初中中考冲刺数学总复习《几何综合问题》（基础、提高）巩固练习、知识讲解.pdf

中考冲刺：几何综合问题一巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1 .（2 01 6 天水）如图，边长为2的等边4 A B C 和边长为1 的等边A A B C,它们的边B C ,B C 位于同一条直线1 上，开始时，点 C与 B重合，A B C 固定不动，然后把A A B C自左向右沿直线1平移，移出a A B C 外（点 B与 C重合）停止，设A A B C 平移的距离为x,两个三角形重合部分的面积为y，则 y 关于x的函数图象是（）2 .如图，将直角三角形A B C 沿着斜边A C 的方向平移到4 D E F 的位置（A、D、C、F四点在同一条直线上）.直角边D E 交 B C 于点G.如果B G=4,E F=1 2,Z X B E G 的面积等于4,那么梯形A B G D 的面积是（）A.1 6 B.2 0 C.2 4 D.2 8二、填空题3 .（2 01 6 海淀区二模）据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.如图所示，木杆E F的长为2 m,它的影长F D 为 3 m,测得0A 为 2 01 m,则金字塔的高度B 0为 m.4 .如图，线段A B=8 c m,点 C是 A B 上任意一点（不与点A、B重合），分别以A C、B C 为斜边在A B 的同侧作等腰直角三角形（A M C 和C N B）,则当BC=cm时，两个等腰直角三角形的面积和最小.三、解答题5 .有一根直尺的短边长2 c m,长边长1 0c m,还有一块锐角为4 5 的直角三角形纸板，它的斜边长1 2 c m.如图，将直尺的短边D E 与直角三角形纸板的斜边A B 重合，且 点 D与点A重合；将直尺沿A B 方向平移（如图），设平移的长度为x c m（O W x W O ）,直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为S c m2.（1）当 x=0时（如图），S=._；（2）当 0 x W 4 时（如图），求 S关于x的函数关系式；（3）当 4 V x 0时，求关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围.8.(2015德州)(1)问题：如 图1,在四边形A B C D中，点P为A B上一点,Z D PC=Z A=Z B=90,求证：A DBC=A PBP.(2)探究：如图2,在四边形A B C D中，点P为A B上一点，当N D PC=N A=N B=。时，上述结论是否依然成立？说明理由.(3)应用：请 利 用(1)(2)获得的经验解决问题：如图3,在A A B D中，A B=6,A D=B D=5,点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边A B向点B运动，且满足N DP C=N A,设点P的运动时间为t(秒)，当以D为圆心，以D C为半径的圆与A B相切时，求t的值.9.如图，直角梯形 A BCD 中，A DBC,ZB=90,A B=12 cm,BC=9 cm,D C=13 c m,点 P 是线段 A B 上一个动点.设BP为x cm,A PCD的面积为y cm2.(1)求A D的长；(2)求y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？(3)在线段A B上是否存在点P,使得4PCD是直角三角形？若存在，求 出x的值；若不存在，请说明理由.0A1 0.如图，平行四边形A B C D 中，A B=1 0,A D=6,N A=6 0 ,点 P从点A出发沿边线A B B C 以每秒1 个单位长的速度向点C运动，当 P与 C重合时停下运动，过点P作 A B 的垂线P Q 交 A D 或 D C 于 Q.设 P 运动时间为t 秒，直线P Q 扫过平行四边形A B C D 的面积为S.求 S关于t的函数解析式.【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.A【解析】如 图 1 所示：当 0 f f l A A,B Cz均为等边三角形，A/为等边三角形.?/.百，百 /木_ _ _ _ _ _ _ _.D E=-B C =x.B B EC C2 幺 图如 图 2所示：1XW 2时，过 点 A作 A E _ L B C ,垂足为E.1 ,1 月 百Vy=-Bz CA E=-XIX=.2 2 2 4.