点：学生处于被动状态，不利于培养学生自学习惯和独立思考能力，容易变成注入式、满堂灌。例如：初 中 数 学 完全平方公式。通过学生对导入4个式子的具体计算，学生发现了许多的规律，教师指明这就是我们这节课要学习的完全平方公式并讲授定义：即两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们积 的 2倍，叫做完全平方公式。给出公式：(a+b)2=a 2+2 a b+l)2,(a-b)2=a 2-2 a b+b 2。例如：高中数学 平面与平面平行的判定教师通过实物的演示并讲解出平面与平面平行的判定的内容，并给出定理：已知一个平面内的两条相交直线分别平行于另外一个平面，那么这两个平面就相互平行。(2)谈话法，也叫问答法，它是教师按照一定的教学要求向学生提出问题，要求学生回答，并通过问答的形式来引导学生获取新知或巩固旧知的一种教学方法。谈话法的优点：它在设计中就把师生的双边活动固定化了。谈话法的缺点：由于学生对提出的问题是即席回答，缺少思想准备和一定的组织准备，会耽误一定的时间。例如：初中数学 完全平方公式。通过导入环节对知识点的回顾，教 师 P P T出 示 4个题目，找学生到黑板上利用之前的知识进行计算板演。学生板演结束后，教师先让其余同学进行评价，然后教师补充，接着教师引导学生观察并进行提问，这四个式子有什么共同点或不同点?学生观察交流讨论后，学生代表回答例如：高 中 数 学 指数函数及其图象通过学习指数函数的表示形式，P P T上出示的两个指数函数，学生通过描点法画出他们的函数图象，画完图象后，请学生仔细观察两个图象有什么相同点和不同点？(3)发现法，又叫问题教学法，是倡导让学生自己发现问题、主动获取知识的一种教学方法。发现法的优点：学生的学习主动性、积极性可得到发挥，学生常处于主动进取的学习状态之中。在学习过程中，学生具有较高级的心理活动。有利于培养学37生发现和探究问题的习惯，激发学习数学的兴趣，增强自信心，使学生理解知识深刻而牢固。有利于培养学生掌握探索问题的方法与研究问题的能力，特别是自学能力。发现法的缺点：花费时间较多，不利于学生掌握系统知识，影响数学理论体系建立。易减少教学中数学知识容量，程度较差的学生可能较难适应。例如：在初中数学 完全平方公式篇目的试讲中，教师带领同学推导出了完全平方公式，引导学生分组讨论归纳出完全平方公式的完整形式。给学生3分钟时间进行分组讨论，将刚才得到的两个式子进行归纳整理，得到完全平方公式的完整形式，讨论过程中教师巡视指导，讨论结束后请小组代表上台板演最终结果，师生共同评价总结、板书。例如：在高中数学 平面与平面平行的判定篇目的试讲中，教师通过实物演示引导学生发现平面与平面平行的判定方法后，请同学们仿照直线与平面平行的判定定理，小组讨论归纳出平面与平面平行的判定定理。请学生按事先分好的小组进行讨论，时 间3分钟，教师巡视指导：仿照直线与平面平行的判定定理归纳出平面与平面平行的判定定理。结束后学生代表展示，师生共同评价、总结、板书。2.数学中常见的学习方式有哪些？（1）自主学习：自主学习关注的是学习者的主体性与能动性，是学生自主而不受他人支配的学习方式。（2）探究学习：探究学习也称为发现学习。学习过程除了被动接受知识外，还存在大量的发现与探究等认识活动。（3）合作学习：合作学习是指学生以小组为单位进行学习的方式。合作学习的展开往往是在自学基础上进行小组合作学习和小组内讨论。3.数学教学中常见的定义方式有哪些，请举例说明。（1）属加种差定义法（最常用的定义方式），对某一概念有若干属概念，从最邻近的属概念出发来定义，即把被定义的概念归入另一个较为普遍的概念（属概念）。被定义的概念=最邻近的属概念+种差。概念的种差，就是在同一个属概念里，一个种概念与其他种概念之间本质属性的差别。例如：有一个角是直角的平行四边形是矩形。例如：一组对边平行并且相等的四边形叫做平行四边形。38邻