函数图象是一条平行与x 轴的线段.如图3 所示：2 x W 3 时，过点D 作 D E J _ B C,垂足为E.1出y=B C*D E=-(x -3)2,2 4图3函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上.故选：B.2 .【答案】B.二、填空题3 .【答案】1 3 4.4 .【答案】4.三、解答题5 .【答案与解析】(1)由题意可知：当 x=0 时，V A A B C 是等腰直角三角形，.A E=E F=2,则阴影部分的面积为：S=-X 2 X 2=2；2故答案为：2；(2)在 R t Z X A D G 中，Z A=4 5 ,：.D G=A D=x,同理 E F=A E=x+2,S -1 O 悌形 DEFG-2(x+x+2)X 2=2 x+2.=S=2 x+2；G D 二 A D 二 x,E F 二 E B=1 2-(x+2)=1 0-x,则 S/S A D G 二 一A D D G Xi2 2SABEF=一(1 0X ),2而 SAABC=-X 1 2 X 6=3 6,2SA B EI (1 0X ),2.,.S=3 6-x2-(1 0-x)2=-X、1 0XT 4,2 2S=-X2+1 0X-1 4=-(X-5)2+l l,.当 x=5,(4 x 6)时，S 城 大 值=1 1.(4)S a*e=l 1 .6.【答案与解析】特例探究：证明：:A B C 是等边三角形，.,.A B=A C,Z D B A=Z E A C=6 0 ,在A A B D 与4 C A E 中，AB=CA NDBA=ZEAC,BD=AE.,.A B D A C A E (S A S)；归纳证明：A A B D 与4 C A E 全等.理由如下：.,在等边A A B C 中，A B=A C,Z A B C=Z B A C=60 ,/.Z D B A=Z E A C=1 2 0 .在a A B D 与4 C A E 中，AB=CA NDBA=ZEAC,BD=AE/.A B D A C A E (S A S)；拓展应用：,点0在 A B 的垂直平分线上，O A=O B,A Z 0 B A=Z B A C=50 ,二 Z E A C=Z D B C.AB=CA在4 A B D 与 A C A E 中，NDBA=NEAC,BD=AEA A A B D A C A E (S A S),/.Z B D A=Z A E C=3 2 ,A Z B A D=Z 0 B A-Z B D A=1 8.7.【答案与解析】(1).设。0首次与B C 相切于点D,则有0 D 1 B C.且 0 D=r=6.在直角三角形B D O 中，V Z 0 B D=60 ,6sin 60.A 0=A B-0 B=6-2=4 (厘米)；(2)由正三角形的边长为6 厘米.可得出它的一边上的高为3G厘米.当00的半径厂36 厘米时，。在移动中与A A B C 的边共相切三次，即切点个数为3；当 0r3G时，。与a A B C 不能相切，即切点个数为0.(3)如图，易知在S 0 时，。在移动中，在a A B C 内部为经过的部分为正三角形.记作A A B C,这个正三角形的三边分别于原正三角形三边平行，且平行线间的距离等于r.连接A A ,并延长A A ,分别交B C ,B C 于 E,F两点.则 A F LB C,A E J _ B C,且 E F=r.又过点A 作 A G _ LA B 于 G,则 A G=r.V Z G A AZ=3 0 ,A A =2 x.A B C 的高A E=A F-3 r=9-3 r,B C =2G3A E=2 百(3-r).A B C 的面积 S=LB C *A E=3A/32(3-r)2.，所求的解析式为S=3 6(3-r)2(0 r C-SAAPD=7 8-x-24+2x=-x+54.2 2即 y=-x+54,0 xW12.2当x=0时,y取得最大值为54 cm2.(3)若PCD 是直角三角形，V ZBCP90,A ZPCD 90.分两种情况讨论，如图2.B图2当N D PC=90。时.N A PD+N B PC=90 ,Z B PC+Z PC B=900,J N A P D=N PC B.J A A PD A B C P.AP B C即12-X 9版 徂 AAD BP 4 xZ A PD=Z B PC=4 5的情况不存在，不考虑.当N PD C=90 时，在 R t Z PB C 中，Pd=B P+B C 2=x 2+92,S R t A P.A D 中，P!D2=PIA2+AD2=(12-X)2+42,V Z Pi D C=90 ,C D2+P,D2=P,C2.31即 132+(12-X)2+42=X2+92.解得x=-.3综上，当 x=6或工=二31，A P C D 是直角三角形.3i o.【答案与解析】当 Q点与D点重合时，A Q=A D=6,此时，A P=A Q=3=t2当 P 与 B点重合时，t=1 0,当 P 点运动到C时,t=1 6,.分三类情况讨论/.S=-A P PQ=R l t 22 2(2)当 3 t W 1 0 时，示意图:过 D 作 D H _ LA B 于 H,A D=t,贝 ij D H=A D s i n A=6 走=36 A H=A D c o s A=32/.D Q=PH=A P-A H=t-3.*.S=-(A P+D Q)-D H2=A (t+t-3).有2 2A B+B P=tC P=A B+B C-(A B+B P)=1 6-t.C Q=l c P=8-i2 2Q P=-C Q=8后一包tS=SaABCD-SACIiQ=A B h-1 -C Q -PQ2=3 0 层 造(64-8t+l)2 48犷J3 a(。士 5 3)9综上，S=3-j3t-43(3 x 1 0)2+4同一2/(1 0 ：1 6)中考冲刺：几何综合问题一巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.（2 0 1 5春江阴市校级期中）在平面直角坐标系中，直角梯形A O B C 的位置如图所示，N 0 A C=90 ,A C O B,0 A=4,A C=5,0 B=6.M、N分别在线段A C、线段BC上运动，当A M O N 的面积达到最大时，存在一种使得M O N 周长最小的情况，则此时点M的坐标为（）A.(0,4)B.(3,4)C.(2 4)D.(痣 3)22.如图，a A B C 和A D E F 是等腰直角三角形，Z C=Z F=90,A B=2,DE=4.点 B 与点D 重合，点 A,B（D）,E 在同一条直线上，将a A B C 沿 DE方向平移，至点A与点E 重合时停止.设点B,D 之间的距离为x,A BC与4 D E F 重叠部分的面积为y,则准确反映y与 x 之间对应关系的图象是（）填空题（2016 绥化）如图,在四边形A BCD中，对角线A C、BD相交于点E,Z DA B=Z CDB=90,Z A BD=4 5 ,（提示：可过点A 作 BD的垂线）二、3.4.如图，一块直角三角形木板A A B C,将其在水平面上沿斜边A B所在直线按顺时针方向翻滚，使它滚动到A A B C 的位置，若 BC=lc m,A C=J c m,则顶点A运动到A时，点 A所经过的路径是c m.三、解答题5 .(2017莒县模拟)在边长为1 的正方形A BCD中，点 E 是射线BC上一动点，A E与 BD相交于点M,A E或其延长线与DC或其延长线相交于点F,G是 EF 的中点，连结CG.(1)如 图 1,当点E 在 BC边上时.求证：A A BM g0 1；CG J _ CM.(2)如图2,当点E 在 BC的延长线上时，(1)中的结论是否成立？请写出结论，不用证明.(3)试问当点E 运动到什么位置时，M C E 是等腰三角形？请说明理由.6 .如图，等腰R t A BC中，Z C=90,A C=6,动点P、Q分别从A、B 两点同时以每秒1 个单位长的速度按顺时针方向沿a A B C 的边运动，当 Q运动到A点时，P、Q停止运动.设Q点运动时间为I 秒，点 P运动的轨迹与P Q、A Q 围成图形的面积为S.求 S关于t 的函数解析式.7.正方形A BCD中，点 F为正方形A BCD内的点，A B F C 绕着点B 按逆时针方向旋转90后与4 B E A 重合.(1)如 图 1,若正方形A BCD的边长为2,BE=1,FC=G，求证：A EBF；(2)如图2,若点F为正方形A BCD对角线A C上的点，且 A F：F C=3：1,BC=2,求 BF 的长.图1图28.将正方形A BCD和正方形BEF G 如图1 摆放，连 DF.DF(1)如图2,将 图 1 中的正方形BEF G 绕 B 点顺时针旋转90 ,连 DF、CG 相交于M,则=,CGZD MC=；DF(2)如图3,将 图 1 中的正方形BEF G 绕 B 点顺时针旋转4 5 ,D F 的延长线交CG 于 M,试探究与CGZ D M C 的值，并证明你的结论；(3)若将图1 中的正方形BEF G 绕 B 点逆时针旋转B(0 0 BC）,取 线 段A E的 中 点M,探 究 线 段M D、M F的关系，并加以说明；（3）将 正 方 形CG E F绕 点C旋 转 任 意 角 度 后（如 图3）,其他条件不变，（2）中的结论是否仍成立？直接写出猜想，不需要证明.【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.【解 析】如 图，过 点M作MP OA,交ON于 点P,过 点N作N Q OB,分 别 交OA、MP于 两 点Q、G,则SA MON=SA W+SAW=1MP-Q G+1MP-N G=J：MP-Q N,2 2 2.,MP WOA,Q N WOB,二 当 点N与 点B重 合，Q N取 得 最 大 值0 B时，的面积最大值二%A OB,设 0关于A C的对称点D,连接D B,交 A C 于 M,此时a M O N 的面积最大，周长最短，A L L A H g,i 4,A MOD 0 M 8 6，A M=3,A M (3,4).故选B.2 .【答案】B.二、填空题3 .【答案】2.【解析】过 A作 A F L B D,交 B D于点F,VA D=A B,Z DA B=9 0 ,；.A F为 B D边上的中线，/.A F=JLB D,2 _：A B=A D=&,根据勾股定理得：B D=V6+6=2 V3,.A F=6，在 R t Z A FE 中，Z E A F=Z DCA=3 0 ,.,.E F=1A E,2设 E F=x,则有 A E=2 x,根据勾股定理得：X2+3=4X2,解得：x=l,则 A E=2.故答案为：2田、8+3/34 .【答案】-71.6三、解答题5 .【答案与解析】(1)证明：四边形A B CD是正方形，；.A B=B C,Z A B M=Z CB M,A B=CB在A A B M 和A CB M 中，N A M=N CB M，B I=B I/.A B M A CB M(S A S).;A B M 且 Z CB MZ B A M=Z B CM,又；N E CF=9 0 ,G 是 E F 的中点，；.G C=LEF=G F,2.,.Z G CF=Z G FC,XVA B/7 DF,Z B A M=Z G FC,:.ZBCM=ZGCF,NBCM+NGCE=NGCF+NGCE=90,GC_LCM；(2)解：成立；理由如下:,四边形A BCD 是正方形，JA B=BC,NA BM=NCBM,A B XB在A A BM 和中，,/A B M=N CB M，B M=B M.,.A BMA CBM(SA S)J ZBA M=ZBCM,又NECF=90,G 是 EF的中点,A GC=GF,J ZGCF=ZGFC,XVA B/7D F,J ZBA M=ZGFC,J NBCM=NGCF,ZGCF+ZMCF=ZBCM+MCFE=90,GCJ_CM；(3)解：分两种情况：当点E 在 BC边上时，VZMEC90,要使4MCE是等腰三角形,必须EM=EC,，NEMC=NECM,J ZA EB=2ZBCM=2ZBA E,2NBA E+NBA E=90,ZBA E=30,J BE二 1A B二逅；3 3 _当点E 在 BC的延长线上时，同知BE二 小 京综上，当 BE=或 BE=时，MCE是等腰三角形.36.【答案与解析】当 P 运动到C 点时：t=6当 Q运动到A 点：t=6我，分两种情况讨论(1)当 0WtW6时，如图：作 PHLA B于 H,则A PH为等腰直角三角形此时 A P=t,B Q=t,则 A Q=6 6-1P H=A P s i n 4 5 2S i A Q p=A Q ,P H2=5.(6应二冬42=_ 立 t2+3 t4 当 6 V t W 6 板 时,如 图:C过 P 过 P HJ_ A B 于 H,此时P B H为等腰直角三角形A C+CP=t,B Q=lJ B P=A C+CB-(A C+CP)=1 2-t；.P H=B P s i n 4 5 =走(1 2-t)2 S 四边形 A Q P C =SABC-SdUJPQ=-A C BC-ABQ P H2 2=,6,6 ,t (1 2 t)2 2 2 3阴+退/4=t2-3 j2t+1 8-4-立 八 次综上，S =4?-3721+18、4(0W Y 6)(0/AB2+B C2=272.VAF：FC=3：1,.3 3 a 1 V2 AF=-AC=-，FC=-AC=-4 2 4 2BFC绕着点B 按逆时针方向旋转9 0 后与4B E A 重合V2/.ZEAB=ZFCB,BE=BF,AE=CF=,2.四边形ABCD是正方形，ZABC=90A ZBAC+ZACB=90二 /EAB+NBAC=90即/EAF=90在 RtaEAF 中，EF=A E2+A F2=/5,在 Rt/XEBF 中，EFBEBF2VBE=BFV2 Vi o/.BF=-EF-2 28.【答案与解析】(1)如图2,连接B如.四边形A BCD、四边形BEFG是正方形,/.ZFBC=ZCBD=45,A ZCBD=ZGBC=90,而 B F=&B G,B D=A/2 B C,.BFD A BGC,，NBCG=NBD F,CGBFBG而/D MC=180-ZBCG-ZBCD-ZCD F=180-ZBD F-ZBCD-ZCD F=180-45-90=45DF r：.=J 2 ,ZD MC=45；CG(2)如图3,.将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转45,D F的延长线交CG于M,.B、E、D三点在同一条直线上，而四边形A BCD、四边形BEFG是正方形,/.ZCBD=ZGBC=45,BF=V2 BG,BD=V2 BC,.,.BFD A BGC,DF/-二=，2,ZBCG=ZBD FCG而ND MC=180-ZBCG-ZBCD-ZCD F=180-ZBD F-ZBCD-ZCD F=180-450 -90=45,BPZD MC=45；DF r-(3)=J 2,/D MC=45,图略.CG9.【答案与解析CEBD.(2)延长CE交BD于M,设A B与EM交于点F.V ZBA C=ZD A E=90,，ZCA E=ZBA D.XVA A BCA A D E,.*.A C=A E,A B=A D,ZACE=180-NCAE2，ZA BD=180-NBA。2，ZA CE=ZA BD.又./A FC=/BFM,ZA FC+ZA CE=90,ZA BD+ZBFM=90,A ZBMC=90,A CEIBD.(3)过 C 作 C GLA M于 G,过 D 作 D HLA M交延长线于点H.V Z Z EZ NA=NA GC=90,A Z N E,A+NNA E=90,NNA E+Z C A G=90,A Z N E,A=/C A G,V A E,=A C.A N E 丝ZC GA (A A S),，A N=C G.同理可证4B N A 丝ZSA HD,A N=D H.：.C G=D H.在 ：GM 与D HM 中，N C GM=ND HM=90,N C MG=ND MH,C G=D H,.C GM 也D HM,.*.C,M=D M,.D M 1 -=一.D C 210.【答案与解析】如 图 1,延长D M交 FE于 N,正方形 A BCD、CGEF,CF=EF,A D=D C,ZCFE=90,A D/7FE,A Z1=Z2,又M A=ME,Z3=Z4,A A A MD A EMN,M D=MN,A D=EN.VA D=D C,A D C=NE.XVFC=FE,A FD=FN.XVZD FN=90,A FM1MD,MF=MD；(2)M D=MF,MD MF.如图2,延长D M交 CE于 N,连接FD、F N.:正方形A BCD,；A DBE,A D=D C,A Z1=Z2.又YA M=EM,Z3=Z4,A A A D MA ENM,A D=EN,M D=MN.VA D=D C,D C=NE.又 ,正方形CGEF,A ZFCE=ZNEF=45,FOFE,ZCFE=90.又 正 方 形 A BCD,A ZBCD=90,A ZD CF=ZNEF=45,.FD CA FNE,，FD=FN,Z5=Z6,ZD FN=Z 5+ZCFN=Z 6+ZCFN=90,D FN为等腰直角三角形，且 FM为斜边D N上的中线，M D=MF,MD 1MF；(3)FMMD,MF=MD.如图3,过点E 作 A D 的平行线分别交D M、D C的延长线于N、H,连接D F、FN.A ZA D C=ZH,A D/7EH,A Z3=Z4.VA M=ME,Z1=Z2,A A A MD A EMN,A D M=NM,A D=EN.正方形A BCD、CGEF,A D=D C,FC=FE,ZA D C=ZFCG=ZCFE=90.A ZH=90,N5=NNEF,D ONE.,.ZD CF+Z7=Z5+Z7=90,ZD CF=Z5=ZNEF.VFC=FE,A A D CFA NEF.FD=FN,ND FC二 NNFE.V ZCFE=90,A ZD FN=90.A FMMD,MF=MD.中考冲刺：几何综合问题一知识讲解（基础）责编：常春芳【中考展望】几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题，还有更注重考查学生分析问题和解决问题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答.几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力.以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）；2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）；3、几何计算问题；4、动态几何问题等.【方法点拨】一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识：1、与三角形有关的知识；2、等腰三角形，等腰梯形的性质；3、直角三角形的性质与三角函数：4、平行四边形的性质；5、全等三角形，相似三角形的性质；6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算；7、弧长公式与扇形面积公式.二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下儿个方面：1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形；2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点；3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题.【典型例题】类型一、动态几何型问题1.如图，在矩形A B C D 中，A B=1 2 c m,B C=6 c m,点 P 沿 A B 边从点A开始向点B以 2 c m/s 的速度移动；点 Q沿 D A 边从点D开始向点A以 l c m/s 的速度移动.如果P、Q同时出发，用 t（s）表示移动的时间（0W tW6）,那么：当 t 为何值时，Q AP 为等腰直角三角形？求四边形Q AP C 的面积；提出一个与计算结果有关的结论；当 t 为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与A A B C 相似？ADQCB【思路点拨】(D 中应由4 Q A P 为等腰直角三角形这一结论，需补充条件AQ=AP,由 AQ=6-t,AP=2 t,可求出t的值；中四边形Q AP C 是一个不规则图形，其面积可由矩形面积减去D Q C 与A P B C 的面积求出；中由于题目中未给出三角形的相似对应方式，因此需分类讨论.【答案与解析】解：(1)对于任何时刻 t,AP=2 t,D Q=t,Q A=6-t.当 Q A=AP 时，Z Q AP 为等腰直角三角形，即 6-t=2 t,解得：t=2 (s),所以，当 t=2 s时，Q AP 为等腰直角三角形.(2)在AQ AC 中,Q A=6-t,Q A 边上的高 D C=1 2,SA Q A C=-Q A D C=(6t )1 2=3 66 t.2 2在 Z AP C 中,AP=2 t,B C=6,/.SA A IXF-APBC=-2 f 6=6 t.2 2.S 四 边 彩Q A P C=SAMC+SA A PC=(3 6-6 t)+6 t=3 6 (c m).由计算结果发现：在 P、Q两点移动的过程中，四边形Q AP C 的面积始终保持不变.(也可提出：P、Q两点到对角线A C 的距离之和保持不变)(3)根据题意，可分为两种情况，在矩形AB C D 中：当空=时，QAPS/ABC,则有：AB BC解 得 t=1.2 (s),12 6即当 t=l.2 s 时，Q AP s AB C；nA Ap当义一=时，PAQS/ABC,则有:BC AB6 T 2 t解得 t=3 (s),即当 t=3 s 时，A P A Q A A B C；所以，当 t=1.2 s或 3 s时，以点Q、A、P为顶点的三角形与a A B C 相似.【总结升华】本题是动态几何题，同时也是一道探究题.要求学生具有一定的发现、归纳和表达能力，这就要求我们通过计算分析，抓住其本质，揭示出变中不变的规律.四边形Q AP C 的面积也可由Q AC 与C AP 的面积求出，；中考查了分类讨论的数学思想，结论具有一定的开放性.2.(永春县校级月考)如图，在梯形ABCD中，ADII BC,AD=3,CD=5,BC=10,梯形的高为4,动点M 从点B 出发沿线段B C 以每秒2 个单位长度向终点C 运动；动点N 同时从点C 出发沿线段CD以每秒1 个单位长度的速度向终点D 运动.设运动的时间为t 秒(1)直接写出梯形ABCD的中位线长；(2)当 MNII AB时，求 t 的值；(3)试探究：t 为何值时，使得MC=MN.【思路点拨】（1）直接利用梯形中位线的定理求出即可；（2）平移梯形的一腰，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解；（3）利用MC=MN时，结合路程=速度x时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解.【答案与解析】解：AD=3,BC=10,梯形ABCD的中位线长为:（3+10）+2=6.5；（2）如 图 1,过 D 作 DGII A B交 BC于 G 点，则四边形ADGB是平行四边形.MNII AB,.MNII DG,.BG=AD=3.GC=1O-3=7.由题意知，当 M、N 运动到t 秒时，CN=t,CM=10-2t.DGII MN,MNC-GDC.C N_ C M ,C D C G即上二1 0-2 t,5 7解得，t=旦；1 7(3)当 MC=MN时，如图2,过 M 作 MF_LCN于 F 点，FC=NC=2t.2 2Z C=Z C,Z MFC=Z DHC=90,:&M FO DHC,.F C=M C(.瓦 记1即1 1=1 0 -2 t,3 5解得：t=口.1 7综上所述，1=型 时，MC=MN.1 7【总结升华】解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解，但是对于大多数题目来说，都有一个由动转静的拐点.3.（2016秋泗阳县期末）（1）已知：如 图 1,AABC为等边三角形，点 D为 BC边上的一动点（点D不 与 B、C重合)，以 A D 为边作等边A A D E,连 接 C E.求证：B D=C E,A C=C E+C D；聪明的小明做完上题后进行了进一步变式探究.(2)如图2,在 A B C 中，Z B A C=9 0 ,A C=A B,点 D为 B C 上的一动点(点D不 与 B、C重合)，以 A D为边作等腰Rt A D E,Z D A E=9 0 (顶 点 A、D、E按逆时针方向排列)，连 接 C E,类 比 题(1),请你猜想线段B D、C D、D E 之间会有怎样的关系，请直接写出，不需论证；(3)如图3,在(2)的条件下，若 D点在B C 的延长线上运动，以 A D 为边作等腰Rl Z X A D E,Z D A E=9 0(顶点A、D、E 按逆时针方向排列)，连接C E.题(2)的结论还成立吗？请说明理由；连结B E,若 B E=1 0,B C=6,求 A E 的长.【思路点拨】(1)根据等边三角形的性质就可以得出/B A C=ND A E=6 0 ,A B=B C=A C,A D=D E=A E,进而就可以得出A A B D Z4 A C E,即可得出结论；由/!岭Z A C E,以及等边三角形的性质，就可以得出A C=D C+C E；(2)先判定aA B D 丝Z X A C E (S A S),得出/B=NA C E=4 5 ,B D=C E,在 R t A D C E 中，根据勾股定理得出C E2+C D=D E2,即可得到 B D2+C D2=D E2；(3)运 用(2)中的方法得出 B D U C D J D E 2；根据 Rt B C E 中，B E=1 0,B C=6,求得 C E=J l O?-6?=8,进而得出C D=8-6=2,在 RtaD C E 中，求得D E=&+8?=疝,最 后 根 据 A A D E 是等腰直角三角形，即可得出A E 的长.【答案与解析】解：(1)如图1,A B C 和A A D E 是等边三角形，/.Z B A C=Z D A E=6 0 ,A B=B C=A C,A D=D E=A E,Z B A C -Z D A C=Z D A E -Z D A C,.Z B A D=Z E A C.在 A B D 和 A C E 中，A B=A C-ZBA D=ZEA CA D=A E.,.A B D A A C E (S A S),/.B D=C E；：B D=C E,A C=B C,又；B C=B D+C D,/.A C=C E+C D；(2)B D2+C D2=D E2.证明：如图 2,V Z B A C=Z D A E=9 0o,/.Z B A C -Z D A C=Z D A E -Z D A C,即 NBA D=NCA E,在A A BD与4 A C E中，A B=A C/B A D=NC A E，A D=A E/.A BD A A CE(SA S),/.ZB=ZA CE=45,BD=CE,ZB+ZA CB=ZA CE+ZA CB=90,/.ZBCE=90,.RtZXD CE 中，CE2+CD2=D E2,/.B D2+C D2=D E2；(3)(2)中的结论还成立.理由：如图 3,V ZBA C=ZD A E=90,Z BA C+Z D A C=Z D A E+Z D A C,即/BA D=NCA E,在aA B D与4 A C E中，A B=A C/1 02-62=8,；.BD=CE=8,.CD=8-6=2,；.RtZD CE 中，D E=V22+82=7 6 8，A D E是等腰直角三角形，DE _ 痫_ 苗V2 V2【总结升华】本题属于三角形综合题，主耍考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用.举一反三：【变式】A A BC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA,若0oN PBC 2),求 y与 x之间的函数关系式；(3)当 x=4 (s)时，求等腰直角PMN与等腰梯形A B C D 重叠部分的面积.【思路点拨】(1)根据已知求出NPNM=ND A B=4 5 ,求出N A E N,根据等腰直角三角形的判定判断即可;推出ND A B=NPNM=4 5 ,根据等腰梯形的判定判断即可；(2)可分为以下两种情况：当 0Vx W 6 时，重叠部分的形状为等腰直角A E A N,A N=x (c m),过点E作 E H_ L A B 于点H,则 E H平分A N,求出E H,根据三角形的面积公式求出即可；当 6 x W 1 0 时，重叠部分的形状是等腰梯形A NE D,求出 A N=x (c m),C E=B N=1 0-x,D E=x-6,过点 D 作 D F J _ A B 于 F,过点 C 作 C G J _ A B 于 G,求出 D F,代入梯形面积公式求出即可.【答案与解析】(1)等腰直角三角形；等腰梯形.(2)等腰直角4 P M N 在整个移动过程中与等腰梯形A B C D 重合部分图形的形状可分为以下两种情况：p 当 0 x W 6 时，重叠部分的形状为等腰直角4 E A N(如图).此时A N=x(c m),过点E作 E H1 A B 于点 H,则 E H平分A N,/.E H=A N=x,/.y=S A A NB=-A N,E H=x ,-x=_ .2 2 2 2 2 4当6 x fo时，重叠部分的形状是等腰梯形A NE D (如图).止 匕 时，A N=x(c m),V Z PNM=Z B=4 5 ,A E N B C,；C E B N,.四边形E NB C 是平行四边形，C E=B N=1 0-x,D E=4-(1 0-x)=x-6,过点D作 D F A B 于 F,过点C作 C G A B 于 G,则 A F=B G,D F=A F=L (1 0-4)=3,2.y=S tW A =(D E+A N)D F=(x-6+x)X 3=3 x-9.2 23x-9(6 xM10)(3)当等腰直角A P*I N运动到PN边经过点D时，移动时间为6(s),.当 x=4 (s)时，y=x =X 42=4.4 4当 x=4 (s)时，等腰直角PMN与等腰梯形A B C D 重叠部分的面积是4 c m2.【总结升华】本题主要考查对等腰梯形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理,三角形的面积，平移的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键.举一反三：【变式】如图，等腰梯形A B C D 中，A B=1 5,A D=2 0,N C=30 .点 M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在A B、A D(包括端点)上运动.(1)设 N D 的长为x,用 x 表示出点N到 A B 的距离，并写出x的取值范围;(2)当五边形B C D N M 面积最小时，请判断A A M N 的形状.【答案】(1)过点N作 B A 的垂线N P,交 B A 的延长线于点